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Análisis Estructural

Resumen del método de rigidez

Fundamento teórico

Resumen del método de rigidez1

Conservación de la energía:

Equilibrio (1º Castigliano):i

i

UF

1

2

extj j

j

W F U

D1

D3 F3D2

F1

F2

F6

F5

F4

D4

D5

D6

Sustituyendo U:1

2i j jji

F F

Equivale al PTV

Grados de

libertad

Fuerzas

generalizadas

Desarrollo teórico


1 1

2 2j j

i j j j jj j ji i i i

FUF F F

j

i jj i

FF

Resultado:

1

2j

i j ij i

FF F

Desarrollando 1º Castigliano con la U:

jj

UFPero:

2j

i j jj ji j i

F UF

Resumen teórico del método de rigidez


2j

i j jj ji j i

F UF

i ij jj

F K

Equilibrio:

1 11 1 1 1

1

.. .. ..

.. .. .. .. .. .. .. ..

.. .. .. .. ..

.. .. .. .. .. .. ..

.. .. .. .. .. .. .. ..

.. .. ..

j n

i ii ij

j

n n nj nn n

F K K K

F K K

F K K K

D1

D3 F3D2

F1

F2

F6

F5

F4

D4

D5

D6

Estas expresiones

de K no son útiles

Significado físico de [K]


D1=1K11

Ki1

D3=1

K33

Ki3

1 11 1 1 1

1

.. .. 0

.. .. .. .. .. .. ..

.. .. .. .. 1

.. .. .. .. .. .. ..

.. .. 0

j n

j jj j

n n nj nn n

F K K K

F K

F K K K

Columna j de [K]:Fuerzas y momentos que hay que aplicar sobre los grados de libertad de la estructura,para imponer un desplazamiento unitario en la dirección j, y cero en todas las demás

No se puede emplear Para toda la estructura

Significado físico de [K] para una viga plana


1 11 1 16 1

6 61 6 66 6

.. .. 0

.. .. .. .. .. .. ..

.. .. .. .. 1

.. .. .. .. .. .. ..

.. .. 0

j

j jj j

j

F K K K

F K

F K K K

Se emplea a nivel de una barra sola.Para obtener su matriz de rigidez local.

qIZ qJZ

dIY dJY

dIX dJX

=D3

=D1

=D2

=D4

=D5

=D6

D3=1

K33

K23

K63

K53

D2=1

K32

K62

K52K22

D1=1

K41K11

6

Catálogo de elementos (1)

XG

ZG

YG

XL

X

Y

Z

PIYPIX

PIZ

PJX

PJY

PJZ


Barras 2D Barras 3D

7

Catálogo de elementos (2)

dIXdJX

dIYdJY

qI qJ

dIXdJX

dIY dJYy

+ otros en el futuro (MEF)

q1

q2


Muelles

Barras curvas 2D

Dos cuestiones fundamentales

En cualquier método de análisis estructural, se deben

garantizar:

Equilibrio de cualquier trozo de la estructura

Compatibilidad de deformaciones

Cómo se garantiza esto en el método de rigidez??


Compatibilidad de deformaciones

En el método de rigidez es automática:

Las deformaciones de los nudos (grados de libertad) se

comparten entre las barras que llegan a dicho nudo.

Las deformaciones en el interior de las barras se definen en

función de los grados de libertad de los nudos.


DX DX

DY DY

DY

DXqZ

qZ1

qZ2

A) B) C)

v

qIZ qJZ

dIY

qZ

dJY

YL

dIX dJXu

Grados de libertad


Equilibrio de cualquier trozo de la estructura

Cualquier trozo es siempre suma de nudos y barras, por lo

tanto basta con cumplir:


1,e e eG

e bK F

1,e extI I

e

I NF F

A

B

FIA

FIB

FJ

A

FKB

Equilibrio de todas las barras

Equilibrio de todos los nudos-FI

A

-FIB

FIext

12

Equilibrio de cada barra de la estructura

En el sistema general de la estructura

XG

ZG

YG

I

J

FI

DJ

DI

e

FJ

e

e e eGII GIJ I I

e e eJGJI GJJ J

K K F

K K F

e e eLII LIJ I I

e e eLJI LJJ JJ

K K P

K K P

En el sistema local de la barra

Equilibrio estático de la barra:

3 ecs. en el plano, 6 en el espacio

Estas 3 o 6 ecuaciones se expresan en función

de los grados de libertad y de las fuerzas en los

extremos, mediante la ecuación de rigidez:

Sólo cambia el tamaño y

el valor de las matrices


13

Equilibrio de los nudos

e e eGII I GIJ J IK K F

Fuerzas en el nudo I, en el extremo de la barra ‘e’

Equilibrio del nudo I: las

fuerzas exteriores se

equilibran con las fuerzas

interiores en las barras

e extI I

e

F F

e e extGII I GIJ J I

e e

K K F

Sustituyendo las

fuerzas interiores


A

B

FIA

FIB

FJ

A

FKB

-FIA

-FIB

FIext

14

Equilibrio de los nudos

Equilibrio del nudo I

1

1

.. .. .. .. ......

.. .. .. .. .. .. ..

.. ..

.. .... .. .. .. ..

exte e eI IGI GII GIN

e

N

FK K K

Tantas ecuaciones de equilibrio estático como g.d.l. tiene el nudo

Se repite el proceso para todos los nudos I=1, N

e e extGII I GIJ J I

e e

K K F


A

B

FIext

DJDI

DK

15

Matriz de rigidez de la estructura

Se ensamblan una tras otra las ecuaciones de equilibrio de todos los nudos

Sumando (ensamblando) la rigidez de cada barra a los grados de libertad a los

que se conecta la barra

.... .. .. .. .. ..

.. .. ..

.... .. .. .. .. ..

.. .. ..

.... .. .. .. .. ..

exte eIGII GIJ I

e e extJGJI GJJ J

FK K

K K F

Contribución de la barra ‘e’ a la ecuación de equilibrio total


eFIext

DJ

DI

FJ

ext

Ejemplo


A1

2

3B

CD E 11 11 12

21 22 22 22 23

32 33 33

A C AG G G

A A B D BG G G G G

B B EG G G

K K K 0

K K K K K K

0 K K K

Ejemplo


A

B C

D

E

F

1

3

2 4

11 11 13

22 22 22 23 24

31 32 33 33

42 44 44

A B BG G G

C D E C EG G G G G

B C B C

G G G GE E FG G G

K K 0 K 0

0 K K K K KK

K K K K 0

0 K 0 K K

Propiedades matemáticas de [K]

Simétrica: teoremas de reciprocidad de deformaciones

Definida positiva. Define la energía


1

2

TU K

Conservación de la energía:1

2

ext TU W F

Equilibrio: F K

Energía en función de D:

0 0 det ) 0U K

19

Propiedades topológicas de [K]

Su estructura topológica depende de la numeración de los nudos.

Sólo hay términos no nulos en las celdas (nudos) donde se conectan barras

Estructura dispersa, o de banda compacta.

Los programas reordenan los nudos para obtener una estructura de banda

compacta de [K]

Se necesita menos memoria para almacenarla

Se facilita su factorización


1

2

4

3

5

768 10

9

Celosía plana 10 nudos

n=20 ecs.

Propiedades topológicas de [K]


1

24

3 5 7

6 810

9

1 2 43 5

76

810

9

Operaciones para factorizar K

A B C

Llena

Simétrican3/6 1330 1330 1330

Banda

Simétrican m2/2-m3/3 1330 864 288

A B C

Llena n2 400 400 400

Llena

Simétrican2/2+n/2 210 210 210

Banda

Simétrican m –m2/2 210 168 102

Dispersa 98 98 98

Almacenamiento de K

C) n=20 Matriz banda m=6

1

2

4

3

5

768 10

9

A) n=20 Matriz llena

B) n=20 Matriz banda m=12

21

Fuerzas sobre los elementos

Se transforman en fuerzas nodales equivalentes,

mediante la fase de empotramiento perfecto (fase 0)

Las fuerzas de fase 0 pasan

con signo (-) al vector de

fuerzas exteriores


Situación

real

Fase 0 Fase 1

F0

-F0

Fases 0 y 1

Fase 0: no hay deformaciones de los nudos.

Todas las barras son biempotradas.

Tienen M, Q, N y deformaciones locales, según el tipo de carga

Fase 1: los nudos se deforman bajo la acción de las cargas

exteriores aplicadas sobre ellos (las de fase 0 con signo -)

Todas las barras se deforman según cúbicas

Las barras tienen M (lineal), Q (constante) y N (constante)


Fase 0 Fase 1

D0=0

F0 -F

0

K D1=-F

0

v(x3)

u(x)

23

Tipos de fuerzas sobre los elementos (I)

Puntuales y distribuidas sobre las barras.

Tablas para vigas empotradas en todos sus grados de

libertad

Térmicas sobre las barras.

Temperatura media y gradiente en el canto de la barra

Tablas para vigas empotradas en todos sus g.d.l.


EAaTm EAaTm

EIaTg EIaTg

EAaTm EAaTm

0TP

Tipos de fuerzas sobre los elementos (II)

Errores en la forma de las barras (deformaciones de

montaje)

Se conoce la diferencia (error) entre:

la forma natural (descargada) de la barra y

la forma en la que se le obliga a ser montada en la

estructura


E

Fuerzas de fase 0: las fuerzas necesarias para obligar a

la barra a montarse en la estructura

Aplicar –dE

0E L EP K

XL

YL

Forma

natural

Barra montada

en la estructura

Errores

de forma

25

Tipos de fuerzas sobre los elementos (III)

Fuerzas de montaje de las barras (Pretensiones)

Puede ser cualquier sistema de fuerzas que se está

aplicando sobre la barra en el momento del montaje de la

misma en la estructura

Deben estar en equilibrio entre sí.

Son directamente las fuerzas de fase 0

0pretP


Forma

natural

Barra montada

26

Tipos de fuerzas sobre los elementos (IV)

Fuerzas de montaje de las barras (Pretensiones)

habituales

Dos fuerzas iguales y de sentido contrario.

Fuerzas aplicadas desde el exterior

P

D

0pretP

N0N0


Esfuerzos interiores en las barras

Esfuerzos interiores son la suma de :

Fase 0: no hay deformaciones de los nudos.

Todas las barras son biempotradas.

Esfuerzos interiores M, Q, N según el tipo de carga

Fase 1: los nudos se deforman

Todas las barras se deforman según cúbicas

Las barras tienen M (lineal), Q (constante) y N (constante)


Fase 0 Fase 1

F0

F1 = K D

1

M0

1 1e e eF K

0eF

Deformaciones en las barras

Deformación real es la suma de:

Fase 0: Todas las barras son biempotradas

No hay deformaciones de los nudos.

Deformaciones u,v de la barra según el tipo de carga

Fase 1: los nudos se deforman

Todas las barras se deforman:

Lateralmente a flexión, según cúbicas v(x3)

Axial: linealmente u(x)


Fase 0 Fase 1

D0=0

F0 -F

0

K D1=-F

0

v(x3)

u(x)

v0

ESCUELA SUPERIOR DE INGENIEROS INDUSTRIALES Universidad de Navarra

Donostia - San Sebastián

Resumen de las propiedades de rigidez de

los elementos estructurales

Juan Tomás Celigüeta

Marzo 2004

1

BARRA BIARTICULADA PLANA- RIGIDEZ EN EL SISTEMA LOCAL

/ 0 / 0

0 0 0 0

/ 0 / 0

0 0 0 0

IX IX

IY IY

JX JX

JY JY

P EA L EA L

P

P EA L EA L

P

IXIY

JX

JY

XL

YL

I

J

BARRA BIARTICULADA PLANA- RIGIDEZ EN EL SISTEMA GENERAL

2 2

2 2

2 2

2 2

IX IX

IY IY

JX JX

JY JY

F c sc c sc

F sc s sc sEA

F L c sc c sc

F sc s sc s

IX

IY

JX

JY

FIX

FIY

FJX

FJY

2

BARRA BIARTICULADA ESPACIAL - RIGIDEZ EN EL SISTEMA LOCAL

1 0 0 1 0 0

0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0

1 0 0 1 0 0

0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0

IX IX

IY IY

IZ IZ

JX JX

JY JY

JZ JZ

P

P

P EA

P L

P

P

IX

IY

IZ

JX

JZ

JY

PIX

PIY

PIZ

PJX

PJZ

PJY

YL

ZL

BARRA BIARTICULADA ESPACIAL - RIGIDEZ EN EL SISTEMA GENERAL

IX IX

IY IY

IZ IZ

JX JX

JY JY

JZ JZ

F

F

F EA

F L

F

F

IX

IY

IZ

JX

JZ

JY

FIX

FIY

FIZ

FJX

FJZ

FJY

XG

YG

ZG

3

VIGA A FLEXIÓN EN EL PLANO - RIGIDEZ EN EL SISTEMA LOCAL

3 2 3 2

2 2

3 2 3 2

2 2

/ 0 0 / 0 0

0 12 / 6 / 0 12 / 6 /

0 6 / 4 / 0 6 / 2 /

/ 0 0 / 0 0

0 12 / 6 / 0 12 / 6 /

0 6 / 2 / 0 6 / 4 /

IX IX

IY I

I

JX

JY

J

P EA L EA L

P EI L EI L EI L EI L

M EI L EI L EI L EI L

P EA L EA L



Y

I

JX

JY

J

YL

IX

IY

JX

JY

I

J

XL

PIX

PIY

PJY

MI

MJ

PJX

4

VIGA A FLEXIÓN EN EL PLANO - RIGIDEZ EN EL SISTEMA GENERAL

2 2/ // /2 26 / 6 /3 32 3 2 312 / 12 /12 / 12 /

2 2/ // /26 / 63 32 3 2 312 / 12 /12 / 12 /

EAsc L EAsc LEAc L EAc LEIs L EIs L

EIsc L EIsc LEIs L EIs L

EAsc L EAsc LF EAs L EAs LIX EIc L E

EIsc L EIsc LF EIc L EIc LIY

MI

FJX

FJY

MJ

2

2

2/

2 2 26 / 6 / 4 / 6 / 6 / 2 /

2 2/ // / 26 / 6 /3 32 3 2 312 / 12 /12 / 12 /

2 2/ // /26 /3 32 3 2 312 / 12 /12 / 12 /

Ic L

EIs L EIc L EI L EIs L EIc L EI L

EAsc L EAsc LEAc L EAc LEIs L EIs L


EAsc L EAsc LEAs L EAs LEIc L

EIsc L EIsc LEIc L EIc L

26 /

2 2 2 26 / 6 / 2 / 6 / 6 / 4 /

IX

IY

I

JX

JY

JEIc L

EIs L EIc L EI L EIs L EIc L EI L

c = cos s = sen

I

IY

IX

I

J

JY

JXJ

5

VIGA A FLEXION EN EL PLANO. VIGA HORIZONTAL

3 2 3 2

2 2

3 2 3 2

2 2

/ 0 0 / 0 0

0 12 / 6 / 0 12 / 6 /

0 6 / 4 / 0 6 / 2 /

/ 0 0 / 0 0

0 12 / 6 / 0 12 / 6 /

0 6 / 2 / 0 6 / 4 /

IX IX

IY I

I

JX

JY

J

F EA L EA L

F EI L EI L EI L EI L


F EA L EA L

F EI L EI L EI L EI L


Y

I

JX

JY

J

I

IY

IX

I J

JY

JXJ

VIGA A FLEXION EN EL PLANO. VIGA VERTICAL

3 2 3 212 / 0 6 / 12 / 0 6 /

0 / 0 0 / 0

2 26 / 0 4 / 6 / 0 2 /

3 2 3 212 / 0 6 / 12 / 0 6 /

0 / 0 0 / 0

2 26 / 0 2 / 6 / 0 4 /

FEI L EI L EI L EI LIX

F EA L EA LIY

M EI L EI L EI L EI LI

F EI L EI L EI L EI LJX

EA L EA LFJY

M EI L EI L EI L EI LJ

IX

IX

I

JX

JY

J

I

IY

IXI

J

JY

JX

J

6

ELEMENTO DE EMPARRILLADO PLANO - RIGIDEZ EN EL SISTEMA LOCAL

2 2

2 3 2 3

2 2

2 3 2 3

/ 0 0 / 0 0

0 4 / 6 / 0 2 / 6 /

0 6 / 12 / 0 6 / 12 /

/ 0 0 / 0 0

0 2 / 6 / 0 4 / 6 /

0 6 / 12 / 0 6 / 12 /

IX

IY Y Y Y Y

IZ Y Y Y Y

JX

JY Y Y Y Y

JZ Y Y Y Y

m GJ L GJ L

m EI L EI L EI L EI L


m GJ L GJ L

m EI L EI L EI L EI L


IX

IY

IZ

JX

JY

JZ

IX

IY

IZ

JZ

JX

JY

mIX

mIY

PIZ

PJZ

mJX

mJY

7

ELEMENTO DE EMPARRILLADO PLANO - RIGIDEZ EN EL SISTEMA GENERAL

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

2

/ / / /6 / 6 /

4 / 2 /4 / 2 /

/ / / /6 / 6 /

4 / 2 /4 / 2 /

6 / 6 /

IX

IY

IZ

JX

JY

JZ

GJc L GJsc L GJc L GJsc LEIs L EIs L


GJsc L GJs L GJsc L GJs LMEIc L EIc L

EIsc L EIsc LEIc L EIc LM

EIs L EIcF

M

M

F

2 3 2 2 3

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

12 / 6 / 6 / 12 /

/ / / /6 / 6 /

2 / 4 /2 / 4 /

/ / / /6 / 6 /

2 / 4 /2 / 4 /

6 / 6 / 12 /

L EI L EIs L EIc L EI L

GJc L GJsc L GJc L GJsc LEIs L EIs L


GJsc L GJs L GJsc L GJs LEIc L EIc L


EIs L EIc L EI L

3 2 2 36 / 6 / 12 /

IX

IY

IZ

JX

JY

JZ

EIs L EIc L EI L

c s sen cos( ) ( ) y I IY

IXIY

IZ

JZ

JX

JY

MIXMIY

FIZ

FJZ

MJX

MJY

XG XG

YG

8

ELEMENTO VIGA ESPACIAL - RIGIDEZ EN EL SISTEMA LOCAL

3 2 3 2

3 2 3 2

2

/ 0 0 0 0 0 / 0 0 0 0 0

0 12 / 0 0 0 6 / 0 12 / 0 0 0 6 /

0 0 12 / 0 6 / 0 0 0 12 / 0 6 / 0

0 0 0 / 0 0 0 0 0 / 0 0

0 0 6 / 0 4

IX

IY z z z z

IZ Y Y Y Y

IX

IY Y

IZ

JX

JY

JZ

JX

JY

JZ

P EA L EA L

P I L I L I L I L

P I L I L I L I L

m GJ L GJ L

m I L

m

P

P

P

m

m

m

2

2 2

3 2 3 2

3 2 3 2

2 2

2

/ 0 0 0 6 / 0 2 / 0

0 6 / 0 0 0 4 / 0 6 / 0 0 0 2 /

/ 0 0 0 0 0 / 0 0 0 0 0

0 12 / 0 0 0 6 / 0 12 / 0 0 0 6 /

0 0 12 / 0 6 / 0 0 0 12 / 0 6 / 0

0 0 0 / 0 0 0 0 0 / 0 0

0 0 6 / 0 2 / 0 0 0 6 / 0 4 / 0

0 6 / 0

Y Y Y

z z z z

z z z z

Y Y Y Y

Y Y Y Y

z

I L I L I L

I L I L I L I L

EA L EA L

I L I L I L I L

I L I L I L I L

GJ L GJ L

I L I L I L I L

I L

20 0 2 / 0 6 / 0 0 0 4 /

IX

IY

IZ

IX

IY

IZ

JX

JY

JZ

JX

JY

JZz z zI L I L I L

IY

IX

IZ

IY

IZ

IX

JX

JZ

JY

JZJX

JY

mIY

PIX

PIZ

PIY

mIZ

mIX

PJX

PJZ

PJY

mJZ

mJXmJY

9

ELEMENTO VIGA ESPACIAL- MATRIZ DE ROTACIÓN

XG

YG

X

Z

XL=X

Y

ZG

YL

ZL

Y

YL

Z

L

T

L

NMMM

O

QPPP

( cos ) / cos ( cos ) /

( cos ) / ( cos ) /

sen D D sen D

sen D Dsen sen D

D2 2 2

IX

IY

IZ

JY

JX

JZ

JY

JX

JZ

IX

IY

IZ

FIX

FIY

FIZ

MJY

FJX

FJZ

FJY

MJX

MJZ

MIX

MIY

MIZ

10

ELEMENTO ARTICULADO - EMPOTRADO - RIGIDEZ EN EL SISTEMA LOCAL

3 3 2

3 3 2

2 2

/ 0 0 / 0 0

0 3 / 0 0 3 / 3 /

0 0 0 0 0 0

/ 0 0 / 0 0

0 3 / 0 0 3 / 3 /

0 3 / 0 0 3 / 3 /

IX IX

IY IY

I I

JX JX

JY JY

J J

P EA L EA L

P EI L EI L EI L

M

P EA L EA L

P EI L EI L EI L

M EI L EI L EI L

YL

IX

IY

JX

JY J

XL

PIX

PIY

PJY

MI=0

MJ

PJX

Giro en la articulación

I JY IYJ

L

3

2 2( )

I

J

IY

JY

11

ELEMENTO ARTICULADO - EMPOTRADO - RIGIDEZ EN EL SISTEMA GENERAL

2 2

2

3 32 3 2 3

2 2

2

3 32 3 2 3

2

2

/ // /0 3 /

3 / 3 /3 / 3 /

/ // /0 3 /

3 / 3 /3 / 3 /

0 0 0 0 0 0

/

3 /

IX

IY

I

JX

JY

J

EAsc L EAsc LEAc L EAc LEIs L


EAsc L EAsc LEAs L EAs LFEIc L

EIsc L EIsc LEIc L EIc LF

M

F EAc L

F EIs

M

2

2

3 33 2 3

2 2

2

3 32 3 2 3

2 2 2 2

/ //0 3 /

3 / 3 /3 /

/ // /0 3 /

3 / 3 /3 / 3 /

3 / 3 / 0 3 / 3 / 3 /

IX

EAsc L EAsc LEAc LEIs L

EIsc L EIsc LL EIs L



EIs L EIc L EIs L EIc L EI L

IX

I

JX

JY

J

I

IY

IX

J

JY

JXJ

12

ELEMENTO ARTICULADO - EMPOTRADO HORIZONTAL - RIGIDEZ EN EL SISTEMA GENERAL

3 3 2

3 3 2

2 2

/ 0 0 / 0 0

0 3 / 0 0 3 / 3 /

0 0 0 0 0 0

/ 0 0 / 0 0

0 3 / 0 0 3 / 3 /

0 3 / 0 0 3 / 3 /

IX IX

IY IY

I I

JX JX

JY JY

J J

F EA L EA L

F EI L EI L EI L

M

F EA L EA L

F EI L EI L EI L

M EI L EI L EI L

I

IY

IX

JJY

JXJ

ELEMENTO ARTICULADO - EMPOTRADO VERTICAL- RIGIDEZ EN EL SISTEMA GENERAL

3 3

3 3

2

2

2 2

3 / 0 0 3 / 0 3 /

0 / 0 0 / 0

0 0 0 0 0 0

3 / 0 0 3 / 0 3 /

0 / 0 0 / 0

3 / 0 0 3 / 0 3 /

IX IX

IY IX

I I

JX JX

JY JY

J J

EI L EI L EI L

EA L EA L

EI L EI L EI L

EA L EA L

EI L EI L EI L

F

F

M

F

F

M

I

IY

IX

J

JY

JX

J

13

ELEMENTO EMPOTRADO - ARTICULADO - RIGIDEZ EN EL SISTEMA LOCAL

3 2 3

2 2

3 2 3

/ 0 0 / 0 0

0 3 / 3 / 0 3 / 0

0 3 / 3 / 0 3 / 0

/ 0 0 / 0 0

0 3 / 3 / 0 3 / 0

0 0 0 0 0 0

IX IX

IY IY

I I

JX JX

JY JY

J J

P EA L EA L

P EI L EI L EI L

M EI L EI L EI L

P EA L EA L

P EI L EI L EI L

M

YL

IX

IY

JX

JY

I

XL

PIX

PIY

PJY

MJ=0

MI

PJX

Giro en la articulación

J JY IYI

L

3

2 2( )

I

J

IY

JY

14

ELEMENTO EMPOTRADO - ARTICULADO - RIGIDEZ EN EL SISTEMA GENERAL

2 2

2

3 32 3 2 3

2 2

2

3 32 3 2 3

2 2

/ // /3 / 0

3 / 3 /3 / 3 /

/ // /3 / 0

3 / 3 /3 / 3 /

3 / 3 / 3 /

IX

IY

I

JX

JY

J



EAsc L EAsc LEAs L EAs LFEIc L

EIsc L EIsc LEIc L EIc LF

EIs L EIc L EI LM

F

F

M

2 2

2 2

2

3 32 3 2 3

2 2

2

3 32 3 2 3

3 / 3 / 0

/ // /3 / 0

3 / 3 /3 / 3 /

/ // /3 / 0

3 / 3 /3 / 3 /

0 0 0 0 0 0

IX

EIs L EIc L





IX

I

JX

JY

J

I

IY

IX

I

JY

JX

J

15

ELEMENTO EMPOTRADO - ARTICULADO HORIZONTAL - RIGIDEZ EN EL SISTEMA GENERAL

3 2 3

2 2

3 2 3

/ 0 0 / 0 0

0 3 / 3 / 0 3 / 0

0 3 / 3 / 0 3 / 0

/ 0 0 / 0 0

0 3 / 3 / 0 3 / 0

0 0 0 0 0 0

IX IX

IY IY

I I

JX JX

JY JY

J J

F EA L EA L

F EI L EI L EI L

M EI L EI L EI L

F EA L EA L

F EI L EI L EI L

M

I

IY

IX

I

JY

JXJ

ELEMENTO EMPOTRADO - ARTICULADO VERTICAL - RIGIDEZ EN EL SISTEMA GENERAL

3 3

2

3 2 3

2

2

3 / 0 3 / 3 / 0 0

0 / 0 0 / 0

3 / 0 3 / 3 / 0 0

3 / 0 3 / 3 / 0 0

0 / 0 0 / 0

0 0 0 0 0 0

IX IX

IY IX

I I

JX JX

JY JY

J J

EI L EI L EI L

EA L EA L

EI L EI L EI L

EI L EI L EI L

EA L EA L

F

F

M

F

F

M

I

IY

IX

I

JY

JX

J

16

MUELLES DE ESFUERZO AXIAL - RIGIDEZ EN EL SISTEMA LOCAL

0 0

0 0 0 0

0 0

0 0 0 0

IX IX

IY IY

JX JX

JY JY

P K K

P

P K K

P

PIX

PJX

PIY

PJY

MUELLES DE ESFUERZO AXIAL - RIGIDEZ EN EL SISTEMA LOCAL

2 2

2 2

2 2

2 2

IX IX

IY IY

JX JX

JY JY

F c sc c sc

F sc s sc sK

F c sc c sc

F sc s sc s

IX

IY

JX

JY

FIX

FIY

FJX

FJY

MUELLES AL GIRO

M

M

K K

K K

1

2

1

2

RSTUVW

LNM

OQPRSTUVW

M1 M2 1 2

17

ELEMENTO VIGA PLANA CON ENERGÍA DE ESFUERZO CORTANTE - RIGIDEZ EN EL SISTEMA LOCAL

3 2 3 2

2 2

3 2 3

0 0 0 0

12 6 12 60 0

(1 ) (1 ) (1 ) (1 )

6 (4 ) 6 (2 )0 0

(1 ) (1 ) (1 ) (1 )

0 0 0 0

12 6 12 60 0

(1 ) (1 ) (1 ) (1 )

IX

IY

I

JX

JY

J

EA EA

L L

EI EI EI EI

P L L L L

P EI EI EI EI

M L L L L

P EA EA

L LP

EI EI EI EIML L L

2

2 2

6 (2 ) 6 (4 )0 0

(1 ) (1 ) (1 ) (1 )

IX

IY

I

JX

JY

J

L

EI EI EI EI

L L L L

12

2

EI

GA L'

YL

IX

IY

JX

JY

I

J

XL

PIX

PIY

PJY

MI

MJ

PJX

18

ELEMENTO DE EMPARRILLADO PLANO CON ENERGÍA DE ESFUERZO CORTANTE – RIGIDEZ EN EL SISTEMA LOCAL

2 2

2 3 2 3

2

0 0 0 0

(4 ) 6 (2 ) 60 0

(1 ) (1 ) (1 ) (1 )

6 12 6 120 0

(1 ) (1 ) (1 ) (1 )

0 0 0 0

(2 ) 6 (4 )0 0

(1 ) (1 )

Y Y Y Y

IX

IY Y Y Y Y

IZ

JX

JY

Y YJZ

GJ GJ

L L

EI EI EI EI

m L L L L

m EI EI EI EI

P L L L L

m GJ GJ

L Lm

EI EIPL L

2

2 3 2 3

6

(1 ) (1 )

6 12 6 120 0

(1 ) (1 ) (1 ) (1 )

IX

IY

IZ

JX

JY

Y YJZ

Y Y Y Y

EI EI

L L

EI EI EI EI

L L L L

12

2

EI

GA L

Y

'

IX

IY

IZ

JZ

JX

JY

mIX

mIY

PIZ

PJZ

mJX

mJY

1

Esfuerzos de empotramiento perfecto

VIGA EMPOTRADA EN AMBOS EXTREMOS

RA RB

MA MB

L

P

L/2 L/2

M MPL

R RP

A B A B 8 2

P

a b

MPab

LM

Pba

L

RPb

LL a R

Pa

LL b

A B

A B

2

2

2

2

2

3

2

32 2( ) ( )

q

M MqL

R RqL

A B A B 2

12 2

q

a b

c

Mqc

LLc bc ab

Mqc

LLc ac a b

Rqbc

L

M M

LR

qac

L

M M

L

A

B

AA B

BA B

123 12

123 12

22 2 2

22 2 2

d i

d i

q2q1

ML

q q ML

q q

Rq q L M M

L

Rq q L M M

L

A B

AA B

BA B

2

1 2

2

1 2

1 2

1 2

603 2

602 3

2

6

2

6

b g b g( )

( )

q

MqL

MqL

RqL

RqL

A B A B 2 2

30 20

3

20

7

20

q

M MqL

R RqL

A B A B 5

96 4

2

2

q

a b

Mq

LL a L a La

Mq

LL a L a La

Rq L b M M

L

Rq L a M M

L

A

B

AA B

BA B

FH

IK

FH

IK

20

7

3

30

3

2

6

6

3 3 2 2

3 3 2 2

( )

( )

M

a b

MMb

L

b

LM

Ma

L

a

L

RMab

LR

Mab

L

A B

A B

FHIK

FHIK

32 2

3

6 63 3

+T

-T

h

M M EI T h R RA B A B 2 0/

VIGA ARTICULADA EMPOTRADA

RA RB

MB

L

P

L/2 L/2

MPL

RP

RP

B A B 3

16

5

16

11

16

P

a b

MPa

LL a

RPb

La b R

Pa

LL a

B

A B

2

23 2

23

22 2

2

3 32 2

d i

a f d i

q

MqL

RqL

RqL

B A B 2

8

3

8

5

8

q

a b

c

Mqabc

La b

c

b

Rqbc

L

M

LR

qac

L

M

L

B

AB

BB

FHG

IKJ

22

42

2

3

q2q

1

ML

q q

RL

q q RL

q q

B

A B

2

1 2

1 2 1 2

1207 8

12033 12

12027 48

b g

b g b g

q

MqL

RqL

RqL

B A B 2

15 10

4

10

q

MqL

RqL

RqL

B A B 5

64

11

64

21

64

2

q

a b

Mq L a

LL a

Rq L b M

LR

q L a M

L

B

AB

BB

( )

( ) ( )

1207 3

6 6

2 2d i

M

a b

MM

La L

RM

LL a R R

B

A B A

23

3

2

22 2

32 2

d i

d i

+T

-T

h

M EI T h

R EI T hL R R

B

A B A

3

3

/

/

Condiciones de apoyo especiales

1. Apoyos no orientados según los ejes generales2. Descensos conocidos en los apoyos2. Descensos conocidos en los apoyos


Apoyos no orientados según los ejes generales

Apoyos no orientados según XG YG

La condición de apoyo no se puede definir fácilmente en los ejes generales de la estructuraejes generales de la estructura.

sin cos 0X Yα αΔ −Δ =

Definir un sistema de ejes local al nudo, XN, YN, en el que sea fácil imponer la condición de apoyo

0NYΔ =

sea fácil imponer la condición de apoyo

XYN

XN

YGXNcos sinN

X Xα α⎧ ⎫ ⎧ ⎫⎡ ⎤Δ Δ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎢ ⎥=⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥

XG

sin cosNYY

α α⎢ ⎥=⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥−⎪ ⎪ ⎪ ⎪ΔΔ ⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎣ ⎦ ⎩ ⎭⎪ ⎪⎩ ⎭

2

Nj j j= TΔ Δ N

j j j=F T F

Cambio de ejes de las ecuaciones de equilibrio (1)

Equilibrio en el sistema de ejes

111 1 1 1.. ..j n ⎧ ⎫⎡ ⎤ ⎧ ⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪

K K K FΔjsistema de ejes

general1

.... .. .. .. .. ..

.. ..j jj jn jj

⎢ ⎥ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=⎢ ⎥ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪

K K K FΔYG

1

.. .. .. .. .. ....

.. ..n nj nn nn

⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎣ ⎦ ⎩ ⎭⎩ ⎭K K K FΔ

XG

T Njj j= TΔ ΔTransformar las deformaciones al sistema N

111 1 1 1.. ..

.... .. .. .. .. ..

Tjj n

⎧ ⎫⎡ ⎤ ⎪ ⎪ ⎧ ⎫⎪ ⎪⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎢ ⎥

TK K K FΔ

YN

j

1 .. ..

.... .. .. .. .. ..

T Nj j jj jj jn

⎪ ⎪⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ =⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥

T FK K K ΔMultiplicar la columna j por TT

XN

3

1 .. ..Tj

nn nj nn n

⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩ ⎭⎢ ⎥ ⎪ ⎪⎣ ⎦ ⎩ ⎭T FK K K Δ

Cambio de ejes de las ecuaciones de equilibrio (2)

Partimos de la ecuación anterior:

111 1 1.. ..Tjj

⎧ ⎫⎡ ⎤ ⎪ ⎪ ⎧ ⎫⎪ ⎪⎪ ⎪⎢ ⎥K K K FT ΔPara transformar las fuerzas: multiplicar la fila j por Tj

111 1 1.. ..Tjj

⎧ ⎫⎡ ⎤ ⎪ ⎪ ⎧ ⎫⎪ ⎪⎪ ⎪⎢ ⎥K K K FT Δ111 1 1 1.. ..

.... .. .. .. .. ..

j

T N

j n ⎪ ⎪⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬

K K K F

FK K KTT T T

T

T

Δ

Δ

111 1 1 1.. ..

.... .. .. .. .. ..

j

T N

j n ⎪ ⎪⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬

K K K F

FK K KTT T T

T

T

Δ

Δ1 .. ..

.... .. .. .. .. ..

j j

T

jj jj jn jj j j⎢ ⎥ =⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪

FK K K

F

TT T T TΔ

⎪⎪⎪

1 .. ..

.... .. .. .. .. ..

j j

T

jj jj jn jj j j⎢ ⎥ =⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪

FK K K

F

TT T T TΔ

⎪⎪⎪1 .. ..T

jn

n nj nn n⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎩ ⎭⎢ ⎥ ⎪ ⎪⎣ ⎦ ⎩ ⎭

FK K T K Δ ⎪⎪

Nj j j=T F FEquilibrio en el sistema mixto

1 .. ..Tj

nn nj nn n

⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎩ ⎭⎢ ⎥ ⎪ ⎪⎣ ⎦ ⎩ ⎭FK K T K Δ ⎪⎪

1 111 1 1.. ..

.. .... .. .. .. ..

j nTj

⎧ ⎫ ⎧ ⎫⎡ ⎤ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥

FK K KT Δ

1 .. ..

.. .. .. .. .. .. ..

j jj jnNT N

j j jj j j

⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ =⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥

K K KTT T T FΔ

⎪⎪⎪

En el sistema Nes fácil aplicar la condición de ligadura especial

4

1 .. ..n nj nn nTj n

⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎣ ⎦ ⎩ ⎭ ⎩ ⎭K K K FT Δ

⎪⎪⎪⎪⎪⎪0N

jYΔ =

Resumen

T ⎧ ⎫ ⎧ ⎫⎡ ⎤

Equilibrio en el sistema mixto

1 111 1 1.. ..

.. .... .. .. .. ..

j nTj

⎧ ⎫ ⎧ ⎫⎡ ⎤ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪

FK K KT Δ

NextjXNF⎧ ⎫⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎨ ⎬F

1 .. ..

.. .. .. .. .. .. ..

j jj jnNT N

j j jj j j

⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ =⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥

K K KTT T T FΔ

⎪⎪⎪

(?)Nj N

jYR= ⎨ ⎬⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎩ ⎭

F

1 .. ..n nj nn nTj n

⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎣ ⎦ ⎩ ⎭ ⎩ ⎭K K K FT Δ

⎪⎪⎪⎪⎪(?)N

jXN⎧ ⎫Δ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪= ⎨ ⎬Δ

0j N

jY

= ⎨ ⎬⎪ ⎪Δ =⎪ ⎪⎪ ⎪⎩ ⎭Δ

5

Ejemplo

3X2X2Y 3Y

A

B

CA C

1X1Y

1 1cos( 45) sin( 45)NX X

⎧ ⎫ ⎡ ⎤ ⎧ ⎫Δ − − Δ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎢ ⎥

YNY

Y=0N

N TΔ Δ

1 1

11

( ) ( )

sin( 45) cos( 45)

X X

NYY

⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎢ ⎥=⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪Δ− − −Δ ⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩ ⎭⎣ ⎦⎪ ⎪⎩ ⎭-45X

N

X

6

1 1 1N TΔ = Δ XN

Ejemplo. Rigidez general y mixta

3X2X2Y 3Y Rigidez en el sistema general

A

B11 12

21 22 22 23

A AG G

A A B BG G G G

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥= +⎢ ⎥

K K 0

K K K K KA C

1X1Y

32 33 33B B CG G G

⎢ ⎥⎢ ⎥+⎢ ⎥⎣ ⎦0 K K K

1 1 1N TΔ = ΔRotación de 1 a su sistema local

11 121

1

11 A AG G

A A B B NT

T⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥+ =

T TK K 0

K K KT

T

K K21 22 22 23

32 3 333

G G G G

B B CG G G

⎢ ⎥+ =⎢ ⎥⎢ ⎥+⎢ ⎥⎣ ⎦

K K K

K

T

0 K

K K

K

7

Ejemplo: Ensamblado de la rigidez general

B

3X2X2Y 3Y

A

B

C

1

11 12 18

221 22

0.0233 0 0.0233 0

0 7. 0 7.10

0.0233 0 0.0233 0

x

A AG G yA

G A AG G

Δ⎡ − ⎤⎢ ⎥

⎡ ⎤ ⎢ ⎥− Δ⎢ ⎥ ⎢ ⎥= =⎢ ⎥ ⎢ ⎥− Δ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥

K KK

K K

1X1Y

221 22

2

0.0233 0 0.0233 0

0 7. 0 7.xG G

y

Δ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎢ ⎥− Δ⎣ ⎦

K K

2

22 23 28

7. 0. 7. 0.

0. 0. 0. 0.10

x

B BG G yB

G

Δ⎡ − ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎡ ⎤ Δ⎢ ⎥⎢ ⎥= = ⎢ ⎥⎢ ⎥

K KK

11 12

21 22 22 23

A AG G

A A B BG G G G

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥= +⎢ ⎥

K K 0

K K K K K

323 33

3

107 0. 7. 0.

0. 0. 0. 0.

G B BxG G

y

⎢ ⎥⎢ ⎥ − Δ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎢ ⎥ Δ⎣ ⎦

KK K

21 22 22 23

32 33 33

G G G G

B B CG G G

+⎢ ⎥⎢ ⎥+⎢ ⎥⎣ ⎦0 K K K

3833

0.0233 010

0 7xC

G

⎡ ⎤ Δ⎢ ⎥= ⎢ ⎥ Δ

K

8

3330 7.Gy

⎢ ⎥ Δ⎢ ⎥⎣ ⎦

Ejemplo: Rigidez en el sistema general

10.02 0. 0.02 0. 0. 0. XΔ⎡ ⎤−⎢ ⎥2X

2Y 3Y

1

28

0. 7. 0. 7. 0. 0.

0.02 0. 7.02 0. 7. 0.10

Y

X

⎢ ⎥⎢ ⎥ Δ−⎢ ⎥⎢ ⎥− − Δ⎢ ⎥⎢ ⎥=K

B

3X2X

2

3

100. 7 0. 7. 0. 0.

0. 0. 7. 0. 7.02 0.

0 0 0 0 0 7

Y

X

⎢ ⎥=⎢ ⎥− Δ⎢ ⎥⎢ ⎥− Δ⎢ ⎥⎢ ⎥

KA C

1Y

30. 0. 0. 0. 0. 7.

Y

⎢ ⎥Δ⎢ ⎥⎣ ⎦

1X

9

Ejemplo: Rotación de la rigidez al sistema mixto

10 02 0 0 02 0 0 0 XΔ⎡ − ⎤1TT

3X2X2Y 3Y

1

1

28

0.02 0. 0.02 0. 0. 0.

0. 7. 0. 7. 0. 0.

0.02 0. 7.02 0. 7. 0.10

X

Y

X

Δ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥ Δ−⎢ ⎥⎢ ⎥− − Δ⎢ ⎥⎢ ⎥K

1T

A

B

C2

3

100. 7 0. 7. 0. 0.

0. 0. 7. 0. 7.02 0.

0 0 0 0 0 7

Y

X

⎢ ⎥=⎢ ⎥− Δ⎢ ⎥⎢ ⎥− Δ⎢ ⎥⎢ ⎥

Δ⎢ ⎥

KA C

1X1Y

30. 0. 0. 0. 0. 7.

YΔ⎢ ⎥⎣ ⎦

Rigidez en el sistema mixto de gdl

1

1

3.51 3.49 0.016 4.95 0. 0.

3.49 3.51 0.016 4.95 0. 0.

N

NY

X⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥

Δ− −

− − − Δ

28

2

0.016 0.016

4.95 4.95

7.02 0. 7. 0.10

0. 7. 0. 0.

7 0 7 02 00 0

XN

Y

⎢ ⎥− Δ⎢ ⎥⎢ ⎥=⎢ ⎥ Δ⎢ ⎥⎢ ⎥− Δ⎢ ⎥

− −

−K

10

3

3

7. 0. 7.02 0.

0. 0. 0.

0. 0.

0 7. 0. .X

Y

Δ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ Δ⎣ ⎦

Ejemplo: Fuerzas

1 1875XF⎧ ⎫ ⎧ ⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪

1 kN/m 100001125 32

T1

2

0.

1125

5000

Y

X

F

F

F

⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪= =⎨ ⎬ ⎨ ⎬F

5000 50002 1T

2

3

5000

0.

5000

Y

X

F

F

F

⎨ ⎬ ⎨ ⎬−⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪−⎪ ⎪ ⎪ ⎪18751125

3 5000YF⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎩ ⎭⎪ ⎪⎩ ⎭18751

N⎧ ⎫ ⎧ ⎫

1125 Fuerzas nodales giradas

1

1 1326

132

1125

6

NX

NY

F

F

F

⎧ ⎫⎪ ⎪ ⎧ ⎫⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪

5000 50002 3

2

3

21125

5000

0.

XN

Y

X

F

F

F

⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪= =⎨ ⎬ ⎨ ⎬−⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪

F

18751326

11

3

35000

X

Y

F

F⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪−⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎩ ⎭⎪ ⎪⎩ ⎭

1326

1875

1

Ejemplo: ecuaciones finales

Se introduce la condición de ligadura debida al apoyo inclinado: Eliminar la fila y la columna en la dirección Y local del nudo.

1 0NY =Δ

Eliminar la fila y la columna en la dirección Y local del nudo.

1

1

3.51 3.49 0.016 4.95 0. 0.

3.49 3.51 0.016 4.95 0. 0. 0

NX

NY

⎧ ⎫⎪ ⎪⎡ ⎤ ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪⎢ ⎥

Δ− −

− − − Δ =

1326

1326

⎧ ⎫⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪28

2

7.02 0. 7. 0.10

0. 7. 0. 0.

0.016 0.016

4.95 4.95X

Y

⎪⎢ ⎥ ⎪− ⎪ Δ⎢ ⎥ ⎪⎪⎢ ⎥ ⎨ ⎬⎢ ⎥ ⎪ Δ⎪⎢ ⎥ ⎪

− −

−

1125

5000

⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪ ⎪=⎨ ⎬−⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪3

3

7. 0. 7.02 0.

0. 0. 0. 7.

0. 0.

0. 0.X

Y

⎢ ⎥ ⎪⎪⎢ ⎥− ⎪ Δ⎢ ⎥ ⎪⎪⎢ ⎥ ⎪⎪⎢ ⎥ Δ⎣ ⎦ ⎪⎪⎩

0

5000

⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪−⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎩ ⎭⎪⎪⎭⎪⎩ ⎪⎭

12

Ejemplo: deformaciones

1 0.9032NX

⎧ ⎫Δ ⎧ ⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪2

22

0.3440

0.6394 10

0.3429

X

NY

−

⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪Δ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪−Δ= =⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪Δ⎪ ⎪ ⎪ ⎪

Δ

3

3

0.3429

0.007X

Y

⎪ ⎪ ⎪ ⎪Δ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪−⎪ ⎪ ⎪ ⎪Δ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩ ⎭⎪ ⎪⎩ ⎭ Rotación de las deformaciones locales del nudo 1 al sistema

1 1cos( 45) sin( 45)

sin( 45) cos( 45)

T NX X

N

⎧ ⎫⎡ ⎤⎧ ⎫Δ − − Δ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎢ ⎥ ⎪ ⎪=⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪Δ Δ⎢ ⎥

YN

general

1 1

1

sin( 45) cos( 45)

1 1 0.63860.90321

NY Y

TX

⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪Δ − − − Δ⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩ ⎭ ⎣ ⎦ ⎪ ⎪⎩ ⎭

⎧ ⎫Δ ⎡ ⎤ ⎧ ⎫⎧ ⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎢ ⎥

X=0.6386

Y=0N

1

1

101 1 0.63862

X

Y

⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎢ ⎥= =⎨ ⎬ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥− −⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪Δ ⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩ ⎭⎣ ⎦ ⎩ ⎭⎩ ⎭XN

X=0.9032N

Y=-0.6386

13

Ejemplo: esfuerzos en la barra A

Fase 0 + fase 1 (En el sistema local de la barra)

0 7 0 0 7 0P⎧ ⎫ ⎡ ⎤⎧ ⎫ 0 6386 5000⎧ ⎫ ⎧ ⎫1

1

8

0 7 0 0 7 0

1875 0 0.0233 0.07 0 0.0233

1125 0 0 07 0 21 0 0 0710

x

y

P

P

M

⎧ ⎫ ⎡ ⎤− −⎧ ⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪ −⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪ −+ ⎢ ⎥⎨ ⎬ ⎨ ⎬ 2

0.6386 5000

50000.6386

0 1950010−

⎧ ⎫ ⎧ ⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪−−⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪−⎨ ⎬ ⎨ ⎬1

2

2

1125 0 0.07 0.21 0 0.0710

0 7 0 0 7 0

1125 0 0.0233 0.07 0 0.0233x

y

M

P

P

= + ⎢ ⎥⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎢ ⎥−⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎢ ⎥− −⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎢ ⎥⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎣ ⎦

0 1950010

50000.6394

80000.3440

=⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪−−⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪−⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪2y ⎢ ⎥⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎩ ⎭ ⎣ ⎦⎩ ⎭ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎩ ⎭⎩ ⎭

14

Apoyos inclinados modelizados con muelles

No todos los programas (pocos) permiten emplear sistemas de ejes locales (N) en los nudos con lo que el método anterior no se puede emplear

Método intuitivo y práctico para modelizar un apoyo inclinado: introducir un muelle de gran rigidez en la dirección fijada por el apoyo

(N) en los nudos, con lo que el método anterior no se puede emplear.

YY

X

K

2cos sin cosK Kα α α⎡ ⎤−⎢ ⎥

Rigidez del muelle en el sistema general

15

2

cos sin cos

sin cos sinM

K K

K K

α α α

α α α⎢ ⎥= ⎢ ⎥−⎢ ⎥⎣ ⎦

K

Apoyos inclinados modelizados con muelles

Ecuación de equilibrio del nudo en el sistema general X,Y, incluyendo la

2cos sin cosK KK K K K Fα α α⎡ ⎤ ⎧ ⎫ ⎧ ⎫+ Δ⎪ ⎪ ⎪ ⎪−

rigidez del muelle y la del resto de la estructura

2

cos sin cos... ... ... ...

... ... ... .sin cos sin ..

xi xx xy xj X X

YYyi xy yy yj

K KK K K K F

K K K FK K K

α α α

α α α

⎡ ⎤+ Δ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪Δ+⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩ ⎭⎩ ⎭⎣ ⎦

−

−

Al ser K muy grande, los demás términos son despreciables frente a él.

2

2

cos sin cos0

sin cos si 0n

0

0

X X

YY

K K

K

F

FK

α α α

α α α

⎡ ⎤ ⎧ ⎫ ⎧ ⎫Δ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪Δ⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎣ ⎦

−

− sin cos si 0n0 YYK Kα α α⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩ ⎭⎩ ⎭⎣ ⎦

Dos ecuaciones casi linealmente dependientes entre sí !!

16

pProblemas de estabilidad numérica al resolver el sistema de ecuaciones si K muy grande. Usar con precaución, cuidando el valor de K.

Ejemplo: modelo numérico cespla

B

3X2X2Y 3Y

2 4 4

6 2

100 10

2 1 10 /

A cm I cm

E kg cm

= =

= ⋅

A C

2.1 10 /E kg cm= ⋅

Rigidez de las barras al desplazamiento: orden 106 kg/cm

1X

1Y

=0

K

101.5 10 /K kg cm= ⋅

/K EA L=1=0

Solución correcta para un pamplio rango de valores de K: 108 - 1014 kg/cm

17


Deformaciones impuestas en los apoyos


Se conoce el valor de algunos grados de libertad. Normalmente uno sólo o unos pocos.Ningún problema teórico: valores conocidos de algunas incógnitasSe dividen los g.d.l. en dos tipos:

DD DC DD⎧ ⎫⎡ ⎤ ⎧ ⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪K K FΔ

GDLs de valor conocido: GDLs de valor desconocido:CΔ DΔ

DD DC D

CD CC C

D

CC

⎡ ⎤ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ =⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ + ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎣ ⎦ ⎩ ⎭⎩ ⎭

K K F

K K RFΔ

Δ

RC: reacciones exteriores sobre los GDL conocidos, necesarias para imponer los valores conocidos de las deformaciones.p p

Incógnitas:RC reacciones exteriores

19

CΔD deformaciones.


DD DC DD⎧ ⎫⎡ ⎤ ⎧ ⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ =⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ + ⎪

K K F

K K RFΔ

Δ

A nivel teórico se resuelve en dos pasos:

CD CC C CC⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ + ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎣ ⎦ ⎩ ⎭⎩ ⎭K K RFΔ

La primera ecuación proporciona las deformaciones de los nudos

DD DC C DD + =K K FΔΔDD DC C D

D

D

C CDD DD = −K F KΔ Δ

Nuevo término de cargas: fuerzas nodales equivalentes a los GDL conocidos.

La segunda ecuación proporciona las reacciones a aplicar para obtener las deformaciones impuestas

20

CC D CC C CD= + −KR K FΔΔ

Ejemplo

1y 2y 3y

2x1

21x⎧ ⎫Δ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪Δ1x 3x 1

1

y

θ

⎪ ⎪Δ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪Δ2

2

2

x

D

y

C θ

⎪ ⎪Δ⎪ ⎪⎪ ⎪⎧ ⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ Δ= =⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎩ ⎭ ⎪ ⎪

ΔΔ Δ

4y=-2

2

3

3

x

y

θ⎩ ⎭ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪Δ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪Δ⎪ ⎪⎪ ⎪3

4 2

y

y

⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪Δ =−⎪ ⎪⎪ ⎪⎩ ⎭8 x 8

0DD

CD CC

D

C

DC

C

⎧ ⎫⎡ ⎤ ⎧ ⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ =⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎣ ⎦

K

K K R

K

Δ

ΔNo hay fuerzas exteriores

21

CD CC CC⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩ ⎭⎣ ⎦ ⎩ ⎭K K RΔ

1 x 1

Ejemplo. Ecuación de equilibrio

Ensamblando las matrices K de las distintas barras.

6.67 0. 0.037 6.67 0. 0. 0. 0.

0. 2.678 0.266 0. 0.178 0.266 0. 0.

0.

2.5

−

− −

1

1

x

y

⎧ ⎫Δ⎡ ⎤ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎢ ⎥ Δ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪

0

0

⎧ ⎫⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪

810

0.037 0.266 0.733 0. 0.266 0.266 0. 0.

6.67 0. 0. 13.62 0.769 0. 6.67 0.

0. 0.178 0.266 0.769 2.274 0.133 0. 0

0.

0.77

2.0.044 5

−

− −

− − − −

−

−

1

2

2

x

θ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪⎪⎢ ⎥ ⎪⎢ ⎥ ⎪⎪⎢ ⎥ Δ⎪⎪⎢ ⎥ ⎪⎢ ⎥ ⎪⎪Δ⎨ ⎬⎢ ⎥

0

0

0

⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪ ⎪= ⎨ ⎬10 0. 0.178 0.266 0.769 2.274 0.133 0. 0 2.0.044

0. 0.266 0.266 0.

5

0.133 0.933 0.− −2

2

3

0.133

0. 0. 0. 6.67 0. 0. 6.67 0.

0.

0.

y

x

θ

Δ⎨ ⎬⎢ ⎥ ⎪⎢ ⎥ ⎪⎪⎢ ⎥ ⎪⎢ ⎥ ⎪⎪⎢ ⎥− Δ⎪⎢ ⎥ ⎪⎪⎢ ⎥

0

0

0

= ⎨ ⎬⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪3

4

0. 0. 0. 0. 0.044 0.133 0. 2.544

0. 2.5 0. 0.77 2.05 0. 0. 0. 4.5

0

5

.

y

y

⎪⎢ ⎥ ⎪− − Δ⎪⎢ ⎥ ⎪⎢ ⎥ ⎪⎪− − −⎢ ⎥ ⎪⎪⎣ ⎦ ⎪Δ

⎩4

0

yR

⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎩ ⎭⎪⎭

-2 cm

22

c

Ejemplo. Fuerzas equivalentes a la deformación

6.67 0. 0.037 6.67 0. 0. 0. 0.

0. 2.678 0.266 0. 0.178 0.266 0. 0.

−

−

1

1

0

0

x

y

⎧ ⎫Δ⎡ ⎤ ⎪ ⎪ ⎧ ⎫⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪Δ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥

0.

2.5

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥

⎪⎪⎪⎪⎪⎪

810

0.037 0.266 0.733 0. 0.266 0.266 0. 0.

6.67 0. 0. 13.62 0.769 0. 6.67 0.

0. 0.178 0.266 0.769 2.274 0.133 0. 0.044

−

− −

− − − −

1

2

2

0

0

0x

y

θ⎪⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪Δ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ =⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪Δ⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪

{ }84

0.

0.7710 0.02

2.05 y

⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥−⎢ ⎥− Δ = −⎢ ⎥−⎢ ⎥

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

0. 0.266 0.266 0. 0.133 0.933 0. 0.133

0. 0. 0. 6.67 0.

− −

−2

3

3

0

00. 6.67 0.

00. 0. 0. 0. 0.044 0.133 0. 2.544

y

x

θ⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪Δ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪− − ⎪ ⎪ ⎪Δ⎢ ⎥ ⎪⎪ ⎪⎣ ⎦

0.

0.

0.

⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪ ⎥⎣ ⎦⎪3yΔ⎢ ⎥ ⎪⎩⎪ ⎪⎣ ⎦ ⎩ ⎭ ⎢⎭ ⎥⎣ ⎦⎪

1 0. 0.

5 02 5

xF

F

⎡ ⎤ ⎧⎪⎪⎢ ⎥ ⎪⎢ ⎥ ⎪⎪

⎧ ⎫⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪

⎫⎪⎪⎪⎪⎪

{ }8

1

1

2

5.02.5

0.0.

1.540.76610 0.02

4 102 05

y

x

DC C

F

M

F

F

⎢ ⎥ ⎪ −− ⎪⎢ ⎥ ⎪⎪⎢ ⎥ ⎪⎢ ⎥ ⎪⎢ ⎥⎢ ⎥ −−⎢ ⎥− − = ⎨⎢ ⎥

⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪− = =⎨ ⎬⎪ ⎪K Δ 610

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎬⎪ ⎪{ }

2

2

3

4.102.05

0.0.

0.0.

DC Cy

x

F

M

F

⎢ ⎥ −−⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥

⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎢ ⎥

⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪

⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪

23

30.0.

yF⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎩ ⎭⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎩ ⎭

Ejemplo. Deformaciones

6.67 0. 0.037 6.67 0. 0. 0. 0.

0. 2.678 0.266 0. 0.178 0.266 0. 0.

−

−

1

1

0.

5

x

y

⎧ ⎫Δ⎡ ⎤ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎢ ⎥ Δ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎢ ⎥

⎡⎢⎢ −⎢⎢

⎤⎥⎥⎥⎥

810

0.037 0.266 0.733 0. 0.266 0.266 0. 0.

6.67 0. 0. 13.62 0.769 0. 6.67 0.

0. 0.178 0.266 0.769 2.274 0.133 0. 0.044

−

− −

− − − −8

1

2

2

0.

1.5410

4.1x

y

θ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎢ ⎥ Δ⎪ ⎪⎪ ⎪⎢ ⎥ =⎨ ⎬⎢ ⎥ ⎪ ⎪Δ⎢ ⎥ ⎪ ⎪⎪ ⎪

⎢⎢⎢⎢−⎢⎢⎢ −⎢

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

0. 0.266 0.266 0. 0.133 0.933 0. 0.133

0. 0. 0. 6.67 0.

− −

−2

3

3

0. 6.67 0.

0. 0. 0. 0. 0.044 0.133 0. 2.5

0.

0.

0.44

y

x

θ⎢ ⎥ ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪Δ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪− − ⎪ ⎪Δ⎢ ⎥ ⎪ ⎪⎣ ⎦

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦3yΔ⎢ ⎥ ⎪ ⎪⎣ ⎦ ⎩ ⎭ ⎣ ⎦

1 1.892

2 008

x⎧ ⎫Δ ⎧− ⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪Δ⎪ ⎪ ⎪ ⎪1

1

2 2

2.008

0.247

1.89410

y

x

θ

−

Δ −⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪Δ −⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎨ ⎬ ⎨ ⎬Δ 2

2

2

101.273

0.320

1 893

Dy

θ

= =⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎪ ⎪ ⎪− ⎪Δ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪Δ⎪ ⎪ ⎪ ⎪

Δ

24

3

3

1.893

0.005x

y

−Δ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪−Δ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎩ ⎭⎪ ⎪⎩ ⎭

Ejemplo. Reacción en el apoyo que se mueve

6.67 0. 0.037 6.67 0. 0. 0. 0. 0.

0. 2.678 0.266 0. 0.178 0.266 0. 0. 2.5

−

− −

1

1

x

y

⎧ ⎫Δ⎡ ⎤ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎢ ⎥ Δ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪

0

0

⎧ ⎫⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪

810

0.037 0.266 0.733 0. 0.266 0.266 0. 0. 0.

6.67 0. 0. 13.62 0.769 0. 6.67 0. 0.77

0. 0.178 0.266 0.769 2.274 0.133 0. 0.044 2.05

−

− − −

− − − − −

1

1

2

2

y

x

θ⎢ ⎥ ⎪⎪⎢ ⎥ ⎪⎪⎢ ⎥ ⎪⎢ ⎥ ⎪⎪⎢ ⎥ Δ⎪⎪⎢ ⎥ ⎪⎢ ⎥ ⎪⎪Δ⎢ ⎥ ⎨ ⎬

0

0

0

⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪ ⎪⎨ ⎬10 0. 0.178 0.266 0.769 2.274 0.133 0. 0.044 2.05

0. 0.266 0.266 0. 0.133 0.933 0.− −2

2

3

0.133 0.

0. 0. 0. 6.67 0. 0. 6.67 0. 0.

0 0 0 0 0 044 0 133 0 2 544 0

y

x

θ

Δ⎢ ⎥ ⎨ ⎬⎪⎢ ⎥ ⎪⎢ ⎥ ⎪⎪⎢ ⎥ ⎪⎪⎢ ⎥− Δ⎪⎢ ⎥ ⎪⎪⎢ ⎥ ⎪Δ⎪⎢ ⎥

0

0

0

0

= ⎨ ⎬⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪3

4

0. 0. 0. 0. 0.044 0.133 0. 2.544 0.

0. 2.5 0. 0.77 2.05 0. 0. 0. 4.55y

y

⎪− − Δ⎪⎢ ⎥ ⎪⎢ ⎥ ⎪⎪− − −⎢ ⎥ Δ⎪⎢ ⎥ ⎪⎣ ⎦ ⎪⎩4

0

yR

⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎩ ⎭⎪⎭

1 892⎧ ⎫

De la última ecuación Conocido1.892

2.008

0.247

1.894

⎧− ⎫⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪−⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪−⎪ ⎪

{ } 8 24 4.55

89

1.27310 0. 2.5 0. 0.77 2.05 0. 0. 0. 10 13617( )0.320

1.893

yR N−

⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎡ ⎤ −= − − − = −⎨ ⎬⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪−⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪

25

0.0

0.005

2

⎪ ⎪⎪ ⎪−⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪⎩−

⎪⎭

Ejemplo. Esfuerzos finales

26

Ejemplo. Edificio simple

IPE 400 IPE 360 IPE 360

IPE 400 IPE 400 IPE 400

HEB 200 HEB 200 HEB 200

IPE 400 IPE 400 IPE 400

HEB 260 HEB 260 HEB 260

HEB 280 HEB 280 HEB 280

Peso propio + Sobrecarga de uso Descenso 5 cm pilar izquierda

7 m

27

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