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Geometra de Proporcin I

Figuras congruentes ( )

Definicin Dos figuras son congruentes cuando tienen la misma forma, el mismo tamao y la misma rea, es decir, si al colocarlas una sobre la otra son coincidentes en toda su extensin.

Ejemplos:

A

C

B D

F

E

Tringulos congruentes

Para determinar si dos tringulos son congruentes, existen algunos criterios. Los ms utilizados son:

1 Lado, lado, lado (L.L.L.)

Dos tringulos son congruentes si sus lados correspondientes son congruentes.

Ejemplo:

8 8

10 10

6 6

Los tringulos ABC y DEF son congruentes y se denota: ABC DEF

2 Lado, ngulo, lado (L.A.L.)

Dos tringulos son congruentes si tienen dos lados respectivamente congruentes y el ngulo comprendido entre ellos congruente.

A B

C

E

F

D

a a

5

3

5

3

Ejemplo:

Los tringulos ABC y DEF son congruentes y se denota: ABC DEF

3 ngulo, lado, ngulo (A.L.A)

Dos tringulos son congruentes si tienen dos ngulos respectivamente congruentes y el lado comprendido entre ellos congruente.

A B

C

E

F

D

a a

12 12

Ejemplo:

b b

Los tringulos ABC y DEF son congruentes y se denota: ABC DEF

Figuras semejantes (~)

Para que dos polgonos sean semejantes es necesario que se cumplan dos condiciones:

Definicin

Se llaman lados homlogos a los lados que unen dos vrtices con ngulos congruentes.

G

F

J

I

H a

b

g d

e

A

E

D

C

B a

b

g d

e

1 que tengan sus ngulos respectivamente congruentes, y

2 que sus lados homlogos sean proporcionales.

Tienen igual forma, pero no necesariamente igual tamao y rea.

2

Dos tringulos son semejantes si sus ngulos correspondientes son congruentes, y sus lados homlogos proporcionales.

Tringulos Semejantes

Ejemplo:

A B

C

a

b

g E

F

D

a

b

g 5

3

15

9 4

12

Recuerda que al establecer una semejanza, el orden no se debe alterar.

AB es homlogo a DE

BC es homlogo a EF

AC es homlogo a DF

P

Q

R

A B

C

Elementos Homlogos

Los lados homlogos en los tringulos semejantes, corresponden a aquellos lados que son respectivamente proporcionales.

Ejemplo:

3 4

5

6

8

10

AB PQ

= BC QR

= CA RP

Adems, tambin los elementos que cumplen la misma funcin en cada uno de los tringulos como: alturas, transversales, bisectrices y simetrales, (son homlogos y proporcionales).

Postulados de semejanza

1 Postulado AA.

Dos tringulos son semejantes si tienen dos ngulos respectivamente congruentes.

Ejemplo:

A B

C

34o 55o

E

F

D

34o

55o

AB DF

BC FE

AC DE

= = = k Adems

ABC ~ DFE por AA

2 Postulado LLL.

Dos tringulos son semejantes si tienen sus tres lados respectivamente proporcionales.

Ejemplo:

ABC ~ FDE por LLL

A B

C

4

E

F

D

5

6

12 8

10

Adems BAC=DFE, CBA=EDF y ACB=FED

3 Postulado LAL.

Dos tringulos son semejantes si tienen dos lados respectivamente proporcionales y el ngulo comprendido entre ellos congruente.

Ejemplo:

A B

C

4

E

F

D

5 12

15

57

57

ABC ~ FED por LAL

Adems BAC=DFE y CBA=FED

4 Postulado: LLA>

Dos tringulos son semejantes si tienen dos lados respectivamente

proporcionales, y el ngulo opuesto al mayor de esos lados, congruente.

16 8 14

28

ABC ~ DEF por LLA>

B

C

D E

F Ejemplo:

A

3

C

D

F

E

A

B

L1

L2

L3

Teorema de Thales

Sean L1 // L2 // L3, entonces:

Si tres o ms rectas paralelas son intersectadas por dos transversales, los segmentos determinados por las paralelas son proporcionales. Este teorema tiene tres formas de presentarse:

AB BC

DE EF

= BC AC

EF DF

= AB AC

DE DF

=

a) Forma de Escalera:

T S

"Si tres o ms rectas paralelas son intersecadas

por dos transversales, los segmentos de las

transversales determinados por las paralelas, son

proporcionales

En el dibujo: Si L1 // L2 // L3

L1

L2

L3

, T y S transversales,

los segmentos a, b, c y d son proporcionales

Es decir:

a a

b

b =

c c

d d

DE ACUERDO?

Forma de A o Teorema Particular de Thales:

Sean L1 // L2, entonces:

A

O

C

D B

L1

L2

OA AB

OC CD

= OA OB

OC OD

=

OA AC

OB BD

= OC AC

OD BD

=

AB OB

CD OD

=

Sean L1 // L2, entonces:

L1

L2

A

C

B

O

D

AO OD

BO OC

= AB CD

AO OD

= AB CD

BO OC

=

Forma de Reloj de Arena:

L1

L2

L3

T

S

8

24

x

15

Un ejemplo:

En la figura L1 // L2 // L3 , T y S transversales, calcula la medida del

trazo x

Ordenamos los datos en la proporcin, de acuerdo al teorema de Thales

Es decir: 8 24 =

X 15 Y resolvemos la proporcin

24 x = 8 15

X =8 15 24

X = 5

Fcil

Otro ejemplo:

en la figura L1 // L2 // L3 , T y S son transversales, calcula x y el

trazo CD

Formamos la proporcin

3 2 =

x+4 x+1

Resolvemos la proporcin

3(x + 1) = 2(x + 4) 3x + 3 = 2x + 8 3x - 2x= 8 - 3

X=5

L1

L2

L3

T

S

x+4

x+1

3 2

C

D

Luego, como CD = x + 4

CD= 5 + 4 = 9

4

Y nuevamente pensando en la pirmide.. TRINGULOS DE THALES

Dos tringulos se dicen de Thales o que estn en posicin de Thales, cuando: Tienen un ngulo comn y los lados opuestos a dicho ngulo son paralelos.

S (sombra)

H(altura de la pirmide)

s (sombra)

h (altura de bastn)

Podemos ver esto si trasladamos el tringulo formado por el bastn, su sombra y los rayos solares hacia el formado por la pirmide

Tringulos de Thales

En dos tringulos de Thales, sus lados, tienen

la misma razn de semejanza

B C

A

D E

De acuerdo a esto, en la figura BC// ED, entonces, con los lados de los tringulos AED y ABC ocurre:

AE

AB =

ED

O tambin

AE

ED = AB

BC

BC

A esta forma de tomar los trazos, se le llama la doble

L

Aplicaciones de esta idea

Calcula la altura del siguiente edificio

x

5

3 12

Escribimos la proporcin

3

5 =

15 x

Y resolvemos la proporcin

3 x = 5 15

x = 75 3

X = 25

Por que 3+12=15

Otro ejercicio

En el tringulo ABC, DE//BC , calcule x y el trazo AE

A B

C

x+3 x

8

12 D

E

Formamos la proporcin

8

X+3

= 12 2x+3

Resolvemos la proporcin

Por que x+3+x =

2x+3

8(2x + 3) = 12( x + 3)

16x + 24 = 12x + 36 16x 12x = 36

24 4x = 12

X = 12 =

3 4

Por lo tanto, si AE = x + 3 = 3 + 3 = 6

Ejemplos:

1. En la figura, L1 // L2. Determinar el valor del trazo AC.

A

O

C

D B

L1

L2

5

7

36

Solucin:

Aplicando el Teorema particular de Thales o A:

OA AC

OB BD

= 5 AC

12 36

= AC = 15

2. En la figura, L1 // L2. Determinar el trazo OD en funcin de x e y.

Solucin: Aplicando la forma de reloj de arena del Teorema de Thales:

L1

L2

A

C

B

O

D

x + y

2y

2x

AB CD

AO OD

= x+y 2x

2y OD

= 4xy x+y

OD =