señales y sistemas- ing Mario garcia 1º edicion
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2010SEALES Y SISTEMAS
Msc. Ing. Mario Garca01/03/2010
SEALES Y SISTEMAS
ContenidoSISTEMAS LINEALES ............................................................................................................... 5 CAPITULO I................................................................................................................................. 5 1. 2. INTRODUCCIN........................................................................................................... 6 CLASIFICACIN DE LOS SISTEMAS ...................................................................... 6 2.1. 2.2. 2.3. 2.4. 2.5. 3. SISTEMA DETERMINSTICO ............................................................................... 6 SISTEMA NO ANTICIPATIVO .............................................................................. 6 SISTEMA REALIZABLE ........................................................................................ 7 SISTEMA LINEAL .................................................................................................. 7 SISTEMA INVARIANTE EN EL TIEMPO ............................................................ 7
EJEMPLOS ..................................................................................................................... 7 3.1. DIFERENCIADOR ........................................................................................................ 7 3.2. ELEVADOR AL CUADRADO .................................................................................... 8
CAPITULO II ............................................................................................................................... 9 1. 2. 3. SEALES CONTINUAS Y SEALES DISCRETAS ............................................... 10 SEALES CUANTIZADAS ........................................................................................ 10 FUNCIONES SINGULARES: ..................................................................................... 11 3.1. 3.2. 3.3. 3.4. 4. FUNCIN PASO O ESCALN UNITARIO: ....................................................... 11 FUNCIN RAMPA: .................................................................................. 12
FUNCIN PARBOLA: ....................................................................................... 13 FUNCIN IMPULSO: ........................................................................................... 13
EJEMPLOS: .................................................................................................................. 16
CAPITULO III ............................................................................................................................ 21 ANLISIS DE TRANSITORIOS POR EL MTODO DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE ................................................................................................................................... 21 1. 2. INTRODUCCION: ....................................................................................................... 22 LA TRANSFORMADA DE LAPLACE.- ................................................................... 22 2.1. 2.2. 2.3. 2.4. 2.5. 2.6. EJEMPLOS ............................................................................................................. 22 APLICACIN EN EL ANLISIS DE CIRCUITOS.-........................................... 24 MTODO PARA LA RESOLUCIN DE ECUACIONES.-................................. 27 TEOREMA DEL VALOR INICIAL.- .................................................................... 32 TEOREMA DEL VALOR FINAL.- ....................................................................... 33 CIRCUITOS EN EL DOMINIO TIEMPO.- .......................................................... 34
CAPITULO IV ............................................................................................................................ 37 SERIE DE FOURIER ................................................................................................................. 37
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SEALES Y SISTEMAS
1. 2.
INTRODUCCIN: ....................................................................................................... 38 SERIE TRIGONOMTRICA DE FOURIER: .......................................................... 38 2.1. 2.2. 2.3. CALCULO DE LOS COEFICIENTES DE LA SERIE: ........................................ 39 EJEMPLOS: ............................................................................................................ 40 CONDICIONES DE SIMETRA ............................................................................ 42
3.
SERIE EXPONENCIAL DE FOURIER: ................................................................... 44 3.1. 3.2. CALCULO DE LOS COEFICIENTES: ................................................................. 44 EJEMPLOS ............................................................................................................. 45
4. REPRESENTACIN DE LA SERIE TRIGONOMTRICA DE FOURIER EN TODO EL INTERVALO ............................................................................... 46 4.1. 4.2. EJEMPLO: .............................................................................................................. 47 ESPECTRO COMPLEJO DE FOURIER ............................................................... 48
CAPITULO V ............................................................................................................................. 53 TRANSFORMADA DE FOURIER ........................................................................................... 53 1. 2. INTRODUCCIN: ....................................................................................................... 54 EXISTENCIA DE LA TRANSFORMADA DE FOURIER. ..................................... 57 2.1. 2.2. 3. TRANSFORMADA DE FOURIER DE ALGUNAS FUNCIONES TILES. ...... 58 TRANSFORMADA DE FOURIER QUE CONTIENEN FUNCIONES IMPULSO 61
PROPIEDADES DE LA TRANSFORMADA DE FOURIER .................................. 77 3.1. 3.2. 3.3. 3.4. 3.5. PROPIEDAD DE SIMETRA.- .............................................................................. 78 PROPIEDAD DE LA LINEALIDAD .................................................................... 80 PROPIEDAD ESCALAR ....................................................................................... 80 PROPIEDAD DE DESPLAZAMIENTO DE LA FRECUENCIA ......................... 81 PROPIEDAD DE DESPLAZAMIENTO EN EL TIEMPO ................................... 83
CAPITULO VI ............................................................................................................................ 84 1. 2. 3. 4. 5. 6. INTRODUCCIN.- ...................................................................................................... 85 CARACTERSTICAS DE LOS FILTROS EN LOS SISTEMAS LINEALES. ..... 87 TRANSMISIN SIN DISTORSIN .......................................................................... 89 FILTROS IDEALES ..................................................................................................... 90 ESPECTRO DE DENSIDAD DE ENERGA ............................................................. 93 PROBLEMAS PROPUESTOS. ................................................................................... 97
CAPITULO VII .......................................................................................................................... 99 CONVOLUCIN ....................................................................................................................... 99 1. INTRODUCCIN....................................................................................................... 100
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SEALES Y SISTEMAS
2.
INTEGRAL DE CONVOLUCIN: .......................................................................... 100 2.1. 2.2. CONVOLUCIN EN EL TIEMPO...................................................................... 100 CONVOLUCIN EN LA FRECUENCIA ........................................................... 101
3.
LEYES DE CONVOLUCIN ................................................................................... 102 3.1. 3.2. 3.3. CONMUTATIVA. ................................................................................................ 102 DISTRIBUTIVA ................................................................................................... 103 ASOCIATIVA. ..................................................................................................... 103
4. 5. 6.
INTERPRETACIN GRAFICA DE LA CONVOLUCIN .................................. 103 CONVOLUCIN CON UN IMPUSO UNITARIO ................................................. 106 INTEGRAL DE SUPERPOSICIN. ........................................................................ 108
CAPTULO VIII ....................................................................................................................... 112 LA TRANSFORMADA Z ........................................................................................................ 112 1. 2. 3. INTRODUCCIN....................................................................................................... 113 LA TRANSFORMADA Z .......................................................................................... 113 TRANSFORMADA 3.1. 3.2. 3.3. 3.4. 3.5. 3.6. 3.7. 4. 5. 6. DE FUNCIONES IMPORTANTES ................................... 116 .................................................. 116
FUNCIN IMPULSO MODIFICADA FUNCIN EXPONENCIAL
........................................................................ 117 ................................................................. 117
FUNCIN ESCALN UNITARIO
FUNCIONES SENO Y COSENO ........................................................................ 117 FUNCIONES HIPERBLICAS SENO Y COSENO ........................................... 118 FUNCIN RAMPA .................................................................................. 118 ..................................................................... 119
FUNCIN EXPONENCIAL
SOLUCIN DE ECUACIONES DIFERENCIALES .............................................. 119 CUADRO DE IMPORTANTES TRANSFORMADAS .......................................... 122 PROBLEMAS ............................................................................................................. 123
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SEALES Y SISTEMAS
SISTEMAS LINEALES CAPITULO I
1.- INTRODUCCIN.2.- CLASIFICACIN DE LOS SISTEMAS.2.1. DETERMINSTICO 2.2. NO ANTICIPATIVO 2.3. REALIZABLE 2.4. LINEAL 2.5. INVARIANTE EN EL TIEMPO
3.- EJEMPLOS.-
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1. INTRODUCCIN Al ingeniero interesado en el estudio de los atributos observables de un sistema fsico, se le presenta el problema de poder representar y clasificar las seales. Al considerar las seales como entidades en s mismas, ms o menos separadamente de los sistemas que lo producen, se presenta con una variedad inmensa de posibilidades de representacin y clasificacin. La escogencia apropiada de las diferentes tcnicas depende en mucho de cmo desee el observador la informacin suministrada por las seales. En gran parte, un estudio unificado y general de estas tcnicas requieren el estudio matemtico del anlisis funcional. Trataremos las tcnicas de anlisis aplicables a sistemas fsicos que presumen respuesta cuando estos son excitados.Los sistemas pueden ser lineales o no lineales, independientes o dependientes del tiempo.
2. CLASIFICACIN DE LOS SISTEMAS Se impone reconocer cuando un sistema rene las caractersticas de un sistema lineal o invariante con el tiempo para evitar intiles esfuerzos tratando de analizar sistemas para los cuales las tcnicas que expondremos, conducirn a resultados de ningn valor. Consideremos el sistema de la figura, cuya excitacin es y su repuesta .
Asumamos que el sistema no contiene fuentes de energa independientes, est en estado de equilibrio. La relacin de causa y efecto, se indica simblicamente como:
[
]
Donde L es un operador que caracteriza al sistema. L puede ser una funcin de y, v, t y puede contener operaciones de diferenciacin o integracin, adems puede ser expresada en lenguaje probabilstico. 2.1.SISTEMA DETERMINSTICO Un sistema es determinstico si a cada excitacin una respuesta . 2.2.SISTEMA NO ANTICIPATIVO , corresponde una y solamente
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Un sistema es no anticipativo, si la respuesta en cualquier instante no depende de valores de futuros de excitacin. 2.3.SISTEMA REALIZABLE Un sistema es realizable si no es anticipativo y si la respuesta de t para toda excitacin real de . 2.4.SISTEMA LINEAL Un sistema es lineal si las respuestas a dos excitaciones diferentes . Y si la respuesta a la excitacin: Es Donde Y son constantes. ] [ ] [ ] , son es una funcin real
Simblicamente: [
A esta ecuacin se la conoce como principio de superposicin. 2.5.SISTEMA INVARIANTE EN EL TIEMPO Si la relacin entre la respuesta y la excitacin es independiente del tiempo, la respuesta a la excitacin es . En este caso la magnitud y la forma de la respuesta son independientes del tiempo al cual se le aplica la excitacin Forma simblica:
[3. EJEMPLOS 3.1. DIFERENCIADOR
]
Es un sistema lineal PRUEBA: [ ] es real.
El sistema es realizable, pues es no anticipativo y si
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3.2. ELEVADOR AL CUADRADO
No es lineal PRUEBA: Si
[
]
[
]
3.3.
Es una funcin lineal. Si
[
] [ ] [ ]
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CAPITULO II
1. SEALES CONTINUAS Y DISCRETAS. 2. SEAL CUANTIZADA. 3. FUNCIONES SINGULARES: 3.1. FUNCIN PASO O ESCALN. 3.2. FUNCIN RAMPA. 3.3. FUNCIN PARBOLA. 3.4. FUNCIN IMPULSO. 4. EJEMPLOS
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SEALES Y SISTEMAS
1. SEALES CONTINUAS Y SEALES DISCRETAS En los captulos anteriores hemos dado una clasificacin de los diferentes sistemas que podemos encontrar en nuestro estudio y hemos hablado de excitacin y de respuesta. Pudindose denominar tambin, SEAL DE ENTRADA Y SEAL DE SALIDA. Es necesario conocer las clases de seales disponibles y cul el tratamiento matemtico al que pudo ser sometido para poder conocer la respuesta de determinado sistema. Las diferentes seales podemos clasificarlas en 3 subclases: SEALES DISCRETAS, SEALES CONTINUAS Y SEALES CUANTIZADAS. SEALES CONTINUAS: Es una funcin de la variable continua e independiente del tiempo (t). Esta seal debe ser definida de una forma nica para todos los valores de t dentro de un rango dado, para los cuales la funcin es continua. La funcin de la figura 1 no es continua para a < t < b a causa de la continuidad en t = pero representa una seal continua para a < t < de acuerdo a la definicin anterior.
Figura N 1
SEAL DISCRETA: Es aquella que solo est definida en una secuencia de valores discretos de la variable independiente t. En muchos casos la seal puede ser cero, excepto en los valores de t; esto no es esencial a la definicin. En otros casos de inters practico, los instantes en que se define la seal, estn igualmente espaciados, es decir , donde T es el tiempo entre los instantes de definicin de la seal y K =0, 1, 2,3,. En estos casos la seal es una funcin de la variable discreta a independiente K. 2. SEALES CUANTIZADAS Es aquella que solo puede asumir un numero desmesurable de valores diferentes. Cuantizar quiere decir redondear hasta el valor aceptable ms cercano. Las seales cuantizadas pueden ser continuas o discretas
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La seal de la fig.1 representa una seal continua. Si redondeamos los valores de la seal hasta el valor aceptable (0, 1, 2, o 3), considerando solo los tres niveles anteriores, obtendremos la seal cuantizada de la fig.2. Si muestreamos en siete instantes discretos del tiempo obtendremos la seal discreta de la fig.3. Si muestreamos obtendremos la seal discreta cuantizada .
Figura N 3
Figura N 4 3. FUNCIONES SINGULARES: Las funciones singulares son funciones continuas del tiempo para todos los valores de t, menos uno, adems todas las funciones singulares pueden obtenerse de una, a travs de diferenciaciones o integraciones sucesivas. 3.1. FUNCIN PASO O ESCALN UNITARIO: De la figura 5 se puede deducir:
{
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Figura N 5
Si la funcin se desplaza a la derecha a unidades, la discontinuidad estar en y por lo tanto:
{
Figura N 6
3.2. FUNCIN RAMPA: Si integramos entre y obtenemos la funcin rampa
{
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Figura N 7
3.3. FUNCIN PARBOLA: Integrando la funcin rampa podemos obtener otra funcin singular
8
Figura N 8
3.4. FUNCIN IMPULSO: Si tratamos ahora de diferenciar la funcin paso unitario obtendremos otra funcin singular. La derivada es cero para y no existe para t = 0. Consideramos una funcin que se aproxima al paso unitario fig. 9. Esta funcin tiene como derivada la funcin sea:
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Figura N 9
Cuando Y se convierte en un pulso ms angosto y alto, siendo su rea igual a la unidad. Podemos entones decir que:
Excepto para De igual manera podemos decir que:
{
(1)
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Donde
se llama funcin impulso unitario. Su rea se conserva igual a la unidad
Figura N 10
Por lo tanto tomando lmites en la ecuacin (1) tenemos:
[
]
Lo cual nos permite escribir:
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4. EJEMPLOS: 1.- Dado el grfico de la funcin escribir la en trminos de funcin singular.
2.- Dado el grfico de la funcin escribir la
en trminos de funcin singular.
3.- Dado el grfico de la funcin escribir la
en trminos de funcin singular.
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SEALES Y SISTEMAS
4.- Dado el grfico de la funcin escribir la
en trminos de funcin singular.
5.- Dado el grfico de la funcin escribir la
en trminos de funcin singular.
6.- Dado el grfico de la funcin escribir la
en trminos de funcin singular.
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[
]en trminos de funcin singular y
9.- Dado el grfico de la funcin escribir la obtener la derivada de la funcin.
[ [ [
] ] ] en trminos de funcin singular y [ ]
10.- Dado el grfico de la funcin escribir la obtener la derivada de la funcin.
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11.- Dado el grfico de la funcin escribir la
en trminos de funcin singular.
[ [ ]
]
12.- ejemplo propuesto: Determinar
=?
13.- Determinar grficamente la funcin:
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14.- Determinar grficamente la funcin analtica de:
[
]
[
]
15.- Representar grficamente:
16.- Representar analticamente y grficamente la funcin
PROPIEDADES DE LA FUNCIN IMPULSO O DELTA DE DIRAC 1.2.3.-
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CAPITULO III
ANLISIS DE TRANSITORIOS POR EL MTODO DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE
1. INTRODUCCIN. 2. LA TRANSFORMADA DE LAPLACE. 2.1. 2.2. 2.3. EJEMPLOS APLICACIN EN ANLISIS DE CIRCUITOS MTODOS PARA LA RESOLUCIN DE ECUACIONES
2.3.1. Mtodo de las fracciones parciales: 3 casos 2.3.2. Formula del desenvolvimiento de HEAVISIDE
2.4. 2.5. 2.6.
TEOREMA DEL VALOR INICIAL TEOREMA DEL VALOR FINAL CIRCUITOS EN EL DOMINIO DEL TIEMPO 2.6.1. EJEMPLOS
2.7. PROBLEMAS
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SEALES Y SISTEMAS
1. INTRODUCCION: Se han analizado las corrientes transitorias en circuitos que tienen elementos almacenadores de energa como son los condensadores (C) y los inductores (L). La aplicacin de las leyes de Kirchhoff a tales circuitos desemboca en la utilizacin de una o dos ecuaciones diferenciales en el dominio tiempo dependiente de la configuracin del circuito. Estas ecuaciones fueron o son resueltas por los mtodos clsicos, en muchos pasos, entretanto, tales mtodos no son convenientes. En este captulo introduciremos el mtodo llamado de transformada de Laplace, que nos da las soluciones ms directas a las ecuaciones diferenciales. Adems de eso, algunas funciones irregulares, que no pueden ser fcilmente resueltas por los mtodos clsicos, tienen inmediata solucin con la transformada de Laplace. 2. LA TRANSFORMADA DE LAPLACE.Si es una funcin de t definida para , la transformada de Laplace de ], es definida por: indicada por el smbolo [ ,
[
]
Donde puede ser un parmetro complejo o real en las aplicaciones en circuitos, se admite como:
] transforma una funcin La operacin [ del dominio tiempo a una funcin del dominio frecuencia compleja o simplemente dominio . Las dos funciones y constituyen un par de transformadas, siendo estas dadas en tablas. Son condiciones suficientes para la existencia de la transformada de Laplace, que la funcin sea: Continua en intervalos De orden exponencial La funcin es considerada de orden exponencial si | , donde A, son constantes positivas.
|
para todo
En anlisis de circuitos todas las condiciones son satisfactorias por las funciones. 2.1. EJEMPLOS 1.- la funcin representada en la figura es definida por la transformada de Laplace correspondiente. para . Determinar
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{
}
[ { }
]
[
]
[
]
2.- Obtener la transformada de Laplace de { } [
, donde a es una constante. ]
{
}
3.- Encontrar la transformada de Laplace de: { }
*
+
4.- Encontrar la transformada de Laplace de la derivada de
{
}
Integrando por partes, usando ] Y
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{
}
[
]
{ Donde
} es el valor de la funcin cuando para
5.- Encontrar la transformada de Laplace de la integral
{
}
Integrando por partes:
{{ Donde }
Y } [ | que tambin se
(
)]
| es el valor de la integral para
{
}
2.2. APLICACIN EN EL ANLISIS DE CIRCUITOS.-
En el circuito que aparece en el circuito RC serie de la figura tiene una carga inicial La fuente de tensin constante V es aplicada al circuito, cuando la llave se cierra, la ecuacin diferencial es entonces: (1)
Llamando de a la corriente en el dominio S y tomando la transformada de Laplace de cada uno de los trminos de la ecuacin (1) tenemos:
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{
}
{
}
{ }
As:
|
entonces tenemos:
Calculemos ( ) ( )
( (
) )
{
}
8
9
(3)
La ecuacin (3) es la corriente en el dominio tiempo que aparece en el circuito inicial RC cuando cerramos la llave, con una carga inicial en el condensador C. las condiciones iniciales fueron consideradas en la ecuacin (2) en el dominio S, en consecuencia el tomar la transformada inversa la ecuacin resultante (3) ya contiene las constantes. La funcin [ ] grficamente es como indica la figura con una corriente inicial de
Si
no hay transitorio ya que la
carga en el capacitor origina una tensin igual a la tensin de la fuente.
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Consideremos ahora un circuito RL como indica el grafico. Cuando el interruptor es cerrado, aplicase una tensin constante V al circuito RL aplicando las leyes de Kirchhoff despus de cerrar la llave tenemos:
(1)
Aplicando la transformada de Laplace a cada trmino tenemos: { } 2 3 { }
(2) La corriente inicial llave, es tambin nula para (2) tenemos: en un circuito RL cuya constante era nula antes de cerrar la . Entonces reemplazando en la ecuacin
.(3)
(
)
/
Encontrando la transformada inversa de Laplace de la ecuacin (3) observamos que no existen formulas directas para encontrar entonces tenemos que usar algn mtodo para la resolucin de esta antitransformada, por ahora admitamos que la antitransformada es igual a:
{
}
(
)
(4)
La ecuacin (4) representa el conocido incremento exponencial con el valor para la corriente en rgimen estacionario.
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2.3. MTODO PARA LA RESOLUCIN DE ECUACIONES.En el anlisis de circuitos, generalmente, la corriente en el dominio S es la relacin de polinomios en S.
El desenvolvimiento de cuociente en la suma de varias fracciones es frecuentemente necesario para la obtencin de la transformada inversa de Laplace. Examinemos, ahora, la aplicacin del mtodo de desenvolvimiento de cuocientes de polinomios y el mtodo llamado de formula de Heaviside, su aplicacin conduce a la transformada inversa. 2.3.1. Mtodo de desenvolvimiento en fracciones parciales.-
La ecuacin
en que
es de grado superior al de
, puede ser escrita como y
una suma de fracciones cuyos denominadores sean cada uno, uno de los factores de cuyos numeradores sean constantes. Desenvolviendo el cuociente debemos considerar las races de ser reales, o complejas dando origen a tres casos. Caso 1.- Las races de Ejemplo: son reales y desiguales.
. Ellas pueden
Factorando
tenemos:
(1) Para y la expresin se torna infinito y se dice que existen polos simples para esos valores de S. El coeficiente de un polo simple es dado por | miembros por As para determinar el coeficiente de A multiplicar ambos .
Para
|
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Para determinar el coeficiente de B multiplicamos por
la ecuacin (1)
Para S
Entonces nuestra ecuacin (1) quedara as:
La transformada inversa ser:
{
}
Este caso tambin puede ser resuelto de otra manera: - multiplicando la ecuacin (1) por de las potencias iguales de S as: despus igualando los coeficientes
} Este mtodo siempre conduce a ecuaciones simultneas, el primer mtodo resuelto siempre en ecuaciones independientes para cada coeficiente. Caso 2.- Las races de Ejemplo:( ) ( ) . / ( )
son reales e iguales
Luego:
Multiplicando ambos miembros por S y haciendo
tenemos:
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En caso de races repetidas, el coeficiente del trmino cuadrtico es dado por: | Entonces:
Para
Para la determinacin del coeficiente B tenemos que: [ Entonces tenemos: ]
Entonces nuestro De donde:
De otra forma podemos realizar la misma operacin as: Si multiplicamos los dos miembros de: Por tenemos:
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Si igualamos los coeficientes S tenemos:
(1) (2) (3) En (1) En (2) Que coincide con los valores anteriormente calculados. Caso3.- Las races de( ) ( ) ( ) ( )( ) son complejas por ejemplo:
Como tiene races complejas conjugadas las constantes en los numeradores de las fracciones parciales son tambin complejos conjugados:
Multiplicando ambos miembros por
y haciendo
tenemos:
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{
}
{
}
[ [ ]
];
Otra forma de efectuar el mismo clculo es la siguiente: -Multiplicando ambos miembros por as:
Igualando los coeficientes de las potencias iguales de S tenemos:
2.3.2. Formula de desenvolvimiento de HEAVISIDE La formula de Heaviside establece que la transformada inversa de Laplace del cuociente( ) ( )
es dada por:
2Donde
( ) ( )
3
( (
) )por ejemplo:
son
n races distintas de
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SEALES Y SISTEMAS
( ) ( ) ( )( )
Las races son
;
2
3
2.4.TEOREMA DEL VALOR INICIAL.-
{
}
tenemos: { por } entonces:
Si tomamos el lmite para
El integrando tiende para 0 cuando { Como }
es una constante podemos escribir: { } (1)
La ecuacin (1) exprime el teorema del valor inicial. Podemos encontrar el valor inicial de una funcin del tiempo multiplicando la funcin correspondiente del dominio , por S y tomando el lmite cando . Ejemplo: En el circuito RC y analizado Q0 caiga del capacitor la corriente en el dominio S en. /
Determinar la corriente inicial i
empleando el teorema del valor inicial:
2
3
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2.5. TEOREMA DEL VALOR FINAL.-
{
}
tenemos: 3
Si tenemos el lmite para 2 De donde tenemos: { {
} } (2)
La ecuacin (2) nos indica el teorema del valor final. Por analoga de aplicacin del teorema y del valor inicial, se puede encontrar el valor final de una funcin del tiempo , multiplicando por S la funcin correspondiente del dominio S, y tomando el lmite cuando . La ecuacin (2) entretanto, solo puede ser aplicada cuando todas las races del denominador de tengan las partes reales y negativas. Esta restriccin excluye las funciones senoidales, pues estas son indeterminadas en el infinito. Ejemplo: En el circuito RL de la figura ya analizada tenemos que: 4 5
(
)
Determine el valor de la corriente en 4 5
(
)
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SEALES Y SISTEMAS
2.6. CIRCUITOS EN EL DOMINIO TIEMPO.La ecuacin para el circuito serie RLC de la figura es:
Aplicando la transformada de Laplace tenemos:
(En
)
(3)
,
es la impedancia en el dominio S. todos los
En la ecuacin (4)
mtodos empleados en anlisis de circuitos en el tiempo pueden ser usados con los parmetros S. La ecuacin (3) puede ser representado grficamente as:
Debe tenerse mucho cuidado con los signos de
y
.
Co0nsideremos ahora el circuito de la figura abajo, donde existe una corriente inicial i 0, con el interruptor en la posicin 1. Cuando el interruptor es llevado a la posicin 2, introducindose en el escrito una fuente constante V y en capacitor con una carga inicial. El sentido positivo de la corriente i fue arbitrario.
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SEALES Y SISTEMAS
As podemos notar que la fuente de tensin constante fue transformada en y la corriente resultante es . Los trminos de las condiciones iniciales son ahora fuentes con los sentidos indicados y la ecuacin ser la indicada (3). 2.6.1. EJEMPLOS 1.- El interruptor de RL figura, se mantiene en la posicin 1 durante tiempo variante para que se establezca condiciones de rgimen estacionario y en , es deslocado para la posicin. Determinar la corriente resultante.
Para
[ ]
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|
|
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CAPITULO IV
SERIE DE FOURIER1. INTRODUCCIN. 2. SERIE TRIGONOMTRICA DE FOURIER. 2.1. 2.2. 2.3. CALCULO DE LOS COEFICIENTES DE LA SERIE EJEMPLOS CONDICIONES DE SIMETRA
3. SERIE EXPONENCIAL DE FOURIER 3.1. 3.2. CALCULO DE LOS COEFICIENTES EJEMPLOS
4. REPRESENTACIN DE UNA FUNCIN PERIDICA MEDIANTE LA SERIE DE FOURIER EN TODO EL INTERVALO [ 4.1. 4.2. EJEMPLOS ESPECTRO COMPLEJO DE FOURIER ]
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SEALES Y SISTEMAS
1. INTRODUCCIN: En los circuitos examinados hasta aqu se puede encontrar 2 tipos de excitaciones, excitaciones constantes o de forma senoidal. En esos casos, una expresin simple describe las funciones excitadoras para cualquier valor del tiempo. Algunas formas de ondas peridicas entre las cuales est por ejemplo, la diente de sierra, solo pide ser expresada en una forma simple dentro de un intervalo. As por ejemplo la figura: diente de sierra.
{
Sin embargo de que estas expresiones describen satisfactoriamente la forma de onda, no permite la determinacin de la respuesta del circuito. Entre tanto, sea una funcin peridica, puede ser expresada como una suma de un numero finito o infinito de funciones senoidales, las respuestas de estructuras lineales a excitaciones no senoidales podrn ser determinadas por el teorema de la superposicin. El mtodo de Fourier nos permite solucionar este problema. 2. SERIE TRIGONOMTRICA DE FOURIER: Toda forma de onda peridica, esto es, para lo cual expresada por una serie de Fourier, desde que: , puede ser
siendo discontinua, haya un nmero finito de discontinuidades en el periodo T. tenga un valor medio finito en el periodo T tenga un nmero finito de mximos positivos y negativos. Satisfechas estas condiciones, de Dirichlet, existe la serie de Fourier que puede ser escrita en la forma trigonomtrica.
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SEALES Y SISTEMAS
Pudiendo ser escritas tambin de la siguiente forma:
Para 2.1. CALCULO DE LOS COEFICIENTES DE LA SERIE: Los coeficientes de Fourier, son determinados para una forma de onda dada, por el clculo de integrales. Se obtiene la integral para los coeficientes cosenoidales multiplicando ambos miembros de la serie trigonomtrica por e integrando parra todo un periodo. El periodo de la fundamental es , es el periodo de la serie, ya que la frecuencia de cada trmino de la serie es un mltiplo de la fundamental.
Las integrales definidas del segundo miembro son todas nulas, con excepcin de:
Multiplicando miembro a miembro la serie de Fourier por e integrando como en el caso anterior podemos determinar el coeficiente de la serie as:
El termino constante
se obtiene de la ecuacin general para
Otra forma de expresar estas integrales con la variable radianes es:
y con periodo
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SEALES Y SISTEMAS
El termino constante en la serie es el valor promedio de es la componente de corriente directa.en el intervalo
as
La serie trigonomtrica de Fourier puede ser tambin expresada de forma compacta as:
(
)
2.2.EJEMPLOS:
(
)
1.- Determinar la serie de Fourier para la forma de onda de la figura.
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[
]
[
]
(
)
2.- Determinar la serie trigonomtrica de Fourier de la onda dada de la figura.
8
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[
]
(
)
( )
{ 2.3.CONDICIONES DE SIMETRA
}
La serie obtenida en el ejemplo 1 a ms del trmino constante, contiene apenas trminos en seno, otras formas de onda como la del ejemplo 2 contiene apenas trminos en coseno y a veces existen apenas armnicos impares. Esto resulta de cierto tipo de simetra asociada a las formas de onda. El conocimiento de esta simetra, simplifica los clculos para la determinacin de la serie. 1.- Una funcin es par si es un ejemplo de funcin par, pues el valor de la funcin es la misma para x como para x; la funcin coseno es par ya que puede ser expresada as:
La suma de dos o ms funciones pares da como resultado otra funcin par y la adicin de una constante mantiene la naturaleza par de la funcin. Las formas de onda representadas son funciones pares: son simtricas en relacin al eje vertical.
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2.- Una funcin
se dice que es impar si , es un ejemplo impar pues para valores de x y x el valor de la funcin tiene signos diferentes. El seno es una funcin impar.
La suma es dos o ms funciones impares da como resultado otra funcin impar, pero la suma de una constante elimina la naturaleza impar de la funcin. El producto de dos impares da como resultado una funcin par, ejemplo de funciones impares.
3.- Una funcin peridica
posee simetra de media onda si
(
) donde T
es el periodo; ejemplos de funciones que poseen simetra de media onda.
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Cuando el tipo de simetra de una onda es determinado se llega a las siguientes conclusiones. Si la forma de onda es par, todos los trminos de la serie son cosenoidales. . Por tanto no es necesario calcular los coeficientes de pues no existen. Si la funcin es impar la serie contiene nicamente trminos senoidales. . Por tanto no es necesario calcular . Cuando la onda posea simetra de media onda existe apenas armnicas impares. Salvo la hiptesis en que la funcin sea tambin impar o par, la serie tendr trminos en seno o en coseno, en cualquier caso y son nulos para . en toda forma de onda que posea simetra de media onda. 3. SERIE EXPONENCIAL DE FOURIER: Si cada uno de los trminos en seno y coseno de la serie trigonomtrica fuera expresado en su forma exponencial, tendremos una serie de trminos exponenciales. . . Reagrupando: / . / / . /
( (
) )
(
)
(
)
3.1.CALCULO DE LOS COEFICIENTES: Definiremos ahora una constante completa A tal que:
Quedando nuestra funcin: { }
Para obtener las integrales de los coeficientes , multiplicar los dos miembros por e integrndose en el intervalo de un periodo completo as:
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Todas las integrales del segundo miembro son nulas excepto:
O con t como variable. Del mismo modo que en el clculo de las integrales de y los limites de integracin deben abarcar un periodo completo que sea conveniente, no necesariamente de . Los coeficientes de la serie trigonomtrica son obtenidos a partir de los coeficientes de la serie exponencial, sumndose y sustrayndose las expresiones de y as: Donde Y donde
3.2.EJEMPLOS 1.- Determinar la serie exponencial de Fourier para la forma de onda demostrada en la figura. Empleando los coeficientes de esa serie obtenga y para la serie trigonomtrica.
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{
}
0 Entonces tendremos:
1
Los coeficientes de la serie trigonomtrica son:
(
)
(
)
As la serie trigonomtrica ser:
4. REPRESENTACIN DE LA SERIE TRIGONOMTRICA DE FOURIER ] EN TODO EL INTERVALO [ Hasta aqu hemos representado una funcin como serie de Fourier en un intervalo finito o . Fuera del intervalo la funcin y la serie de Fourier correspondiente no son necesariamente iguales. Sin embargo si la funcin es peridica se puede demostrar que su representacin en serie se aplica a todo el intervalo . Esto se demuestra fcilmente si se toma una funcin y su representacin en serie exponencial de Fourier en el intervalo .
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La igualdad es vlida en el intervalo los dos miembros de la ecuacin no son necesariamente iguales fuera del intervalo. Es fcil ver sin embargo, que el segundo miembro de la ecuacin es con periodo . Esto se deduce que:
Por lo tanto es obvio que, si es peridica con periodo T, entonces la igualdad de la ecuacin (1) es vlida en todo el intervalo . As par una funcin peridica En donde 4.1.EJEMPLO: Considrese la onda seno rectificada de la figura. En esta funcin.
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4.2.ESPECTRO COMPLEJO DE FOURIER El desarrollo en serie de Fourier de una funcin peridica, equivale realmente a la transformacin de la funcin en trminos de sus componentes de diferentes frecuencias. Una funcin peridica de T tiene componente de frecuencia angulares en donde . Si se especifica , se puede encontrar su espectro. Inversamente si se conoce el espectro, se debe encontrar la funcin correspondiente. Por lo tanto tenemos dos maneras de representar la funcin : la representacin en el dominio tiempo, con el cual se expresa como funcin tipo, y la representacin en el dominio frecuencia con el cual se especifica el espectro (es decir, las amplitudes de las diferentes componentes de frecuencia). Ntese que el espectro existe nicamente en . As es el espectro no es una forma continua, sino que existe solamente en algunos valores discretos . Por consiguiente es un espectro descrito y a veces se llama espectro de lneas. Se puede expresar grficamente al espectro al trazar lneas verticales en con alturas proporcionales a la amplitud de la componente correspondiente a la frecuencia. As, en una grafica, es el espectro de frecuencia discreto con una serie de lneas verticales igualmente espaciadas con alturas proporcionales a la amplitud de la componente correspondiente de frecuencia. Para representar el espectro se puede utilizar cualquiera de las representaciones sea esta exponencial o trigonomtrica. Sin embargo, para nuestros fines, resulta ms til la forma exponencial, en esta serie la funcin peridica se expresa como suma de funciones exponenciales de frecuencia , etc. No es difcil entender el significado de las frecuencias negativas. Las dos seales y oscilan a la frecuencia , sin embargo, se les puede ver como dos fasores que giran en direcciones opuestas y que cuando se suman, producen una funcin real del tiempo as:
En una funcin peridica T, la serie exponencial est dada por:
Por
consiguiente
tenemos
componentes son respectivamente
las frecuencias , etc. Y las amplitudes de las , etc.
Las amplitudes suelen ser complejas y, por lo tanto se les describe por su magnitud y fase. Por consiguiente, en general, se requiere de dos espectros para la representacin de una funcin peridica en el dominio de la frecuencia: el espectro de magnitud y el espectro de fase, sin embargo en la mayora de los casos, las amplitudes de las
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componentes de frecuencia son o bien reales o imaginarias, de modo que se puede describir la funcin mediante un solo espectro. Considrese la funcin peridica del ejemplo de la onda seno rectificada. Se encontr que la serie exponencial de Fourier para esta onda seno rectificada es:
Cuyo espectro es:
El espectro existe en son
, etc. Y las magnitudes correspondientes , etc., ntese que todas las amplitudes son reales y, por eso,
solo es necesario dibujar un espectro. Este espectro se dibujo en la figura arriba. Se ve en esta figura que el espectro es evidentemente simtrico con respecto al eje vertical que pasa por el origen. El coeficiente esta dado por:
Estas ecuaciones nos indican claramente que los coeficientes conjugados es decir:
y
son complejos
En consecuencia
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| |
|
|;
Y
Se concluye, por tanto que el espectro de magnitud es simtrico con respecto al eje vertical que pasa por el origen y por consiguiente, es funcin par de . Si Si es real, entonces es compleja tal que: | | | | Entonces tambin lo es y es igual .
La fase es , sin embargo la fase es por lo tanto es obvio que el espectro de fase es simtrico (funcin impar) con respecto al eje horizontal y el espectro de magnitud es simtrico (funcin par) con respecto al eje vertical que pasa por el origen. EJEMPLOS: 1.- Desarrolle la funcin rectangular peridica de la figura como serie exponencial de Fourier y dibuje el espectro de frecuencia.
{
Por conveniencia, escogemos
y(
), como limites de integracin.
|
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( (
) )
6
7
La funcin entre parntesis es de la forma
. Esta funcin desempea un papel muy
importante en la teora de la comunicacin y se la conoce como funcin de muestreo, abreviando .
Esta constituye la funcin de muestreo en la figura arriba, puede notarse que la funcin oscila con periodo , con amplitud decreciente en ambas direcciones de x, y que tienen ceros en . De la ecuacin. ( Y Por lo tanto: . / )
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.
/
Es evidente que es real y, en consecuencia necesitamos un espectro para la representacin en el dominio de la frecuencia, adems como es par, se desprende que . La frecuencia fundamental existe ( solamente ) ( en )( )
. El espectro de frecuencia es funcin discreta y ( ) respectivamente. con amplitudes:
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CAPITULO V TRANSFORMADA DE FOURIER1. INTRODUCCIN. 1.1. REPRESENTACIN DE UNA FUNCIN CUALQUIERA EN TODO EL INTERVALO [ 2. ]
EXISTENCIA DE LA TRANSFORMADA DE FOURIER. 2.1. TRANSFORMADA DE FOURIER DE ALGUNAS FUNCIONES TILES 2.1.1. Seal exponencial unilateral 2.1.2. Seal exponencial bilateral 2.1.3. La funcin pulso rectangular 2.2. TRANSFORMADA DE FOURIER QUE CONTIENEN FUNCIONES IMPULSO 2.2.1. Transforma de Fourier de la funcin impulso2.2.2. Transformada de Fourier de una constante 2.2.3. Transformada de Fourier de 2.2.4. Transformada de Fourier de la funcin escaln unitario 2.2.5. Seales perpetuas y| |
2.2.6. Transformada de una exponencial perpetua 2.2.7. La transformada de una funcin peridica. 3. ALGUNAS PROPIEDADES DE LA TRANSFORMADA DE FOURIER 3.1. 3.2. 3.3. 3.4. 3.5. PROPIEDAD DE SIMETRA PROPIEDAD DE LINEALIDAD PROPIEDAD ESCALAR. PROPIEDAD DE DESPLAZAMIENTO DE LA FRECUENCIA. PROPIEDAD DE DESPLAZAMIENTO EN EL TIEMPO.
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1. INTRODUCCIN: Hemos aprendido a representar cualquier funcin en trminos de una serie exponencial, o trigonomtrica en un intervalo finito. En caso especial de una funcin peridica, se puede extender la representacin a todo el intervalo . Sin embargo, conviene representar cualquier funcin peridica o no, en todo el intervalo en trminos de seales exponenciales. Veamos a una seal no peridica se puede expresar generalmente como una suma (integral) continua de seales exponenciales, en contraste con la seal peridica, que se puede representar mediante una suma discreta de seales exponenciales.
Consideremos la funcin que se ilustra en la figura. Se requiere representar a esta funcin como suma de funciones exponenciales en todo el intervalo . Con este fin construiremos una nueva funcin peridica.
Con periodo T en lo que la funcin se repite cada T segundos como nos indica la figura. El periodo T se hace lo suficientemente grande. La nueva funcin es periodica y se lo puede representar por una serie exponencial de Fourier. En el lmite, si suponemos que T tiende al infinito, entonces los pulsos de la funcin peridica se repiten despus de un intervalo infinito. Por lo tanto, en el lmite , y son idnticas es decir:
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As la serie de Fourier que representa a en todo el intervalo si hacemos
en todo el intervalo tambin representara a en la serie. como
Podemos expresar la serie exponencial de Fourier de En donde: , entonces
Representa la amplitud de la componente de frecuencia
.
Supongamos que T aumenta, a medida que T aumenta, disminuye (frecuencia fundamental) y el espectro se vuelve ms denso, disminuyendo la amplitud de los componentes del espectro de frecuencia, sin embargo, no cambia de forma. En el lmite, cuando , la magnitud de cada componente se vuelve infinitesimamente pequea, pero tambin existe un nmero infinito de componentes espectrales. El espectro existe en cualquier valor y ya no es un espectro discreto sino funcin continua de . Para aclarar esta cuestin cambio de notacin. Sea , entonces. Es una funcin de y denotaremos mediante . Adems, sea:
, entonces
Tenemos:
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Si substituimos el valor de
en (2) obtenemos:
La ecuacin (3) nos ensea que se puede expresar como su suma de seales exponenciales de frecuencia , etc. La amplitud de la componente de frecuencia es (esta es igual a . . La funcin existe en donde ). Observe a la amplitud de dicha componente no es igual sino proporcional a
La figura ilustra el diagrama de esta cantidad como funcin de solamente en valores discretos de , es decir en .
La distancia que separa cada exponente de frecuencia es rectngulo sombreada de la figura es . La ecuacin:
. Por lo tanto, el rea de
Representa la suma de las areas bajo todos los rectngulos que corresponden a valores de n desde hasta . La suma de las reas rectangulares representa aproximadamente el rea bajo la curva. La aproximacin mejorada cuando disminuye el valor . En el lmite cuando se vuelve infinitsimamente pequeo de modo que se le puede representar por entonces tenemos que el rea bajo la curva es igual a la suma de los rectngulos y , transformndose en:
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En donde:
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En esta manera se ha logrado representar una funcin no peridica en trminos de funciones exponenciales en todo el intervalo . Se presenta como una suma continua de funciones exponenciales con frecuencia comprendidas en el intervalo . La amplitud de cualquier componente es proporcional a representando el espectro de . En general las ecuaciones:
Se conocen como par de transformada de Fourier de Es la transformada directa de Fourier. Es la transformada inversa de Fourier de En forma simblica: .
[Entonces tenemos:
]
Y
[
]
[
]
[
]
2. EXISTENCIA DE LA TRANSFORMADA DE FOURIER. De la ecuacin:
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Que define la transformada de Fourier, se desprende claramente que si:
es finita, entonces existe la transformada de Fourier. Pero, como la
magnitud de es la unidad; una condicin suficiente para la existencia de la transformada de Fourier de es que:
|
|
Sea finita
Sin embargo, si se consideran funciones singulares (por ejemplo funcin impulso), entonces esta condicin de absoluta integrabilidad no es siempre necesario. La integrabilidad absoluta es condicin suficiente pero no necesaria para la transformada de Fourier de . Las funciones como no satisfacen la condicin anterior y, en sentido estricto, no ponen transformada, sin embargo, esas funciones si tienen transformada en el lmite. 2.1.TRANSFORMADA DE FOURIER DE ALGUNAS FUNCIONES TILES. 2.1.1. Seal exponencial unilateral
|
| | ( )
Se ha representado el espectro de magnitud |
| y el espectro de fase
.
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2.1.2.| |
Seal exponencial bilateral
| |
||
Obsrvese que en este caso, el espectro de fase se ilustro en la figura.
el espectro de magnitud
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2.1.3.
La funcin pulso rectangular. como:
Se define la funcin pulso rectangular
{
| | | |
La transformada de Fourier de esta funcin est dada por:
( (
)
)
(
)
Ntese que es una funcin real y en consecuencia, se le puede representar grficamente por una sola curva.
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2.2.TRANSFORMADA DE FOURIER QUE CONTIENEN FUNCIONES IMPULSO 2.2.1. Transformada de Fourier de la funcin impulso.La transformada de Fourier de la funcin impulso unitario [ ] esta dado por:
Por definicin Tambin
Entonces la transformada de Fourier de [ ]
es:
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As la transformada de Fourier de la funcin impulso unitario es la unidad, por lo tanto, es evidente que la funcin impulso unitario tiene densidad espectral uniforme en todo el intervalo de frecuencia. En otras palabras la funcin impulso contiene todas las componentes de frecuencia con amplitudes relativas iguales. 2.2.2. Sea Esta funcin no satisface la condicin de integrabilidad absoluta, pero en el lmite, posee transformada de Fourier. Consideremos la transformada de Fourier de una funcin pulso rectangular de altura A y de duracin T segundos como la que fue analizada anteriormente. En el lmite cuando , la funcin rectangular tiende a convertirse en una funcin constante A En consecuencia la transformada de Fourier de una constante A es igual a la transforma de Fourier de un pulso rectangular cuando entonces: Transformada de Fourier de una constante.
[ [ ] [ ]
]
( ( (
) )
)
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Sabemos que:
De lo que se concluye: [ ] [ ] As cuando es una constante, contiene solamente una componente de frecuencia . Como es de esperarse una seal constante de corriente directa no contiene otra componente de frecuencia.
Funcin constante y su transformada 2.2.3. La funcin Transformada de Fourier de se define como:
{
Tambin puede ser escrita:
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Podemos encontrar la transformada de Fourier al hacer la siguiente relacin: [ Entonces: [ ] 6 7 ]
[
]
*
+;
2.2.4.
Transformada de la funcin escaln unitario
Sabemos que:
[
]
[
]
[ [[ ] ]
]
[ ]]
Sabemos que: Y que [
Entonces:
[
]
[
]
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Cuyo espectro es:
La funcin espectral contiene un impulso en . Por consiguiente, la funcin contiene una gran componente de corriente directa y, adems, otras componentes de frecuencia. La funcin aparenta ser una seal pura de corriente directa, de modo que resulta raro que existan otras componentes de frecuencia diferentes de . Sin embargo, la funcin no es una verdadera seal de corriente directa ya que vale cero en y tiene una discontinuidad pronunciada en que da lugar a otras componentes de frecuencia.
2.2.5.
Seales sinusoidales perpetuas
y
Estas seales no satisfacen la condicin de integrabilidad absoluta; no obstante, su transformada de Fourier existe y se lo puede obtener mediante un proceso de lmites similar al que empleamos con la funcin constante . Suponga primero que dichas funciones existen nicamente en el intervalo de , siendo cero fuera de l. En el lmite T tender a infinito.
a
[
]
[
]
8
*
+
*
+
9
[
]
2
0
1
0
13
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Segn:
En el lmite una funcin de muestreo se transforma en una funcin impulso y tenemos: [ ] [ ]
De igual manera se puede demostrar que: [ ] [ ]
Por lo tanto el espectro de Fourier de estas funciones consta de grandes impulsos en y en . Es interesante observar el comportamiento del espectro en el proceso de lmite cuando T tiende a infinito. Si T es infinito, la funcin densidad espectral est dada por: [ ] 2 0 1 0 13
El grafico a continuacin muestra dicha funcin en el ciclo en que:
Es decir el grafico, representa la funcin densidad espectral de la seal intervalo de 8 ciclos:
en un
| | { | |
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Note que existe una gran concentracin de energa en las frecuencias cercanas a .A medida que incrementa el intervalo T, la densidad espectral se concentra alrededor de la frecuencia . En el lmite cuando , la densidad espectral es cero en cualquier punto con la excepcin de , en donde es infinita, de tal manera que el rea bajo la curva en cada una de estas frecuencias es . Por lo tanto, en el lmite, la distribucin se convierte en 2 impulsos de intensidad unidades cada uno localizados en las frecuencias como indica la figura.
En cambio las funciones otra frecuencia, diferentes de
contienen componentes de alguna as por ejemplo:
[
]
[
]
[
]
De la misma forma tenemos:
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[
]
[
]
Aparentemente las seales y son seales puras y tal vez nos parezca extrao que contengan componentes de frecuencia diferentes de . Debemos recordar, sin embargo, que estamos una funcin en trminos de funciones exponenciales perpetuas desde hasta . Las funciones y no son funciones perpetuas ya que solo existe para valores positivos de t. Por lo tanto, tambin contienen otras componentes adems de aquellas en . Todas estas componentes se suman de manera que producen un valor cero, como en la figura, de para y un valor con ,o para . Si las seales sinusoidales son perpetuas entonces, como lo indican las ecuaciones: [ [ ] ] [ [ ] ]
Contienen efectivamente componentes de frecuencia
Densidad espectral de la funcin 2.2.6.
.
Transformada de una exponencial perpetua
Vamos a encontrar la transformada de Fourier de una seal exponencial perpetua en el intervalo tenemos:
La transformada de Fourier: [ Sabemos que: [ [ ] ] [ [ ] ] ] [ ]
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Entonces: [ [ ] ] [ ]
Por lo tanto la transformada de Fourier de es un solo impulso de intensidad localizado en . Se puede ver que la seal no es una funcin real del tiempo, por lo tanto tiene un espectro que existe solamente en . 2.2.7. Transformada de Fourier de una funcin peridica.
Hemos demostrado que la transformada de Fourier es el caso lmite de la serie de Fourier, al suponer que el periodo de una funcin peridica se vuelve infinito . Ahora procederemos que la serie de Fourier es un caso lmite de la transformada de Fourier, este tratamiento es muy til pues permite unificar ambas funciones la peridica y la no peridica. En un sentido estricto la transformada de Fourier de una funcin peridica no existe, ya que esta no satisface la condicin de integrabilidad absoluta. La funcin peridica es: | |
Sine embargo, la transformada existe en el lmite. Suponemos que la funcin peridica y que T se vuelve infinito en el existe nicamente en el intervalo finito lmite. Tambin podemos expresar la funcin peridica mediante su serie de Fourier. La transformada de Fourier de una funcin peridica es, la suma de la transformada de Fourier de sus componentes. Podemos expresar la funcin peridica con periodo T as:
Si tomamos las transformadas de Fourier de ambos miembros tenemos:
[
]
[
]
[
]
[
]
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Sabemos que: [ ]
Entonces tenemos que: [ ]
[
]
Este es un resultado significativo, la ecuacin anterior establece que la funcin de densidad espectral o la transformada de Fourier de una seal peridica est compuesta por impulsos localizados en la frecuencia armnicas de dicha seal siendo la intensidad de cada impulso igual a multiplicada por el valor del coeficiente correspondiente de la serie exponencial de Fourier. La secuencia de pulsos equidistantes no es ms que la forma lmite de una funcin densidad continua. Este resultado no sorprende pues, sabemos que una funcin peridica, contiene solamente componentes de frecuencias armnicas discretas EJEMPLOS: EJEMPLO 1.Encuntrese la transformada de Fourier de una funcin pulso rectangular peridica, pulso rectangular de duracin segundo que se repite cada T segundos.
2 Sabemos que:
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(
)
Como ya fue demostrado anteriormente, la serie exponencial de Fourier esta dado por: Entonces la transformada de Fourier es: [ ] [ ] ( )
[
]
[
]
(
) consta de impulsos localizados en
As la transformada de Fourier de .
La magnitud o intensidad del impulso localizado en ( ).
esta dado por
En la figura que representamos a continuacin se muestra el espectro en el caso en que segundos y segundos y
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EJEMPLO 2.Encontrar la transformada de Fourier de una secuencia o tren de impulsos equidistantes de intensidad unitaria a. los T segundos.
Esta funcin tiene mucha importancia en la teora del muestreo.
Es una funcin peridica T.
Determinemos la serie de Fourier:
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La funcin
en el intervalo
es igual a
, entonces:
Entonces, tenemos que: Para encontrar la transformada de Fourier de , usaremos la formula de la transformada de Fourier de una funcin peridica dada por: [ Esta frmula aplicada a [ ] [ ] ] tenemos:
[
]
[ [
] ]
Esta relacin establece que la transformada de Fourier de un tren de impulsos de intensidad unitaria con periodo T es otro tren de impulsos de intensidad a intervalos y de la frecuencia de impulsos con periodo segundos y sus respectivas transformadas se muestran en las figuras de abajo. Evidentemente, a medida que aumenta el periodo del tren de pulsos, el espectro de frecuencia se vuelve ms denso.
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Cuando
Cuando
PROBLEMAS PROPUESTOS 1.- Determinar la serie exponencial y trigonomtrica de la siguiente forma de onda.
2.- Determinar la serie trigonomtrica y exponencial de la siguiente forma de onda.
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3.-Determinar la serie exponencial de la siguiente funcin.
4.- Determinar la transformada de Fourier de la siguiente forma de onda.
;
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0
1
(
)
|
(
)
|
(
)
0
1
(
)
|
(
)
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|
(
)
(
) , tambin se puede expresar
5.- Comprobar que la transformada de Fourier de como: [ ]
6.- Determinar la transformada de Fourier de la funcin
3. PROPIEDADES DE LA TRANSFORMADA DE FOURIER La transformada de Fourier constituye un instrumento para expresar una seal en trminos de sus componentes exponenciales de diferentes frecuencias. La transformada de Fourier no es ms que otra forma de describir una funcin, es as como una funcin puede ser expresada en el dominio tiempo y la del dominio frecuencia. Es ilustrado estudiar lo que ocurre en uno de los dominios al efectuar ciertas operaciones con la funcin en el otro, por ejemplo como se afecta el espectro de una funcin si esta fuese derivada o desplazada en el dominio tiempo. A continuacin
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trataremos de evaluar los efectos que algunas operaciones importantes con la funcin en uno de los dominios sobre el otro: Existen simetra en las ecuaciones correspondientes a ambos dominios, esto puede verse en las ecuaciones que definen la transformada de Fourier.
Es evidente que se refleje la misma simetra en las propiedades que vamos a analizar a continuacin. Por conveniencia, denotaremos la correspondencia entre ambos dominios por una flecha bidireccional as:
Donde es la transformada directa de Fourier de inversa de Fourier de . 3.1.PROPIEDAD DE SIMETRA.Si Entonces Para esto, da la ecuacin:
y que
es la transformada
Se desprende que: En esta integral es una variable simblica que podemos sustituir por cualquier otra variable x por ejemplo, tendremos entonces:
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Entonces: De la misma manera, sustituyendo la variable simblica por x por otra variable t, obtenemos: [ As tenemos que: ]
Se manifiesta claramente la propiedad de simetra cuando ese caso, y la ecuacin entonces ser:
es una funcin par. En
Como ejemplo tenemos estas funciones que representamos a continuacin:
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Puede verse fcilmente que la transformada de Fourier de una funcin pulso rectangular es una funcin de muestreo y que la transformada de Fourier de una funcin de muestreo es una funcin pulso rectangular. La propiedad de simetra se cumple n todas las funciones pares. Si no es par, la simetra no es perfecta. 3.2. PROPIEDAD DE LA LINEALIDAD Si
Para cualquier constante arbitraria
y
se tiene:
3.3. PROPIEDAD ESCALAR Si Para una constante , real tenemos: | | ( ) como una constante real positiva. Entonces: ]
Para demostrar esto supongamos [
Supongamos ahora que:( )
[
]
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[
]
(
)
[
]
( )
Por lo tanto:
[
]
( ) Si
( )
Entonces como conclusin tenemos: | | La funcin representa ( )
comprimida en la escala del tiempo por el factor . De ( ) representa la funcin expandida en la escala de
la misma forma, la funcin
frecuencia por el mismo factor . En consecuencia la propiedad escalar establece que el comprimir una funcin en el dominio tiempo equivale a una expansin en el dominio de la frecuencia y viceversa. Como ejemplo considrese la seal que contiene componentes de frecuencia en , la seal representa una compresin de en un factor de 2 y sus componentes de frecuencia se encuentran en . Por lo tanto es evidente que se ha expendido el espectro de frecuencia en un factor de 2. 3.4. PROPIEDAD DE DESPLAZAMIENTO DE LA FRECUENCIA Si Entonces: Para demostrar tenemos: [ ]
[ [
] ]
El teorema establece que un desplazamiento de equivale a multiplicar por multiplicacin por el factor
en el dominio de la frecuencia, en la
en el dominio tiempo. Es evidente que la traslada todo el espectro de frecuencia
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cantidad . Por eso a este teorema tambin se le llama Teorema De Translacin De Frecuencia. En los sistemas de comunicacin, a menudo hay que trasladar espectro de frecuencia, para esto se multiplica la seal por una seal senoidal, este proceso se llama modulacin. Se puede expresar una seal senoidal como suma de exponenciales, es claro que la multiplicacin de la seal por una seal sinusoidal (modulacin) trasladar todo el espectro de frecuencia. Esto se demuestra fcilmente si se observa la identidad. [ Por el teorema de traslacin de frecuencia se deduce que ]
[ De igual manera, se puede demostrar que: [
]
]
Este resultado es muy til en la teora de la comunicacin, en la figura a continuacin se muestra un ejemplo de traslacin de frecuencia producida por la modulacin. Las ecuaciones anteriores tambin se conocen con el nombre de Teorema de la Modulacin.
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3.5. PROPIEDAD DE DESPLAZAMIENTO EN EL TIEMPO Si Entonces Para demostrar esta afirmacin tenemos que: [ Hacemos: ]
[ [
] ]
Este teorema establece que, si se desplaza una funcin en el dominio del tiempo en la |, pero el cantidad de segundos, entonces no se altera su espectro de magnitud | espectro de fase sufre un cambio . Resumiendo, como un desplazamiento de en el dominio del tiempo es equivalente a una desviacin de fase , es decir, a la multiplicacin por en el dominio de la frecuencia.
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CAPITULO VI
1. INTRODUCCIN. 2. CARACTERSTICAS DE LOS FILTROS EN LOS SISTEMAS LINEALES 3. TRANSMISIN SIN DISTORSIN 4. FILTROS IDEALES 5. ESPECTRO DE DENSIDAD DE ENERGA
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1. INTRODUCCIN.Los sistemas lineales estn caracterizados por el principio de la superposicin. El teorema de la superposicin es tambin conocido como el principio de linealidad de los sistemas, expresados as: Si es la funcin excitacin y excitacin y la respuesta. es la respuesta, y es otra funcin
Para que un sistema sea lineal debemos tener: debe ser:
como excitacin y la respuesta
Si Para determinar la respuesta de un sistema lineal a una funcin de excitacin dada, se puede emplear el principio de superposicin. Se puede expresar una funcin de excitacin como suma de funciones simples, para las cuales se calcula fcilmente la respuesta del sistema. Ya vimos en clases anteriores que podemos expresar una funcin arbitraria de excitacin como suma continua de exponenciales por medio de la transformada de Fourier. Podemos utilizar esto para obtener la respuesta de un sistema con los mtodos de Fourier o Laplace. Expresaremos una seal como suma continua de funciones as: Podemos considerar la ecuacin anterior como la representacin de componentes impulso. La integral Representa una suma de funciones impulso. La ecuacin Podemos expresarla en forma de lmite de la suma discreta as: [ ] en trminos de
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Aqu
queda expresado como una suma de impulsos caractersticos localizados en y con una intensidad . Si es la respuesta del sistema a un impulso unitario entonces la respuesta del sistema a: [ Ser: ]
Y la respuesta total [
a la funcin excitacin ]
estar dada por:
De donde en el dominio frecuencia tenemos:
Sabiendo que; Conocido tambin como funcin de transferencia del sistema. Si la seal empieza en y es cero en lmite inferior de la integral de la ecuacin adems , entonces se puede reemplazar el por cero. Si
en lo cual se verifica en cualquier sistema fsico, entonces cuando . Por lo tanto, podemos reemplazar el lmite superior de la misma integral anterior por t as, entonces tenemos que para sistemas fsicos y cuando en . La ecuacin anterior es un caso especial en que tanto mientras que: Es una formula general.Pgina 86
como
son cero en
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2. CARACTERSTICAS LINEALES.
DE
LOS
FILTROS
EN
LOS
SISTEMAS
Si se tiene un sistema en el cual una excitacin de entrada produce una respuesta , de forma caracterstica propia del sistema. La funcin de densidad espectral de la respuesta es . Por lo tanto se ve que el sistema modifica la funcin de densidad espectral de la seal de entrada. Se ve como el sistema acta como si fuese un filtro de las diferentes componentes de frecuencia. La intensidad de algunas componentes aumenta, mientras de otras se atena y otras quedan o pueden quedar iguales. De manera semejante, cada componente sufre un cambio de fase diferente en el proceso de transmisin, por lo tanto, el sistema modifica la funcin densidad espectral de acuerdo a sus caractersticas de filtro, esta modificacin depende mucho de la funcin de transferencia , que representa la respuesta del sistema a las diferentes componentes de frecuencia. As, acta como una funcin de ponderacin segn las diferentes frecuencias. La respuesta tiene densidad espectral: as:
Donde por
tiene como densidad espectral y la funcin de transferencia est dada y la respuesta tiene como densidad espectral .
Consideremos el circuito R-C dado
En los terminales de entrada del se aplica un pulso rectangular como el que se indica en la figura , la respuesta del circuito R-C es la que aparece en los terminales de salida .
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La funcin densidad espectral de la seal de entrada dado en la figura y la densidad espectral de la respuesta es al lado en el grafico.
La funcin de transferencia, que relaciona el voltaje de entrada con el de salida es obviamente:
La figura que representa |
| corresponde a las caractersticas del filtro:
Por el momento no llevaremos en cuenta la fase. Obsrvese que este circuito atena las frecuencias altas y permite que las bajas pasen con atenuacin pequea. As este circuito es la forma ms simple de un filtro pasa bajo. La funcin de densidad espectral de la respuesta es el producto dado en la |y| | muestra claramente figura. La comparacin entre las figuras de | la atenuacin causada por el circuito a las frecuencias altas. La funcin de respuesta es obviamente una rplica distorsionada de la seal de entrada, debido a que el circuito no permito el mismo acceso a la transmisin de todas las componentes de frecuencia de la seal de entrada. La seal de entrada sube abruptamente en , la elevacin sbita, que significa un cambio rpido, implica componentes. Ya que el circuito no permite el paso de las componentes de frecuencia alta, el voltaje de salida no puede cambiar con esa rapidez, por lo que sube y baje menos abruptamente con la seal de entrada.
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3. TRANSMISIN SIN DISTORSIN Un sistema debe atenuar igualmente todas las componentes de frecuencia, es decir debe tener una magnitud constante para todas las frecuencias. Esta condicin no es suficiente para garantizar la transmisin sin distorsin, el cambio de fase de cada componente tambin debe satisfacer ciertas relaciones y hasta el momento no hemos tomado en cuenta su efecto. En una transmisin sin distorsin es necesario que la respuesta sea una rplica exacta de la seal de entrada. Por supuesto, la rplica puede tener magnitud diferente; lo que importa es la forma de onda y no su magnitud relativa. Por lo tanto, podemos decir que se transmite sin distorsin una seal si la respuesta es se ve que la respuesta es la rplica exacta de la entrada con una magnitud de veces la seal original y retraso de segundos. As, si es la seal de entrada necesitamos, que la respuesta sea una transmisin sin distorsin.
Por la propiedad de desplazamiento en el tiempo que dice que:
Tenemos: Entonces: En un sistema sin distorsin tenemos:
Concluimos que para lograr una transmisin sin distorsin, a travs de un sistema, la funcin de transferencia debe ser de la forma:
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|, la magnitud de la funcin de transferencia es , que es Es evidente que | constante para todas las frecuencias. Por otra parte el desplazamiento es proporcional a la frecuencia es decir:
Si dos componentes de frecuencia diferentes se desfasan en el mismo intervalo de tiempo, los cambios de fase correspondientes son proporcionales a la frecuencia. Por ejemplo, si una seal se desfasa segundos; la seal resultante puede expresarse como:
Es evidente que el cambio d fase de la nueva seal es frecuencia .
, proporcional a la
En un sentido estricto la ecuacin debe ser: donde es un nmero entero positivo o negativo ya que la adicin de la fase radianes no puede tener ms efecto que cambiar el signo de la seal. Por lo tanto, la funcin de fase de un sistema sin distorsin debe ser de la forma mostrada por la ecuacin y en la figura anterior.
Ancho de banda, se define arbitrariamente, como el intervalo de frecuencia en el cual la | es mayor que magnitud | multiplicado por su valor en la mitad del intervalo. Para nuestro ejemplo el ancho de banda de | 4. FILTROS IDEALES Un filtro ideal de paso bajo transmite, sin distorsin alguna, todas las seales de frecuencia menores que una determinada frecuencia de radianes por segundo. Las seales de frecuencia superior a las de se atenan completamente. Por consiguiente la respuesta en frecuencia de este filtro es una funcin pulso rectangular . La funcin de fase correspondiente a la transmisin sin distorsin es funcin de transferencia de ese filtro es: | | entonces la
| es
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Se puede encontrar la respuesta transformada inversa de as: [ [ Como sabemos que: [ Concluimos que ] ]
al impulso unitario de ese filtro si se calcula la
]
(
)
desplazada en el tiempo es: [ ]
El grafico de , anterior, nos demuestra que la respuesta al impulso existe en valores negativos de . En vista de que se aplico la funcin de excitacin (impulso unitario) en , el resultado anterior parece extrao, es decir, se produce la respuesta antes de que se aplico la funcin de excitacin; el sistema parece anticiparse a la funcin de excitacin. Prcticamente es imposible construir un sistema con esa propiedad. Por lo tanto, se debe concluir que, aun cuando sera muy conveniente tener un filtro ideal de paso bajo, no es fsicamente realizable. Se puede demostrar de manera parecida, que tampoco son realizables fsicamente otros filtros ideales como los de paso alto y los de paso de banda. En la prctica es suficiente tener filtros cuyas caractersticas se aproximan de los filtros ideales. En la figura tenemos un filtro paso bajo, sus funciones de transferencia estn:
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Dados por:
( (
) )
Puesto que:
y
( ) . /
La respuesta de
al impulso es: [ ]
.
/
En la figura a continuacin se muestra la magnitud y la fase de la respuesta en frecuencia
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Y la respuesta
dibujaremos a continuacin.
Comparndose estas caractersticas de magnitud y fase con las de filtro ideal. La respuesta al impulso es similar a la de un filtro ideal con la salvedad que empieza en
5. ESPECTRO DE DENSIDAD DE ENERGA Un parmetro til de una seal es su energa normalizada. Se define la energa normalizada o simplemente energa de una seal como la energa disipada por un resistor de cuando se le aplica el voltaje o por una corriente que pasa por el mismo resistor as: El concepto de energa de seal solo tiene significado si la integral anterior es finita. Las seales cuya energa es finita se llaman seales de energa. Para seales peridicas la integral es infinita y el concepto de energa no tiene sentido, en estos casos consideramos el promedio en el tiempo de las energas que es evidentemente el promedio de la potencia de seal. A esas seales se les denomina seales de potencia. Si es la transformada de Fourier de
[
]
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Al intercambiar el orden de integracin en el segundo miembro, obtenemos: [ ] en consecuencia
La integral dentro del corchete ya sabemos que es igual a tenemos: Y sabemos que: | Cuando es una funcin real. Y | | |
Es interesante considerar la interpretacin fsica de la densidad de energa de una seal. Tenemos: | Consideremos la seal de transferencia es: |
aplicada a la entrada de un filtro pasa banda cuya funcin
Este filtro suprime todas las frecuencias con la excepcin de las que estn comprendidas dentro de una banda angosta cuya frecuencia central es . Si es la transformada de Fourier de la respuesta de este filtro, entonces:
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Y la energa
de la seal de salida |
esta dada por la ecuacin | en donde vale
Ya que 1. Cuando
en cualquier punto excepto en una banda angosta tenemos: | |
As, la energa de la seal de salida es: | |
Solo se transmite sin alteracin por el filtro las componentes de que quedan dentro de la banda angosta . Las dems componentes quedan totalmente suprimidas. Es | evidente que | representa la aportacin a la energa de de las componentes que quedan dentro de la banda angosta con centro en , por lo | es la energa por ancho de banda unitario tanto | aportado por las componentes de frecuencia con el centro en . Obsrvese que las unidades del espectro de densidad de energa son JOULES por Hz, la aportacin de energa procede de componentes de frecuencia negativo o positivo. | | | |
| , la mitad de la energa | | ha sido Podemos interpretar que la cantidad | aportada por las componentes de frecuencia positiva y la otra mitad por las | se llama espectro de componentes de frecuencia negativas, por esta razn | densidad de energa, representa la energa por ancho de banda unitario, ya sea positivo o negativo, entonces el espectro de densidad de energa se define como: | |
Del espectro de densidad de energa procede la aportacin relativa de energa de las diferentes componentes de frecuencia. La figura a continuacin muestra la funcin pulso rectangular as como su transformada de Fourier y el espectro de densidad | de energa |
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La energa total
esta dada por: | |
|
|
Como sabemos que: | | | | , en
Es evidente que la funcin de densidad de energa es funcin real par de consecuencia, se puede expresar la ecuacin. | Como: | | |
|
|
Si y son funciones de excitacin y su respuesta correspondiente, de un sitema lnea con funcin de transferencia entonces:
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| y el de la El espectro de densidad de energa de la funcin de excitacin es | | ; es evidente, si se tiene que el espectro de densidad, por lo tanto, respuesta es | esta dado por el espectro de densidad de energa de la seal se excitacin multiplicada | por | | | | | | | | |
6. PROBLEMAS PROPUESTOS.
6.1.Un circuito resistivo formado por los resistores y se emplea como atenuador para reducir el voltaje aplicado a los terminales . Los resistores y tienen capacidad distribuida y cual debe ser la relacin entre los valores y para lograr una atenuacin sin distorsin.
6.2.Determinar la funcin de transferencia en el circuito R-C. Representar grficamente las caractersticas de magnitud y fase de la funcin de transferencia.
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6.3.Encontrar y construir la grafica de la respuesta de un filtro pasa bajo a la seal mostrada en la figura de abajo. La frecuencia del filtro es y el tiempo de retardo es .
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CAPITULO VII
CONVOLUCIN
1. INTRODUCCIN. 2. INTEGRAL DE CONVOLUCIN 2.1. CONVOLUCIN EN EL TIEMPO 2.2. CONVOLUCIN EN LA FRECUENCIA. 3. LEYES DE LA CONVOLUCIN 3.1. CONMUTATIVA 3.2. DISTRIBUTIVA 3.3. ASOCIATIVA 4. INTERPRETACIN GRAFICA DE LA CONVOLUCIN 5. CONVOLUCIN CON UN IMPULSO UNITARIO 6. INTEGRAL DE SUPERPOSICIN
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1. INTRODUCCIN El teorema de la convolucin o integral de convolucin o simplemente convolucin, es quizs uno de los instrumentos ms eficaces en el anlisis armnico, con su empleo, se obtiene con facilidad muchos resultados importantes. 2. INTEGRAL DE CONVOLUCIN: Dadas 2 funciones y , podemos formar la integral siguiente: Esta integral llamada integral de convolucin, define la convolucin de las funciones y , y tambin se expresa simblicamente como:
Se puede demostrar que en realidad existen 2 teoremas o integrales de la convolucin; en el tiempo y en la frecuencia as: 2.1.CONVOLUCIN EN EL TIEMPO Si Tenemos: Es decir: y
Para demostrar tenemos: [ ] [ ]
[
]
[
]
Por la propiedad del desplazamiento en el tiempo, ya analizada anteriormente, la integral:
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Por lo tanto tenemos: [ ]
[ [
] ]
De igual forma podemos demostrar usando la transformada de Laplace as: [ [ Si hacemos: Entonces: 6 7 [ ] ] [ ] ] [ ]
6
7
[
] [
]
6
7
2.2.CONVOLUCIN EN LA FRECUENCIA Si Entonces: y
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sea que: [ ]
Este teorema se demuestra de la misma manera que la anterior, debido a la simetra entre las transformadas directa e inversa de Fourier. Concluimos que la convolucin de 2 funciones en el dominio tiempo equivale a la multiplicacin de sus espectros en el dominio frecuencia y que la multiplicacin de las 2 funciones en el dominio tiempo equivale a la convolucin de sus espectros en el dominio frecuencia as: Convolucin en el tiempo
Convolucin en la frecuencia. [ 3. LEYES DE CONVOLUCIN A continuacin presentamos algunas leyes de la convolucin que siguen lineamientos iguales a los de la multiplicacin ordinaria. 3.1.CONMUTATIVA. ]
Para demostrar esto tenemos que: Si hacemos que: Tenemos:
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3.2.DISTRIBUTIVA [ Para demostrar esto hacemos que: ( ) ]
Entonces aplicando la definicin de la convolucin tenemos: De donde: Entonces: [ ]
De donde se concluye que: [ ]
3.3.ASOCIATIVA. [ ] [ ]
La demostracin es obvia aplicando la definicin de la convolucin como en el caso anterior o tambin sabiendo que: [ ] [ ]
4. INTERPRETACIN GRAFICA DE LA CONVOLUCIN En la teora de las telecomunicaciones y en el anlisis de sistemas, la interpretacin grfica del teorema de la convolucin es muy til. Permite visualizar los resultados de muchas relaciones abstractas. Si en los sistemas lineales solo se conocen en forma grfica y , entonces la convolucin grafica resulta muy til. Supongamos que y son los pulsos rectangulares y triangulares como en la figura.
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Encontremos grficamente la convolucin
, por definicin
En la integral de convolucin, T es la variable independiente en consecuencia las funciones y se muestran en la figura a continuacin.
El trmino eje as:
representa la funcin
desplazada segundos a lo largo del
El valor de la convolucin en
esta dado por la integral:
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Y representa el rea bajo la curva producto de regin sombreada como en la figura siguiente:
y
, dicha rea es la
Para encontrar los valores de la funcin , se seleccionan diferentes valores de , se desplaza la funcin segn esos valores y se calcula el rea bajo la curva producto correspondiente as:
Esta rea dada en el grfico convolucin en los valores respectivos de .
representa el valor de la funcin de
Pasos para demostrar grficamente la funcin de convolucin PRIMER PASO.- Giramos la funcin origen para obtener la funcin . alrededor del eje vertical que pasa por el
SEGUNDO PASO.- Consideramos la funcin girada con un cuadro rgido que se desplazara sobre el eje T en una cantidad . Este cuadro rgido representa aqu la funcin . TERCER PASO.- La funcin representada por el cuadro rgido desplazado, multiplicamos por nos da la funcin y el rea bajo esta curva, producto que esta dado por: [ ]
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CUARTO PASO.- Repetir este procedimiento para diferentes valores de , desplazamos sucesivamente al cuadro en diferentes cantidades, obteniendo los valores de la funcin de convolucin para esos valores de . Para encontrar la funcin de convolucin cuadro se desplaza por la parte positiva del eje de , se desplaza por la parte negativa. para valores positivos de , el mientras que, para valores negativos
5. CONVOLUCIN CON UN IMPUSO UNITARIO La convolucin de una funcin con la funcin impulso unitario resulta en la funcin misma . Esto se comprueba fcilmente con la propiedad de muestreo Entonces tenemos que: Esto tambin se deduce del teorema de convolucin en el tiempo y del hecho de que: y por lo tanto:
En conclusin tenemos que:
Este resultado tambin puede ser obtenido grficamente. Como el impulso esta concretado en un punto y tiene rea unitaria, la integral de convolucin de la ecuacin Es igual a la funcin reproduce la funcin . As, la convolucin de la funcin impulso unitario al generalizar la ecuacin se obtiene:
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Por ejemplo determinemos grficamente la convolucin de intensidad cada uno, como en la figura.
con dos impulsos de
Giramos alrededor del eje vertical para obtener sabemos que la convolucin de con convolucin de con dos impulsos.
. Como es par se deduce as a la
De la propiedad de la funcin impulso para reproducir por convolucin la funcin se desprende claramente que cada impulso genera un pulso rectangular en el origen de altura . Por lo tanto, la altura neta del pulso triangular en el origen es , puesto que la funcin se sigue desplazando en direccin positiva, el impulso originalmente est localizado en se encuentra con el pulso triangular en y reproduce un pulso triangular en de altura , as:
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6. INTEGRAL DE SUPERPOSICIN. En la presente seccin discutiremos y demostraremos que la respuesta a una excitacin inicial en un sistema lineal para cualquier excitacin puede ser determinada una vez que la respuesta a una funcin escaln sea conocida. Llamaremos la respuesta de un sistema lineal para una funcin escaln en la entrada, como respuesta al escaln unitario, cuyo smbolo sea cuya transformada de Laplace sea . Con un escaln unitario como la funcin excitacin: { Como sabemos que la respuesta es dada por: }
Entonces tenemos que:
En donde:
Si determinamos la transformada de Laplace tenemos: { } tenemos: ] }
Reemplazando y realizando operaciones en la ecuacin { } { [
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Por lo tanto { } es
Esta ecuacin expresa la respuesta al escaln con la respuesta al impulso; si tiene una discontinuidad para . Retornando a la ecuacin [ [ Esta ecuacin de siendo que: ] para nuestro sistema inicial tenemos: ] [ ]
tambin puede ser escrita en la siguiente forma:
Podemos determinar la transformada inversa de convolucin, entonces: { }
con el auxilio dl teorema de
Es evidente de la ecuacin anterior que
, concluimos de la ecuacin
Por el teorema de diferenciacin de [ ]
es la derivada de
as:
O como ya habamos demostrado que: Estas ecuaciones expresan el importante resultado que en orden para el fin de una respuesta de un sistema lineal para una excitacin, con la transformada de Laplace, necesitamos nicamente conocer la respuesta para el escaln unitario en la entrada. La respuesta al escaln tambin caracteriza la entrada salida de un sistema. Los resultados obtenidos en las ecuaciones:
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Pueden ser expresados en diferentes formas equivalentes que son mu ecuacin [ ]
Podemos observar que la ecuacin anterior es el producto de 2 transformadas, podemos aplicar directamente el teorema de la convolucin, primeramente. { { { { Donde } } } } representa la primera derivada de con respecto al tiempo. {[ ]}
Aplicando el teorema de la convolucin para la ecuacin [ Tenemos: [ ] ]
Donde el primer termino del 2do miembro es el resultado de la convolucin de la funcin con la funcin impulso de acuerdo con la ecuacin:
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La ecuacin Es en realidad la integral de superposicin. Sin embargo cuando la integral de superposicin es usada sin calificacin, lo que es habitualmente, tomando como la integral de DUHAMEL. Otras formas de la integral de superposicin son posibles. Por [ ] podemos tener otras formas de la ejemplo tomando la ecuacin integral de superposicin, por simple intercambio de las funciones y en la ecuacin: Obteniendo esta ecuacin
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CAPTULO VIII
LA TRANSFORMADA Z
1. INTRODUCCIN 2. LA TRANSFORMADA Z 3. TRANSFORMADA Z DE FUNCIONES IMPORTANTES 3.1.FUNCIN IMPULSO MODIFICADA 3.2.FUNCIN EXPONENCIAL 3.3.FUNCIN ESCALN UNITARIO 3.4.FUNCIN SENO Y COSENO 3.5.FUNCIONES HIPERBLICAS 3.6.FUNCIN RAMPA 3.7.FUNCIN EXPONENCIAL ESPECIAL 4. SOLUCIN DE ECUACIONES DIFERENCIALES 5. CUADRO DE IMPORTANTES TRANSFORMADAS 6. PROBLEMAS
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1. INTRODUCCIN Hay una importante clase de sistema lineal para el cual la seal de entrada o funcin de excitacin es de forma de muestras discretas de corta duracin o tambin conocida como pulsos. Un ejemplo de un sistema de muestreo de datos es el radar, donde los datos son recogidos en f
