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Determinantes y sus aplicaciones.

En este capítulo se introducirá el concepto de determinantes, solo definido para matrices

cuadradas.

La primera aplicación que veremos de su uso es para determinar si una matriz es invertible o

no.

También este concepto permitirá enunciar un teorema fundamental, sobre los sistemas de

ecuaciones lineales: el Teorema de Rouché – Frobenius que caracteriza a los sistemas, según

su tipo de solución.

¿Qué es un determinante?

El determinante de una matriz cuadrada, es un número real asociado a esa matriz.

Para cada matriz cuadrada existe un único número real, que es justamente su determinante.

Por eso det es una función det: ℝ𝑛𝑥𝑛 → ℝ, det(A) 𝜖 ℝ.

Notación: Para indicar el determinante de la matriz A se utilizará det(A) o |A|.

Si A=(

𝑎11 ⋯ 𝑎1𝑛⋮ ⋱ ⋮𝑎𝑛1 ⋯ 𝑎𝑛𝑛

) su determinante se anotará: det(A)=|

𝑎11 ⋯ 𝑎1𝑛⋮ ⋱ ⋮𝑎𝑛1 ⋯ 𝑎𝑛𝑛

|.

¿Pero cuánto vale det(A)?

Hay muchas maneras de definir el determinante de una matriz.

En este curso adoptaremos la más sencilla, que nos permitirá deducir rápidamente todas las

propiedades que interesan a este curso.

Todo se puede demostrar de manera bastante formal, dependiendo de la definición de

determinantes que se adopte. Pero nosotros nos conformaremos con entender el cálculo de

determinantes y sus propiedades que lo facilitan.

La definición de det(A) es recursiva y antes de enunciarla introduciremos algunas

definiciones complementarias y necesarias.

Empecemos por el principio, es decir para n = 1.

Si A es una matriz de una fila y una columna, A=(𝑎11) entonces det(A)=|𝑎11| = 𝑎11

Si A es una matriz de n filas y n columnas para definir su determinante necesitamos esas

definiciones auxiliares que mencionamos antes:

Sea A=(

𝑎11 𝑎12 ⋯ 𝑎1𝑛𝑎21 𝑎22 ⋯ 𝑎2𝑛⋮𝑎𝑛1

⋮𝑎𝑛2

⋮…

⋮𝑎𝑛𝑛

) y sea 𝑎𝑖𝑗 un elemento genérico de A.

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Se llama cofactor de 𝒂𝒊𝒋 y se anota 𝑨𝒊𝒋 al número real dado por:

𝑨𝒊𝒋 = (− 𝟏)𝒊+𝒋. |𝑴𝒊𝒋|

𝑴𝒊𝒋 es la matriz que se obtiene de A, eliminando la fila i y la columna j. Es decir que

|𝑀𝑖𝑗 |es el determinante de una matriz n -1 por n -1.

(Como en toda definición recursiva definimos el determinante de orden uno y para el de orden

n, necesitamos el de orden n – 1).

Solo para ver de que se trata esto de los cofactores, observemos el siguiente ejemplo:

Ejemplo: Sea A= (2 45 3

) calcular los cofactores de 𝑎11 y de 𝑎21

Como dijimos que 𝐴𝑖𝑗 = (− 1)𝑖+𝑗 . |𝑀𝑖𝑗| entonces:

𝐴11 = (− 1)1+1. |𝑀11| = (− 1)

2. |3| = 𝟑

𝐴21 = (− 1)2+1. |𝑀21| = (− 1)

3. |4| = − 𝟒

Ahora sí, tenemos lo necesario para definir el determinante de una matriz de orden n. n≥ 𝟐.

(matriz de orden n, se les dice a las matrices cuadradas de n filas por n columnas)

Dada A ∈ ℝ𝒏𝒙𝒏, n ≥ 𝟐 se llama determinante de A al valor:

𝒅𝒆𝒕(𝑨) = ∑𝒂𝒊𝒌

𝒏

𝒌=𝟏

. 𝐴𝑖𝑘 =∑𝒂𝒔𝒋

𝒏

𝒔=𝟏

. 𝑨𝒔𝒋

cualquiera sea i y cualquiera sea j.

Donde 𝑨𝒊 = (− 𝟏)𝒊+𝒌. |𝑴𝒊𝒌| y 𝐴𝑠𝑗 = (− 𝟏)

𝒔+𝒋. |𝑴𝒔𝒋|

Observaciones:

- La primera suma involucra a la fila i de A, es decir que en ese caso, det(A) está

desarrollado por la fila i y la segunda suma está desarrollada por la columna j de A y

ambas sumas dan el mismo número.

- Los cofactores de los elementos de la fila i del desarrollo de la primera suma, es decir

los n, 𝐴𝑖𝑘 involucran n determinantes de orden n – 1. Al igual que los n cofactores de

la segunda suma, los 𝐴𝑠𝑗.

Como esas sumas dan el mismo valor, cualquiera sea la fila o la columna que se elija para

desarrollar el determinante, tenemos la primera propiedad: (que no demostraremos)

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Si A ∈ ℝ𝒏𝒙𝒏 det(A) da el mismo valor por cualquier fila o columna que se

desarrolle.

Ejemplo: Calcular el det(A)

A=(3 − 21 2

)

Desarrollaremos det(A), por ejemplo por la fila 1:

|3 − 2

1 2| =3. (−1)1+1. |2|+(-2). (−1)1+2|1| = 8

det(A)= 8

Ejercicio: demostrar que:

si 𝑨 ∈ ℝ𝟐𝒙𝟐, A =(𝒂𝟏𝟏 𝒂𝟏𝟐𝒂𝟐𝟏 𝒂𝟐𝟐

) entonces det(A) = 𝒂𝟏𝟏. 𝒂𝟐𝟐 − 𝒂𝟏𝟐. 𝒂𝟐𝟏.

Esto proporciona una regla práctica para calcular los determinantes de las matrices de

dos por dos.

Por lo que ha probado en el ejercicio, el cálculo del determinante del ejemplo anterior es

mucho más sencillo: |3 − 21 2

| = 3.2 − (− 2).1 = 3.2 + 2 = 8

Ejemplo:

Calcular el determinante de: B=(1 7 20 − 3 10 2 4

)

det(B)= |1 7 20 − 3 10 2 4

| =⏞𝑝𝑜𝑟 𝑙𝑎 𝑓𝑖𝑙𝑎 1

1. (−1)1+1 |−3 12 4

|+7. (−1)1+2. |0 10 4

|

+2. (−1)1+3 |0 10 4

|+|0 −30 2

| =⏞𝑝𝑜𝑟 𝑒𝑙 𝑒𝑗𝑒𝑟𝑐𝑖𝑐𝑖𝑜

1. (−3.4 − 1.2) + 7. (−1). (0.4 − 1.0) +

2. (−1)(0.4 − 1.0) = − 14 − 7.0 + (−2).0 = −14

det(B)= -14

Pudimos haber elegido la columna 1 para el desarrollo de este determinante porque dijimos

que daba el mismo número, por cualquier fila o columna. Por la columna 1 era conveniente

porque tiene dos ceros y así se anulan dos términos del desarrollo:

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det(B)= |1 7 20 − 3 10 2 4

| =⏞𝑝𝑜𝑟 𝑐𝑜𝑙𝑢𝑚𝑛𝑎 1

1. (−1)1+1 |−3 12 4

|+0+0= 1. (−3.4 − 1.2) = −14.

El cálculo manual de los determinantes lleva mucho trabajo. Computacionalmente también,

cuando el orden de la matriz es muy grande. Al requerir de sumas en cuyos términos hay que

realizar varios productos, entre ellos el determinante de la matriz que resulta de eliminar una

fila y una columna a la matriz dada, ese trabajo requiere el uso de mucha memoria. Pero hay

una serie de propiedades, que haciendo buen uso de ellas, facilitan la tarea. Enunciaremos

algunas y las aplicaremos en diversos ejemplos.

La primera de ellas es debida a que el determinante da lo mismo por cualquier fila o

cualquier columna por el que se desarrolle. Por eso afirmamos que:

Todas las propiedades de los determinantes que valen para las filas de una

matriz de una matriz, valen también para sus columnas.

Propiedades de los determinantes:

1. Sea A 𝜖ℝ𝑛𝑥𝑛 entonces det (A)= det (𝑨𝒕). (no lo demostraremos pero está relacionado con la afirmación

anterior)

2. Sea A 𝜖ℝ𝑛𝑥𝑛 y sea 𝐴′ la matriz que se obtiene de A, multiplicando la fila i por un

número c, c≠ 0. Entonces det(𝑨′)= c. det(A). (puede probarlo desarrollando el

determinante de 𝐴′ justamente por la fila i.)

De esta propiedad se deduce que si A 𝜖ℝ𝑛𝑥𝑛 entonces 𝒅𝒆𝒕(𝒄. 𝑨) = 𝒄𝒏. det(A)

Por ejemplo, si A=(3 −1 22 −1 −20 1 −3

)

Si se calcula el determinante de A, por cualquier fila o columna obtenemos que

det (A)=13, pueden comprobar que det(2.A)= |

2.3 2. (−1) 2.22.2 2. (−1) 2. (−2)2.0 2.1 2. (−3)

| = 2𝟑.det(A)

= 2𝟑. 13

La potencia 3 es por el orden de la matriz que es 3.

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3. Sea A 𝝐ℝ𝒏𝒙𝒏, 𝒔𝒊 𝑨 una fila nula entonces det(A) = 0 (puede probarlo desarrollando el determinante por la fila nula).

4. Sean A y B matrices de A 𝑑𝑒 ℝ𝑛𝑥𝑛 entonces det(A.B) = det(A). det(B). (Esta propiedad se generaliza para un producto finito de matrices cuadradas

multiplicables y es demostrable aunque no lo haremos)

5. 𝒅𝒆𝒕(𝑰𝒏) = 𝟏.

Esta propiedad afirma que el determinante de la matriz identidad, cualquiera sea su

orden, da uno. Y se puede probar por el método de inducción sobre el orden de la

matriz identidad, de manera bastante sencilla.

Ejemplo: Calcular el 𝑑𝑒𝑡(𝐼3)

𝑰𝟑 = (1 0 00 1 00 0 1

)

|𝑰𝟑| = |1 0 00 1 00 0 1

| =⏞𝑝𝑜𝑟 𝑙𝑎 𝑓𝑖𝑙𝑎 1

(−1)1+1. |1 00 1

| + 0 + 0 = 1. (1.1 − 0.0) = 1.

6. Sea A 𝝐ℝ𝒏𝒙𝒏 , si 𝑨´ es la matriz que se obtiene de A sumándole a la fila i, la fila j

multiplicada por c, det𝑨´ =det(A).

Esta propiedad afirma que, si le hacemos esa operación elemental a una matriz A, la

matriz que resulta luego de esa operación elemental, tiene el mismo determinante que

A . Esta propiedad ayudará a facilitar el cálculo de determinantes. Lo veremos luego

en los ejemplos.

7. 𝐒𝐢 𝐀 𝝐ℝ𝒏𝒙𝒏 tene una fila que es igual a otra multiplicada por un número entonces

det(A) = 0.

Si hacemos una operción elemental que consiste en restarle a la fila que es múltiplo de otra, la otra multiplicada por el mismo

número, obtenemos una matriz con una fila nula, cuyo determinante es cero y es igual al determinante de A, por la propiedad 6.

8. Si A 𝝐ℝ𝒏𝒙𝒏 y tiene dos filas iguales entonces det(A)=0 Esta propiedad se deduce de la anterior porque si a la matriz A, le restamos a una fila la otra que es igual, su determinante no

cambia, por la propiedad 6. Pero al restarle a una fila otra que es igual, queda una matriz con una fila nula y por la propiedad 2 el

determinante es cero.

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9. Sea A 𝝐ℝ𝒏𝒙𝒏 𝐒𝐢 𝐀´es una matriz que se obtiene de A permutando una fila por

otra entonces det (𝐀´) = − 𝐝𝐞𝐭(𝐀).

Ejemplos:

1. Calcule los determinantes de las 3 matrices elementales dadas, de 3 por 3.

Sabemos que el determinante de 𝐼3 da 1

Sean 𝐸1 = 𝑀2(3)(𝐼3) = (1 0 00 3 00 0 1

) 𝐸2 = 𝑆31(−4)(𝐼3) = (

1 0 −40 1 00 0 1

)

𝐸3 = 𝑃23(𝐼3) = (1 0 00 0 10 1 0

)

det(𝐸1) = 3 (por la propiedad 1) det(𝐸2) = 1 (por la propiedad 5)

det(𝐸3) = − 1 (por la propiedad 7)

Esta propiedad se generaliza a todas las matrices elementales es decir que las matrices

elementales tienen determinante 1, -1 o un número real c no nulo, cuando la matriz elemental

corresponde a la operación 𝑀𝑖(𝑐)(𝐼𝑛). Conclusión:

Las matrices elementales tienen determinante distinto de cero.

2. Calcular los determinantes de las siguientes matrices:

𝐴 = (

−3 78 12 −32 72 0 212

−42

5012

)

El determinante de una matriz de orden 4 como esta, involucra 4 determinantes de matrices de

3 por 3 (cuatro determinantes de orden 3) por cualquier fila o columna. La ventaja de elegir,

por ejemplo, la columna 3, es que al tener dos elementos nulos, solo calcularíamos dos

determinantes de orden 3.

Pero si observamos con detenimiento, podemos ver que la matriz A tiene la primera columna

igual a la cuarta. Como dijimos que todas las propiedades enunciada para las filas de una

matriz, valen también para sus columnas, aplicando la propiedad 6, se tiene que:

det(A) = 0

(que maravilla de propiedades estas que vimos!!!)

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3. Calcular el determinante de 𝐴 = (

0 7 2 31 −1 0 232

42

1112

)

Observamos la matriz y no encontramos ni filas ni columnas nulas ni iguales.

Entonces aplicaremos la propiedad 5.

¿De qué forma? Busquemos un 1 conveniente y hagamos ceros en toda la columna.

Como cuando buscábamos la matriz reducida por filas y escalonada, equivalente por

filas con A.

La matriz así obtenida tendrá el mismo determinante que A (por la propiedad 5) pero

será mucho más fácil de calcular.

El 1 elegido es el que está en la fila 3, columna 3.

Llamamos A´ a la matriz que se obtiene de A, de la siguiente forma:

𝐴 = (

0 7 2 31 −1 0 232

42

1112

)

𝑆31(−2)→ 𝑆34(−1)→

(

−6 −1 0 11 −1 0 23−1

4−2

1011

)

A´= (

−6 −1 0 11 −1 0 23−1

4−2

1011

) det(A)=det(A´)=|

−6 −1 0 11 −1 0 23−1

4−2

1011

|=

=⏞𝑝𝑜𝑟 𝑐𝑜𝑙𝑢𝑚𝑛𝑎 3

0+0+1. (−1)3+3. |−6 −1 11 −1 2−1 −2 1

| + 0 =

|−6 −1 11 −1 2−1 −2 1

|1 0 𝑏2 1 10 𝑏 −3

6.(−1)1+1.|−1 2−2 1

| +(-1). (−1)1+2. |1 2−1 1

| +

+1. (−1)1+3.1. |1 −1−1 −2

| = −6.2 + 3 − 3 = −12. det(A)=-12.

Ahora enunciaremos un teorema muy importante porque permite saber cuando una

matriz cuadrada es invertible, sin calcular su inversa.

Teorema:

Sea A 𝝐 ℝ𝒏𝒙𝒏. A es invertible si y sólo si 𝒅𝒆𝒕(𝑨) ≠ 𝟎.

(sólo para aquel que desee saber un poco más).

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Daremos una demostración que nos permitirá entender el porqué de algunos resultados

teóricos vistos en el capítulo anterior y otros de este mismo capítulo:

Antes de la demostración haremos algunos comentarios muy útiles, de conceptos ya

vistos.

- En el Capítulo 3, parte 2 (Páginas 23 y 24) dijimos que si A 𝜖ℝ𝑛𝑥𝑛 , mediante

la aplicación de operaciones elementales, que equivale a producto de matrices

elementales, obteníamos la matriz reducida por filas y escalonada equivalente a la

matriz A. Habíamos dicho que había solo dos posibilidades:

1. AR 𝑒𝑠 𝑙𝑎 𝑚𝑎𝑡𝑟𝑖𝑧 𝑖𝑑𝑒𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑 𝐼𝑛𝑜

2. AR 𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒 𝑎𝑙𝑔𝑢𝑛𝑎 𝑓𝑖𝑙𝑎 𝑛𝑢𝑙𝑎.

Se tiene que:

𝐸𝑘 . 𝐸𝑘−1… .𝐸2. 𝐸1. 𝐴 = AR

- Como las matrices elementales son todas invertibles y el producto de matrices

invertibles da como resultado una matriz invertible.

(𝐸𝑘 . 𝐸𝑘−1… . 𝐸2. 𝐸1)−1sabemos que esta matriz inversa existe y además como vimos

antes, en esas páginas del Capítulo 3, tenemos lo siguiente:

(𝐸𝑘 . 𝐸𝑘−1… . 𝐸2. 𝐸1)−1= 𝐸1

−1. 𝐸2−1 . . . 𝐸𝑘−1

−1 . 𝐸𝑘−1

y esto nos permite ver la forma de la inversa de ese producto de matrices

elementales. Además, sabemos que las inversas de las matrices elementales, son

matrices elementales también.

- Luego, por lo que vimos antes, todas ellas, por ser matrices elementales, tienen

determinante distinto de cero.

Partiendo de la igualdad:

𝐸𝑘 . 𝐸𝑘−1… . 𝐸2. 𝐸1. 𝐴 = AR

- Y teniendo en cuenta que, si multiplicamos a ambos miembros a izquierda por la

misma matriz, la igualdad se mantiene:

(𝐸𝑘 . 𝐸𝑘−1… . 𝐸2. 𝐸1)−1. (𝐸𝑘 . 𝐸𝑘−1… . 𝐸2. 𝐸1. )𝐴 = (𝐸𝑘 . 𝐸𝑘−1… . 𝐸2. 𝐸1)

−1. AR

- En el miembro izquierdo de esta igualdad, tenemos el producto de una matriz por su

inversa. Sabemos que el resultado de ese producto es 𝐼𝑛 , entonces:

𝐼𝑛 . 𝐴 = (𝐸𝑘. 𝐸𝑘−1… .𝐸2. 𝐸1)−1. AR

- También sabemos que 𝐼𝑛 es el elemento neutro para el producto de matrices

cuadradas de orden n.

Y como la forma de la matriz inversa del producto de matrices elementales, es también

un producto de matrices elementales, se cumple la siguiente igualdad:

𝐴 =𝐸1−1. 𝐸2

−1 . . . 𝐸𝑘−1−1 . 𝐸𝑘

−1 . AR

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- Ahora, como dos matrices iguales tienen el mismo determinante:

𝑑𝑒𝑡(𝐴) =𝑑𝑒𝑡(𝐸1−1. 𝐸2

−1 . . . 𝐸𝑘−1−1 . 𝐸𝑘

−1 . AR)

En el segundo miembro de la igualdad, aplicamos la propiedad 3 de los determinantes.

Obteniendo la siguiente igualdad que nos guiará hacia la demostración de este

teorema:

- 𝒅𝒆𝒕(𝑨) =𝒅𝒆𝒕(𝑬𝟏−𝟏). 𝒅𝒆𝒕(𝑬𝟐

−𝟏) . . . 𝒅𝒆𝒕( 𝑬𝒌−𝟏−𝟏 ). 𝒅𝒆𝒕(𝑬𝒌

−𝟏) . 𝒅𝒆𝒕(𝐀𝐑)

Si hasta acá ha comprendido todos estos argumentos, hemos llegado al lugar en donde la

demostración de este teorema será por simple observación:

Al fin, haremos la demostración del teorema. Lo enunciamos nuevamente:

Sea A 𝝐 ℝ𝒏𝒙𝒏 . A es invertible si y sólo si 𝒅𝒆𝒕(𝑨) ≠ 𝟎

Primero supongamos que A es invertible y demostremos que el det(A) no es cero.

Como vimos que: 𝑑𝑒𝑡(𝐴) =𝑑𝑒𝑡(𝐸1−1). 𝑑𝑒𝑡(𝐸2

−1) . . . 𝑑𝑒𝑡( 𝐸𝑘−1−1 ). 𝑑𝑒𝑡(𝐸𝑘

−1) . 𝑑𝑒𝑡(AR)

Y al ser A invertible, AR = 𝐼𝑛 y como det (𝐼𝑛)=1, resulta que:

𝑑𝑒𝑡(𝐴) =𝑑𝑒𝑡(𝐸1−1). 𝑑𝑒𝑡(𝐸2

−1) . . . 𝑑𝑒𝑡( 𝐸𝑘−1−1 ). 𝑑𝑒𝑡(𝐸𝑘

−1).1

El segundo miembro de la igualdad es un producto de números reales no nulos por lo

dicho antes sobre el determinante de las matrices elementales.

Entonces 𝒅𝒆𝒕(𝑨) ≠ 𝟎, como queríamos demostrar.

Para la segunda parte de la demostración, debemos suponer que:

𝒅𝒆𝒕(𝑨) ≠ 𝟎 y probar que A es invertible.

Como es verdadera la siguiente igualdad:

𝑑𝑒𝑡(𝐴) =𝑑𝑒𝑡(𝐸1−1). 𝑑𝑒𝑡(𝐸2

−1) . . . 𝑑𝑒𝑡( 𝐸𝑘−1−1 ). 𝑑𝑒𝑡(𝐸𝑘

−1) . 𝑑𝑒𝑡(AR)

Y al ser el primer miembro de esta igualdad distinto de cero, el segundo miembro también lo

es, entonces:

𝑑𝑒𝑡(𝐸1−1). 𝑑𝑒𝑡(𝐸2

−1) . . . 𝑑𝑒𝑡( 𝐸𝑘−1−1 ). 𝑑𝑒𝑡(𝐸𝑘

−1) . 𝑑𝑒𝑡(AR) ≠ 𝟎

Un producto de números reales que no es cero, implica que ninguno de sus factores puede ser

cero.

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En particular : 𝑑𝑒𝑡(AR) ≠ 𝟎.

Como sabemos que: 1. AR 𝑒𝑠 𝑙𝑎 𝑚𝑎𝑡𝑟𝑖𝑧 𝑖𝑑𝑒𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑 𝐼𝑛

𝑜2. AR 𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒 𝑎𝑙𝑔𝑢𝑛𝑎 𝑓𝑖𝑙𝑎 𝑛𝑢𝑙𝑎.

Si el caso 2 fuese posible quedaría : 𝒅𝒆𝒕(𝑨) = 𝟎 y bien sabemos que no puede ser

porque supusimos que 𝑑𝑒𝑡(𝐴) ≠ 0. Entonces es válido el caso 1:

AR 𝑒𝑠 𝑙𝑎 𝑚𝑎𝑡𝑟𝑖𝑧 𝑖𝑑𝑒𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑 𝐼𝑛

Y vimos que en esas condiciones, se cumple que A es invertible.

Como queríamos demostrar.

Ejemplos:

1. Halle el valores de b, si existe, para que la siguiente matriz A sea invertible.

𝐴 = (1 0 𝑏2 1 10 𝑏 −3

)

Calculemos det(A) = |1 0 𝑏2 1 10 𝑏 −3

| =⏞𝑝𝑜𝑟 𝑙𝑎 𝑓𝑖𝑙𝑎 1

1.(1.(-3)-1.b) + 0 + b.(2.b-1.0)= -3-b+2𝑏2=

= 2𝑏2-b-3.

Es decir que 2𝑏2-b-3 es el determinante de A.

Buscamos los valores de b, para que A sea invertible. Sabemos que buscamos valores de b,

tales que:

2𝑏2-b-3≠ 0

Pero es mucho más fácil encontrar los valores de b tales que: 2𝑏2-b-3 = 0 pero eso sí:

entendiendo que, para esos valores de b, det(A)=0 y A no es invertible.

Resolviendo la ecuación 2𝑏2-b-3 = 0 se encuentran 2 valores de b: 𝑏1 =3

2 y 𝑏2 = −1.

Entonces la respuesta es la siguiente:

Los valores de b para que la matriz A sea invertible son todos los números reales

excepto 𝟑

𝟐 y -1.

2. ¿La matriz 𝐴 = (1 0 −12 1 10 −1 −3

) es invertible?

No!!

¿Porqué?

Porque det(A) = 0.

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3. Demostrar el siguiente enunciado:

Si la matriz A 𝝐 ℝ𝒏𝒙𝒏 es una matriz invertible entonces 𝐝𝐞𝐭(𝐀−𝟏) =𝟏

𝐝𝐞𝐭(𝐀)

.Rango de matrices por determinantes.

Tenemos un método para calcular el rango de una matriz cualquiera 𝐴 𝜖 ℝ𝑛𝑥𝑚.

Hallábamos su matriz reducida y escalonada equivalente por filas, AR y le

contábamos la cantidad de filas no nulas. Era un número natural, digamos r, que

entendimos que era menor o igual a la cantidad de filas de A, m en este caso.

Las submatrices cuadradas de una matriz A, son matrices formadas por la

eliminación de filas y/o columnas de A,(no daremos una definición formal de ellas)

de manera que resulten cuadradas, por ejemplo si

A= (0 1 3 2 24 −1 7 5 50 0 2 2 1

) el orden de la mayor submatriz cuadrada que podemos

encontrar es 3. El orden menor es 1.

Son submatrices de A de orden 3, entre otras, por ejemplo las siguientes:

(0 1 34 −1 70 0 2

), (3 2 27 5 52 2 1

)𝑦 (0 3 24 7 59 2 1

)

Y de orden 2 (0 10 0

) , (3 27 5

) , (2 25 5

)𝑦 (0 20 1

) entre muchas más.

Pero no son submatrices de A de orden 2: (0 10 2

)ni (3 22 1

) ni (4 −12 1

)

De orden 1, son 15 y se las puede imaginar a todas.

A toda submatriz cuadrada se le puede calcular su determinante, justamente porque es

cuadrada.

El rango de A 𝝐 ℝ𝒏𝒙𝒎es el mayor orden de una submatriz cuadrada de A, de

determinante no nulo.

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Es decir que A 𝝐 ℝ𝒏𝒙𝒎 tiene rango r, si:

1. Existe una submatriz de A, de orden r, de determinante distinto de

cero.

Y

2. Todas las submatrices de A de orden r+1, tienen determinante cero.

Ejemplos:

1. Calcular el rango de 𝐴 = (

0 7 2 31 −1 0 232

42

1112

).

Para calcular el rango hay que concentrarse primero en las submatrices de A de mayor

orden.

Como esta matriz es de orden cuatro, la submatriz de A, de mayor orden que se puede

encontrar, es ella misma. Como det(A)= -12, podemos afirmar que el rango de A es

4.

Este ejemplo nos permite deducir que:

Son equivalentes las siguientes proposiciones para toda matriz A,

cuadrada de orden n:

- El rango de A es n.

- La matriz A es invertible.

- El det(A) es no nulo.

2. (Caso interesante)

Calcular el rango por determinantes de la siguiente matriz:

𝐴 = (2 0 6 03 1 2 35 1 8 3

) Para calcular el rango hay que concentrarse primero en las

submatrices de A de mayor orden. En nuestro caso son las de orden 3.

Se tiene que tener en cuenta también, que si una submatriz tiene dos filas o dos

columnas iguales o una múltiplo de la otra, aquellas submatrices que las incluyan

tendrán determinante cero.

En nuestro ejemplo, la columna 4, es 3 veces la columna 2. Como estamos

interesados en aquellas submatrices de determinante no nulo, no testearemos las

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que incluyan ambas columnas, con lo cual la búsqueda se simplifica

considerablemente.

Consideraremos solamente 𝐴1 = (2 0 63 1 25 1 8

) y 𝐴2 = (2 0 63 3 25 3 8

) aunque si el

determinante de la primera da cero, el de la segunda también. Y si el de la primera

es distinto de cero, el de la segunda también por tener una columna “parecida” o la

columna de una de las matrices matrices es múltiplo de una columna de la otra.

Entonces solo calcularemos |𝐴1|.

|𝐴1| =⏞𝑝𝑜𝑟 𝑙𝑎 𝑓𝑖𝑙𝑎 1

2. (1.8 − 2.1) + 0 + 6. (3.1 − 5.1) = 2.6 + 6. (−2) = 0

Ahora podemos afirmar que el rango de A no es 3.

Para afirmar que el rango de A es 2, debemos exhibir una submatriz de orden

2 de determinante distinto de cero.

Es fácil, por ejemplo (2 03 1

) ya que |2 03 1

| = 2.1 − 3.0 = 2 ≠ 0.

Podemos afirmar que el rango de A es 2.

Volvemos a los sistemas.

Teorema de Rouché – Frobenius.

Los sistemas lineales de m ecuaciones y n incógnitas pueden clasificarse según su tipo de

solución. En ese sentido hemos vistos que los sistemas pueden:

- No tener solución. En ese caso se dice que: el sistema es incompatible.

- Tener solución. En ese caso se dice que: el sistema es compatible

Pero los sistemas compatibles pueden ser de dos tipos:

a) Tener solución única:

En ese caso se dice que: el sistema es compatible determinado. b) Tener infinitas soluciones:

En ese caso se dice que: el sistema es compatible indeterminado.

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El Teorema de Rouché – Frobenius.

Lo interesante de este teorema es que permite saber que tipo de solución tiene un

sistema sin resolverlo.

Recordemos antes de enunciar el teorema, algunos conceptos:

. Todo sistema de m ecuaciones y n incógnitas, tiene una expresión de ecuación matricial

de la forma A.X = B

. En un sistema pueden distinguirse dos matrices destacadas: A, la matriz de los

coeficientes y (𝑨|𝑩) la matriz ampliada del sistema.

. Este teorema compara los rangos de las matrices A y la ampliada (𝑨|𝑩).

Notación: R(A) se leerá como el rango de A.

(al fin…)

Teorema de Rouché – Frobenius:

Sea A.X = B un sistema de m ecuaciones con n incógnitas.

. El sistema es compatible si y sólo si el rango de A es igual al rango de la

matriz ampliada (𝑨|𝑩). (compatible era: tiene solución)

. El sistema es compatible determinado si y sólo si R(A) = R((𝑨|𝑩) = 𝒏.

(n es el número de incógnitas) (compatible determinado era solución única)

. El sistema es compatible indeterminado si y sólo si R(A) = R((𝑨|𝑩) < 𝒏. (n es número de incógnitas) (compatible indeterminado era infinitas soluciones, que me parece que de indeterminado no

tiene nada. )

Aunque el teorema no lo mencione, porque no hace falta, se deduce que: si los rasgos son distintos, el de A menor que

el de la ampliada (𝑨|𝑩) , el sistema es incompatible, es decir que no tiene solución).

Ejemplo.

Analizar la compatibilidad del siguiente sistema:

(1 −2 11 3 −23 4 −3

) . (𝑥𝑦𝑧) = (

2−13)

Si el rango de A es 3, también lo será el de la ampliada: (1 −2 11 3 −23 4 −3

|2−13)

Porque el rango de la ampliada no puede ser mayor que 3 y A es una submatriz de

la ampliada.

Calculemos el rango de A por determinantes:

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|1 −2 11 3 −23 4 −3

|= -9+4+12 - 9+8-6 = 0 luego A no tiene rango 3. Veamos si tiene

rango 2. Por ejemplo calculemos el determinante de la submatriz de A:(1 −21 3

)

|1 −21 3

|= 3+2 =5≠ 0 efectivamente R(A) = 2.

Ahora debemos determinar si es compatible indeterminado o incompatible. Para

eso debemos hallar el rango de la matriz ampliada:

Vayamos por rango 3, es decir busquemos una submatriz de orden 3 de la matriz

ampliada, si existe con determinante distinto de cero. Elijamos, por ejemplo la

formada por las dos primeras columnas de A y como tercera columna la de los

términos independientes y calculemos su determinante:

|1 −2 21 3 −13 4 3

| = 9 + 8 + 6 − 18 + 6 + 4 ≠ 0, luego el rango de la ampliada es 3.

Conclusión: R(A)=2 es distinto del R(A|B) = 3.

Podemos afirmar por el teorema de R.-F. que el sistema es incompatible.

Observaciónes sobre los sistemas homogéneos:

Los sistemas homogéneos son todos compatibles:

Un sistema homogéneo es de la forma A.X = 0. Si observamos la matriz

ampliada será de la forma (A|0) y agregar una columna nula a la matriz A, no

puede modificar su rango, por eso es que todos los sistemas homogéneos son

compatibles. Ya que en estos sistemas resulta que el R(A) = R((A|0)).

Tenemos dos opciones:

- Si R(A) es igual al número de incógnitas, el Teorema de Rouché-Frobenius, asegura

que el sistema es compatible determinado y su única solución 𝑋∗,

𝑠𝑒𝑟á 𝑙𝑎 𝑚𝑎𝑡𝑟𝑖𝑧 𝑛𝑢𝑙𝑎 que satisface la igualdad matricial A. 𝑋∗ = 0.

- Si R(A) es menor que el número de incógnitas el sistema será compatible

indeterminado y obviamente 𝑋∗ = 0, estará entre las infinitas soluciones del sistema,

simplemente porque satisface la ecuación matricial A. 𝑋∗ = 0.

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