Semana 1

1

Centro Preuniversitario de la UNS S-01 Ingreso Directo

Lado Inicial

Lado Terminal

0

A

B

A

B

0

UNIVERSIDAD NACIONAL DEL SANTA

CEPUNS Ciclo 2013-II

TRIGONOMETRÍA “Ángulo Trigonométrico”

Ángulo Trigonométrico: al referirse a ángulo trigonométrico debemos tener en cuenta el significado de

ángulo geométrico y observar las características de ambos.

Ángulo

Geometría Plana Trigonometría Plana

Definición

Abertura determinada por dos rayos a

partir de un mismo punto.

Abertura que se genera por el movimiento

de rotación de un rayo alrededor de su

origen, desde una posición inicial (lado

inicial) hasta una posición final (lado final)

Características

Son estáticos

No tienen sentido de giro, por lo

tanto no hay ángulos negativos.

Están limitados

( º360 ricoTrigonomét º0 águlo )

Son móviles

Su sentido de giro está definido:

Los ángulos positivos tienen

sentido antihorario ().

Los ángulos negativos tienen

sentido horario ().

Su magnitud no tiene límites.

Nota: Para poder sumar o restar ángulos trigonométricos, estos deben estar orientados en el mismo

sentido. Si esto no ocurriese, se recomienda cambiar la rotación así:

- - 10º

Por ejemplo:

10º -

Semana Nº 1

- - 10º

Por ejemplo:

10º -

Lic. Rodolfo Carrillo Velásquez WWW.lobo-de-fama.blogspot.com Trigonometría.

2


Sistemas de medición angular:

Para cualquier magnitud se necesita una unidad de medida, en los ángulos esto dependerá de la manera en

que es dividida la circunferencia. Entre los sistemas más usados tenemos:

Sistema Sexagesimal o Inglés (S): es un sistema de medida angular cuya unidad fundamental es el grado

sexagesimal que equivale a la 360ava parte de la circunferencia.

Equivalencias:

)``(3600º1

)``(601̀

)`(60º1

)(360

1º1

gesimalSegunoSexa

agesimalSegundoSex

gesimalMinutoSexa

esimalGradoSexagv

Debemos tener en cuenta: 0

360060´´´º´´´º

cbacbacba

Ejemplo: 28º30´27´´= 28 + 30´ + 27´´

Sistema Centesimal o Francés (C): es un sistema de medida angular cuya unidad fundamental es el grado

centesimal que equivale a la 400ava parte de la circunferencia.

Equivalencias:

)(100001

)(1001

)(min1001

)(400

11

tesimalsegundoCen

tesimalSegundoCen

malutoCentesi

simalGradoCentev

sg

sm

mg

g

Debemos tener en cuenta: g

cbascmbgascmbga

10000100

Ejemplo: 28g30m27s= 28g + 30m + 27s

Sistema Radial o Circular (rad.): es el sistema de medida angular cuya unidad de medida es el radian (1 rad.)

Equivalencias:

Observación: 1 rad = 57º17´45`` 1rad > 1º > 1g

La medida de un ángulo en

radianes viene expresado por:

r

Aproximaciones de

23

7

22

1416,3


3


RELACIÓN ENTRE LOS SISTEMAS DE MEDIDAS ANGULARES

Realizando la comparación entre los tres sistemas estudiados, aplicando proporcionalidad legamos a la

siguiente conclusión:

arad

RradCSg

g

2400º360

º

crad

RradCSg

g

200º180

º

krad

RradCSg

g

20

10º9

º

También una equivalencia de esta última relación es:

20;10;9

kRkCkS

109

CS

;

RS 180

;

RC 200

109

CS

;

RS 180

;

RC 200

PROBLEMA S RESUELTOS

1. Halle la medida en radianes, de aquél ángulo tal

que la diferencia de su número de segundos

sexagesimales y de su número de minutos

centesimales sea 15700.

A)

2

B) 2 C) 40

D) 40 E)

10

RESOLUCIÓN Piden: radR

Condición:

Número Número Segundos Minutos = 15700

Sexg. Cent. 3600 S 100 C = 15700 39(9n) (10n) = 157

314n = 157

1n R

2 40

rad40

RPTA.: C

2. Sabiendo que “S” y “R” son los números de

grados sexagesimales y radianes de un

ángulo, donde:

OBSERVACIÓN RELACIÓN DE MINUTOS:

. 5027

mM . M: # MINUTOS SEXAGESIMALES

m: # MINUTOS CENTESIMALES RELACIÓN DE SEGUNDOS:

. 25081

ba . a: # SEGUNDOS SEXAGESIMALES

b: # SEGUNDOS CENTESIMALES

Sexagesimales Centesimales

# de grados S C

# de minutos 60 S 100 C

# de segundo 360 S 10000 C

S = 9n Sabemos C = 10n

R = n

20


4


²S² R²179R

181

Halle “R”. A) 5 B) 3 C) 4 D) 1 E) 2 RESOLUCIÓN

S = 180 K C = 200 K R = K

2² 180k k ²

179( k)181

²k² 180 ² ²k²179 k

181

²k² 181 179179 k

181

k = 1

1 1k R 1RPTA.: A

3. Halle “C” a partir de la ecuación:

6 78 5 6 7S C 20

R 4 S C R9 10

,

Siendo “S”, “C” y “R” lo convencional para un

mismo ángulo.

A) 20 B) 25 C) 40 D) 50 E) 10 RESOLUCIÓN

Condición:

5 6 7 5 6 7

20K 20K 20K

S C 20S C R R 4 S C R

9 10

20k (S5+C6R7) = 4 (S5 + C6 R7)

k = 1

5

C 40 RPTA.: C

4. A partir del gráfico mostrado, determine la medida del ángulo AOB, si “” toma su

mínimo valor.

A)52g B) 30º C)45g D)45º E) 135º RESOLUCIÓN = ?

g

g 1010 ² 10 40 45 9 º

9º

² 10 + 40 = 5

( + 5)² + 15 = 5 ( + 5)² = 20

20 0 = 20 (mínimo)

(45 9)º = (9 45)º = (180 45)º

= 135º = 45º RPTA.: D

5. Se inventan 2 sistemas de medición

angular “x” e “y”, tal que: 25x < > 50g , además 80y < > 90º. Determinar la relación de conversión entre estos 2 sistemas x/y.

A) 3

8 B) 5

8 C) 7

8D) 9

8 E) 11

8

RESOLUCIÓN

1x = 2g 8y = 9º

ºx g

y º g

x

y

x y

1 2 9

8 9 10

1 1

8 5

5 8 Relación de Sistemas

x y x 5

5 8 y 8

RPTA.: B

PROBLEMA DE CLASE

1) Simplificar la expresión:

c s 20RF

3 C S 20R

, donde C, S y R son las medidas de un ángulo en grados sexagesimales, centesimales y radiales respectivamente.

A) 0 B) ½ C) 1 D) 1/3 E)2

o

AB

C D

g

10 ² 10 40 45 9 º

S = 180 K Sabemos C = 200 K =? R = K

45 9 º


5


2) Se crea un nuevo sistema de medición angular, donde su unidad fundamental es el “gradón”

(denotado por 1G). Si un “gradón” equivale a la quinta parte de un ángulo recto. ¿A cuántos gradones equivale 36º?.

A) 2 B)2,5 C)3 D)3,5 E) 4

3) El ángulo de la figura cumple las relaciones C + S = a ..... (1) C – S = 1/a ..... (2) Hallar la medida radial del ángulo.

A) 0,036 B) 0,052 C) 0,068 D) 0,072 E) 0,082

4) Si y representa el número de segundos sexagesimales; x representa el número de segundos centesimales para un mismo ángulo; entonces calcule x cuando la medida del ángulo

es

º9

125

.

A) 200 B) 800 C)1400 D)2400 E)4000 5) La diferencia de los recíprocos de los números

de grados sexagesimales y centesimales de un mismo ángulo es igual a su número de radianes que contiene el ángulo dividido por . ¿Qué

parte del ángulo de una vuelta es dicho ángulo?

A) 1/10 B)1/20 C)1/30 D) 1/60 E)1/80

6) Se ha ideado un nuevo sistema para medir ángulos tal que el valor de cualquier ángulo expresado en este nuevo sistema es equivalente a la tercera parte de la diferencia de la cuarta parte del número del grados sexagesimales y de la quinta parte del número de grados centesimales del mismo ángulo. ¿A cuántos radianes equivalen 10 unidades de este nuevo sistema?.

A) 2B)3 C)4D)5 E)6

7) Si a y b son dos números reales positivos.

Hállese la mayor medida (en radianes) que puede tener un ángulo que cumple:

2 2

2 2

a b a bC S

a b a b

, donde C y S son su medida en grados sexagesimales y grados centesimales respectivamente.

A)

19

B)

190

C)

380

D) 190

E) 380

8) Si se cumple que

'30

'6020

20

º183 FF g

m

g

,

entonces el valor de F es: A) 2 B)4 C) 6 D) 8 E) 10

9) Si 0

00)2( baaag

, determinar el valor de

(b+2a)g en radianes.

A)

30

B)

25

C)

20

D)

18

E)

15

10) Se tienen los ángulos 0

25

º36

g

;

g

ggg zyx

zyx

ººº

; entonces

el valor de es:

A) B)

5

C) 4

D)

3

E) 5

11) La tercera parte del número de grados sexagesimales de un ángulo, excede en 10 a la quinta parte del número de grados centesimales del mismo ángulo. Determinar dicho ángulo en radianes.

A)

6

B)

4

C)

3

D)

2

E)

5

12) Si de acuerdo a lo convencional se cumple que:

S C = R S . Calcular 9 S

A)

30

B)

125

C)

200

D)

180

E) 150

13) En la figura mostrada se tienen las medidas de

los ángulos: = (1 + x - x2)rad ,

= ( x/2 – 2)rad; calcular la medida de , cuando tome su máximo valor. Considere

(1rad = 57º17’44’’, = 3,1416)

A) 188º06’48’’ B)188º08’44’’ C)229º10’42’’ D) 232º12’48’’ E) 245º14’50’’

14) Si se cumple :

222

2

222

11112

RCS

C

RCS

R

RCS

S

RCS

RCS

R

donde S, C y R son las medidas usuales del mismo

ángulo; entonces R es igual a:


6


a) rad

120

b)rad

60

c) rad

40

d) rad

30

e)rad

120

5

(1º EXAMEN SUMATIVO – CEPUNS 2012 III)

PROBLEMA DE REPASO

1) Si: ///0

3351 cba , es el suplemento del

complemento de 25,3925º; entonces el valor

de “a + b + c”, es: A) 3 B)4 C) 5 D) 6 E) 7

2) Siendo S , C y R los números convencionales

para un mismo ángulo; se cumple:

S

SCR

SRCRSC

3

5200180

Calcular el número de grados sexagesimales. A) 9 B)10 C) 18 D) 24 E) 36

3) Siendo S y C los números convencionales para

un mismo ángulo; se cumple:

º

8

3

36C

Srad

g

, calcular el valor de:

F = 129 ( 2S – C ) A) 1200 B)1500 C)2400 D) 3000 E)4800

4) Siendo S y C los números convencionales para un mismo ángulo; se cumple:

Cº =1,9º + Sg , calcular el ángulo en radianes.

A)

4

B)

8

C)

10

D)

20

E) 50

5) Si se cumple que: Ag = Bº, calcular el valor de:

mg AB

BAE

96

'6º9

A)

1010

549 B) 1010

849 C) 10

9 D) 849

1010 E) 549

1010

6) El número de grados sexagesimales de un

cierto ángulo y los 2/3 del número de grados centesimales de otro ángulo están en relación de 9 a 10; además dichos ángulos son suplementarios. Calcular la medida del mayor ángulo.

A)100º B)102º C)104º D)108º E)111º 7) Siendo S , C y R los números convencionales

para un mismo ángulo; Determinar la medida de dicho ángulo, en radianes, si se cumple que: 4S +2C + R = 561,57 ; Considerando que = 3,14.

A)

6

B)

4

C)

3

D)

2

E)

4

3

8) La medida de un ángulo “” está dado por

S º C ’ y la de un ángulo ““ está dado por S g C m . Si la diferencia del número de minutos Centesimales de y el número de minutos Sexagesimales de es 360. Calcular “ “

(S y C son los números convencionales) A) 17º21’24’’ B)17º24’11’’ C)17º24’21’’ D) 18º11’24’’ E) 18º24’11’’

9) Un cierto ángulo mide a minutos sexagesimales y a su vez mide b minutos centesimales.

Calcular el valor de:

50

23

b

aF

A) 0 B)1 C)2 D) 3 E) 4 10) Si: 'º'º'º CDABxyyx ; 90 yx ,

calcular A + B + C + D a) 10 b) 18 c) 15 d) 12 e) 13 11) Si al número de minutos centesimales de un

ángulo se le suma y también se le resta un cierto número x, se obtienen dos cantidades proporcionales a 4 y 3 respectivamente. Si además el ángulo mide 7 segundos centesimales, calcule el valor de x.

A)0,01 B)0,02 C)0,003 D) 0,04 E) 0,2

12) Calcule la medida de un ángulo en radianes, sabiendo que el doble del número de segundos sexagesimales menos 6 veces el número de minutos centesimales de dicho ángulo es igual a 29400.

A)

40

B)

30

C) 20

D)

10

E)

5

13) Calcular la medida de un ángulo en radianes, si

se cumple la siguiente condición:

444555

25

4036RCS

RCS

a) rad

5

4 b) rad

5

2 c) rad

10

3 d) rad

4

5 e)rad

9

2

14) En la siguiente figura, la medida del ángulo

AOB, en radianes, es:

a) 6

b)

36

c)

18

d)

12

e)

22

(2º EXAMEN CEPUNS 2010 III)

Semana 1

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