El paraíso prohibido: Una nueva crisis de la razónPresentado por : Hernán Gonzales Barreda

• En 1900 parecía que los matemáticos habían dado a su disciplina la estructura que Euclides había delineado en sus elementos.

• Hilbert reconoció que el método axiomático necesita de términos no definidos y de axiomas acerca de esos términos.

• Hilbert recalcaba , el marco abstracto y puramente lógico de la geometría euclídea no requiere que punto , recta y plano estén atados a la interpretación prevista. En cuanto a los axiomas, se supone lo menos posible a fin de deducir lo mas posible.

• En 1900, los matemáticos admitían que no podían seguir confiando en la verdad física de las matemáticas para estar seguros de su consistencia.

• En 1904, un destacado matemático, Alfred Pringsheim (1850-1914), podía decir con razón, que la verdad que las matemáticas buscan no es ni mas ni menos que la consistencia.

• La nueva teoría que dio lugar a contradicciones y que abrió los ojos de los matemáticos a otras contradicciones en las mas viejas ramas de su ciencia fue la teoría de los conjuntos infinitos.

• George Cantor(1845-1918)

• El estudio de estos problemas le condujo a considerar la teoría de conjuntos de números y en particular a introducir números para conjuntos infinitos.

• tales :

El conjunto de todos los números impares El conjuntos de todos los números racionales El conjunto de todos los números reales

• Cantor rompió con una larga tradición. Desde Aristóteles, los matemáticos habían establecido la distinción entre un infinito actual de objetos y un infinito potencial .

• No obstante, la mayor parte de los matemáticos como Galileo, Leibniz, Cauchy, Gauss y otros. Fueron muy claros al distinguir entre conjuntos potencialmente infinitos y conjuntos con un infinito actual.

• Descartes decía : «El infinito es reconocible, pero no comprensible»

• Gauss escribía a Schumacher en 1831: «En matemáticas nunca se pueden utilizar las magnitudes infinitas como algo final o definitivo, el infinito es solamente una manera de hablar, para referirnos a un límite al que ciertas razones pueden aproximarse tanto como se desee cuando a otras se les permite crecer indefinidamente»

• Cantor introdujo los infinitos actuales, tuvo que enfrentar su creación a las concepciones mantenidas por los grandes matemáticos del pasado.

• En 1873 no solamente se decidió a considerar los conjuntos infinitos como totalidades existentes, como entidades, sino que se planteó la necesidad de distinguirlos.

• Cantor definió, si un conjunto A puede ponerse en correspondencia uno a uno con una parte o subconjunto de un conjunto B, pero B no puede ponerse en correspondencia uno a uno con A o una parte de A, entonces B es mayor que A.

• Cantor decidió usar símbolos para designar el numero de objetos de los conjuntos infinitos. El conjunto de los números naturales y los conjuntos que pueden ponerse en correspondencia uno a uno con el tienen el mismo numero de objetos y a este numero lo denoto por

• En 1900 su teoría de conjuntos era muy utilizada en otras áreas de las matemáticas. Además, Cantor y Richard Dedekind advirtieron su utilidad para fundamentar una teoría de los números enteros (finitos y transfinitos)

• Cantor decidió que se debía distinguir entre lo que el llamaba conjuntos consistentes e inconsistentes, y en relación con ello escribió a Richard Dedekind en 1899.

• Además de los números transfinitos, ya descritos, que reciben el nombre de números cardinales transfinitos, Cantor introdujo los números ordinales transfinitos.

Definición constructiva de los números transfinitos ordinales

Cantor plantea como se puede dar origen a la sucesión de sus números ordinales transfinitos a partir de dos principios generadores. Estos se expresan así :

• A cada numero ya formada se le añade una unidad(el primer numero ordinal es 1)

• Para cada sucesión determinada de números ya definidos, de los cuales no existe ninguno máximo, se crea un numero concebido como el limite de todos aquellos números, es decir, que viene definido como el numero inmediatamente mayor que todos ellos.

• La razón de la controversia creada por la teoría de conjuntos fue revelada con mucha agudeza por Félix Hausdorff en su «Fundamentos de teoría de conjuntos(1914)» cuando describía este tema como «un campo en el que nada es evidente por si mismo, cuyos enunciados verdaderos son a menudo paradójicos y cuyos enunciados plausibles son falsos»

Paradojas

¿Qué es una paradoja?

• Es una idea extraña opuesta a lo que se considera verdadera o a la opinión personal.

• También se considera paradoja a una proposición en apariencia falsa o que infringe el sentido común pero no conlleva una contradicción lógica en contraposición a un sofismo que solo aparenta ser un razonamiento verdadero.

Paradoja del mentiroso

• Fue analizada por Aristóteles y muchos otros lógicos posteriores.

• Se refiere a la frase «Esta frase es falsa» designemos el enunciado entre comillas por S. Si S es verdadero, entonces lo que dice es verdadero, y por lo tanto S es verdadero.

• Si S es falso, entonces lo que dice es falso y por consiguiente, S es verdadero.

La paradoja de Russell

• La paradoja de Russell se refiere a clases. Una clase de libros no es un libro no es un libro y por tanto no pertenece a si misma, pero una clase de ideas si es una idea y pertenece a si misma.

• La paradoja de Russell ha sido expresada en varios términos más cotidianos, el más conocido es la paradoja del barbero que se puede enunciar de la siguiente manera:

• En un lejano poblado de un antiguo emirato había un barbero llamado As-Samet diestro en afeitar cabezas y barbas, maestro en escamondar pies y en poner sanguijuelas. Un día el emir se dio cuenta de la falta de barberos en el emirato, y ordenó que los barberos sólo afeitaran a aquellas personas que no pudieran hacerlo por sí mismas. Cierto día el emir llamó a As-Samet para que lo afeitara y él le contó sus angustias:—En mi pueblo soy el único barbero. No puedo afeitar al barbero de mi pueblo, ¡que soy yo!, ya que si lo hago, entonces puedo afeitarme por mí mismo, por lo tanto ¡no debería afeitarme! Pero, si por el contrario no me afeito, entonces algún barbero debería afeitarme, ¡pero yo soy el único barbero de allí!El emir pensó que sus pensamientos eran tan profundos, que lo

premió con la mano de la más virtuosa de sus hijas. Así, el barbero As-Samet vivió para siempre feliz y barbón

• trataron de tener en cuenta el consejo que William James diera en su pragmatismo «Allí donde encuentras una contradicción, debes hacer una distinción»

• Russell no obstante, no hizo esta distinción. Creía que todas las paradojas surgen de una falacia, que el llamo principio del circulo vicioso y que describió así :

«Cualquier cosa que incluya todas las cosas de una colección, n debe ser una de las cosas de la colección»

• Consideremos el ejemplo ofrecido por Russell mismo en «los Principia Mathematica»:

«El hecho de que todas las matemáticas son lógica simbólica es uno de los descubrimientos mas grandes de nuestra época[…]»

• La ley del tercio excluido afirma que todas las proposiciones son verdaderas o son falsas. Pero la propia ley es una proposición. En consecuencia, aunque su pretensión es afirmar una ley verdadera de la lógica, es una proposición y por consiguiente puede ser falsa.

• Como dijo Russell, este enunciado de la ley carece de sentido

Paradoja de Grelling-Nelson • La paradoja de Grelling-Nelson es una paradoja verbal formulada en

1908 por Kurt Grelling y Leonard Nelson. Es una reformulación de la paradoja del barbero y la paradoja de Russell.

• La paradoja utiliza las palabras inventadas "autológico" y "heterológico". Una palabra es autológica si se describe a sí misma. Por ejemplo "corto" y "esdrújula" son autológicas, ya que la palabra "corto" es relativamente corta y la palabra "esdrújula" es esdrújula. Las palabras que no son autológicas se denominan heterológicas. "Largo" es una palabra heterológica, al igual que "monosilábico".

• La pregunta que da lugar a la paradoja es: ¿Es heterológica la palabra "heterológico"?

• No hay una respuesta consistente: si lo fuese, no lo sería, y si no lo fuese, entonces lo sería.

• En 1905, Jules Richard presento otra paradoja utilizando el mismo procedimiento que cantor había utilizado para probar que el numero de números reales era mayor que el numero de números naturales

• El razonamiento es algo complicado, pero esa misma contradicción fue incluida en una versión simplificada debido a G. G. Berry .

Paradoja de Berry

• La paradoja de Berry es la aparente contradicción que deriva de frases como ésta:

• El menor entero positivo que no se puede definir con menos de quince palabras.

• El siguiente argumento parece probar que esta frase define un único entero positivo N. El número de frases que se pueden formar con menos de quince palabras es finito. Algunas de estas frases pueden describir un entero positivo específico, por ejemplo «mil trescientos veintisiete»

• En cualquier caso, el conjunto A de enteros que se pueden definir con menos de quince palabras es finito. Puesto que A es finito, no puede contener todos los enteros positivos, de modo que tiene que haber un número entero positivo N que sea el menor de todos los números enteros positivos que no están contenidos en A.

• Entonces, como hemos dicho, el número N es el menor entero positivo que no se puede definir con menos de quince palabras. Pero entonces resulta que la frase «El menor entero positivo que no se puede definir con menos de quince palabras» definirá a este número N. Y, sin embargo, dicha frase tiene sólo catorce palabras.

• Esto es claramente paradójico, y parece sugerir que «que no se puede definir con menos de quince palabras» no está bien definido

PARADOJA DE CANTOR: EL CONJUNTO DE TODOS LOS CONJUNTOS

• Sea C el conjunto de todos los conjuntos. Entonces todo subconjunto de C es así mismo un elemento de C; luego, el conjunto potencia de C es un subconjunto de C; pero esto implica que la cardinalidad del conjunto potencia es menor o igual a la cardinalidad de C. Pero entonces, según el teorema de Cantor, la cardinalidad de C debe ser menor a la cardinalidad del conjunto potencia. Así pues, el concepto de conjunto de todos los conjuntos lleva a una contradicción.

• La objeción de Russell- Poincare a las definiciones impredicativas ha sido ampliamente aceptada. Desgraciadamente, tales definiciones han sido utilizadas en las matemáticas clásicas. El ejemplo que causo mayor preocupación fue la noción de mínima cota superior.

• Poincare propuso que se prohibieran todas las definiciones impredicativas. Hermann Weyl, destacado matemático de la primera mitad del presente siglo, estaba preocupado por el hecho de que algunas definiciones impredicativas pudieran efectivamente ser contradictorias y dedicó un considerable esfuerzo a reformar la definición de mínima cota superior pero no tuvo éxito.