SEMANA 01 - Cinemática

8/16/2019 SEMANA 01 - Cinemática

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CINEMÁTICA DE UNA PARTÍCULA

FÍSICA 1


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FÍSICA I

TOPICOS DE MATEMÁTICA :DERIVADA E INTEGRAL Y

APLICACIONES EN LA CINEMÁTICA


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Al finalizar la sesión de aprendizaje, el estudiante deriva e

integra funciones polinomiales y aplica el cálculo en hallar la

velocidad y aceleración instantánea, aplicando la definición de

razón de cambio y reglas de derivación, con orden y seguridad

mostrando una buena presentación.

ogros de la sesión


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Definición de derivada

La derivada de una función es la razón de cambio de dichafunción cuando cambia x, es decir, cuánto cambian los valoresde y, cuando x cambia una cierta cantidad.


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Primeros ejemplos

Vamos a mostrar algunos ejemplos ya resueltos de derivadas,con la intención de que ustedes vayan deduciendo unprocedimiento (regla) para resolverlas.

x x f 5)(

5dx

df

3)(

3 x x f 5

62)(

x x f

35)( x x f

2 xdx

df

23 x

dx

df

5

2

dx

df


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Regla para encontrar derivadas

dx

df

) x( f

Sea la función:

La derivada de esta función es:

c xn

1n

dxdf 1

n

cnx


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Derivadas especiales

dx

df

) x( f Sea la función:


c x1

11

dxdf 0cx

cdx

df


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Derivadas especiales

0dx

df

c x f )(

Sea la función:



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Ejemplos de derivadas

dx

df

) x( f

Sea la función:


5 x 3

13

dxdf 215 x


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dx

df

) x( f

Sea la función:


3 x4

14

dxdf 312 x


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dx

df

) x( f

Sea la función:


3

2 x

5

1

15

1

dxdf 5

4

15

2

x


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Derivada de una suma y diferencia de funciones

dx

dh

dx

dg

dx

df

)()()( xh x g x f

Sea la función:

La derivada de la suma o diferencia es:


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Ejemplos

710 xdx

df

675)( 2 x x x f

Sean las funciones:

1651034)( 256 x x x x x f

5201524 45

x x xdx

df


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Ejemplos

Sean las funciones:

1651034)( 256 x x x x x f

5201524 45

x x xdx

df


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DERIVADA DE UN PRODUCTO DE FUNCIONES

Si la función que voy a derivar f(x) es el producto de las funciones g(x)y h(x), existe una regla para encontrar la derivada de esta función.

) x( h ) x( g ) x( f

dx

dh x g xh

dx

dg

dx

df )()(


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Ejercicios propuestos

Resuelve el producto de funciones:

)3)(4()( 2 x x x f

)2)(4()3)(1( 2 x x xdx

df

22283 x x x

383

2

x x


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Ejemplo

Consideremos el siguiente cociente de funciones x xe x f )(

Claramente podemos identificar h(x)=5 x-4 y recordando la regla de lacadena

tenemos que

)5)(45(2 x

dx

df

dxdh xhn

dxdf n 1)(

)45(10 x

4050 x


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Ejemplo

Consideremos el siguiente cociente de funciones x x x f cossin)(


tenemos que

)5)(45(2 x

dx

df

dxdh xhn

dxdf n 1)(

)45(10 x

4050 x


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Derivadas

Si la función que voy a derivar f(x) es una h(x), que forma parte deotra función, existe una regla para encontrar la derivada de esta

función.

)()( xh g x f

dx

dh

dh

dg

dx

df


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Ejemplo

Consideremos el siguiente cociente de funciones2)45()( x x f


tenemos que

)5)(45(2 x

dx

df

dxdh xhn

dxdf n 1)(

)45(10 x

4050 x


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Ejemplo

Consideremos el siguiente cociente de funciones xe x f 2)(


tenemos que

)5)(45(2 x

dx

df

dxdh xhn

dxdf n 1)(

)45(10 x

4050 x


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Ejemplo

Consideremos el siguiente cociente de funciones)2sin()( x x f


tenemos que

)5)(45(2 x

dx

df

dxdh xhn

dxdf n 1)(

)45(10 x

4050 x


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Integrales

1.- x

a dx =

xa+1

a+1 + C, si a -1, a R

2.-

1

x dx = ln x + C

3.- e

x dx = e

x + C

4.- ∫a x =ln

xa

a+ C, si a>0, a 1

5.- sen x dx = – cos x + C

6.- cos x dx = sen x + C

7.- 21

1

dx arcsen x C

x

8.- 21

arctg

1

dx x C

x


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Ejemplo

Consideremos la siguiente función25)( x x f


tenemos que

)5)(45(2 x

dx

df

dxdh xhn

dxdf n 1)(

)45(10 x

4050 x


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Ejemplo

Consideremos la siguiente función x x f 2sin)(


tenemos que

)5)(45(2 x

dx

df

dxdh xhn

dxdf n 1)(

)45(10 x

4050 x


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Ejemplo

Consideremos la siguiente función xe x f x 20)( 2


tenemos que

)5)(45(2 x

dx

df

dxdh xhn

dxdf n 1)(

)45(10 x

4050 x


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Aplicaciones de derivadas en

cinemática:Velocidad y Aceleración.


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Posición


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Desplazamiento


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Velocidad promedio

Velocidad instantánea

Como dr es tangente a la curva, la dirección de v

también es tangente a la curva. La magnitud de v,conocida la rapidez, se obtiene:


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Aceleración promedio


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Aceleración instantánea

Por definición de la derivada, a actúa tangente a lahodógrafa y, en general no es tangente a la trayectoria

del movimiento.


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Para que la partícula siga cualquier trayectoria curva , el

cambio direccional siempre «cambia» el vector develocidad hacia el «interior» o «lado cóncavo» de latrayectoria , y por consiguiente a no puede permanecer tangente a la trayectoria.


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Componentes Rectangulares del Movimiento

Posición Vector:

Módulo o magnitud:


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Velocidad

Vector:

Módulo o magnitud:


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Aceleración

Vector:

Módulo o magnitud:


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Ejemplo 1:La posición de una partícula es r = {(3t3 -2t) i –(4t2 + t) j+(3t2 -2)k} m, donde t está en segundos, determine la

magnitud de la velocidad y aceleración de la partículacuando t = 2 s.


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Material elaborado para uso exclusivo de las sesiones de

aprendizaje del curso de Física 1 , semestre 2016 –

I.Universidad Privada del Norte.

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