Rotación de un cuerpo rígido
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Rotación de un cuerpo rígido Física I
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Rotación de un cuerpo rígido. Física I. Contenido. Velocidad angular y aceleración angular Cinemática rotacional Relaciones angulares y lineales Energía rotacional Cálculo de los momentos de inercia Teorema de los ejes paralelos Ejemplos de momento de inercia Momento de torsión - PowerPoint PPT Presentation
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Rotación de un cuerpo rígido
Física I
Contenido• Velocidad angular y aceleración angular• Cinemática rotacional• Relaciones angulares y lineales• Energía rotacional• Cálculo de los momentos de inercia• Teorema de los ejes paralelos• Ejemplos de momento de inercia• Momento de torsión• Momento de torsión y aceleración angular• Trabajo, potencia y energía
Velocidad angular y aceleración angular
P
r
O
x
y
Rotación de un cuerpo rígido alrededor de un eje que pasa por O.
El punto P se mueve a lo largo de un círculo de radio r. El arco que describe esta dado por:
r
s
rs
Donde está medido en radianes.
La velocidad angular promedio se define como:
ttt
12
12
La velocidad angular instantánea es:
dt
d
tt
0
lim
La aceleración angular promedio se define como: ttt
12
12
La aceleración angular instantánea es:
dt
d
tt
0
lim
Al rotar alrededor de un eje fijo, toda partícula sobre un cuerpo rígido tiene la misma velocidad angular y la misma aceleración angular.
Cinemática rotacional
Las ecuaciones de cinemática se cumplen para movimiento rotacional sustituyendo x por , v por , a por . De esta forma si = 0 y = 0 en t0 = 0 se tiene:
020
2
221
00
0
2
tt
t
Relaciones angulares y lineales
La velocidad tangencial se relaciona con la velocidad angular de la siguiente manera:
rvdt
dr
dt
dr
dt
dsv
Similarmente para la aceleración:
radt
dr
dt
dr
dt
dva
EjemploEn un disco compacto el láser barre la superficie del disco desde un radio de 23 mm a 58 mm a una velocidad lineal de 1.3 m/s. Calcule la rapidez en las pistas interior y exterior. El tiempo de reproducción es de 74 min y 38 s ¿Cuántas revoluciones de el disco durante ese tiempo? c) ¿Cuál es la longitud total de la pista del disco? d) ¿Cuál es la aceleración angular durante todo el intervalo?
P
r
O
x
y
vP
r
O
x
y
at
ar
a
La velocidad v siempre es tangente a la trayectoria
La aceleración lineal en un punto es a = at +ar
Energía rotacionalUn objeto rígido gira alrededor del eje z con velocidad angular . La energía cinética de la partícula es:
221
iii vmK
La energía total del objeto es:2
21 I
La energía total de rotación es la suma de todos los Ki:
2221
22212
21
iiR
iiiiiR
rmK
rmvmKK
Donde I es el momento de inercia definido como:
2iirmI
mi
ri
O
x
y
vi
Ejemplo
Molécula de oxígeno
mO = 2.66 x 10-26 kg
d = 1.21 x 10-10 m
= 4.60 x 1012 rad/s
Calcular I, KRx
y
z
d
Ejemplo
a a
b
b
M M
m
m
Calcular Iy e Iz
Cálculo de los momentos de inercia
El cálculo de momentos de inercia puede hacerse mediante la integral:
dmrmrI iimi
22
0lim
Para un objeto tridimensional es conveniente utilizar la densidad de volumen:
dV
dm
V
mV
0
lim
Entonces:
dVrI 2
Teorema de los ejes paralelos
El teorema de los ejes paralelos establece que el momento de inercia alrededor de cualquier eje que es paralelo y que se encuentra a una distancia D del eje que pasa por el centro de masa es
I = ICM + MD2
Ejemplos de momento de inercia
Aro o cascarón cilíndrico
Cilindro huecoCilindro sólido o disco
Barra delgada larga con eje de rotación que pasa por el extremo.
Barra delgada larga con eje de rotación que pasa por el centro.
Placa rectangular
Esfera huecaEsfera sólida
2MRICM 221 MRICM 2
22
121 RRMICM
22121 baMICM
2121 MLICM
231 MLI
252 MRICM 2
32 MRICM
Momento de torsiónCuando se ejerce una fuerza sobre un cuerpo rígido que gira alrededor de un eje, el objeto tiende a girar en torno a ese eje. La tendencia de la fuerza a hacer girar se le llaman momento de torsión . El momento de torsión asociado con la fuerza F es:
rFsen = Fd
Donde d es el brazo de momento (o brazo de palanca) de F.
Línea de acción
F cos F sen
d
r
O
F
O
d1
d2
F1
F2
La fuerza F1 tiende a hacer girar contra las manecillas del reloj y F2 a favor de las manecillas del reloj. El momento de torsión es:
neto = 1 + 2 = F1d1 F2d2
Ejemplo
R1
R2
x
y
z
F1
F2
Calcular momento de torsión neto
F1 = 5 N, R1 = 1 m, F2 = 15 N, R2 = 0.5 m
Momento de torsión y aceleración angular
m
Ft
Fr
r
Una partícula de masa m gira alrededor de un círculo de radio r, el momento de torsión alrededor del centro del círculo es:
= Ftr = (mat)r = (mr)r = mr2
O bien:
= I
El momento de torsión que actúa sobre la partícula es proporcional a su aceleración angular.
dmr
O
x
y
dFt
Para un cuerpo rígido, el elemento dm tendrá una aceleración angular at. Entonces
dFt = (dm)at
El momento de torsión será:
d = rdFt = (r dm)at = (r2 dm)
El momento de torsión total es la integral de este diferencial:
I
dmrdmr
neto
neto
22
ejemplo
L/2
Mgpivote
El momento de torsión es:
= Fd = Mg(L/2)
La aceleración angular es
Lg
MLMgL
I 23
3/12/2
La aceleración lineal del extremo es
a = L = 3/2 g
Ejemplo
m
M
T
T
ITR
I
R
La 2a ley de Newton
mRI
R
gRa
mRI
ga
ImR
mgT
ITR
Rm
Tmga
maTmgFy
2
2
2
1
1
M = 2 kg, R = 30 cm, I = 9.90 kg m2, m = 0.5 kg
Máquina de Atwood
m1 m2
T1
T2
T3
+
+
m1 m2
T1 T3T2 T2
T1 T3m1g m2gmPg mPg
n1 n2
Segunda ley
m1g – T1 = m1a
T3 – m2g = m2a
Momento de torsión sobre las poleas
(T1 – T2) = I
(T2 – T3) = I
Resolviendo se obtiene para la aceleración
221
21
2RI
mm
gmma
Trabajo, potencia y energía
F
dsP
rd
O
El trabajo hecho por la fuerza F al girar el cuerpo rígido es:
dW = F · ds = (F sen ) r d = d
La tasa a la cual se hace trabajo es:
dtd
dtdW
P
Es fácil mostrar que:
202
1221
00
IIdIdW
El trabajo realizado por las fuerzas externas al hacer girar un objeto rígido simétrico alrededor de un eje fijo es igual al cambio en la energía rotacional del objeto.
Ejemplo
Ef = KR = I2/2
Ei = U = MgL/2
Lg3
Ejemplo
m1
m2
hh
K = Kf – Ki = (½m1vf2 + ½m2vf
2 + ½If2 ) – 0
K + U1 + U2 = 0
U1 = m1gh
U2 = m2gh
2/1
221
122
RI
mm
ghmmv f
R
