1

1

MATRICES

Una matriz es una disposición rectangular de números (Reales); la forma general de una

matriz con filas y columnas es

Se simboliza tal matriz por y se le llamará una matriz x

o matriz de orden x (que se lee por ).

Ejemplos:

Los números se llaman componentes de la matriz.

Ejemplo:

Obtener los elementos:

Observación:

Notar que la fila y la columna del elemento se indica por su primero y segundo

subíndice respectivamente

La componente de está ubicada en la fila y en la columna de la matriz ,

se dice que ocupa el lugar de .

Las matrices se indicarán por letras mayúsculas A, B, C,..., mientras que sus

elementos se indican con letras minúsculas

Observación :

1) Una matriz de orden x se dice

2) Una matriz de orden de x se dice

3) En una matriz, si la matriz se llamará " " y es de

la forma

2

En una matriz cuadrada de orden las componentes constituyen la

diagonal de

Ejemplo:

Clasificar las siguientes matrices según su forma:

IGUALDAD DE MATRICES

Dos matrices , son iguales si y sólo sí tienen

el mismo orden y = para cada y cada (esto es, entradas correspondientes son

iguales, es decir,

Propiedades :

Si son matrices de la forma ,

(a)

(b)

(c)

TRANSPUESTA DE UNA MATRIZ

Sea una matriz de la forma . Se llama a la

matriz que se obtiene al cambiar las filas por columnas en

Se denota por

Ejemplo : Si , entonces 2 3

4 5 6

4

2 5

3 6

Propiedades :

Sean matrices de la forma ,

1)

2)

3)

3

ALGEBRA DE MATRICES

SUMA DE MATRICES

Sean , la suma de y es la matriz :

= tal que

Ejemplo:

1) A= , B = 4 -1 3 3 7 4

-2 0 7 -5 1 2

A+ B = + =4 -1 3 3 7 4 7 6 7

-2 0 7 -5 1 2 -7 1 9

2) A= , B =3 2 4

-5 1 2

3 5

-1 0

4 1

A + B no está definida ya que las matrices no son del mismo tamaño

Propiedades :

Para poder efectuar las sumas las matrices deben tener el mismo orden.

1) Clausura :

Si son matrices de la forma x entonces también son matrices de la

forma x .

2) Propiedad Asociativa :

3) Propiedad Conmutativa :

4) Propiedad del neutro aditivo : A + 0 = AM

Se llama matriz cero aquella que tiene todas sus componentes iguales a cero.

[0 ] =M ij mxn

5) Propiedad del inverso aditivo :

Si designamos por la matriz

La matriz es el inverso aditivo de pues M

Observación :

Se puede definir la diferencia o resta de matrices :

6) Propiedad cancelativa aditiva :

4

MULTIPLICACION DE UNA MATRIZ POR UN ESCALAR.

Se llamará un escalar a cualquier elemento del conjunto de los Reales

Sean y un escalar.

Se define la multiplicación de la matriz por el escalar a la matriz :

Es decir :

Ejemplo 3

2 1 6 3

6 9

12 21

Propiedades :

Si , y se tiene :

1)

2)

3)

4) A = 0 ,

5)

PRODUCTO DE MATRICES.

Sean y entonces el producto de por es la matriz

donde

AB =

...

Observación :

5

jemplo : Si y

no está definido ya que el

numero de columnas de B no es igual al número de filas de A.

El producto de matrices no es conmutativo.

Propiedades :

1) Si matrices , entonces está definido si el número de columnas de es

igual al número de filas de .

2) Si matrices, de órdenes y respectivamente ;

entonces :

3) Si , C entonces, siempre que las sumas o productos puedan efectuarse:

4) No existe ley de cancelación para el producto. O sea :

Si no se puede deducir que AM M M

5) (AB) = B At t t

Propiedades:

1) Propiedad de Clausura : Si y son matrices de orden entonces son

matrices de orden

2) Propiedad Asociativa :

3) El producto no es conmutativo

4) Propiedad del neutro multiplicativo :

La matriz identidad es el neutro multiplicativo ya que

POTENCIA DE UNA MATRIZ

Si A es una matriz cuadrada y es un número entero positivo, entonces la ésima

potencia de A, escrita por A , es el producto de factores de A:

6

A A.A.A......A ( factores)

Si A es de orden , se define A = I0

Ejemplo:

Si A = calcular A1 0

1 23

Solución:

A =A A = =1 0 1 0 1 0

3 4 1 2 7 83 2

Evaluación de un polinomio en una matriz

Sean : un polinomio en la variable , con

coeficientes en y matriz de orden la evaluación de para es :

cuando (matriz cero), diremos que es solución matricial de la ecuación

Ejemplo :

es solución de

pues

MATRICES ESPECIALES

MATRIZ DIAGONAL

Una matriz diagonal es una matriz cuadrada tal que todas sus componentes que se

encuentran fuera de la diagonal principal son ceros.

es matriz diagonal

Ejemplo: A =

2 0 0

0

7

MATRIZ IDENTIDAD

La matriz identidad de orden , denotada por I , es la matriz diagonal cuyas entradas en la

diagonal principal son numeros uno.

I

1 0 0

0 1 0

0 0 1

n

x

I = , I =1 0

0 1

1 0 0

0 1 0

0 0 12 3

MATRICES TRIANGULARES

Una matriz cuadrada se dice si todas sus componentes que setriangular superior

encuentran bajo de la diagonal principal son ceros.

Sea entonces : es matriz triangular superior

Ejemplo: A =

2 4 6

0 3

5

Una matriz cuadrada se dice si todas sus componentes que setriangular inferior

encuentran sobre la diagonal principal son ceros.

Sea entonces : es matriz triangular inferior

Ejemplo : A =

2 0 0

8 0

4 3 5

Observación: Una matriz diagonal es una matriz cuadrada que es triangular superior e

inferior a la vez.

MATRICES SIMETRICAS Y ANTISIMETRICAS

Sea M , A =[a ] Se definenxn ij

matriz simétrica , es decir, a = aij ji

matriz antisimétrica , es decir, a = aij ji

Ejemplos: A es matriz simétrica.

2 3

3

8

es matriz antisimétrica.

Propiedades :

1) oda matriz antisimétrica tiene en su diadonal principal sólo elementos no nulos.

2) Toda matriz cuadrada A se puede expresar como la suma de una matriz simétrica y

otra antisimétrica

3) Sea A una matriz de orden

a) y son matrices simétricas.

b) es matriz antisimétrica.

4) Una matriz A se puede escribir como una suma de una matriz simétrica y una

antisimétrica de la siguiente forma

MATRICES: IDEMPOTENTE, INVOLUTIVA Y NILPOTENTE DE INDICE K

Sea A M , se dice que A es :nxn

Idempotente si y sólo si A =A2

Involutiva si y sólo si A = I2n

Nilpotente de índice k, k si y sólo si A = 0kM

MATRIZ INVERSA

Si es una matriz cuadrada y existe una matriz C tal que CA = I , entonces C es

llamada la inversa de A, y se dice que A es invertible ( o no singular)

Ejemplo:

Sea A = y C = como CA = = I,1 2 7 1 0

3 7 0 1

la matriz C es la inversa de A

Puede demostrarse que una matriz invertible, tiene una , y sólo una, inversa, ésto es,

la inversa es única. La inversa de A se denota por A

La matriz inversa es tal que :

a) si es no-singular

9

b) siempre que son no-singulares en

No toda matriz 0 es invertible. Por tanto si no posee inversa. Se dice que

es singular o no-invertible.

MATRICES EQUIVALENTES

TRANSFORMACIONES ELEMENTALES

Las Transformaciones Elementales (T.E.) son funciones matriciales que producen

cambios o bien en una fila(renglón) (o bien en una columna) de una matriz.

Estas transformaciones elementales son de tres tipos tanto para filas (como para

columnas), como se ve en el cuadro siguiente :

1) Intercambio de dos filas de una matriz

2) Multiplicación de una fila de una matriz por un escalar diferente de cero.

3) Suma de un múltiplo de una fila de una matriz a una fila diferente de esa matriz

Notación:

1) f Es la T.E. que intercambia la fila con la fila o (R R )

2) f es la T.E. que multiplica la fila por o ( R

3) f es la T.E. que suma a la fila , la fila multiplicada por o ( R el renglón R

permanece igual

Observación:

Las operaciones también se pueden realizar en columnas

Ejemplo :

1 0 -2 1 0 -2 5 0 3

4 -2 1 0 -2 9

5 0 3 5 0 3 5 0 -2

-4f +f f

2 130 -2 9

MATRIZ ESCALONADA. MATRIZ ESCALONADA REDUCIDA.

Matriz reducida:

Una matriz se dice reducida (escalonada reducida o matriz triangular modificada

MTM) si se satisface lo siguiente:

1) Si una fila no consiste solamente en ceros, entonces la primera entrada diferente

de cero en la fila, llamada la entrada principal, es 1, mientras que todas las demás

entradas en la columna en la que el 1 aparece son ceros.

2) En cada fila, la primera entrada diferente de cero está a la derecha de la primera

entrada diferente de cero de cada fila arriba de él.

3) Todas las filas que consistan únicamente en ceros, están en la parte inferior de la

matriz.

Observación:

10

Es posible reducir una matriz A a una matriz triangular modificada MTM.

La secuencia de pasos que se utiliza para reducir una matriz no es única; sin

embargo, la forma reducida si es única

Ejemplo :

Reducir la matriz A=

0 0 1 2

3 -6 -3 0

6 -12 2 11

Solución:

A= .....

0 0 1 2 1 -2 0 0

3 -6 -3 0 0 0 1 0

6 -12 2 11 0 0 0 1

RANGO DE UNA MATRIZ

Es el número de filas diferentes de 0 que tiene la matriz triangular modificada

( reducida)

Ejemplo:

El rango de la matriz A es 3 , se denota rag

Método para encontrar la inversa de una matriz

Si M es una matriz invertible de , formar la matriz de x , [M I].

Después realizar operaciones elementales sobre filas hasta que la primeras

columnas formen una matriz reducida igual a I (Identidad). Las últimas columnas

serán M-1

[M I ] ... [ I M ]-1

Si una matriz M no se reduce a I, entonces M no existe.-1

Ejemplo:

Determinar A si A es invertible, A=

1 0 -2

4 -2 1

1 2 -10

-1

Solución: Siguiendo procedimiento anterior, se puede obtener

[A I]= ... =[I A ]

1 0 -2 1 0 0 1 0 0

4 -2 1 0 1 0 0 1 0

1 2 -10 0 0 1 0 0 -1

-9 2 2

- 4

-5 1 1

41 92 2

-1

11

A =

-9 2 2

- 4

-5 1 1

-1 41 92 2

EQUIVALENCIA DE MATRICES

Sean matrices de orden

1) es equivalente por filas con se obtiene a partir de por una sucesión de

T.E. filas.

2) es equivalente por columnas con se obtiene a partir de por una

sucesión de T.E. columnas.

3) es equivalente con se obtiene a partir de por una sucesión de T.E.

filas y/o columnas.

Ejemplos :

es equivalente con

ya que :

SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

Es natural encontrarse en casi todos los campos de estudio, tales como: matemática, física,

química, biología, ciencias económicas y administrativas, todas las ramas de la ingeniería, etc.,

con sistemas de ecuaciones lineales de ecuaciones, plantearlos, resolverlos e interpretarlos.

Una ecuación

para las variables y los coeficientes (constantes) se llama

ecuación lineal, donde ,

Un sistema de ecuaciones lineales de ecuaciones con incógnitas es de la forma:

Ejemplos:

1)

12

2) =

=

Para el sistema se tiene :

a) Los se dicen los del sistema, los son y los , los coeficientes las incógnitas

términos constantes.

El sistema se dirá un sistema de o bien un sistema de ecuaciones

con incógnitas.

b) Una solución del sistema es un conjunto de elementos de , tales como

que tienen la propiedad de satisfacer cada una de las ecuaciones del sistema.

c) Si el sistema tiene a lo menos una solución se dice que es , en casocompatible

contrario, o sea, si no hay soluciones, se dice que es incompatible.

d) Si el sistema se llama homogéneo.

La solución se denomina solución trivial del sistema

homogéneo asociado a

Notación Matricial de un sistema de ecuaciones

Usando la multiplicación de matrices un sistema tal como se puede denotar

simplemente por

X =

Los coeficientes del sistema se puede ordenar en una matriz :

llamada .la matriz de los coeficientes del sistema

Análogamente los términos constantes se ordenan en una matriz columna

b que es la matriz de las constantes del sistema.

Como resulta que el sistema se puede

escribir en :notación matricial

13

donde

Luego tenemos : es solución del sistema

Llamamos del sistema a la matriz :matriz ampliada

=

EJEMPLO:

Para el sistema

se tiene que es su matriz de los coeficientes y

que la matriz ampliada es:

DISCUSIÓN DE LAS SOLUCIONES DE UN SISTEMA DE ECUACIONES

LINEALES

Dado un sistema de ecuaciones lineales, denotado matricialmente :

podemos buscar sus soluciones de distintas maneras, según el caso :

a) En caso que sea una matriz cuadrada e invertible, entonces podemos multiplicar

por por la izquierda a la ecuación matricial y obtenemos :

que sería la única solución del sistema.

b) Si es cualquier matriz de orden , entonces la alternativa es efectuar

transformaciones en el sistema para eliminar incógnitas en algunas ecuaciones ( método

de Gauss).

Este método es válido cualquiera que sea y es el que se desarrollará

14

Dado el sistema , observemos que las "transformaciones" que se hacen para

"eliminar" incógnitas, corresponden a T.E.(transformaciones elementales) por filas en la

matriz ampliada del sistema.

TEOREMA 1

Dados los sistemas

se tiene que :

si | es equivalente por filas con entonces y tienen

exactamente el mismo conjunto solución (se dice que, en este caso, los sistemas y

son )equivalentes

OBSERVACION

Si se hace una T.E. fila en la matriz ampliada obtenemos una matriz

donde es una escalonada reducida de

| ...... ..... MTM |

TEOREMA 2

Dado el sistema con incógnitas :

a) Si a a , entonces no tiene solución.

b) Si a a , entonces tiene una única solución.

c) Si a a y , entonces tiene infinitas soluciones.

Además en este caso incógnitas dependen de las - restantes.

d) Un sistema homogéneo es un sistema de ecuaciones lineales de la forma :

Propiedades :

a) Todo sistema homogéneo tiene solución ya que : es siempre solución de

, y esta se llama la solución trivial de

b) Si con incógnitas, entonces :

a tiene una única solución que es la trivial

a tiene infinitas soluciones

15

EJEMPLOS

1) Dado el sistema :

Se tiene : es su matriz de los coeficientes y

la matriz ampliada

Hacemos T.E. fila en para escalonar :

= ......

1 0 0

0 1 0 -

0 1 -

415

95

75

concluímos que = - -41 9 75 5 5

2) Dado

Su matriz ampliada es :

Obtenemos una escalonada para

.......

Esta última matriz escalonada corresponde al sistema :

cuya última ecuación no tiene sentido.

O sea, . Luego el conjunto solución del sistema dado es .no hay solución

16

Notemos que en este caso, mirando la matriz escalonada que se obtuvo, se tiene que:

a y a son distintos

3) Dado el sistema :

2 +3 1

1

entonces :

..

¿Cómo son los rangos de la matriz ampliada con el de la matriz de los coeficientes? y con el número de

incógnitas? ¿Qué puede concluir al respecto según teorema anterior?

O sea : , ,

¡Hay infinitas soluciones!

El conjunto solución del sistema dado es :

DETERMINANTES

Se introducirá una nueva función llamada . Aquí las

entradas serán matrices cuadradas, pero las salidas serán números reales. Si A es una

matriz cuadrada, entonces la función determinante asocia con exactamente un número

real llamado " " de A. Denotado por , se puede pensar la funciónA

determinante como

A A

matriz cuadrada número real = determinante de A

Para cada , su imágen será el "determinante de ".

Esta función se llama la función determinante de orden , y anotamos

por det A o por A

si entonces A

17

DETERMINANTE DE UNA MATRIZ DE ORDEN 1

Si definimos det.

DETERMINANTE DE UNA MATRIZ DE ORDEN 2

Si entonces definimos det.

O sea :

Ejemplo :2 1

3 42 4 1 3

si , 2 1

3 4A

DETERMINANTE DE UNA MATRIZ DE ORDEN 3

Para el caso de una matriz cuadrada de orden 3, se tiene = A

el determinante se puede obtener como:

A

Ejemplo

1) Verificar si = 27 , para A= A 3

2

2) Calcular , si A= A 3 1 0

2 4 -1

-2 3 4

Nota:

Se debe hacer notar que para una determinante no hay método equivalente al

anterior para calcular el determinante.

18

Hay una manera más práctica de obtener el determinante para una matriz de orden 3,

escribiendo a continuación de la matriz A, las dos primera columnas y efectuar la suma

de los productos de los elementos de la diagonal principal y de las paralelas a ellas, y

luego hacer lo mismo con la diagonal secundaria pero en este caso restando, el resultado

de esas operaciones es el determinante, es decir:

Si anotamos las dos primeras columnas a la derecha de y

entonces los productos de las componentes de las

diagonales a la derecha se suman y las otras se restan.

Así se obtiene

det

Ejemplo:

Efectuar para la matriz A=

2

3

En el caso de una matriz de orden mayor a tres se debe efectuar lo siguiente:

Desarrollo de un determinante por sus cofactores

Definición .

Sea A = [ una matriz de orden Sea la submatriz de un orden menor, que

se obtiene al eliminar la i-ésima fila y la j-ésima columna de A.

El determinante se llama del elemento M ij menor

Definición .

Sea A= [ una matriz de orden el de se define porcofactor

M ij

EJEMPLOS : obtener los cofactores : Sea

19

cof = , M 11

1 111

cof 0

cof , cof , etc

Entonces para encontrar el determinante de cualquier matriz cuadrada A de orden n

(mayor que 2), seleccionar cualquier fila (o columna de A ) y multiplicar cada entrada en

la fila (o columna ) por su cofactor. La suma de estos productos será el determinante de

A, llamado determinante de orden

Ejemplo:

Obtener por desarrollo por primera fila el determinante de si A= ,

2

3

comprobar usando desarrollo por la segunda columna.

PROPIEDADES DE LOS DETERMINANTES

1 Si tiene una fila o columna de ceros, entonces det .

Ejemplo:

2. Si tiene dos filas o dos columnas iguales, entonces det .

Ejemplo: = 0

2 5 2 1

2 5 2 6

-2 0 -2 5

6 0 6 1

3. Si es una matriz triangular superior ( o inferior) entonces detA es igual al producto

de las entradas de la diagonal principal

Ejemplo: =( )( )( )( )=

2 5 2 1

0 5 2 6

0 0 -2 5

0 0 019 1

20

4. Si es la matriz obtenida sumando un múltiplo de una fila (o columna) de A a otra

fila (o columna ) , entonces el

5. Si en se intercambian 2 filas o columnas consecutivas, cambia el signo de su

determinante.

6. Si en se multiplica solo una fila (o columna) por un factor , entonces el

determinantes de la matriz resultante es det

7. El determinante de es igual a det . O sea, det det

8. El determinante de un producto de matrices cuadradas es el producto de las

determinantes de cada una. O sea, det det det

9. En general det det det .

Observación:

Las propiedades de 1 a 6 son útiles en la evaluación de ya que nos dan una

manera de expresar en forma triangular (se dice triangulamos), entonces por la

propiedad 3, se considera el producto de sus diagonales

Ejemplo:

Comprobar por triangulación que el determinante de la matriz es

Matriz Inversa:

Otra manera de calcular la matriz inversa es usando la matriz de los cofactores

MATRIZ DE LOS COFACTORES

Sea , la Matriz de los cofactores de es la matriz de orden cuyas

componentes son los cofactores de lugar de . Anotamos :

cof con cof x

Llamamos a la transpuesta de la matriz de los cofactores de matriz adjunta de

O sea : Adj cof

EJEMPLOS :

21

Sea entonces :

cof , cof

cof , cof , etc

Así

cof y Adj

2) Obtener Ud. la matriz adjunta de

Teorema :

Si entonces : Adj (det ) Adj

Corolario :

Sea Entonces es invertible det

y en este caso : Adj det

EJEMPLO

a) Si , entonces det , y así no es invertible, o sea

es singular.

b) Si , entonces det y por lo tanto es invertible.

22

Se tiene, por lo visto en ejemplo anterior,

Adj

SISTEMAS DE ECUACIONES USANDO DETERMINANTES

Regla de Cramer:

Sea un sistema de ecuaciones lineales con incógnitas como sigue

Si el determinante de la matriz de los coefcientes es distinto de cero, entonces el

sistema tiene solución única .

La solución está dada por

donde es el determinante de la matriz obtenida al reemplazar la k-ésima columna de Ak

por la columna de las constantes.

Ejemplo:

Resolver el sistema siguiente utilizando la regla de Cramer

Respuesta:

Como = entonces3 2

3 2 2 3 2

23