8/18/2019 S2 3-C1V Continuidad

1/13

CÁLCULO DE UN V RI BLE

FORM CIÓN POR COMPETENCI S

CONTINUID D

DE

 

UN

FUNCIÓN

8/18/2019 S2 3-C1V Continuidad

2/13

Formación Básica Cálculo de una variable

CONTINUIDAD

8/18/2019 S2 3-C1V Continuidad

3/13

Formación Básica Cálculo de una variable

3

Objetivos

1. Entiende el concepto de continuidad.

2. Identifica los tipos de discontinuidad de una

función.

3. Analiza la continuidad de una función

4. Resuelve problemas relacionados a funciones

continuas.

8/18/2019 S2 3-C1V Continuidad

4/13

Formación Básica Cálculo de una variable

4

Noción de continuidad

Para una función  definida sobre un intervalo o sobre un sub conjunto de

ℝ, nuestra idea intuitiva de continuidad es que la curva que representa la

gráfica de

  se debe realizar mediante un trazo «ininterrumpido», sobre

el intervalo o sub conjunto de ℝ 

Y

X  

Y

X  

Y

X  

8/18/2019 S2 3-C1V Continuidad

5/13

Formación Básica Cálculo de una variable

5

Noción de continuidad

X

  Y

  () 

  Y

X

Para una función  definida sobre un sub conjunto discreto de ℝ. 

8/18/2019 S2 3-C1V Continuidad

6/13

Formación Básica Cálculo de una variable

6

Definición de continuidad en un punto

Una función  es continua en el punto  si se satisfacenlas 3 condiciones siguientes:

(1) () está definida.(2) lim→ () existe y es un número real.(3)

lim→ () =  

Si la gráfica de   no tiene interrupción alguna en ,()  entoncescuando  tiende a , () debe aproximarse a     . De una función que no es continua en un punto se dice que esdiscontinua en dicho punto

8/18/2019 S2 3-C1V Continuidad

7/13Formación Básica Cálculo de una variable

lim→ () = ±∞ 

→    

7

Tipos de Discontinuidad

Y

X

Y

X 

Existe un salto «finito»

e =  ∈ (). Existe un salto «infinito»e =  ∈ ().

 Salto finitoinevitable

Salto

infinito

Los limites laterales son reales y diferenteslim→ () ≠ lim→ () 

Al menos un limite lateral

resulta ∞ o ∞ 

8/18/2019 S2 3-C1V Continuidad

8/13Formación Básica Cálculo de una variable

8

Tipos de Discontinuidad

Y

X

Salto finito

evitable

Existe un salto «finito» de un solo

punto e

=

 ∈ ().

Los limites laterales en  son:• Reales

• Iguales (es decir

lim→ () 

existe)

• Diferentes a () 

lim→ () = lim→ () =  

    ≠  Las discontinuidades llamadas evitables nos dicen que es posiblehacer una redefinición de  

 

de manera que resulte continua en . 

 

8/18/2019 S2 3-C1V Continuidad

9/13Formación Básica Cálculo de una variable

9

Ejemplos de funciones continuas

Todas las funciones especiales estudiadas en los capítulos

previos son continuas en su respectivo dominio:

Función polinómica.

Función raíz cuadrada.

Función valor absoluto.

Función racional.

Función exponencial.

Función logaritmo.

Funciones trigonométricas.

8/18/2019 S2 3-C1V Continuidad

10/13Formación Básica Cálculo de una variable

10

Propiedades de la continuidad

Si  es un número real, y   y  son funciones continuas en =

 entonces las siguientes funciones también son

continuas continuas en =  (1) Múltiplo escalar:  (2) Suma y diferencia:  ±  (3) Producto:

  

(4) Cociente:  si () ≠ 0 Si  es continua en  y   es continua en (), entoncesla función compuesta dada por

  ∘ = () es

continua en .

8/18/2019 S2 3-C1V Continuidad

11/13Formación Básica Cálculo de una variable

11

Ejercicio

 Analice la continuidad de las siguientes funciones

   =   1 , ≤ 23 , > 2     =    1 , 3 < ≤ 0 1 , 0 < < 25   , 2 ≤ ≤ 2 3   

  = −

−   , ≠ 0 , = , donde

 es una constante

positiva.

8/18/2019 S2 3-C1V Continuidad

12/13Formación Básica Cálculo de una variable

12

Ejercicio

En cada caso determine los valores de  y/o  para que lafunción dada sea continua en todo su dominio.

   =   , ≤ 1 , 1 < < 42 , ≥ 4      = 3  , < 1 , = 1+−−   , > 1 

8/18/2019 S2 3-C1V Continuidad

13/13Formación Básica Cálculo de una variable

13

Referencias Bibliográficas

[1] Larson, R. y Edward, B. (2011) Cálculo. 9ª ed. México,

D.F.: McGraw-Hill.

[2] Stewart, J. (2010) Cálculo de una variable conceptos y

contextos. 4ª ed. México. Cengage

[3] Larson, R. y Edward, B. (2010) Cálculo 2: de variasvariables. 9ª ed. México: McGraw-Hill

[4] Thomas, G. B. (2006) Cálculo una variable. 11ª ed.

México: Pearson

[5] Kong, Maynard (2004). Cálculo diferencial. Lima:

Pontificia Universidad Católica del Perú.