Movimiento de Cuerpo Rígido

8/18/2019 Movimiento de Cuerpo Rígido

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APLICACIONES

TRANSPORTE DE LIQUIDOS


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ROTACION DE LIQUIDOS


4/43

L a e cuac ió n d e m ov im ie nt o d e u n f l u i d o q ue

s e e nc ue ntra e n u n m ov im i ento tal q ue n oe x i s t e n e s f u e r z o s d e c o r t e e s :

FLUIDOS EN MOVIMIENTO COMO CUERPO RÍGIDO

O


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E s t a e c u a ci ó n s e c u m p l e n c u a n d o e l f l u i d o e s t á

e n m o v im i en t o, l i ne a l o rot at o ri o, tal c o m o sif ue r a u n c u er p o ríg i do . L a s c o m p o n e nt es d e es ta

e c u a c i ó n , p a r a u n s i s t e m a c a r t e s i a n o y

s u p o n i e n d o j v e rt i ca l h a c i a a r ri b a, s o n :

FLUIDOS EN MOVIMIENTO COMO CUERPO RÍGIDO


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La superficie libre generada es una superficie de equilibrio, por lo que

la fuerza total ejercida sobre las partículas de fluido es normal a la

superficie en todo punto de ésta. Lo anterior indica, y dada la curvatura

terrestre, que la superficie que se genera sobre un líquido que sólo esta

sometido a la aceleración de la gravedad tiene la forma de un casqueteesférico. Este fenómeno es, despreciable a escalas pequeñas, donde se

puede considerar que la superficie es plana, y sólo se puede apreciar

en superficies muy grandes como la de los océanos.


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Considerando el recipiente de la fig, el cual esta sometido a una

aceleración lineal constante= a:

a= ax i+ ay j . El diferencial de presión en un punto cualquiera x, yes:

Liquido sometido a una

aceleración lineal a constante


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Integrando entre los puntos 1 y 2 resulta

)Y)(Yaρ(g)X(XρaPP 12y12x12


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)Y)(Yaρ(g)X(XρaPP 12y12x12

Si los puntos 1 y 2 estan en la linea de presión constante como es

el caso de la superficie libres entonces P2-P1=0 y se obtiene

)a(g

a

XX

YY

y

x

12

21

Donde

es el ángulo que la línea de presión constante hace conla horizontal.


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El depósito de agua de la figura tiene una anchura de 12 cm

perpendicular al papel. Si el depósito se acelera hacia la derecha

con ax = 6,0 m/s2, calcule (a) la profundidad del agua en el lado AB y

(b) la fuerza que la presión ejerce sobre el panel AB. Suponga que laaltura del tanque es muy grande y no se derrama agua.

ax = 6,0 m/s2


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ax

= 6,0 m/s2

En la superficie libre dp=0

tan

y

x

a g

a

dx

dy


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En la superficie libre

tan

y

x

a g

a

dx

dy


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•Calculo de la fuerza

sobre la cara AB

N F

x x x F

mh

Ah P A P F

AB

AB

c

cC AB

682.15

12.01634.00817.09789

0817.02

1634.0

)(

A

B

FAB


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El deposito mostrado en la figura tiene un ancho de 2 pies y

contiene agua hasta el nivel mostrado cuando es acelerado hacia a

la derecha con ax = 80 pies/s2. Determine: a) Si existe derrame de

agua en el deposito b)Si hubiere derrame el volumen de aguaderramado y c) La presión en el punto A (psi).


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DOS SITUACIONES POSIBLES

1.Sin derrame

2. Con derrame


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Sin derrame


17/43

Con derrame


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derrameexiste pies pies x

pies x xa g

a

y

x

4805.0

805.02

2.32

80tan

En la superficie libre


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b) Vol derramado= Vol inicial - Vol final

333

33

39.661.18

61.12

2*2*805.0;82*4*1

pies pies piesV

piesV piesV

derram

final inicial

pies x 805.0


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c) La presión

en el punto A (psi).

c)

psi pie

lb

P

pie

lb P y g P

x x P y y

y ya g x xa P P

A

A A A

o Aoo A

o A yo A xO A

865.055.124

55.124)2(*2.32*934.1);)((

;0,00,0,2

);)(()(

2

2


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El deposito anterior se tapa para evitar el derrame,

dejando únicamente un orificio de ventilación para

comunicar con la atmosfera tal como se indica en la

figura. Determine para este caso la presión en la esquinainferior izquierda (punto A) y la fuerza sobre la cara lateralizquierda.


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2

X2

X1

0A

ó


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presión en A

4025.2Xy1.5975X805.0)X(X

)X(X

2

32.2

80tanθlibresuperficielaen

4XXx222)X(X(4x1)2

)()(0

))(()(

2112

12

2121finalinicial

o Ao A xO A y

o A yo A xO A

y y g x xa P P a

y ya g x xa P P

2

X2

X1

0A

ió A


24/43

2

2.4025

1.5975

0A

presión en A

ió A


25/43

psi2.5894lb/pie372.8736.40751.936x80x2P

XρaP4075.2Xy0Y

0YXP );Yρg(Y)X(XρaPP

2

A

AxAAA

000oAoAxOA

2

2.4025

1.5975

F

0A

presión en A


26/43

Fuerza sobre caraizquierda APF C

2

2.4025

1.5975

F

0

C

A


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Fuerza sobre cara izquierda

Lb1242.1376x2310.5344x2F

psi2.1565lb/pie310.5344x11.936x32.2-.40751.936x80x2P

4075.2Xy1YρgYXρaP

0YXP );Yρg(Y)X(XρaPPAPF

2

C

CCCCxC

000oCoCxOCC

2

2.4025

1.5975

F

0

C

Estudiaremos ahora el caso de un liquido que se encuentra en un


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Estudiaremos ahora el caso de un liquido que se encuentra en un

recipiente el cual gira con una velocidad angular constante como

se aprecia en la figura. Debido a que suponemos que no hay

movimiento relativo entre las partículas de líquido, cada partícula de

liquido tendrá la velocidad angular y se moverá como un bloquesólido


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La aceleración de una partícula situada a una distancia r del eje

tendrá una aceleración r 2 en dirección radial. Utilizando

coordenadas cilíndricas tenemos:


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)yρg(y)r (r

2

ρPP 12

2

1

2

2

2

12

2

Integrando entre dos puntos cualesquiera (r1, y1) y (r2, y2 )obtenemos


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Si los dos puntos están en un superficie de presión constante, como la

superficie libre, la colocación del punto 1 en el eje Y de manera que

r1=0 resulta:

)y(y2g

r ω

0)yρg(y)r (r 2

ρωPP

12

2

2

2

12

2

1

2

2

2

12

La superficie libre es un

paraboloide de revolución

2


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Un tanque presurizado de 0.6 m de radio y 0.8m de altura

lleno de agua hasta una profundidad de 0.60 m, como se

muestra en la figura, se pone a girar alrededor de su eje.

Calcule la presión en el punto A indicado y la fuerza en elfondo si la velocidad de rotación es de7 rad/s


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constante presióndelineaunaessuperficieladeLinea

g

r

y2

22


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m g yr

g r

g

r

g

r yr

airedevolumendeónConservaci

f

i f i

6.02

49.0*7;49.0

7

2.0*6.04;2.0*6.0

4;

42

2.0*6.0;

22

2

242

42422

2


36/43

m g

yr 6.02

49.0*7;49.0

22


37/43

kN F

F kPa P

P A

P P F PdA F

kPa P

Pa P P

gyr

P P

f

f c

cc A f

A

f

A

A A

A A

O A

48.35

6.02

962.26782.35962.262.0*81.925

6.02

782.35

2

782.35

35782)2.0(*81.9*10002

6.0*7*100025000

2

2

2

22

22

Cálculos de la presión en el

punto A indicado y de la fuerza

en el fondo para la velocidad de

rotación de7 rad/s

Cálculos de la presión en el punto A indicado y de la fuerza en el fondo


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Cálculos de la presión en el punto A indicado y de la fuerza en el fondo

para la velocidad de rotación de7 rad/s

m g yr

g r

g

r

g

r yr

airedevolumendeónConservaci

f

i f i

6.02

49.0*7;49.0

7

2.0*6.04;2.0*6.0

4;

42

2.0*6.0;

22

2

242

42422

2

g

r

y

r gydP

gyr P P

gdyrdr dP

A A

O A

2

222

;0

constante presióndeLineas

2

22

22

2


39/43

El tubo en U contiene agua, gira alrededor de un eje vertical tal

como se muestra en la fig, a) determine la velocidad de rotación si

L= 6 pulg, b) Si se detiene la rotación determine el nivel z a que

bajará el agua en el brazo mas grande

a) Determinación de la velocidad de rotación si L= 6 pulg


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a) Determinación de la velocidad de rotación si L= 6 pulg,

222

2

1

2

2

122

12

2

1

2

2

2

2

2

)5.0()5.1(

22

2

2

0

l l

l g

r r

z z g

z z g r r

gdz rdr

gdz rdr dP

constantepresióndeLineas

1

2 349.11

5.0

2.32*22

2

4 sl

g

l

gl

b) Determinación del nivel z a que bajará el agua en el brazo mas


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b) Determinación del nivel z a que bajará el agua en el brazo mas

grande cuando se detiene la rotación.

cuando se detiene la rotación

2

2

22

2

1

2

2

2

1

21

21

4

44

2

z d

d z

d

D z

D z d z

l z z

volumendeonconservaci

pies pu z z

pies pul

z l z

l z z l z z z z

8.0lg6.94.2*44

2.0lg4.25

6*2

5

225

24;24

21

22

222121


42/43

El deposito mostrado en la figura contiene aceite y es acelerado hacia a

la derecha con ax = 2.45 m/s2 y hacia arriba con ay= 4.90 m/s

2.

Determine las presiones en los puntos C, D y E.


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El deposito mostrado en la figura tiene un ancho de 1.5 m y

contiene agua hasta el nivel mostrado cuando es acelerado

hacia a la derecha con ax = 4.9 m/s2. Determine: a) ángulo

que forma la horizontal con la superficie libre b)si existederrame de agua y la cantidad de agua que se derrama, c)La fuerza sobre los laterales.

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