Semana 1
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Geometr´ ıa anal´ ıtica Primera semana, del 4 al 8 de mayo de 2015. Vectores libres. Usando la noci´ on intuitiva de segmento de recta dirigido, hemos in- troducido la idea de vector libre en el plano, como un segmento de recta dirigido: ✲ ✘ ✘ ✘ ✿ ❳ ❳ ❳ ③ ❅ ❅ ❅ ❘ ✟ ✟ ✟ ✙ ✘ ✘ ✘ ✿ ❄ ✠ ✂ ✂ ✂ ✂ ✂ ✂ ✂✌ ❇ ❇ ❇ ❇▼ ✁ ✁ ✁ ✁ ✁ ✕ ❆ ❆ ❆ ❆ ❆ ❑ ❆ ❆ ❆ ❆ ❆ ❯ ❅ ❅ ❘ ✛ ❅ ❅ ❅ ■ ✁ ✁ ✁ ✁ ✁ ✕ ❆ ❆ ❆ ❆ ❆ ❯ Igualdad de vectores. Dos vectores libres AB y CD son iguales, denotado AB = CD, si al unir sus extremos iniciales con un segmento de recta (dirigido) y sus extremos finales con un segmento de recta (dirigido), se forma un paralelogramo: • • ✘ ✘ ✘ ✘ ✓ ✓ ✼ ✘ ✘ ✘ ✘ ✓ ✓ ✼ AB CD Producto de un escalar por un vector. Se motiv´ o la definici´ on de multiplicaci´ on de un escalar (un n ´ umero real) por un vector libre: ✘ ✘ ✘ ✘ ✿ ✘ ✘ ✘ ✘ ✘ ✘ ✘ ✿ AB λ · AB Vectores paralelos. Dos vectores AB y CD son paralelos si alguno es m ´ ultiplo escalar del otro, es decir, si existe λ ∈ R tal que AB = λ · CD o si existe γ ∈ R tal que CD = γ · AB. ✓ ✓ ✼ ✓ ✓ ✓ ✓ ✼ AB CD 1
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Vectores libres y sus propiedades (ejercicios).
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Geometrıa analıticaPrimera semana, del 4 al 8 de mayo de 2015.
Vectores libres. Usando la nocion intuitiva de segmento de recta dirigido, hemos in-troducido la idea de vector libre en el plano, como un segmento de recta dirigido:
-
���:XXXz@@@R
����
���:
?�
��
�������
BBBBM
������
AAAAAK
AAAAAU
@@R
�@@@I
������
AAAAAU
Igualdad de vectores. Dos vectores libres AB y CD son iguales, denotado
AB = CD,
si al unir sus extremos iniciales con un segmento de recta (dirigido) y sus extremosfinales con un segmento de recta (dirigido), se forma un paralelogramo:
••
����
��7���
�
���7
ABCD
Producto de un escalar por un vector. Se motivo la definicion de multiplicacion deun escalar (un numero real) por un vector libre:
����:
������
�:AB
λ ·AB
Vectores paralelos. Dos vectoresAB yCD son paralelos si alguno es multiplo escalardel otro, es decir, si existe λ ∈ R tal que AB = λ · CD o si existe γ ∈ R tal queCD = γ ·AB.
��7
����7
AB CD
1
Suma de vectores. La suma de vectores se hace con la regla del paralelogramos o ladel triangulo:
•����:�
�7
AB + CD���
�
���
CD
AB
*
•��7
AB + CD���
�:CD
AB
*
Vectores anclados. Despues, vimos la necesidad de anclar los vectores del plano enun punto elegido arbitrariamente, al que se llama el origen: ası, todos los vectores queestamos considerando ahora tienen su extremo inicial en este origen:
•�����
�:������������
-@@@@R
BBBBBM
@@@
@@@@I
HHH
HY
����
?
Observamos entonces que la suma de vectores anclados es un vector anclado en elmismo origen y lo mismo sucede para el producto de un escalar por un vector anclado.A partir de ahora, todos los vectores se consideran anclados en un origen (vector ce-ro) elegido arbitrariamente. Ası, todos los vectores anclados tienen el mismo extremoinicial, por lo que su extremo final los determina. Abreviamos la notacion OA = Asobreentendiendo el extremo inicial O.
Bases ordenadas. Una base ordenada B = {A,B} del plano vectorial lo forman dosvectores no paralelos:
◦0���
�:��7
A
B
Combinaciones lineales. Mostramos que, dada una base ordenada B = {A,B}, cual-quier otro vector C se puede escribir como combinacion lineal de los vectores de labase, es decir, existen escalares a, b ∈ R tales que:
C = aA+ bB.
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Coordenadas de un vector con respecto a una base ordenada. Dada una base or-denada B = {A,B}, y un vector arbitrario C escrito como combinacion lineal de losvectores de la base dada:
C = aA+ bB.
se dejo como un ejercicio el probar que los escalares a, b anteriores son unicos, es decir,si se tiene tambien que
C = a′A+ b′B,
entonces a = a′ y b = b′. Usando lo anterior, a los escalares a, b anteriores, quesatisfacen la igualdad (∗), se les conoce como las coordenadas del vector C en la baseB = {A,B} y usaremos la notacion
C = aA+ bB = [a, b]B.
Ejercicios:
1. Muestre que la operacion de suma de vectores anclados satisface las propiedadessiguientes. Ademas ilustre cada propiedad, y su demostracion, con un dibujoadecuado. En lo que sigue, A,B,C son vectores del plano:
(i) A+ (B + C) = (A+B + C). (Asociatividad de la suma de vectores).
(ii) A+B = B +A. (Conmutatividad de la suma de vectores).
(iii) A+ 0 = A. (El vector 0 es neutro aditivo).
(iv) Para cada vector A existe un vector D tal que A +D = 0. (Existencia deinversos aditivos).
2. Muestre que la operacion de producto de vectores anclados por escalares satisfa-ce las propiedades siguientes. Ademas ilustre cada propiedad, y su demostracion,con un dibujo adecuado. En lo que sigue, A,B son vectores del plano y a, b ∈ Rson escalares:
(i) a(A+B) = aA+ aB.
(ii) (a+ b)A = aA+ bA.
(iii) (ab)A = a(bA).
(iv) 1A = A.
3. Demuestre que el inverso aditivo de cualquier vector A es unico.
4. Suponga que B = {A,B} es una base de los vectores del plano:
(i) Demuestre que el vector cero 0 tiene como unica forma de escribirse, comocombinacion lineal en terminos de la base B, la siguiente:
0 = 0A+ 0B
es decir, sus coordenadas son 0 = [0, 0]B.
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(ii) Demuestre que cualquier vector C del plano se puede escribir en formaunica como combinacion lineal de la base:
C = aA+ bB.
(iii) Concluya que, dada una base B, las coordenadas de cualquier vector C enterminos de esa base estan bien definidas.
(iv) Demuestre que las coordenadas del inverso aditivo de cualquier vectorA =[a, b]B son −A = [−a,−b]B.
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