Semana 4 completo

1

Centro Preuniversitario de la UNS S-04 Ingreso Directo

x

yP( )x ;y

o o

r

xo

yo

'

Se define:

o

o

o

o

x

yTan

r

xCos

r

ySen

o

o

o

o

y

rCsc

x

rSec

y

xCot

UNIVERSIDAD NACIONAL DEL SANTA

CEPUNS Ciclo 2015-I

TRIGONOMETRÍA “F.T. de Ángulos Especiales” Lic.. Rodolfo Carrillo V. Edgar Fernández C

Objetivos:

Discrimar información relevante, sintetizar y construir conocimientos para

resolver problemas con funciones trigonométricas de ángulos especiales.

Calcular el valor de las razones trigonométricas de un ángulo en posición

Normal, aplicando definiciones, propiedades y criterios vistos en clase.

Definiciones Previas:

I. ÁNGULO EN POSICIÓN NORMAL Llamado también en posición canónica o estándar. Es aquél ángulo trigonométrico cuyo vértice coincide con el origen del sistema cartesiano y su lado inicial coincide con el eje "x" positivo. Cuando un ángulo, está en posición normal, el lado final puede estar en uno de los cuadrantes, en cuyo caso se dice que éste pertenece a tal cuadrante. Del gráfico:

* : es un ángulo en posición normal

*

* β : Es un ángulo en posición normal

*

Definición de las Razones

Trigonométricas:

Para determinar el valor de las R.T. de un ángulo en posición normal, tomaremos un punto perteneciente a su lado final.

Lado Final

Lado InicialVértice

(+ )

x

y

0 ; IIC

Lado Final

Lado InicialVértice

(-)

x

y

0 ; IIIC

x

yP( )x ;y

o o

r

xo

yo

'

Se define:

o

o

o

o

x

yTan

r

xCos

r

ySen

o

o

o

o

y

rCsc

x

rSec

y

xCot

Semana Nº 04

Lic.. Rodolfo Carrillo V. Edgar Fernández C Trigonometría.

2


* * α´: se denomina ángulo de referencia

Signos de las R.T. en los cuiadrantes

Dependiendo del cuadrante al que pertenezca un ángulo en posición normal, sus R.T. pueden ser positivas o negativas. Es así como se obtiene el cuadro adjunto

Propiedad:

Si es un ángulo en posición normal positivo y menor que una vuelta entonces se cumple:

Si I 0 < < 90º

Si II 90º< <180º

Si III 180º < < 270º

Si IV 270º < < 360º

Ángulos Cuadrantales

Son ángulos en posición normal, cuyo lado final

coincide con cualquiera de los semiejes del

sistema cartesiano. Los ángulos cuadrantales no

pertenecen a cuadrante alguno, simplemente son

ángulos frontera.

Forma General

< Cuadrantal = 90º.k ; Zk

También

<Cuadrantal =2

k ; Zk

Observación: para determinar si un ángulo es

cuadrantal, se divide entre 90º ó .2

rad según

corresponda; si el resultado de la división es un

número entero, significa que dicho < es cuadrantal.

Razones Trigonométricas de Ángulos

Cuadrantales

Nota: N.D. no definido

Ángulos Coterminales:

Son aquellos ángulos trigonométricos que poseen el mismo vértice, el mismo lado inicial y final.

Ejemplo:

x

yP( )x ;y

o o

r

xo

yo

'

Se define:

o

o

o

o

x

yTan

r

xCos

r

ySen

o

o

o

o

y

rCsc

x

rSec

y

xCot

2o

2o

yxr

0º 90º 180º 270º 360º

SEN 0 1 0 -1 0

COS 1 0 -1 0 1

TAN 0 ND 0 ND 0

COT ND 0 ND 0 ND

SEC 1 ND -1 ND 1

CSC ND 1 ND -1 ND

Vértice

Lado

inicial

Lado

final

i) ii)

P( ; )x xo o

x

y


3


4

15

1

Se tiene que:

* α y : son coterminales * Ф y β: son coterminales (están en P. N.)

Propiedades:

Si α y son coterminales se cumple que:

Observacion: en forma practica para determinar

si dos angulos son coterminales:

Restamos dichos angulos , dividimos entre 360º o

2rad. y si el resultado es un numero entero ,

entonces los angulos son coterminales.

R.T. de Ángulos Negativos:

Sen (- ) = - sen ; Cos (- ) = cos

Tg (- ) = - tg ; Ctg (- ) = - Ctg

Sec (- ) = Sec ; Csc (- )= - Csc

¡Muy importante!

PROBLEMA RESUELTOS

1) Si “b” es un ángulo de 4to cuadrante y

24cosb

25 , Halle:

V 5senb 6tgb 12secb

A) 12,85 B) 12,15 C) 10,35 D) 9,35 E) 8,35

RESOLUCIÓN

24cosb ;

25 b 4to C.

7senb

25

7tgb

24

Se pide:

7 7 25V 5 6 12

25 24 24

V 9,35 RPTA.: D

2) Si: 2 1cos , IVC

16

Calcule: sec cscM

1 ctg

A) 15

4 B) 1

4 C) 15

4

D) 1

4 E) 4

RESOLUCIÓN

1

cos4

IVC

sec csc sec cscM M

1 ctg 1 ctg

Vértice

Lado

inicial

Lado

final

i) ii)

P( ; )x xo o

x

y

I. II.

- = 360º n ; n Z R.T. ( ) = R.T.( )

I. II.

- = 360º n ; n Z R.T. ( ) = R.T.( )

Y

X

Q(–b;a )

P(a ;b)

R(–a ; b)–

M(b;–a)

+ -

257

b

24


4


4 4

1 15M1

115

14 1

5M

11

5

M 4

RPTA.: E

3) Halle: ctg

A) 5

4 B) 5

4 C) 3

4

D) 7

4 E) 1

4

RESOLUCIÓN

xCtg

y

7Ctg

4 RPTA.: D

4) Las medidas de dos ángulos coterminales son

proporcionales a los número 5 y 2. Además la

medida del mayor ellos está comprendida entre

1000º y 1700º; halle la suma de medidas de

dichos ángulos.

A) 1880º B) 1860º C) 1680º D) 1660º E) 1200º

RESOLUCIÓN

Sean “” y “ ” ( > ) las medidas de los 2

ángulos coterminales, luego:

360º n ….......(i);

"n"

5

2

… (ii)

(ii) en (i):

5k - 2k = 360º x n k = 120ºx n

”k” en (ii): ...(iii)

* 1000º < < 1700º 1000º<600º

x n < 1700º n= 2

”n” en (iii) :

+ = 1680º

RPTA.: C

PROBLEMA DE CLASE

1) Si ctg = -4 , IV C. calcular :

213

17

cossenR

a) 0 b)1 c) -1 d) 2 e) -2

2º EXAMEN SUMATIVO 2010 - III

2) El producto de cinco razones trigonométricas

de un ángulo que pertenece al segundo

cuadrante es dos. Calcular la suma de su seno y

coseno.

a) 5

53 b) 5

5 c)

2

31 d) 2

13 e) 5

53

3) Del grafico siguiente; hallar tg + tg

37º

37º

(-7;4)x y

4

4

4 3

4

x

y


5


a) 1 b)2 c) 3 d) 2/3 e) 4

EXAMEN PREFERENTE 2012 - I

4) Sí , y

√ (

) ; calcular

√ ( ) (

)

a)-1 b)0 c) √

d) 1 e) 2

5) Si P(a,-2a) es punto del lado terminal del ángulo

en posición normal calcular el valor de:

( )[ ]

a)- √ b) – 0,5 √ c) √

d) 0,5 √ e) 2√

6) En la figura mostrada, AN = 3NB y las

coordenadas del punto N son (a,0). Si el valor

del área del triángulo OAB es a2 , halla Tg

a)-1 b)0 c) √

d) 1 e) 2

7) El lado final de un ángulo en posición normal,

cuya medida es pasa por el punto (3,-7).

Calcular: senE cos58

a)-1 b)0 c) √

d) 1 e) 2

8) Si es la medida de un ángulo en posición

normal, además:

03

2cos;0;0 tgtgsensen

Calcular: SecctgF .5

A) -1 B) -2 C) -½ D) ½ E) 1

9) Si:

22

3;cos

4

1

2

1

2

12

senCos

Calcular: cos16 ctgF

A) 773 B) 767 C) 761

D) 754 E) 727

10) Determinar el signo en cada cuadrante de:

sen

senE

cos.

cos1

A) ++++ B) +-++ C) +-+- D) -+-+ E) --++

11) En la figura mostrada si OA = AB, B(1;7) .

Calcular ctg

A) - 4/3 B) - ¾ C) - 1/7 D) -7 E) 25

12) Sean A(-2; -1) , B(4;7) y C(6;-3) los vértices de

un triángulo ABC y K un punto perteneciente al

lado final de una ángulo en posición normal . Si K Es circuncentro del triángulo ABC .calcula

11Tg

A) 4/7 B) 3/4 C) 4/3 D) 2 E) 6

13) Calcular dos ángulos coterminales en donde el

mayor es el séxtuplo del menor y su suma está comprendido entre 1000º y 1050º. Indique el ángulo mayor.


6


A) 630º B) 680º C) 700º D) 800º E) 864º

14) De la figura mostrada; calcular:

F = Sec.Csc

A) – 5/2 B) – 3/2 C) -1 D) ½ E) 3/2

15) De la figura mostrada calcular:

tg

tgE

9

A) – 49 B) -9 C) 1 D) 9 E) 49

16) De la figura mostrada, calcular:

F= 3sec2 - tg

A) 7 B) 9 C) 11 D) 13 E) 15

17) De la figura mostrada, calcular: F=

Ctg.ctg

A) -1 B) -2 C) -3 D) -4 E) -6

18) De la figura mostrada si P(a;-b), calcular

el valor de: E = tg.tg

A)-1 B) 2

ab C)

2

ba D) 1 E)

2

ab

19) De la figura mostrada, simplifique:

)().cos(.2

CtgsenM

A) sen.2 B) Cos.2 C) sen.2

2


7


D) Cos.2

2 E) Tg.2

20) En la figura mostrada, calcule

TgSecTg 2

A) -1 B) 1 C) 3/2 D) 3 E) 7

PREGUNTAS DE REPASO

1. Si es un ángulo en posición normal, se cumple

que

3 sen + 4 cos = 0, I sen I + Sen = 0.

Calcule

Ctg

Sec

Sec

Ctg

CtgA

A) -11/4 B) -7/4 C) -3/2 D) -3/4 E) 5/4

2. Si es un ángulo relativo del cuarto

cuadrante. Hallar el signo de las

expresiones:

I. cos(- III.

A) (–), (–), (–) B) (–), (–), (+)

C) (–), (+), (–) D)(+), (–), (–)

E) (+), (+), (–)

3. La expresión :

√ √ Es real, hallar el valor de:

u d ‘‘ ’’ á gul cu dr t l a) 1 b) -1 c) -2

d) 2 e) 3

4. i ‘‘ ’’ u número entero positivo,

calcule el valor de:

[( )

]

c [( ) ]

a) √ b) √ c) √

d) √ e) √

5. Q es un punto perteneciente a la circunferencia mostrada, cuya ordenada

es máxima, halle √ . Siendo un ángulo en posición normal, cuyo lado final pasa por el punto Q. Además AB=3BC.

x

y

A

B

C

(x+5)2+(y+12)2=169

a)16 b) 19 c) 14

d) √ e) -15

6. Si:

⏟

y . Hallar el valor de:

√

√ ( c )

a) 0 b) 1 c) -1 d) -1 e) -2

7. Si ⟨ ⟩ y ⟨ ⟩, Determine el signo de P, Q y R

sen2

sec

2


8


c( ) t( )

( ) c

c c c a)(-),(-),(-) b)(-),(+),(+) c) (+),(+),(+) d)(-),(-),(+) e)(+),(-),(-)

8. Del grafico mostrado, calcular el valor

de: | c | t| |

x

y

(2Tan ; -Sec )

a) √ b) √ c)√

d) √ e) 1

9. Indicar el valor de verdad de las siguientes proposiciones:

I.

| | ||

II.

| | ||

III.

| | ||

a) VVV b) VFF c) FVV d) FFF e) N.A

10. Del gráfico , halle

x

y

(1;a)

y=x2

a) 1 b) √ c) 2

d) √

e) √

11. Si es un ángulo agudo , hallar todos los

v l r d ‘‘ ’’ p r qu l xpr ió :

√ √ Resulte un número real

a) [ ] b)[ ⟩ c) [ ] d) [ ] e)[ ⟩

12. Si: . ¿A que es igual?

√

√

a) b) c) 3/2 d) 5/2 e) 1/2

13. En el grafico mostrado el área del

triángulo AOB es igual al área del triángulo DCB. Hallar el valor de:

c

y

x

A

B

C

D

O

a) 1/2 b) 1/3 c) √

d) √ e) √

14. Sabiendo que cos = 4

1 , 270º < < 360º

Entonces el valor de la expresión

CtgCscSec

1

, es:

a) 0,25 b)0,50 c) 2,5 d) 4,00 e) 4,50

2º EXAMEN SUMATIVO 2009 - III

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