SEMINARIO DE MODELACIONMATEMATICA Y COMPUTACIONAL

“ELEMENTO FINITO Y DESCOMPOSICION DE

OPERADORES EN DINAMICA DE FLUIDOS”

L. Hector Juarez V.

Departamento de Matematicas

Universidad Autonoma Metropolitana-Iztapalapa

U. of Houston CIE-UNAM ITESM

Roland Glowinski Eduardo Ramos Ciro F. Flores

Tsorng Whay-Pan Guadalupe Huelsz

Guillermo Ovando

1 Ecuaciones de Navier-Stokes

ρ

[∂u

∂t+ (u ·∇)u

]= ∇ · σ + ρf (Ec. momentum)

∂ρ

∂t+∇ · (ρu) = 0 (Ec. continuidad)

Usualmente se acoplan con:

1. Ecuacion de energıa (efectos termicos)

2. Ecuaciones de estado (fluidos compresibles)

Fluido Newtoniano Incompresible

Esfuerzos sobre S = presion termodinamica + esfuerzos viscosos

σ = −pI + µτ = −pI + µ(∇u + (∇u)t

)

ρ

[∂u

∂t+ (u ·∇)u

]= −∇p + µ4u + ρf (Ec. momentum)

∇ · u = 0 (Ec. continuidad)

1.1 FORMULACION DE UN PROBLEMA SIMPLE

Ω

Γ

x

u n

Ecuaciones de Navier–Stokes

∂u

∂t− ν∆u + (u ·∇)u +

1

ρ∇p = 0 in Ω× (0, T ],

∇ · u = 0 in Ω× (0, T ],

u(0) = u0, in Ω

u = g(t) on Γ× (0, T )

u = velocidad del fluido. p = presion.

ν(> 0) = viscosidad. T > 0 es el tiempo final.

Dificultades

1. Sistema de E.D.P.

2. Ecuaciones no lineales

3. Condicion de incompresibilidad

4. Sistemas de E.D.P. acopladas por medio de (a) el termino convec-

tivo, (b) la condicion de incompresibilidad, y, en ocasiones, condiciones

de frontera (σ · n = g)

Existen soluciones analiticas de estas ecuaciones solo para proble-

mas muy simples en donde usualmente la geometrıa es muy sen-

cilla.

2 Metodos de Aproximacion Numerica

1. Diferencias finitas.

2. Elemento finito.

3. Volumen finito.

4. Elementos de frontera.

5. Metodos espectrales.

6. Metodos de MonteCarlo.

7. Lattice Boltzmann.

8. Metodos asintoticos.

9. Metodos de partıculas.

10. Metodos hıbridos.

entre otros.

2.1 Formulacion Variacional o Debil

Para t > 0, encontrar u(t) ∈ Vg(t), p(t) ∈ L20(Ω), tales que

∫

Ω

∂u

∂t· v dx +

∫

Ω

(u ·∇)u · vdx− 1

ρ

∫

Ω

p∇ · v dx

+ν

∫

Ω

∇u : ∇v dx = 0, ∀ v ∈ V0,

∫

Ω

q∇ · u(t) dx = 0, ∀ q ∈ L2(Ω),

u(0) = u0, con ∇ · u0 = 0,

donde

Vg(t) = v | v ∈ H1(Ω)d, v = g(t) on Γ,V0 = H1

0 (Ω)d,

L20(Ω) = q | q ∈ L2(Ω),

∫

Ω

q dx = 0.

2.2 Formulacion de Elemento Finito

Dividir Ω en un conjunto finito de elementos. Los mas simples son

triangulos en 2–D, y tetraedros en 3–D.

Triangulacion de un dominio Ω.

Sobre cada elemento se aproximan las funciones del problema por medio

de polinomios.

Elemento de 1er. orden

Grados de libertad a, b, cu(x,y) = a x + b y + cP

Q

R

P Q

R

u(P)

u(Q)

u(R)

T

T

Aproximacion de u(x,y) sobre un triangulo T.

Elementos de Orden Mayor

u(x,y) = a + a x + a y + a xy + a x + a y1 2 3

2 2 u(x,y) = a + a x + a y + a xy + a x + a y2 3 5

7

4 62 2

+ a x y + a xy + a x + a y2 2 3 31

8 9 10

4 65

3er. ORDEN2o. ORDEN

Aproximacion de los espacios de funciones Vg(t), H10 (Ω)2, L2(Ω), L2

0(Ω):

Vgh(t) = vh | vh ∈ (C0(Ω))2, vh|T ∈ P2 × P2, ∀T ∈ Th, vh|Γ = gh(t),V0h = vh | vh ∈ (C0(Ω))2, vh|T ∈ P2 × P2, ∀T ∈ Th, vh|Γ = 0,L2

h = qh | qh ∈ C0(Ω), qh|T ∈ P1, ∀T ∈ Th,L2

0h = qh | qh ∈ L2h,

∫

Ω

qh dx = 0;

Ps es el espacio de polinomios por tramos, continuos y de grado ≤ s.

Funciones Base

Cada nodo de la malla tiene asociado una funcion base del elemento

finito. Por ejemplo, para el elemento lineal (de primer orden)

P

P 1i

j

Funcion base piramidal φi(Pj) = δij

u(x, y) ≈n∑

i=1

αj φj(x, y)

Objetivo: Determinar las αj ≈ u(Pj)

Ejemplo sencillo

−ν ∆ u = f en Ω ⇐⇒ ν

∫

Ω

∇u · ∇v dx =

∫

Ω

f v dx ,∀ v ∈ H10 (Ω).

u = g en Γ .

Sea u =∑n

j=1 αjφj(x, y) =∑n0

j=1 αjφj(x, y)+∑n

j=n0+1 αjφj(x, y), donde

n = numero de nodos, y n0 = numero de nodos interiores. Entonces

n∑j=1

(ν

∫

Ω

∇φj · ∇φi dx

)αj =

∫

Ω

f φi dx , i = 1, ..., n0.

Es decir para i = 1, ..., n0

n0∑j=1

(ν

∫

Ω

∇φi · ∇φj dx

)αj =

∫

Ω

f φi dx−n∑

j=n0+1

(ν

∫

Ω

∇φi · ∇φj dx

)g(xj, yj) .

Este ultimo es un sistema de ecuaciones lineales de la forman0∑

j=1

aij αj = Fi , i = 1, ..., n0 ,

que se resuelve mediante un metodo directo o iterativo de tipo sparse

Problema semi–discreto

Par t > 0 encontrar uh(t), y ph(t) tales que

∫

Ω

∂uh

∂t· v dx +

∫

Ω

(uh ·∇)uh · v dx

−1

ρ

∫

Ω

ph∇ · v dx + ν

∫

Ω

∇uh : ∇v dx = 0, ∀ v ∈ V0h,

∫

Ω

q∇ · uh(t)dx = 0, ∀ q ∈ L2h,

uh(0) = u0h, uh = gh on Γ.

Desde el punto de vista abstracto, el ultimo problema es un caso particular

de la siguiente clase de problemas de valores iniciales.

dϕ

dt+ A(ϕ, t) + B(ϕ, t) + C(ϕ, t) = 0, ϕ(0) = ϕ0,

donde los operadores A, B, y C pueden ser multivaluados.

3 Integracion en el tiempo por Particion del Operador

Supongase que A, B, and C son lineales e independientes de t.

ϕ(t) = e−(A+B+C)tϕ0,

y tambien para ∆t(> 0) suficientemente pequeno

e−(A+B+C)∆t = e−C∆te−B∆te−A∆t + O(∆t2).

Las anteriores expresiones proporcionan el esquema de Particion del

Operador de Primer Orden (con tn = n∆t): Dado ϕ0 = ϕ0,

suponiendo n ≥ 0, ϕn conocido, calcular ϕn+1/3, ϕn+2/3, ϕn+1 por medio

de la solucion del problema de valores inciales:

dϕ/dt + A(ϕ, t) = 0 on (tn, tn+1), ϕ(tn) = ϕn; ϕn+1/3 = ϕ(tn+1),

dϕ/dt + B(ϕ, tn+1) = 0 on (tn, tn+1), ϕ(tn) = ϕn+1/3; ϕn+2/3 = ϕ(tn+1),

dϕ/dt + C(ϕ, tn+1) = 0 on (tn, tn+1), ϕ(tn) = ϕn+2/3; ϕn+1 = ϕ(tn+1).

Se puede obtber un esquema de segundo orden por medio de simetrizacion

Particion del Operador para las ec. de Navier–Stokes

Dado u0 = u0h, y suponiendo conocido un para algun n ≥ 0.

1. Encontrar un+1/3 y pn+1/3 tales que

∫

Ω

un+1/3 − un

4t· v dx− 1

ρ

∫

Ω

pn+1/3∇ · v dx = 0, ∀ v ∈ V0h,∫

Ω

q∇ · un+1/3 dx = 0, ∀ q ∈ L2h,

u = gh on Γ

2. Encontrar un+2/3 = u(tn+1), donde u(t) es la solucion, sobre (tn, tn+1),

de

∫

Ω

∂u(t)

∂t· v dx +

∫

Ω

(un+1/3 ·∇)u(t) · v dx = 0 ∀v ∈ V n+1,−0h ,

u(tn) = un+1/3, and u(t) = gh(tn+1) on Γn+1

− × (tn, tn+1)

3. Finalmente, encontrar un+1 tal que

∫

Ω

un+1 − un+2/3

4t· v dx + ν

∫

Ω

∇un+1 : ∇v dx = 0, ∀ v ∈ V0h.

u = gh on Γ

Analogıa con la forma diferencial de las ecuaciones integrales:

1. Se define un+1/3 y pn+1 como las soluciones en t = tn+1 de

∂u

∂t+

1

ρ∇p = 0, in Ω× (tn, tn+1),

∇ · u = 0, in Ω× (tn, tn+1),

u(tn) = un in Ω, u = g on ∂Ω,

2. Se define un+2/3 como la solucion en t = tn+1 de

∂u

∂t+ (un+1/3 ·∇)u = 0, in Ω× (tn, tn+1),

u(tn) = un+1/3 in Ω, u = g on ∂Ω−,

3. Finalmente, se define un+1 como la solucion en t = tn+1 de

∂u

∂t− ν4u = 0, in Ω× (tn, tn+1),

u(tn) = un+2/3 in Ω, u = g on ∂Ω.

4 Ejemplos Numericos

1. Flujo uniforme con cilindro en rotacion

2. Flujo de bombeo mecanico

3. Transicion a turbulencia de un flujo oscilatorio

Malla para flujo uniforme de izquierda a derecha

Lineas de corriente α = V/U∞ = 0, 0.1, 0.5, 1.0, Re = 20

-2 0 2 4

-4

-2

0

2

4

-2 0 2 4

-4

-2

0

2

4

-2 0 2 4

-4

-2

0

2

4

-2 0 2 4

-4

-2

0

2

4

a b

dc

Distribucion de presion sobre cilindro

0 50 100 150 200 250 300 350 400−4.5

−4

−3.5

−3

−2.5

−2

−1.5

−1

−0.5

0

0.5

degrees

Pre

ssur

e C

oeffi

cien

t

0.0

0.1

0.5

1.0

0.0

0.1

0.5

1.0

Vorticidad sobre pared del cilindro

0 50 100 150 200 250 300 350 400−6

−4

−2

0

2

4

6

degrees

Vor

ticity

0.0

0.1

0.5

1.0

Campos de velocidad en un ciclo, Re = 100

T = 50 T = 51

T = 52 T = 53

T = 54 T = 55

Coeficiente de levante para α = 0.1, 0.5, 1.0

0 10 20 30 40 50 60 70−3

−2.5

−2

−1.5

−1

−0.5

0

0.5

Time

Lift

coef

f.0.1

0.5

1.0

Flujo de bombeo para aplicaciones en MEMS

h

2a2h

U

Lω h

Figure 1: Computational domain

ecc. = 0.5

ecc. = 0.75

ecc. = 1

ecc. = 1.25

ecc. = 1.425

ecc. = 1.5

Figure 2: Computational domain and meshes used to show the dependence

of mean flow rate vs. eccentricity. Dimensions of the domains: width =

8, length = 60, a = 1

−30 −20 −10 0 10 20 30−4

−2

0

2

4ecc. = 0.75

−30 −20 −10 0 10 20 30−4

−2

0

2

4ecc. = 1.0

−30 −20 −10 0 10 20 30−4

−2

0

2

4ecc. = 1.25

Figure 3: Streamlines as a function of eccentricity

0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.50.02

0.025

0.03

0.035

0.04

0.045

0.05

0.055ecc. = 1.25

ecc.

U

Figure 4: Mean flow rate versus eccentricity

Figure 5: Computational domain and mesh for the case 2h = 14.25

s = 1.59

s = 1.25

s = 1.14

s = 1.92

s = 3.26

s = 2.81

s = 2.37

-20 -10 0 10 20

-6-4-202

-20 -10 0 10 20

-6-4-2024

-20 -10 0 10 20

-6-4-20246

-20 -10 0 10 20

-3.6

0.95

5.5

10

-20 -10 0 10 20

-2.7

2.9

8.4

14

-20 -10 0 10 20

-5

0

5

10

15

-20 -10 0 10 20

-5

0

5

10

15

20

Figure 6: Streamlines for different channel separations

[]0 5 10 15 20 25

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

5

U

h u [] 0 5 10 15 20 250

10

20

30

40

50

60

70

80

90

2hU

hu

Figure 7: (a) Velocity flow rate versus channel separation. (b) Mean flow

velocity versus channel separation.

100 200 300 400wa

10

20

30

40

U

U = 0.0976 wa ---->

Figure 8: Mean average velocity U as a function of speed of the cylinder

Transition to Turbulence in an Oscillatory Flow

x

y

HE

A B L

Rigid boundary

Rigid boundary

Flow region

5 10 15 20 25 30 35 40

−0.20

0.20.40.60.8

time

u

5 10 15 20 25 30 35 40−0.05

00.05

0.10.15

time

v

5 10 15 20 25 30 35 40 45 50−0.1

00.10.20.3

time

u

5 10 15 20 25 30 35 40 45 50

0

0.02

0.04

time

v

5 10 15 20 25 30 35 40 45 50

0

0.5

1

time

u

5 10 15 20 25 30 35 40 45 500

0.1

0.2

time

v

R

R

R

δ

δ

δ

= 25

= 302

= 537

R

R

Rδ

δ

δ= 25

= 302

= 537

Oscillatory Flow. Rδ = 537

3.575e+02

3.359e+02

3.403e+02

3.074e+02

2.764e+02

2.125e+02

1.477e+02

1.480e+02

1.441e+02

2.432e+02