LOS NÚMEROS COMPLEJOS

por Jorge José Osés Recio

Departamento de Matemáticas - Universidad de los Andes – Bogotá – Colombia - 2004

Cuando se estudió la solución de la ecuación de segundo grado 2 0ax bx c+ + = se analizó el signo deldiscriminante 2 4b ac- y su relación con las soluciones. Si el discriminante era negativo se dijo que laecuación no tenía raíces reales sino que las raíces eran imaginarias o complejas. Vamos ahora a estudiarlos números complejos que nos darán la idea completa de la solución de la ecuación de segundo grado yuna extensión de los conjuntos numéricos. Realizaremos lo que se llama la definición axiomática delconjunto de los números complejos.

Sección 1

Definición y operaciones en el conjunto de los números complejos.

Definición. Llamamos conjunto de los números complejos y lo denotamos con la letra £ al conjunto delos pares de números reales ( ),a b en el cual definimos las siguientes operaciones:

Suma. ( ) ( ) ( ), , ,a b c d a c b d+ = + +

Multiplicación. ( ) ( ) ( ), , ,a b c d ac bd ad bc= - +

En el número complejo ( ),a b llamaremos a a la parte real y a b la parte imaginaria. Note que lasuma y producto de pares no está definida en 2¡ .

Dos propiedades que cumplen los pares de números reales y que se mantienen para los complejos son:

Igualdad. ( ) ( ), ,a b c d a c b d= Û = Ù =

Multiplicación por un escalar. ( , ) ( , )a b a b=a a a donde Ρa .

Ejemplo. Dados ( )2,1 y ( )0, 3- , hallar:

a) ( ) ( ) ( ) ( )2,1 0, 3 2 0,1 ( 3) 2, 2+ - = + + - = -

b) ( )( ) ( ) ( )2, 1 0, 3 2(0) 1( 3), 2( 3) 1(0) 3, 6- = - - - + = -

c) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2,1 0, 3 2 1,1 3, 6 2, 2 5, 8- - - = - + - = -

1

Como los números complejos son pares de números reales podemos efectuar una representación de losmismos mediante el plano 2¡ (Gráfica 1) En esta representación se le dice eje real (Re) al eje de las x yeje imaginario (Im) al eje de las y .

Gráfica 1: Representación del número complejo ( , )a b .

Podemos considerar que los números reales están contenidos en los números complejos puesto que en elplano 2¡ el número complejo ( ),0a coincide con el número real a . De este modo tenemos ( ,0)a a=

cuando aΡ . Los números complejos de la forma (0, )b son llamados imaginarios puros.

Vamos a demostrar la propiedad de la multiplicación por un escalar Ρa :

( ) ( ), ,a b a b=a a a

Para eso escribimos el número real a en la forma ( ),0a y aplicamos la definición de multiplicación:

( ) ( )( ) ( ) ( ), ,0 , 0 , 0 ,a b a b a b b a a b= = - + =a a a a a a .

Denotaremos el número complejo (0,1) con la letra i y lo llamaremos unidad imaginaria. Es fácildemostrar que 2 1i = - .

( )2 2(0,1) (0,1) (0,1) 0(0) 1(1) ,0(1) 1(0) ( 1,0) 1i = = = - + = - = -

Ahora estamos en condiciones de resolver la sencilla ecuación 2 1 0x + = .

2 2 2 21 0 1x x x i x i+ = Þ = - Þ = Þ = ±

Forma binómica de un número complejo

Sea ( , )z a b= un número complejo. Entonces podemos escribirlo en la forma:

( , ) ( ,0) (0, ) (1,0) (0,1)z a b a b a b= = + = +

Pero como (1,0) 1= y (0,1) i= , entonces ( , )a b a bi= + . En este caso a bi+ se llama forma binómica obinomia del número complejo.

2

Suma y multiplicación de números complejos en la forma binómica

( ) ( ) ( ) ( )a bi c di a c b d i+ + + = + + + , puesto que , , ,a b c d son todos números reales.

( ) ( ) ( ) ( )2a bi c di ac adi bci bdi ac bd ad bc i+ + = + + + = - + + porque 2 1i = - .

Ahora observe que los resultados son los mismos que las definiciones de suma y producto dados al inicio;por lo que la realización de las operaciones de suma y multiplicación con números complejos se puederealizar en la forma de pares o en la forma binómica, con la ventaja a favor de la forma binómica que setrabaja con las reglas del álgebra y no es necesario memorizar nada nuevo.

Ejemplo. Si 1 (3,2)z = y 2 (4, 1)z = - , halle 1 2z z+ y 1 2z z .

( ) ( )1 2 (3,2) (4, 1) 3 2 4 7z z i i i+ = + - = + + - = +

21 2 (3, 2) (4, 1) (3 2 )(4 ) 12 3 8 2 (12 2) ( 3 8) 14 5z z i i i i i i i= - = + - = - + - = + + - + = +

Conjugado de un número complejo

Si z x yi= + es un número complejo llamaremos conjugado del número z, al número z x yi= - , esdecir, al número complejo que tiene la misma parte real que z pero la parte imaginaria de signo opuesto.

Ejemplo. Si 3 2z i= + , entonces 3 2z i= - y si 3 2z i= - , entonces 3 2z i= + .

Módulo y argumento de un número complejo

Sea ( , )z a b a bi= = + un número complejo cualquiera. Llamaremos módulo del número complejo z , alnúmero real dado por 2 2a b+ y lo denotaremos por z . El módulo se interpreta como la distancia alorigen del número z (Gráfica 2).

Por otra parte, llamaremos argumento del número complejo z a bi= + , al ángulo comprendido entre eleje x y el radio vector que determina a z . El argumento de z se denota por arg( )z y se calculamediante la expresión:

arg( ) arctanb

za

æ ö= ç ÷è ø

.

Gráfica 2: Módulo y argumento de un número complejo.

3

Propiedad: 2z z z=

Demostración:

( ) ( )

2 2 2

22 2 2 2 2 2

( )( )

0

z z a bi a bi a abi abi y i

a b ab ab i a b i a b z

= + - = - + - =

= + + - + = + + = + =

División de números complejos

La división de números complejos se realiza mediante la multiplicación y división por el conjugado deldenominador:

12 2 2

2 2

( ) ( )z a bi a bi c di ac bd ad bc i ac bd ad bc iz c di c di c di c d z

+ + - + + - + + + - += = × = =

+ + - +

Ejemplo. Dados 1 2 3z i= - y 2 1 2z i= - + , halle: (a) 2z y (b) 1

2

zz .

(a) Como 2 1 2z i= - + entonces 2 1 2z i= - -

(b) Para hallar 1

2

zz multiplicamos y dividimos por el conjugado 2z .

1

22

2 2

2 3 2 3 1 2 (2 3 )( 1 2 )1 2 1 2 1 2 ( 1 2 )( 1 2 )

2 4 3 6 8 8 15 5 5( 1) (2)

z i i i i iz i i i i i

i i i ii

- - - - - - -= = × =- + - + - - - + - -

- - + + - -= = = - -

- +

Raíces complejas de la ecuación de segundo grado

Si el discriminante de la ecuación 2 0ax bx c+ + = es negativo, debe sustituirse el signo negativo por 2i yde esa forma se obtienen las raíces complejas de la ecuación.

Ejemplo. Resolver la ecuación 2 2 6 0x x- + = .

Aplicando la fórmula de la ecuación cuadrática:

2( 2) ( 2) 4(1)(6) 2 4 24 2 202(1) 2 2

x- - ± - - ± - ± -= = =

Se puede ver que el discriminante es 20- lo cual puede escribirse como 220 i . Por lo tanto:

22 20 2 20 2 2 51 5

2 2 2i i

x i± - ± ±

= = = = ±

Así, las raíces complejas de la ecuación son: 1 1 5x i= - y 2 1 5x i= + .

4

Ejercicios de la Sección 1.

1) Dados los números complejos (3,2)z = y ( 1, 4)w = - - , halle:

(a) z w+ , (b) z w , (c) 3 4z w- , (d) ( 1,0)w- , (e) (0, 2)z- .

2) Muestre que (0,0) es el elemento neutro para la suma de números complejos.

3) Muestre que (1,0) es el elemento neutro para la multiplicación de números complejos.

4) Calcule:

(a) 3i , (b) 4i , (c) 5i , (d) 1i

, (e) 2

1i

.

5) Calcule:

(a) 4ni , (b) 4 1ni + , (c) 4 2ni + , (d) 4 3ni + .

6) Dado el número complejo ( , )x y halle el par ( , )u v tal que ( , ) ( , ) (1,0)x y u v = . Al par se le llamainverso multiplicativo de ( , )x y . Concluya que el par ( , )u v es único y que el (0,0) no tiene inversomultiplicativo.

7) Verifique que z z= .

8) Verifique que uv y uv son conjugados.

9) Calcule:

(a) 3 32 4

ii

+-

, (b) 1 32 2

ii

-- -

.

10) Resuelva la ecuación ( 2 ) 3i z i- + = + .

11) Halle z tal que (2 )(1 ) 2i i z i+ + = + .

12) Calcule y represente en el plano complejo los números z x yi= + , tales que:

(a) 5z = , (b) 5z £ .

13) Calcule y represente en el plano complejo los números z x yi= + tales que:

(a) 2 5z - £ , (b) z i z i- £ + , (c) 2z z z+ = .

14) Resuelva la ecuación cuadrática 2 3 3 0x x+ + = .

15) Resuelva la ecuación cuadrática 22 4 5 0x x+ + = .

16) Resuelva la ecuación cuadrática 2 3 8 0x x+ + = .

17) Resuelva la ecuación 4 213 36 0x x+ + = .

5

Sección 2

Forma trigonométrica o polar de un número complejo

La forma trigonométrica de un número complejo se establece observando el triángulo amarillo de laFigura 3:

Gráfica 3: Forma trigonométrica de un número complejo.

En este caso se tiene que ( , )r z x y= = y que 1arg( ) tany

zx

- æ ö= = ç ÷

è øq .

Luego:

sin sin

cos cos

yy r

rx

x rr

ì = Þ =ïïíï = Þ =ïî

q q

q q

Por lo tanto:

( , ) cos sin (cos sin )z x y x yi r i r r i= = + = + = +q q q q

Ésta es la llamada forma trigonométrica o polar del número complejo, la cual está en términos delmódulo y el argumento. Se denota comúnmente por cisz r= q .

Ejemplo: Halle la forma trigonométrica de 1z i= - .

Hallemos 2 2(1) ( 1) 2r = + - = y 1 1tan

1 4- -æ ö

= = -ç ÷è ø

pq .

Note que q está en el cuarto cuadrante. Por lo tanto:

1 2 cos sin 2 cos sin 2 cis4 4 4 4 4

z i i iæ ö æ öæ ö æ ö æ ö æ ö æ ö= - = - + - = - =ç ÷ ç ÷ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷

è ø è ø è ø è ø è øè ø è ø

p p p p p.

6

Multiplicación de números complejos en su forma trigonométrica

Sean cisu r= a y cisv s= b , entonces ( ) ( )cisu v rs= +a b . En otros términos:

( )( )cos( ) sin( )uv rs i= + + +a b a b

Demostración:

( ) ( )( ) ( )( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )

2

cis ciscis cis

cos sin cos sin

cos cos cos sin sin cos sin sin

cos cos sin sin (cos sin sin cos )

cos( ) sin( )( ) cis( )

u v r srs

rs i i

rs i i i

rs i i

rs irs

= ×

=

= + +

= + + +

= - + +

= + + +

= +

a b

a a

a a b b

a b a b a b a b

a b a b a b a b

a b a b

a b

Por lo tanto, la multiplicación de dos números complejos en su forma trigonométrica da como resultadoun número complejo cuyo módulo es igual al producto de sus módulos y cuyo argumento es igual a lasuma de los argumentos.

Ejemplo. Sea 2cis4

u æ ö= ç ÷è ø

p y 3 cos 3

4 4 4v i sen cis

æ öæ ö æ ö æ ö= - = -ç ÷ç ÷ ç ÷ ç ÷è ø è ø è øè ø

p p p.

Entonces ( )6cis(0) 6 cos(0) sin(0) 6u v i= = + =

Fórmula de Moivre

Empleando el resultado del Ejercicio 3b de esta sección, cis( )n nz r n= q , y tomando 1r = , tenemos:

( )cos sin cos( ) sin( )ni n i n+ = +q q q q .

Esta expresión es la llamada fórmula de Moivre.

Forma exponencial de un número complejo

Vamos a asumir que se siguen cumpliendo, como en los números reales, los conceptos de función,derivadas, series, etc. Vamos a demostrar la fórmula de Euler:

cos sinie i= +q q q .

Empleemos el desarrollo en serie de potencias de la función 0 !

nx

n

xe

n

¥

=

=å , suponiendo que sea válido para

cuando la variable x es un número complejo z .

2 3

01 ..... ...

! 1! 2! 3! !

n nz

n

z z z z ze

n n

¥

=

= = + + + + + +å

7

Si tomamos z i= q , nos queda:

2 3

02 3 4 5

2 3 4 5

2 3 4 5

( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 ..... ...! 1! 2! 3! !

1 ...1! 2! 3! 4! 5!

1 ....1! 2! 3! 4! 5!

n ni

n

i i i i ien n

i i i i i

i i i

¥

=

= = + + + + + +

= + + + + + +

= + - - + + +

åq q q q q q

q q q q q

q q q q q

Agrupando tendremos:

2 4 3 5

1 .... ....2! 4! 1! 3! 5!

ie iæ ö æ ö

= - + + + - + +ç ÷ ç ÷è ø è ø

q q q q q q

Estos son los desarrollos de cosq y sinq respectivamente. Así que cos sinie i= +q q q .

Sea (cos sin )z r i= +q q un número complejo donde r es su módulo y q su argumento. Entoncesmediante el empleo de la fórmula de Euler se obtiene:

(cos sin ) iz r i r e= + = qq q .

Esta expresión es la llamada forma exponencial del número complejo. Note que la forma exponencial esequivalente a la trigonométrica pues dependen de los mismos elementos: módulo y argumento del númerocomplejo z . Esta forma es muy cómoda pues podemos efectuar la multiplicación, división y potenciaciónempleando las leyes del álgebra.

Multiplicación y división de números complejos en su forma exponencial

Sean iu re= a y iv se= b . Entonces:

( ) ( )i i iu v re se rs e += =a b a b

( )i

ii

u re re

v sse-æ ö= = ç ÷è ø

aa b

b

Ejemplo: Sea 46i

u e=p

y 43i

v e=p

. Entonces 218 6i

u v e i= =p

y (0)2 2iu ev= = .

Ejercicios de la Sección 2.

1) Represente:

(a) en la forma trigonométrica el número complejo 3 3i- + .

(b) en la forma binómica el número complejo ( )2 cos sini-p p .

2) Represente:

(a) en la forma trigonométrica el número complejo 2 2i- - .

8

(b) en la forma binómica el número complejo 2 cos sin3 3

iæ öæ ö æ ö+ç ÷ç ÷ ç ÷

è ø è øè ø

p p.

3) Multiplicando el mismo número complejo n veces, efectúe y emplee identidades trigonométricas paracomprobar que si

1 1 1 1(cos sin )z r i= +q q ,

2 2 2 2(cos sin )z r i= +q q, …,

(cos sin )n n n nz r i= +q q

entonces

(a) ( )2 21 1 1 1cos(2 ) sin(2 )z r i= +q q

(b) ( )1 1 1 1cos( ) sin( )n nz r n i n= +q q

(c) ( ) ( )1 2 1 2 1 2... ... cis ...n n nz z z r r r= + + +q q q .

Extienda el resultado a las potencias enteras negativas.

4) Calcule:

(a) ( )91 3i- - , (b) ( )7

12 2i+

5) Dados 2 2u i= + y 2 2v i= - , emplee la forma exponencial para hallar:

(a) uv , (b) u v .

6) Dados 2 2u i= + y 2 3v i= - , emplee la forma exponencial para hallar:

(a) uv , (b) u v .

7) Halle ( )( )

4

6

3

1 3

i

i

+

- +.

8) Halle ( )( )

84

9

1

1

i

i

+

- -

9

Sección 3

Raíces n-ésimas de un número complejo

En la forma binómica de un número complejo la representación es única, mientras que en la formatrigonométrica o exponencial un mismo número complejo tiene infinitas representaciones diferentes,

( 2 )i kz r e += q p con k ΢ . Para cada valor de k habrá una representación diferente del número complejoz .

Definamos la radicación como la operación inversa de la potenciación, esto es:

nnz w z w= Û = .

Supóngase que iw re= q es un número complejo de módulo r y argumento q y que iz se= f un númerocomplejo de módulo s y argumento f . Entonces nz w= equivale a:

( 2 )n n i n i i kz s e re r e w+= = = =f q q p .

De esta manera:

(1) ns r=

(2) 2n k= +f q p

Por lo tanto, iz se= f donde ns r= y 2kn+

=q p

f , con 1,2, ,k n= K .

Estas son las fórmulas para hallar las n raíces n-ésimas de cualquier número complejo. Compruebe quepara todo otro valor de k , con k ΢ , se obtienen las mismas n raíces que para 0,1, , 1k n= -K .

Ejemplo. Hallar 1 i+ .

41 2i

i e+ =p

. Por lo tanto 42 2s = = y 24

2

k+=p p

f , con 0,1k = . Entonces:

Para 0k = , tenemos 4 81 2

iz e=

p.

Para 1k = , tenemos 9

4 82 2

iz e=

p.

El logaritmo de un número complejo

Al igual que para los reales, vamos a definir el logaritmo de un número complejo como la operacióninversa de la exponencial, esto es:

log zz w e w= Û = .Supóngase que iw re= q es un número complejo de módulo r y argumento q , entonces:

10

( 2 ) ln ( 2 )z i ke r e w z r i k+= = Û = + +q p q p .

Ejemplo. Sea (0)1 1 ie= . Por tanto log (1) ln(1) (2 ) 2i k k i= + =p p , con k Î ¢ .

Ejercicios de la Sección 3

1) Halle las raíces cuadradas de 1- y verifique que son i y i- .

2) Halle las raíces cúbicas de 1.

3) Halle las raíces cúbicas de 1- .

4) Halle las raíces cuadradas del número 1 3+ i y expréselas en la forma binómica.

5) Halle las raíces cúbicas del número 1 3i- - y expréselas en la forma binómica.

6) Halle las raíces cuadradas de 2 2i- - y represéntelas en el plano complejo.

7) Muestre que log( 1) i- = p .

8) Halle:

(a) log( )e , (b) log( )i , (c) log( )ei- .

9) Muestre que 1log(1 ) ln 22 4

i i- = -p .

11

Respuestas

Sección 1

1) a) (2, 2)- , b) (5, 14)- , c) (13, 22) , d) (1, 4) , e) (4, 6)-

6) ( ) 2 2 2 2, ,x y

u vx y x y

æ ö-= ç ÷

+ +è ø

9) a) 3 910

i- +

11) 3 i+

13) a) ( )2 22 25x y- + £ , círculo de radio 5 centrado en (2,0) y su interior.

15) 112

i- ±

17) 2 , 3i i± ±

Sección 2

1 a) 3

3 2 cis4

æ öç ÷è ø

p

5) a) 2, b) i

7) 1031

4i

e-

Sección 3

3) 1 32 2

i±

5) 4 10 169 9 92 ,2 , 2

i i ie e e

p p p

8) a) 1 2k i+ p , c) 12

i-p

Tomado de http://temasmatematicos.uniandes.edu.co

12

1/16

EECE 260 Electrical CircuitsProf. Mark Fowler

Complex Number Review

2/16

Complex NumbersComplex numbers arise as roots of polynomials.

1))((1))((

11 2

−=−−⇒=−⇒

−=⇒−=

jjjj

jj

Rectangular form of a complex number:

}Im{}Re{

zbzajbaz

==+=

real numbers

Recall that the solution of differential equations involves finding roots of the “characteristic polynomial”

So…differential equations often involve complex numbers

Definition of imaginary # j and some resulting properties:

)()())((:)()()()(:bcadjbdacjdcjbaMultiply

dbjcajdcjbaAdd++−=++

+++=+++The rules of addition and multiplication are straight-forward:

3/16

Polar Formθjrez =

Polar form… an alternate way to express a complex number…

Polar Form…good for multiplication and division

r > 0

If r is negative then it is NOT in polar form!!!

Note: you may have learned polar form as r∠θ… we will NOT use that here!!

The advantage of the rejθ is that when it is manipulated using rules of exponentials and it behaves properly according to the rules of complex #s:

yxyxyxyx aaaaaa −+ == /))((

Dividing Using Polar Form

( )( )

)(

2

1

2

1 21

2

1θθ

θ

θ−= j

j

j

err

erer

2

2222

111 θθ

jj e

rerz−==

Multiplying Using Polar Form

( )( ) )(2121

2121 θθθθ += jjj errerer

( )njnn

jnnnjn

erz

errez

//1/1 θ

θθ

=

== { } { } { }2121

2121

zzzz

zzzz

∠+∠=∠

=⇒

4/16

b

a

z = a + jbIm

Re

r θ

Geometry of Complex Numbers

We need to be able convert between Rectangular and Polar Forms… this is made easy and obvious by looking at the geometry (and trigonometry) of complex #s:

θr

a

b

θθ

cossin

rarb

==

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

+=

−

abbar

1

22

tanθ

Conversion Formulas

5/16

Complex Exponentials vs. Sines and Cosines

Euler’s Equations:(A)

(B)

(C)

(D)

6/16

Summary of Rectangular & Polar Forms

Warning: If you calculate the angle by first dividing b/a and then taking the inverse tangent… your calculator will give you the wrong answerwhenever you have a < 0. In other words, for z values that lie in the II and III quadrants.

You can always fix this by either adding or subtracting π… choose add or subtract in order to give an angle that lies between –π and + π.

Use common sense… looking at the signs of a and b will tell you what quadrant z is in… make sure your angle agrees with that!!! (See the examples)

Summary of Rectangular & Polar Forms

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛==∠

+==

−∈≥=

−

abz

barz

rrez j

1

22

tan

],(0

θ

ππθθPolar Form:

θθ

sin}Im{cos}Re{

rbzraz

jbaz

====

+=Rect Form:

7/16

Conjugate of Z

θθ jj rezrez

jbazjbaz

−=⇒=

−=⇒+=

*

*

Denoted aszz or*

Properties of z*

222*

*

))((.2

}Re{2.1

zbajbajbazz

zzz

=+=−+=×

=+Imaginary parts cancel

8/16

)()())((:

)()()()(:/

bcadjbdacjdcjbaMultiply

dbjcajdcjbaSubtractAdd

++−=++

±+±=+±+

θθ

θ

sincos:Convert

:Given

jrrz

rez j

+=

=Polar to Rect

( )abjebaz

jbaz

/tan22 1

:Convert

:Given−

+=

+=Rect to Polar

Warning: If a < 0 calculator may give

wrong angle…±π to correct

For Rect Form

Dividing Using Polar Form

( )( )

)(

2

1

2

1 21

2

1θθ

θ

θ−= j

j

j

err

erer

2

2222

111 θθ

jj e

rerz−==

Multiplying Using Polar Form

( )( ) )(2121

2121 θθθθ += jjj errerer

njnn erz //1/1 θ=

{ } { } { }2121

2121

zzzz

zzzz

∠+∠=∠

=

( ) θθ jnnnjn errez ==

Finding Magn/Angle of Rect

( )abzbaz

jbaz

/tan||

:Given

122 −=∠+=

+=

Finding Magn/Angle of Products

{ } { } { }2121

2121

/

//

zzzz

zzzz

∠−∠=∠

=Finding Magn/Angle of Ratios

Summary of General Results

9/16

A Few Tricks

jj

−=1

Proof: jjeeej

jjj −=+−==== −− 0)2/sin()2/cos()1/1(11 2/)2/0(

2/ πππππ

πje±=−1 Proof: 01)sin()cos( jje j +−=±+±=± πππ

01 je=

2/πjej =

2/πjej −=−

Proof: 01)0sin()0cos(0 jje j +=+=

Proof: 10)2/sin()2/cos(2/ jje j +=+= πππ

Proof: )1(0)2/sin()2/cos(2/ −+=−+−=− jje j πππ

⎪⎩

⎪⎨⎧

<±

>=+∠

0,

0,0)0(

a

aja

π

a is real #

a+j0 Re

Im

a+j0Re

Im+π

-π

10/16

Example #1a: 34 jz −−=Given: Convert to Polar Form

zjezz ∠= ||

525916)3()4(|| 22 ==+=−+−=z

Use:

( ) radz 5.264.075.0tan43tan 11 −≈−=−=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−−

=∠ −− ππ

5.25 jez −=34 jz −−=

-3

-4 0.64 rad

0.64 - π rad

From this we see that z is in Quad III but our calculator gave us 0.64 which is in quadrant I. So if we subtract πwe get an angle in Quad III and is between –π and + π

Re

Im

11/16

Example #1b: 34 jz +−=Given: Convert to Polar Form

zjezz ∠= ||

525916)3()4(|| 22 ==+=+−=z

Use:

( ) radz 5.264.075.0tan4

3tan 11 ≈+−=+−=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−

=∠ −− ππ

5.25 jez =34 jz +−=

3

-4 0.64 rad

-0.64 + π radFrom this we see that z is in Quad II but our calculator gave us -0.64 which is in quadrant IV. So if we add π we get an angle in Quad II

and is between –π and + π

Re

Im

Comparing Ex. 1a and 1b we see that they are conjugates of each other… note how conjugation just changes the sign in front of j for both rect form and polar form!!!

12/16

Example #2: 4/3 πjez =Given: Convert to Rect Form

)sin(||)cos(|| zzjzzz ∠+∠=

4/3|| π=∠= zzUse:

( ) ( ) 2/14/sin2/14/cos == ππ

4/3 πjez = 23

23 jz +=

π/4 rad

By Inspection:

Your calculator will give 0.707 but more precisely it is 1/sqrt(2)

2/3Re

Im2/3

13/16

Example #3: 2/πjjez −=Given: Write it in Polar Form

2/πjjez −= 1=z

Isn’t it ALREADY in polar form!!!??? NO!!!!!!!

[ ]21

2/][z

j

z

ejz π−=View it as a product of two complex numbers…and note that the first is in rect form: 0 + j

Since multiplication is easier with polar form…convert the rect form # into polar form

π/2 radRe

Imj

2/)0/1(tan

110||

1

22

π==∠

=+=

−j

j

Easier to see graphically!!

[ ][ ] 10)2/2/(2/2/2/ ===== −−− jjjjj eeeejez πππππ

14/16

Example #4:23

32j

jz+−+

=Given: Find magnitude and angle

Use:{ } { } { }2121

2121

/

//

zzzz

zzzz

∠−∠=∠

=

11313

2)3(32

|23||32|

2332

22

22

==+−

+=

+−+

=+−+

jj

jj

{ } { } radjjj

j 57.1)588.0(983.0233223

32=+−−≈+−∠−+∠=

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

+−+

∠ π

Correcting for case when real part is negative (i.e., quads II & III)

radj

j

jj

57.123

32

123

32

≈⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

+−+

∠

=+−+

Exact value is π/2

15/16

Example #5a:jLRjCRz

++

=2

1 /1Given: Find magnitude and angle

CjRLCCjR

jCjLCjRjCjCCjR

jLRjCR

jCjC

jLRjCRz

2

1

2

1

2

1

2

1 1/)()/1(/1

+−+

=++

=+

+=

++

=

First some common manipulations:

Now to find magnitude:

22

2

21

22

2

21

22

2

21

2

2

1 )(1

)()(

)(1

)()(

)(1||

|1|||RLC

CR

CRLC

CR

CRLC

CRCjRLC

CjRz+

+=

+

+=

+−

+=

+−+

=

Now to find angle:{ } { }

{ } { }[ ]π+−−=

+−∠−+∠=∠

−− LRCR

CjRLCCjRz

/tantan

1

21

11

21

R2C

-LC Calculator result

Add π radRe

Im

16/16

Example #5b:jLRjCRz

++

=2

1 /1Given: Find magnitude and angle

jLRCjR

jLRjCRz

+−

=+

+=

2

1

2

1 //1

Now to find magnitude:

A slightly different way to do it:

222

221

222

221

2

1 /1)/1(|||/|||

LR

CR

LR

CRjLRCjRz

+

+=

+

−+=

+−

=

Now to find angle:{ } { }

{ }

{ }21

1

1

21

1

1

21

/tan1tan

/tan/1tan

/

RLCR

RLR

C

jLRCjRz

−−

−−

−⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ −

=

−⎭⎬⎫

⎩⎨⎧−

=

+∠−−∠=∠

Even though these have a different form than the Ex 5a results they give the exact same numericalvalues!!!

17/16

Example #6:jLR

z+−

=2

1Given: Find magnitude and angle

Find magnitude:

2222

1||

|1|||LRjLR

z+

=+−

=

Now to find angle: { } { }

{ }21

2

/tan

1

RL

jLRz

−−±=

+∠−−∠=∠

π