S08 Sistemas de Ecuaciones
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jlc
Conjunto de ecuaciones con varias incógnitas que
constituyen un problema matemático
La solución consiste en encontrar los valores de
las incógnitas que satisfacen dichas ecuaciones.
jlc
jlc
o Los métodos directos proporcionan una solución del
sistema en un número finito de pasos.
o Los métodos iterativos se parte de una
aproximación y se genera, a partir de dicha
aproximación, una sucesión de vectores que si
converge lo hace a la solución del sistema.
jlc
La descomposición LU transforma una matriz a en el
producto de dos matrices triangulares
𝐴 = 𝐿𝑈
Donde 𝐿 es triangular inferior y 𝑈 es triangular
superior.
jlc
𝐴𝑥 = 𝑏
𝐿𝑈𝑥 = 𝑏
𝐿 𝑈𝑥 = 𝑏
𝑈𝑥 = 𝑧 → 𝐿𝑧 = 𝑏
jlc
jlc
33
2322
131211
00
0
u
uu
uuu
U
1
01
001
3231
21
ll
lL
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
A
jlc
3
2
1
3
2
1
3231
21
1
01
001
b
b
b
z
z
z
ll
l
3
2
1
3
2
1
33
2322
131211
00
0
z
z
z
x
x
x
u
uu
uuu
3
2
1
3
2
1
333231
232221
131211
b
b
b
x
x
x
aaa
aaa
aaa
33232131
22121
11
bzzlzl
bzzl
bz
1313212111
2323222
3333
zxuxuxu
zxuxu
zxu
jlc
jlc
jlc
jlc
jlc
𝐴𝑥 = 𝑏
𝒙 = 𝐸𝑥 + 𝑓
𝒙𝑘+1 = 𝐸𝑥𝑘 + 𝑓
La representación de 𝐸 y 𝑓 es
independiente del método.
jlc
nnnnnn
nn
nn
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
2211
22222121
11212111
0
0
2
0
1
0
nx
x
x
x
)(1 0
1
0
2121
11
1
1 nnxaxaba
x
)(1 0
11
0
22
0
11
1
nnnnnn
nn
n xaxaxaba
x
)(1 0
2
0
323
0
1212
22
1
2 nnxaxaxaba
x
jlc
La matriz se puede escribir de la forma 𝐴 = 𝐿 + 𝐷 + 𝑈
000
00
0
00
00
00
0
00
000
23
1312
33
22
11
3231
21
333231
232221
131211
a
aa
a
a
a
aa
a
aaa
aaa
aaa
n
ij
k
jij
i
j
k
jiji
ii
k
i xaxaba
x1
1
1
1 1𝑥𝑘+1 = −𝐷−1(𝐿 + 𝑈)𝑥𝑘 + 𝐷−1𝑏𝐸 = −𝐷−1(𝐿 + 𝑈)𝑓 = 𝐷−1𝑏
𝐴𝑥 = 𝑏 (𝐿 + 𝐷 + 𝑈)𝑥 = 𝑏
𝐷𝑥𝑘+1 = −(𝐿 + 𝑈)𝑥𝑘 + 𝑏
kk UxLx𝐷𝑥𝑘+1
jlc
La matriz 𝐴 debe ser diagonalmente dominante.
El elemento de la diagonal principal sea mayor que
la suma del resto de elementos de la misma ecuación
jlc
aii aijj1ji
n
jlc
15
21
7
512
184
114
3
2
1
x
x
x
0
0
00x
5/15
8/21
4/7
05/15/2
8/108/4
4/14/10
3
2
1
3
2
1
x
x
x
x
x
x
5
215
8
421
4
7
0
2
0
11
3
0
3
0
11
2
0
3
0
21
1
xxx
xxx
xxx
0.35
15
625.28
21
75.14
7
nnnnnn
nn
nn
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
2211
22222121
11212111
0
0
2
0
1
0
nx
x
x
x
)(1 0
1
0
2121
11
1
1 nnxaxaba
x
)(1 1
11
1
22
1
11
1
nnnnnn
nn
n xaxaxaba
x
)(1 0
2
0
323
1
1212
22
1
2 nnxaxaxaba
x
Utilizamos la
estimación
anterior
jlc
1
1 1
11 1 i
j
n
ij
k
jij
k
jiji
ii
k
i xaxaba
x
𝑥𝑘+1 = − 𝐷 + 𝐿 −1𝑈𝑥𝑘 + 𝐷 + 𝐿 −1𝑏𝐸 = − 𝐷 + 𝐿 −1𝑈𝑓 = 𝐷 + 𝐿 −1𝑏
𝐴𝑥 = 𝑏 (𝐿 + 𝐷 + 𝑈)𝑥 = 𝑏
𝐷 + 𝐿 𝑥𝑘+1 = −𝑈𝑥𝑘 + 𝑏
k1k UxLx 𝐷𝑥𝑘+1
jlc
La matriz A debe ser diagonalmente
dominante
La matriz A debe ser simetrica y definida
positiva
jlc
5225
21512
251220
2525
21512
51220
No es diagonalmente dominante No definida positiva
2525
21512
51220
Definida Positiva
Simetrica
Diagonalmente dominante
jlc
2528
21512
51220
No simetrica.
jlc
15
12
4
512
181
214
3
2
1
x
x
x
0
0
00x
5
215
8
12
4
24
1
2
1
11
3
0
3
1
11
2
0
3
0
21
1
xxx
xxx
xxx
075.35
625.1215
625.18
112
14
4