CONGRUENCIA Y SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS

Profesor: Francisco Emilio Díaz Vega

Definición Sea una correspondencia entre los vértices de dos triángulos. Si los pares de lados correspondientes son congruentes, y los pares de ángulos correspondientes son congruentes , entonces la correspondencia se llama una congruencia entre los dos triángulos. Simbólicamente :

Congruencia de triángulos

Teorema sobre congruencia de triángulos Teorema L. A. L. (Lado – Ángulo – Lado) Toda correspondencia L. A. L. es una congruencia. Es decir, si dos lados de un triángulo y el ángulo comprendido por dichos lados, son congruentes respectivamente a dos lados y el ángulo comprendido por dichos lados de un segundo triángulo, entonces los triángulos son congruentes.

Si , entonces

Teorema A. L. A. (Ángulo – Lado - Ángulo) Toda correspondencia A. L. A. es una congruencia. Es decir, si dos ángulos de un triángulo y el lado comprendido por dichos ángulos son congruentes respectivamente a dos ángulos y al lado comprendido por dichos ángulos de un segundo triángulo, entonces los triángulos son congruentes.

Teoremas sobre congruencia de triángulos

Si , entonces

Teorema L. L. L. (Lado – Lado - Lado)Toda correspondencia L. L .L. es una congruencia. Es decir, si los tres lados de un triángulo son congruentes respectivamente a los tres lados de un segundo triángulo, entonces los triángulos son congruentes.

Teoremas sobre congruencia de triángulos

Si , entonces

Ejemplo En la figura se tiene y se triseca en y demuestre que

Para este ejemplo es necesario recordar que: En todo triángulo, ángulos opuestos a lados congruentes son congruentes, y viceversa.

¿Cuáles son las hipótesis del ejercicio? ¿y la tesis?

¿Qué significa que se triseca en y ? ¿Qué plan se puede idear para obtener la

tesis?

Hipótesis: y se triseca en y .Tesis: .

Afirmación Justificación1. se triseca en y 2. 3. 4. 5. 6. 7.

1. Hipótesis2. Definición de trisección de segmentos. 3. Hipótesis4. En todo triángulo, los ángulos opuestos a lados congruentes son congruentes. 5. Por teorema L.A.L6. Definición de congruencia de triángulos.7. En todo triángulo, ángulos opuestos a lados congruentes son congruentes

Teorema de Tales“Tres o más rectas paralelas determinan sobre

dos o más rectas secantes segmentos proporcionales”, es decir si en la figura adjunta son rectas secantes, entonces se cumple que:

1)

2)

3)

Ejemplo En la figura, son rectas secantes . Determine el valor de SoluciónDado que rectas paralelas rectas secantes ,aplicando el teorema de tales se obtiene:

Semejanza de triángulosDefinición :Sea dada una correspondencia entre dos triángulos. Si los ángulos correspondientes son congruentes y los lados correspondientes son proporcionales, entonces la correspondencia se llama una semejanza y decimos que los triángulos son semejantesSimbólicamente: 

TEOREMAS FUNDAMENTALES DE LA SEMEJANZA1. EL TEOREMA DE SEMEJANZA ÁNGULO –ÁNGULO- ÁNGULO (AAA)

Corolario: sea dada una correspondencia entre dos triángulos. Si dos pares de ángulos correspondientes son congruentes , entonces la correspondencia es una semejanza (corolario AA)

Sea dada una correspondencia entre dos triángulos. Si los Ángulos correspondientes son congruentes, entonces la correspondencia es una semejanza Simbólicamente:

1II. EL TEOREMA DE SEMEJANZA LADO –ÁNGULO- LADO (LAL)

Sea dada una correspondencia entre dos triángulos . Si dos pares de lados correspondientes son proporcionales y los ángulos comprendidos por dichos lados son congruentes, entonces la correspondencia es una semejanzaSimbólicamente:

1I. EL TEOREMA DE SEMEJANZA LADO –LADO- LADO (LLL)Sea dada una correspondencia entre dos triángulos. Si los lados correspondientes son proporcionales, entonces la correspondencia es una semejanza.

Simbólicamente: 

EJEMPLO:

  Afirmaciones Razones1 secantes Datos2 Alternos internos 3 Por ser opuestos por el vértice4 D OAA’ ~ D OBB’ Corolario AA

Si secantes que se cortan en O. Demuestra que D OAA’ ~ D OBB’.

Ejemplo En la figura, y . Encuentre el valor de e SoluciónComo es secante a y se tiene por ser ángulos correspondientes, y de forma análoga se obtiene . Al aplicar el teorema de semejanza AAA resulta de lo cual se deducen las siguientes proporciones

Ejemplo : En la Figura se dan algunas distancias medidas en metros. Utilizando los teoremas de semejanza, calcule la altura del árbol.

Solución: los dos triángulos rectángulos de la figura son semejantes, entonces :

TEOREMA FUNDAMENTAL DE LA PROPORCIONALIDAD :Si una recta paralela a un lado de un triángulo interseca en puntos distintos a los otros dos lados, entonces determina sobre ellos segmentos que son proporcionales a dichos lados.TEOREMA DE LA BASE MEDIA:Si por el punto medio de uno de los lados de un triángulo se traza una recta paralela a un segundo lado, esta recta corta en su punto medio al tercer lado, la longitud del segmento que se determina es igual a la mitad de la longitud del lado al cual es paralela

Ejemplo Para el Hallar SoluciónComo y , es punto medio de y lo es de De esto y al aplicar teorema de la base media resulta

Por tanto,