Teora de la friccin seca

Al subir por una escalera, sta permanece en reposo por la fuerza de friccin ejercida por el piso (Fig. la). Si se permanece quieto sobre la escalera, las ecuaciones de equilibrio determinan la fuerza de friccin. Pero, hay una cuestin importante que no puede aclararse slo con las ecuaciones de equilibrio: permanecer la escalera en reposo o resbalar sobre el piso? Si un camin se estaciona sobre un terreno inclinado, la fuerza de friccin ejercida sobre l por el terreno impide que se deslice cuesta abajo (Fig. 1b). Surge otra pregunta: qu pendiente mxima puede tener el terreno sin que el camin estacionado se deslice?

Figura.1Cuerpos soportados por fuerzas de friccin

Para responder estas preguntas, debemos examinar con mayor detalle la naturaleza de las fuerzas de friccin. Coloque un libro sobre una mesa y empjelo con una pequea fuerza horizontal (Fig. 2a). Si la fuerza que usted ejerce es suficientemente pequea, el libro no se mover. En la figura 2(b) se muestra el diagrama de cuerpo libre. La fuerza W es el peso del libro, y N es la fuerza normal ejercida por la mesa. La fuerza F es la fuerza horizontal que se aplica, y f es la fuerza de friccin ejercida por la mesa. Como el libro est en equilibrio, f = F. Figura.2(a) Ejerciendo una fuerza horizontal sobre un libro.(b) Diagrama de cuerpo libre del libro.

Ahora incremente con lentitud la fuerza sobre el libro. Mientras ste permanezca en equilibrio, la fuerza de friccin debe aumentar en forma correspondiente, ya que es igual a la fuerza que se aplica. Cuando sta llega a ser muy grande, el libro se deslizar sobre la mesa. Despus de alcanzar cierto valor mximo, la fuerza de friccin ya no es capaz de mantener el libro en equilibrio. Observe tambin que la fuerza necesaria para mantener al libro en movimiento es menor que la requerida para que empiece a deslizarse (usted estar familiarizado con este fenmeno si alguna vez trat de empujar un mueble sobre el piso).Cmo ejerce la mesa una fuerza de friccin sobre el libro? Por qu ste se desliza? Por qu para mantenerlo en movimiento se requiere una fuerza menor que para empezar a deslizarlo? Si las superficies de la mesa del libro se amplifican suficientemente, adquieren un aspecto rugoso (Fig..3). Las fuerzas de friccin surgen en parte debido a las rugosidades o asperezas de las superficies en contacto. A escala an menor, las superficies tienden a formar enlaces atmicos que las adhieren entre s (Fig..4). La ltima pregunta planteada arriba la explica, en parte, la necesidad de romper esos enlaces antes de que pueda comenzar el deslizamiento.En las siguientes secciones veremos una teora que predice los fenmenos bsicos que hemos descrito que ha resultado til para representar, en aplicaciones de ingeniera, las fuerzas de friccin entre superficies secas (la friccin entre superficies lubricadas es un fenmeno hidrodinmico que debe analizarse en el contexto de la mecnica de fluidos).Coeficientes de friccinFigura.3Las rugosidades de las superficies se pueden ver en una vista ampliada.

La teora de la friccin seca, o friccin de Coulomb, predice las fuerzas de friccin mximas que pueden ser ejercidas por superficies secas en contacto, y que se hallan en reposo entre s. Tambin predice las fuerzas de friccin ejercidas por las superficies cuando stas se hallan en movimiento relativo, es decir, deslizndose unas con respecto a otras.El coeficiente esttico La magnitud de la fuerza de friccin mxima que se puede ejercer entre dos superficies planas secas en contacto es ( 1)donde N es la componente normal de la fuerza de contacto entre las superficies y es una constante llamada coeficiente de friccin esttica. Se supone que el valor de depende slo de los materiales de las superficies en contacto de sus condiciones (lisura grado de contaminacin por otros materiales). Figura.4Simulacin con computador de un enlace de tomos formado entre una punta de nquel y una superficie de oro.

Volvamos al ejemplo de la figura.2. Si la fuerza F sobre el libro es tan pequea que ste no se mueve, la condicin de equilibrio indica que la fuerza de friccin f = F. Para qu necesitamos la teora de la friccin seca? Si se incrementar a la fuerza aumentar hasta que el libro se deslice. La ecuacin (1) da la fuerza de friccin mxima que las dos superficies pueden ejercer y, por ende, la fuerza mxima F que se puede aplicar sin que el libro se deslice. Si se conoce el coeficiente de friccin esttica entre el libro y la mesa y el peso W del libro, como la fuerza normal = W, el valor mximo de F es F = = W.Direccin del deslizamiento inminente

La ecuacin (1) determina la magnitud de la fuerza mxima de friccin pero no su direccin. La fuerza de friccin es un mximo, la ecuacin (1) es aplicable, si las dos superficies estn a punto de deslizarse una con respecto a la otra. Se dice que el deslizamiento es inminente y que las fuerzas de friccin resisten el movimiento inminente. Si (Fig. 5a) la superficie inferior est fija y el deslizamiento de la superficie superior hacia la derecha es inminente, la fuerza de friccin sobre la superficie superior resistir este movimiento inminente (Fig. 5b). La fuerza de friccin sobre la superficie inferior tendr direccin opuesta.Figura 5(a) La superficie superior est a punto de deslizarse hacia la derecha.(b) Direcciones de las fuerzas de friccin

El coeficiente cintico Segn la teora de la friccin seca, la magnitud de la fuerza de friccin entre las dos superficies planas y secas en contacto, que estn en movimiento (deslizamiento) relativo, es (2)donde es la fuerza normal entre las superficies es el coeficiente de friccin cintica. Se supone que el valor de depende slo de las composiciones condiciones de las superficies. Para un par de superficies dado, su valor es generalmente menor que el de .Una vez que el libro de la figura.2 ha comenzado a deslizarse, la fuerza de friccin =N = W. Por tanto, la fuerza que debe ejercerse para mantener el libro en movimiento uniforme es F== W.

Figura 6(a) La superficie superior se est moviendo hacia la derecha con respecto ala superficie inferior.(b) Direcciones de las fuerzas de friccin.

Cuando dos superficies estn deslizndose entre s, las fuerzas de friccin resisten el movimiento relativo. Suponga que en la figura 6(a) la superficie inferior se encuentra fija y que la superficie superior est movindose hacia la derecha. La fuerza de friccin sobre la superficie superior acta en direccin opuesta a la de su movimiento (Fig. 6b). La fuerza de friccin sobre la superficie inferior acta en direccin opuesta.

ngulos de friccinEn vez de que la reaccin ejercida en una superficie por su contacto con otra se descomponga en una fuerza normal N y en una fuerza de friccin f (Fig. 7a), podemos expresarla en trminos de su magnitud R y del ngulo de friccin entre la fuerza y la normal a la superficie (Fig. 7b). Las fuerzas normal y de friccin estn relacionadas con R y por,(3),(4)El valor de cuando el deslizamiento es inminente se llama ngulo de friccin esttica y su valor cuando las dos superficies estn en movimiento relativo se llama ngulo de friccin cintica . Utilizando las ecuaciones (1)-(.4), podemos expresar los ngulos de friccin esttica y cintica en trminos de los coeficientes de friccin: (5)(6)En los siguientes ejemplos analizaremos problemas que implican fuerzas de friccin. Un paso importante en la solucin de tales problemas es cmo evaluar las fuerzas de friccin o los ngulos de friccin. Cuando se sabe que el deslizamiento es inminente, la magnitud de la fuerza de friccin est dada por la ecuacin (1) y el ngulo de friccin por la ecuacin (5). Cuando las superficies estn deslizndose entre s, la magnitud de la fuerza de friccin est dada por la ecuacin (2) y el ngulo de friccin por la ecuacin (6). De lo contrario, la fuerza de friccin y el ngulo de friccin se deben determinar partiendo de las ecuaciones de equilibrio. La secuencia de decisiones se resume en la figura.8. Figura 7(a) Fuerza normal N y fuerza de friccin f.(b) Magnitud R y ngulo de friccin O.

PROBLEMAS QUE INVOLUCRAN LA FRICCIN SECACUAS

Las cuas son mquinas simples que se utilizan para levantar grandes bloques de piedra y otras cargas pesadas. Estas cargas se pueden levantar aplicndole a la cua una fuerza que es menor que el peso de la carga. Adems, debido a la friccin entre las superficies en contacto, una cuas con una forma apropiada permanecer en su lugar despus que ha sido forzada bajo la carga. Por tanto, las cuas se pueden utilizar para hacer pequeos ajustes en posicin de piezas pesadas de maquinaria.Considere el bloque A mostrado en la figura 8a). Dicho bloque descansa sobre una pared vertical B y debe levantarse un poco forzando una cua C entre el bloque A y una segunda cua D. se desea encontrar el valor mnimo de la fuerza P que debe aplicarse a la cua C para mover el bloque. Se supondr que el peso W del bloque es conocido, ya sea en libras o determinado en newton a partir de la masa del bloque expresada en kilogramos.

Figura 8Los diagramas de cuerpo libre del bloque A y de la cua C se han dibujado en la figura 8b) y 8c). Las fuerzas que actan sobre el bloque incluyen su peso y las fuerzas normal y de friccin en las superficies de contacto con la pared B y con la cua C. Las magnitudes de las fuerzas de friccin F1 y F2 son iguales, respectivamente, a sN1 ysN2 puesto que debe iniciarse el movimiento del bloque. Es importante mostrar las fuerzas de friccin con su sentido correcto. Puesto que el bloque se mover hacia arriba, la fuerza F1 ejercida por la pared sobre el bloque debe estar dirigida hacia abajo. Por otra parte, como la cua C se mueve hacia la derecha, el movimiento relativo de A con respecto a C es hacia la izquierda y la fuerza F2 ejercida por C sobre A debe estar dirigida hacia la derecha.

Figura 8Ahora, considerando al cuerpo libre C en la Figura 8c), se observa que las fuerzas que actan sobre C incluyen la fuerza aplicada P y a las fuerzas normales y de friccin en las superficies de contacto con A y con D. El peso de la cua es pequeo en comparacin con las otras fuerzas que estn involucradas y, por tanto, puede no tomarse en cuenta. Las fuerzas ejercidas por A sobre C son iguales yo puestas a las fuerzas N2 y F2 ejercidas por C sobre A y se representan, respectivamente, por-N2 y -F2; por tanto, la fuerza de friccin-F2 debe estar dirigida hacia la izquierda. Se puede comprobar que la fuerza F3 ejercida por D tambin est dirigida hacia la izquierda.

TORNILLOS DE ROSCA CUADRADA

Los tornillos de rosca cuadrada se utilizan en gatos, prensas y otros mecanismos. Su estudio es similar al anlisis de un bloque que se desliza a lo largo de un plano inclinado. En el gato mostrado en la figura el tomillo soporta una carga W y est apoyado en la base del gato. El contacto entre el tomillo y la base ocurre a lo largo de una porcin de sus rocas. Si se aplica una fuerza P sobre el mango, se puede hacer que el tornillo gire y levante a la carga W

La rosca de la base ha sido desenvuelta y se muestra como una lnea rectaen la figura 9a). La pendiente correcta de la lnea recta se obtuvo al representar de manera horizontal el producto 2r, donde r es el radio promedio de la rosca y verticalmente el avance L del tomillo, esto es, la distancia a travs de la cual avanza el tornillo en una vuelta. El ngulo que esta lnea forma con la horizontales el ngulo de avance.Como la fuerza de friccin entre dos superficies en contacto no depende del rea de contacto, se puede suponer que el rea de con-tacto entre las dos roscas es menor que su valor real y, por tanto, puede representarse al tornillo por medio bloque que se muestra en la figura 9a. Sin embargo, es necesario sealar que en este anlisis del gato no se toma en cuenta la friccin entre la corona y el tomillo. El diagrama de cuerpo libre de bloque debe incluir la carga W, la reaccin R de la rosca de la base y la fuerza horizontal Q que tiene el mismo efecto que la fuerza P ejercida sobre el mango. La fuerza Q debe tener el mismo momento que P alrededor del eje del tornillo y, por tanto, su magnitud debe ser, Q = Pa/r. De esta forma, se puede obtener la fuerza Q y, por consiguiente, la fuerza P requerida para levantar a la carga W, a partir del diagrama de cuerpo libre mostrado en la figura 9a) . El ngulo de friccin se toma igual a s puesto que se presume que la carga ser levantada a travs de una serie de golpes pequeos sucesivos. En los mecanismos que proporcionan una rotacin continua de un tomillo, puede serdeseable distinguir entre la fuerza requerida para comenzar el movimiento (utilice s) y la fuerza requerida para mantener el movimiento (utilice s)

Figura 9Si el ngulo de friccin s es mayor que el ngulo de avance , se dice que el tornillo es auto-bloqueante; el tornillo permanecer en su lugar bajo la accin de la carga. Entonces, para bajar la carga, se debe aplicar la fuerza mostrada en la figura 9b). Si s es menor que , el tomillo descender bajo la accin de la carga; entonces es necesario aplicar la fuerza mostrada en la figura 9c) para mantener el equilibrio. El avance de un tornillo no se debe confundir con su paso.El avance se defini como la distancia a travs de la cual avanza el tornillo en una vuelta; el paso es la distancia medida entre dos roscas consecutivas. A pesar de que el avance y el paso son iguales en el caso de tornillos de rosca simple, sern diferentes en el caso de tornillos de rosca mltiple, esto es, tornillos que tienen varias roscas independientes. Se puede comprobar fcilmente que para tomillos de rosca doble el avance es el doble del paso; para tornillos de rosca triple, el avance es el triple del paso y as de manera sucesiva.

Figura 9El avance de un tornillo no se debe confundir con su paso. El avance se defini como la distancia a travs de la cual avanza el tornillo en una vuelta; el paso es la distancia medida entre dos roscas consecutivas. A pesar de que el avance y el paso son iguales en el caso de tornillos de rosca simple, sern diferentes en el caso de tornillos de rosca mltiple, esto es, tornillos que tienen varias roscas independientes. Se puede comprobar fcilmente que para tomillos de rosca doble el avance es el doble del paso; para tornillos de rosca triple, el avance es el triple del paso y as de manera sucesiva.

CHUMACERAS. FRICCIN EN EJES

Las chumaceras se utilizan para proporcionar soporte lateral a flechas y ejes en rotacin. Si las chumaceras estn totalmente lubricadas, la resistencia por friccin depende de la velocidad de rotacin, del juego entre el eje y la chumacera, y de la viscosidad del lubricante.Considere dos ruedas, cada una de peso W, las cuales estn montadas rgidamente sobre un eje soportando de manera simtrica por dos chumaceras figura 10a. si las ruedas giran se encuentran que para mantenerlas rotando a una velocidad constante, es necesario aplicarle a cada una un par M. el diagrama de cuerpo libre de la figura 10c representa la proyeccin de una de las ruedas y de la mitad del eje correspondiente sobre un plano perpendicular al eje. Las fuerzas que actan sobre el cuerpo libre incluyen el peso W de la rueda, el para M requerido para mantener su movimiento, y una fuerza R que representa la reaccin de la chumacera. Esta ltima fuerza es vertical, igual y opuesta a W, pero no pasa por el centro O del eje; R est localizada a la derecha O a una distancia tal que su momento respecto a O equilibra al momento M del par. Por tanto, el contacto ente el eje y la chumacera no ocurre en el punto A ms bajo cundo el eje y la chumacera no ocurre en el punto B (figura 10b) o mejor dicho, a lo largo de una lnea recta que interseca a plano de la figura en el punto B. fsicamente, esto se explica por el hecho de que cuando las ruedas se ponen ocurre un deslizamiento. Despus de resbalarse un poco hacia atrs, el eje queda ms o menos en posicin mostrada. Esta posicin es tal que el ngulo entre la relacin R y la normal a la superficie del cojinete es igual al ngulo de friccin cintica k, por tanto, la distancia desde O hasta la lnea de accin de R es igual a rsenk,

Figura 10donde r es el radio del eje. Si se escribe que para las fuerzas que actan sobre el cuerpo libre considerado, se obtiene la magnitud del par M requerido para vencer la resistencia por friccin de una de las chumaceras:(7)Observe que para valores pequeos del ngulo de friccin, se puede remplazar par , esto es, por , se escribe la formula aproximada(8)En la solucin de ciertos problemas puede ser ms conveniente hacer que la lnea de accin de R pase a travs de O, como lo hace cuando el eje no est girando. Entonces, se debe agregar a la relacin R un par M de la misma magnitud que el par M pero de sentido opuesto (figura 10d.) si se observa que sta debe ser tangente a un crculo que tiene su centro en O y cuyo radio est dado por:(9)Dicho crculo recibe el nombre de crculo de friccin del eje y la chumacera y es independiente de las condiciones de carga del eje.

COJINETES DE EMPUJE. FRICCION EN DISCOS

Para proporcionarle soporte axial a las flechas y a los ejes giran se utilizan dos tipos de cojinetes empuje: 1) cojinetes de tope o frontales y2) cojinetes de collar o radiales (figura 11). en el caso de los cojinetes de collar se desarrollan fuerzas de friccin entre las dos reas en forma de anillos que estn en contacto. En el caso de los cojinetes de tope la friccin ocurre sobre reas circulares completas o sobre reas en forma de anillo cunado el extremo de la flecha es hueco. La friccin entre reas circulares, denominada friccin en discos, tambin ocurre en otros mecanismos como los embargues de disco.

Figura 11Para obtener una frmula que sea vlida en el caso ms general de friccin en discos, considere una flecha hueca que est girando. Un par M mantiene la flecha girando a una velocidad constante mientras que una fuerza P la mantiene en contacto con un cojinete fijo (figura 12).

Figura 12El contacto entre la flecha y el cojinete ocurre sobre un rea en forma de anillo que tiene un radio interior R1 y un radio exterior R2. Suponiendo que la presin entre las dos superficies en contacto es uniforme, se encuentra que la magnitud de la fuerza normal ejercida sobre un elemento de rea est dada por donde y que la magnitud de la fuerza de friccin que acta sobre es . Si se representa con r la distancia desde el eje de la flecha hasta el elemento de rea , se expresa la magnitud del momento de con respecto al eje de la flecha de la siguiente forma:

El equilibrio de la flecha requiere que el momento M del par aplicado a sta sea igual en magnitud a la suma de los momentos de las fuerzas de friccin , remplazando por el elemento infinitesimal que se utiliza con las coordenadas polares e integrando sobre el rea de contacto se obtiene la siguiente expresin para la magnitud del par M que se requiere para vencer la resistencia por friccin del cojinete: (10)Cundo el contacto ocurre sobre un circulo completo de radio R, la frmula (10) se reduce a (11)Entonces el valor de M Aes le mismo que el que se hubiera obtenido si el contacto entre la flecha y el cojinete hubiera ocurrido en un solo punto localizado a una distancia de 2R/3 desde el eje de la flecha.El momento torsional mximo que puede ser transmitido por un embrague de disco sin causar deslizamiento est dado por una frmula la similar a la ecuacin (11), donde se remplaza por el coeficiente de friccin esttica .

FRICCIN EN RUEDAS. RESISTENCIA A LA RODADURA O RODAMIENTO

La rueda es uno de los inventos ms importante de nuestra civilizacin. Su uso hace que sea posible mover cargas pesadas con un esfuerzo relativamente pequeo. Debido a que el punto de la rueda que est en contacto con el suelo en cualquier instante no tiene un movimiento relativo con respecto del suelo, la rueda elimina las grandes fuerzas de friccin que se presentan si la carga estuviera en contacto directo con el suelo. Sin embargo, existe cierta resistencia al movimiento de la rueda. Dicha resistencia tiene dos causas resistencia al movimiento de la rueda. Dicha resistencia tiene dos causas distintas: 1) el efecto combinado de la friccin en el eje y de la friccin en el aro y 2) el hecho de que la rueda y el suelo ocurra sobre una cierta rea en lugar de ocurrir en un solo punto.

Figura 13Para comprender mejor la primera causa de la resistencia al movimiento de la rueda, considrese un vagn de ferrocarril que est soportado por ocho ruedas que estn montadas en ejes y cojinetes. Se supone que el vagn se est moviendo hacia la derecha a una velocidad constante a lo largo de una va horizontal recta. El diagrama de cuerpo libre de una de las ruedas se muestran en la figura 13a. las fuerzas que actan sobre el diagrama de cuerpo libre incluyen la carga W soportada por la rueda y la reaccin normal N de la va. Como W est dibujada atreves del centro O del eje, la resistencia por friccin del cojinete debe representarse con un par M que tiene un sentido contrario al del movimiento de las manecillas del reloj. Para mantener el cuerpo en equilibrio, se agregar dos fuerzas iguales y opuestas P y F, las cuales forman un par con un sentido a favor del movimiento de las manecillas del reloj que tiene un momento M. la fuerza F es la fuerza de friccin ejercida por la va sobre la rueda y P representa la fuerza que debe aplicarse a la rueda para que sta se, mantenga rodando a velocidad constante. Observe que las fuerza P y F no existira en el caso de que no hubiera friccin entre la rueda y la va. Entonces, el par M que representa la friccin en el eje sera igual a cero, por tanto, la rueda se deslizara sobre la va sin girar en su cojinete.El par M y las fuerzas P y F tambin se reducen a cero cuando no existe friccin en el eje. Por ejemplo, una rueda que no est sostenida por cojinetes y que rueda libremente a una velocidad constante sobre un piso horizontal (figura 13b) estar sujeta nicamente a dos fuerzas: su propio peso W y la reaccin normal N del piso. Sin importar cul sea el valor del coeficiente de friccin de friccin entre la rueda y el piso, no actuar una fuerza de friccin sobre la rueda. Por tanto, una rueda que gira libremente sobre una superficie horizontal debera continuar rodando indefinidamente.Sin embargo, la experiencia indica que la rueda ir disminuyendo su velocidad hasta determinarse. Lo anterior se debe al segundo tipo de resistencia mencionado al principio de esta seccin, el cual se conoce como la resistencia a la rodadura. Bajo la accin de la carga W tanto la rueda y el piso se deforman ligeramente y ocasiona que el contacto entre la rueda y el piso se deforman ligeramente y ocasiona que el contacto entre la rueda y el piso ocurra sobre cierta rea. La evidencia experimental muestra que la resultante de las fuerza ejercidas por el piso sobre la rueda a lo largo de dicha rea es un fuerza R aplicada en un punto B, el cual no est localizado directamente por debajo del centro O de la rueda, sino que se encuentra ligeramente hacia el frente de la rueda (figura 13c). Para equilibrar el momento de W con respecto a B y para mantener a la rueda rodando a velocidad constante, es necesario aplicar una fuerza horizontal P en el centro de la rueda. Si se escribe , se obtiene(12)Donde r=radio de la ruedaB=distancia horizontal entre O y BLa distancia b recibe el nombre de coeficiente de resistencia a la rodadura- es necesario sealar que b no es un coeficiente adimensional opuesto que representa un longitud; por lo general, se expresa a b en pulgadas o en milmetros. El valor de b depende de varios parmetros en forma que an no se ha establecido claramente. Los valores del coeficiente de resistencia a la rodadura varan desde alrededor de 0.01 in o 0.25mm para una rueda de acero en un riel de acero hasta 5.0 in. O 125 mm para la misma rueda sobre un piso blando.

FRICCIN EN BANDAS

Considere una banda que pasa sobre un tambor cilndrico fijo (figura 14a ). se desea determinar la relacin que existe entre los valores T1 y T2 de la tensin presente en las dos partes de la banda cuadrado sta se encuentra a punto de deslizarse hacia la derecha.Un pequeo elemento PP que abarca un ngulo se separa de la banda. Si la tensin presente en P se denota con T y con T+ T la tensin en P puede trazarse el diagrama de cuerpo libre del elemento de la banda (figura 14b).

Figura 14adems de las dos fuerzas de tensin, las fuerzas que actan sobre el cuerpo libre son la componente normal N de la reaccin del tambor y la fuerza de friccin del tambor y la fuerza de friccin F. Como se supone que el movimiento es inminente, se tiene F=. Es necesario sealar que si se hace que se aproxime a cero, las magnitudes N y F y la diferencia T entre la tensin en P y la tensin en P tambin tendern a cero; sin embargo, el valor T de la tensin en P continuar sin alterar. Esta observacin ayuda a comprender a seccin de notacin que se ha hecho.Al seleccionar los ejes coordenados que se muestran en la figura 14b se escriben las ecuaciones de equilibrio para el elemento PP:1314Al resolver la ecuacin (14) para N y sustituir la ecuacin (13), se obtiene la siguiente ecuacin despus de realizar simplificaciones

Ahora se dividen ambos trminos entre . En el caso primer termino, esto se hace dividiendo T entre . La divisin del segundo trmino se lleva a cabo dividiendo entre 2 los trminos que estn entre parntesis y dividiendo al seno entre /2. Asi se escribe

Si ahora se hace que se aproxime a 0, el coseno tiene a 1 y, como se seal anteriormente, T/2 tiene a cero. Adems, de acuerdo con un lema que se deriva en todos los libros de clculo, el cociente de sen(/2) sobre /2 tiende a 1. Como el lmite de T/ es por definicin igual a la derivada dT/ d, se escribe

Ahora se integrarn ambos miembros de la ltima ecuacin desde P1 hasta P2 (figura 14a). En P1, se tiene que =0 y que T=T1; en P2, se tiene que =B y que T=T2. As integrado entre estos lmites, se escribe

15 16Las formulas que se han derivado se pueden aplicar tanto a problemas que involucra bandas plantas que se pasan sobre tambores cilndricos fijos como a problemas que involucran cuerda enrolladas alrededor de un poste o de un cabrestante. Adems, dicho frmulas tambin pueden utilizarse para resolver problemas que involucran frenos de banda. En este tipo de problemas, el cilindro es el que est a punto de girar mientras que la banda permanece fija. Por otra parte, las frmulas tambin pueden aplicarse en problemas que involucran transmisiones de banda.En estos problemas giran tanto la polea como la banda, entonces, se desea determinar si la banda se deslizar, esto es, si la banda se mover con respecto a la polea.Las formulas (15 y 16) slo deben utilizarse si la banda, la cuerda o el freno estn a punto de deslizarse. Se utilizar la formula 16) si se desea determinar T1 o T2; se preferir la frmula (15) si se desea determinar el valor de o si se desea determinar el ngulo de contacto B. es necesario sealar que T2 representa la tensin en aquella parte que jala, mientras que T1 es la tensin en aquella parte que resiste. Tambin se debe mencionar que el ngulo de contacto B debe expresarse en radianes. El ngulo B puede ser mayor que 2; por ejemplo, si una cuerda est enrollada n veces alrededor de un poste, B ser igual a 2m.Si la banda, la cuerda o el freno estn deslizndose, deben utilizarse frmulas similares a las ecuaciones (15) y (16) pero que involucren el coeficiente de friccin cintica . Si la banda, la cuerda o el freno no estn deslizndose y tampoco estn a punto de deslizarse, no se pueden utilizar las frmulas mencionadas antes.Las bandas que se utilizan en las transmisiones por lo general tienen forma en V. En la banda en V que se muestra en la figura 8.15a el contacto entre sta y la polea ocurre a lo largo de los lados de la ranura. Figura 15Dibujando el diagrama de cuerpo libre de un elemento de la banda (figura 15b y c), se puede obtener la relacin que existe entre los valores T1 y T2 de la tensin en las dos partes de la banda cuando sta est a punto de deslizarse. De esta forma se derivan formulas similares a las ecuaciones (13) y (14), pero ahora la magnitud de la fuerza de friccin total que acta sobre el elemento es igual a 2, y la suma de las componentes y de las fuerzas normales es igual a 2 sen(/2). Procediendo de la misma forma en la que se hizo antes, se obtiene1718