Señales y sistemas de tiempo discreto

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Contenido Señales y sistemas de tiempo discreto Clasificacion de los sistemas de tiempo discreto Representacion en el dominio del tiempo de sistemas LTI de

tiempo discreto Representacion en el dominio de la frecuencia de sistemas LTI

de tiempo discreto Representacion en el plano z de sistemas LTI de tiempo discreto Representacion en espacio de estado de sistemas LTI de tiempo

discreto Equivalencia de las representaciones

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SEÑALES Y SISTEMAS DE TIEMPO DISCRETO

3

Señales de tiempo discreto

Definicion: Definidas solamente a valores discretos del tiempo las señales de tiempo discreto pueden tomar todos los valores posibles

Son secuencias de numeros reales o complejos

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Señales Digitales:Son señales de tiempo discreto que toman solo valores dentro de un conjunto finito de posibles valores

Representacion de señales de tiempo discreto

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Representacion Funcional

Representacion Grafica

1 1,3

( ) 6 0,7

0

for n

x n for n

elsewhere

0 0

( ) 0,6 0,1, ,102

1 102

n

for n

y n for n

n

( )x n

n

Representacion de señales de tiempo discreto

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Representacion en Secuencia

( ) 0.12 2.01 1.78 5.23 0.12x n

n … -2 -1 0 1 2

x(n) … 0.12 2.01 1.78 5.23 0.12

Representacion Tabular

Señales de tiempo discreto elementales

7

La señal impulso unitario

1 0( )

0 0

for nn

for n

( )n

n

Señales de tiempo discreto elementales

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Señal paso unitario (secuencia Heaviside)

1 0( )

0 0

for nu n

for n

n

( )u n

Señales de tiempo discreto complejas

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( ) j nx n e

Sistemas de tiempo discreto Un sistema de tiempo discreto es un dispositivo o algoritmo

que:

opera sobre una señal de tiempo discreto llamada la entrada o excitación, p.ej u(n),

según alguna regla, p.ej. H [.]

para producir otra señal de tiempo discreto llamada salida o respuesta, p.ej y(n).

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( ) ( )y n H x n

Sistemas de tiempo discreto

11

( ) ( )y n H x n

Esta expresion denota tambien:

La transformacion H[.] (o procesamiento) realizada por el sistema sobre x(n) para producir y(n).

llamada tambien operador o mapeo

Descripcion de entrada-salida de sistemas de tiempo discreto

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( )x n

input signal

excitation

( )y n

output signal

response

( ) ( )Hx n y n

( ) ( )y n H x n

.H

discrete-time system

CLASIFICACION DE LOS SISTEMAS DE TIEMPO DISCRETO

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Clasificacion de los sistemas de tiempo discreto La clasificacion de los sistemas de tiempo discreto

se puede hacer de manera similar a la de los sistemas continuos:

Estaticos, dinamicos Lineales, No lineales Variables o invariantes en el tiempo Causales, no causales

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Ejemplos de sistemas de tiempo discreto Sistema de tiempo discreto estatico

Sistema de tiempo discreto dinamico

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3( ) ( ) ( )y n nx n bx n

0

( ) ( ) ( )N

k

y n h k x n k

0

( ) ( ) ( )k

y n h k x n k

Ejemplos de sistemas de tiempo discreto Sistema de tiempo discreto variable en el tiempo

Sistema de tiempo discreto invariante en el tiempo

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3( ) ( ) ( )y n x n bx n 0

( ) ( ) ( )N

k

y n h k x n k

3( ) ( ) ( 1)y n nx n bx n 0

( ) ( ) ( )N

N n

k

y n h k x n k

Ejemplos de sistemas de tiempo discreto Sistema de tiempo discreto causal

Sistema de tiempo discreto no causal

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0

( ) ( ) ( )N

k

y n h k x n k

2( ) ( ) ( )y n x n bx n k

3( ) ( 1) ( 1)y n nx n bx n 10

10

( ) ( ) ( )k

y n h k x n k

REPRESENTACION EN EL DOMINIO DEL TIEMPO DE SISTEMAS LTI DE TIEMPO DISCRETO

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( )n

n

La respuesta al impulso

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.H

LTI system

unit impulse

( )n ( ) ( )h n H n

impulse response

La entrada es un impulso unitario

La respuesta al impulso

La relación entre las señales de entrada y de salida se obtiene por la convolución de u con la respuesta al impulso h(t)

2020

( ) ( ) ( ) ( ) ( )k k

y n h k x n k x k h n k

*y n h n x n

Respuesta al paso

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.Hunit step

( )u n

step response

unit-step response

( ) ( )g n H u nLTI system

( ) ( ) ( ) ( )n

k k

g n h k u n k h k

Estas expresiones relacionan la respuesta al impulso y la respuesta al paso

Operadores de adelanto y de retardo Para especificar relaciones de sistemas de tiempo

discreto entre señales de entrada y salida se usan dos operadores de desplazamiento:

El operador de desplazamiento de adelanto q

El operador de desplazamiento de retardo q−1:

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Operadores de adelanto y de retardo El operador de desplazamiento de adelanto q

El operador de desplazamiento de retardo q−1:

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1qx n x n

1 1q x n x n

Sistemas de tiempo discreto en terminos del operador de retardo Siendo {h(k)} k = 0,1, ··· la respuesta al impulso

del sistema,

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( ) ( ) ( ) ( )k

k k

y n h k x n k h k q x n

Respuesta del sistema

La “funcion de transferencia” de un sistema LTI es:

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( ) ( )k

k

y n h k q x n

( )y n G q x n

¡no confundir con la variable compleja z!

REPRESENTACION EN EL DOMINIO DE LA FRECUENCIA DE SISTEMAS LTI DE TIEMPO DISCRETO

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Representacion en el dominio de la frecuencia de señales y sistemas LTI de tiempo discreto

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LTI system

( )h ncomplex-valued exponencial

signal

( ) j nx n e

impulse response

( ) ( ) ( )k

y n h k x n k

LTI system output

( )y n

Representacion en el dominio de la frecuencia de señales y sistemas LTI de tiempo discreto Calculemos la salida del sistema . . .

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( ) j k j n

k

y n h k e e

( ) j n k

k k

y n h k x n k h k e

Respuesta en Frecuencia de sistemas LTI de tiempo discreto

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j j ny n G e e

Respuesta en Frecuencia

( )j j k

k

G e h k e

Periodicidad de la respuesta en frecuencia Una propiedad importante de la respuesta en

frecuancia es que es periodica con periodo 2

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2( ) ( ) j k lj j k

k k

G e h k e h k e

2j ljG e G e

31

Podemos considerar la expresion de como su expansion en series de Fourier donde h(k) son los coeficientes de la serie. En consecuencia h(k) esta relacionada con por la integral

1( ) ( )

2j j nh n H e e d

jG e

jG e

Propiedades de simetria de la respuesta en frecuencia La parte real es un funcion par con periodo 2

La parte imaginaria es un funcion impar con periodo 2

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Re ( ) Re ( )j jH e H e

Im ( ) Im ( )j jH e H e

33

( )jH e

24 3 2 3 4

24 3 2 3 4

Symmetry Properties

( )

EVEN

ODD

0

0

REPRESENTACION EN EL PLANO Z DE SISTEMAS LTI DE TIEMPO DISCRETO

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La transformada Z

Definicion: La transformada Z de una señal discreta esta definida como la serie de potencia:

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( ) ( ) k

k

X z x n z

( ) [ ( )]X z Z x n

Donde z es una variable compleja

La transformada Z inverza

El procedimiento para transformar del dominio z al dominio del tiempo es denominado la transformada Z inversa:

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11( ) ( )

2n

C

x n X z z dzj

1( ) ( )x n Z X z

donde C denota el contorno cerrado en la region de convergencia de X(z) que contiene el origen.

La ecuacion de diferencia

Un sistema LTI de tiempo discreto puede ser descrito por medio de una ecuacion de diferencia con coeficientes constantes, como sigue

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0 1

( ) ( ) ( ) ( ) ( )N M

k k

y n b k x n k a k y n k

La funcion de transferencia

38

La aplicación de la transformada Z a la ecuacion de diferencia

Bajo la condicion de condiciones iniciales nulas

Conduce a la nocion de funcion de transferencia

La funcion de transferencia

39

LTI System

( ) ( )Y z Z y n

input signal

( )x n

( ) ( )X z Z x n

output signal

( )y n

( )H z( )h n

La Funcion de Transferencia es la razon de la transformada Z de la salida y de la transformada Z de la señal de entrada

La funcion de transferencia

La Funcion de Transferencia es la razon de la transformada Z de la salida y de la transformada Z de la señal de entrada

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( ) [ ( )]( )

( ) [ ( )]

Y z Z y nH z

X z Z x n

( ) ( )H z Z h n

Funcion de transferencia del sistema LTI A partir de la ecuacion de diferencia es posible

calcular entonces la funcion de transferencia

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0 1

( ) ( ) ( ) ( ) ( )N M

k k

k k

Y z b k z X z a k z Y z

0 1

( ) ( ) ( ) ( ) ( )N M

k k

y n b k x n k a k y n k

Funcion de transferencia del sistema LTI

42

0

1

( )( )

( )( ) 1 ( )

Nk

kM

k

k

b k zY z

H zX z a k z

H(z): puede ser vista como una funcion racional de la variable compleja z (z-1).

REPRESENTACION EN ESPACIO DE ESTADO DE SISTEMAS LTI DE TIEMPO DISCRETO

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EQUIVALENCIA DE LAS REPRESENTACIONES

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Equivalencia de las representaciones

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Ejercicio

Investigue como Matlab representa un sistema dinámico de tiempo discreto en los diferentes dominios. Ver LTI_formats.m

Fuentes Lewis Andrew, A Mathematical Introduction to Feedback

Control. Queen’s University. Kingston, Canada. Abril, 2003. Tsakalis Kostas, System properties, A Collection of Class

Notes. http://www.eas.asu.edu/~tsakalis. December, 2003 Roberts Clive, Fundamentals of Signals and Systems.

University of Birmingham. 2003. Olver Peter J. and Shakiban Chehrzad, Applied Mathematics.

School of Mathematics, University of Minnesota and Department of Mathematics, University of St. Thomas. 1999.

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