El Método que plantearemos en este capitulo es el de la rigidez o delos desplazamientos. Se llama rigidez porque las ecuaciones finales asolucionar tienen como incógnitas los desplazamientos en función delas rigideces de los elementos.

En cualquiera de los dos métodos que se plantea se utiliza elprincipio de superposición, el cual se plantea el cual cumple parasistemas lineales, elásticos y que experimentan desplazamientospequeños, o sea que las tangentes son iguales a los ángulos.

Debido a que en el método de la rigidez se trabaja con losdesplazamientos es importante definir lo que es un grado deLibertad

Los Grados de Libertad corresponden a las posibles formas demoverse que tiene una estructura, con ellos se puede describirla figura deformada de una estructura. Estos se miden en lospuntos de unión de elementos (nudos) o en los apoyos.

En apoyos sabemos determinar cuando un grado de libertad eslibre o restringido, en nudos también podemos identificar losgrados de libertad libres.

Para una estructura completa podemos contar primero losgrados de libertad libres y finalmente identificando los de losapoyos.

Esta estructura bidimensional tienesiete grados libertad libres, siconocemos los desplazamientos encada una de las direccionespodemos determinar la deformadade toda la estructura en función deestos desplazamientos. Note queellos constituyen losdesplazamientos de extremo de loselementos.

Esta estructura tiene cinco grados de libertad libres

Debido a que una estructura esta formado por diversoselementos estructurales es posible encontrar la matriz de rigidezde cada uno de sus elementos y luego de proceder aensamblarla para toda la estructura.

La Matriz de Rigidez de un elemento depende de los grados deLibertad involucrados en la barra a analizar existen diversostipos de barras en función a los esfuerzos que trasmiten, porejemplo puede haber barras que solo soportan fuerzas axiales ocorte o esfuerzos a flexión, torsión, etc. O combinando algunosde estos efectos, por ejemplo las barras de una armaduraabsorben fuerzas axiales y de corte, en cambio una barra de vigao columna, absorbe esfuerzos a flexión corte y axial, en el casode un muro de corte es importante el esfuerzo cortante.

Cuando la barra se analiza considerando sus coordenadas propias sin importar las referidas a toda la estructura es posible obtener una matriz de rigidez por ejemplo en caso de una armadura:

Dado que los elementos unidos conforman una estructura y teniendo en cuenta que las coordenadas globales no son iguales a las coordenadas locales del elemento, es necesario realizar una transformación de coordenada para lo cual plantearemos la matriz de Compatibilidad de Deformaciones.

Esta matriz sirve para relacionar los desplazamientos de extremo con los movimientos generales de toda la estructura en sus ejes globales, también se conoce como matriz de transformación de coordenadas.

Su planteamiento asume entonces una conversión de ejes locales de los elementos a ejes globales de estos:

La matriz de transformación de coordenadas corresponde a la matriz de compatibilidad de fuerzas y se expresará con la letra λ. Note que esta matriz es para fuerzas y no para desplazamientos.

Esta matriz tiene en general tres componentes que representan 3 transformaciones (horizontal, vertical y giro)

En el caso de armaduras solo hay 2 transformaciones (horizontal y vertical), por lo tanto la matriz seria:

A partir de esta matriz podemos crear la matriz β para una armadura que seria de la siguiente manera:

Luego finalmente para encontrar la matriz global tendríamos la siguiente expresión

El resultado para una Armadura es:

Los ángulos deben medirse en sentido antihorario y con respecto al eje x positivo

Para resolver ejercicios manualmente por el método matricial de rigidez se sugiere seguir la siguiente metodología que ayudara a simplificar los cálculos:

1. Enumere todos los grados de libertad de la estructura, tanto libres como restringidos. No tienes que llevar un orden específico, aunque se estila colocar primero los restringidos y luego los libres

2. Elimine voladizos llevando la carga y el momento al nudo próximo. (en Pórticos).

3. Estudie la estructura en cuanto a la posible forma de moverse, Identifiquecuales grados de libertad son libres y cuales son restringidos, comotambién cuales son iguales ya sea por simetría o por despreciardeformaciones axiales. Aquí se puede tener en cuenta si despreciandeformaciones axiales o no, por lo general, para vigas con cargasperpendiculares las deformaciones axiales se pueden despreciar y losdesplazamientos horizontales es sus extremos serán iguales. En este pasotambién es importante identificar si un elemento aporta o no rigidez a untipo de movimiento especificado.

4. Ensamblar esquemáticamente las matrices de rigidez de los elementos.Esto quiere decir que no se escriben los términos interiores de la matriz,solo se identifican los números de las filas y columnas con el número delgrado de libertad correspondiente. Se pierde tiempo al escribir todo estostérminos que la final no se necesitan.

5. El ensamble de la matriz se hará teniendo en cuenta las conectividadesentre barras y basando en los grados de libertad comunes

6. Una vez ensamblada la matriz en filas y columnas esquemáticas,reconozca la separación entre grados de libertad libres y restringidos ytrace dos líneas perpendiculares. Por lo tanto debe de dividir la matrizglobal en submatrices de la siguiente manera:

En Donde:

Kff=Matriz de rigidez correspondiente a los grados de libertad reales essimétrica de orden NxN, en donde N es el número de grado de libertadreales.

Krr=Matriz correspondiente a los grados de libertad restringidos essimétrica de orden N1xN1, en donde N1 es el número de grado delibertad restringidos.

Krf=Matriz de rigidez correspondiente a la influencia de los grados delibertad reales sobre los restringidos y de orden N1xN

Kfr=Matriz de rigidez correspondiente a lo grados de libertad restringidossobre los reales y de orden NxN1

El Método Directo de Rigidez hace uso de cargas aplicadas sobre los nudosde la estructura estas cargas son positivas y están dirigidas en el sentidopositivo de las coordenadas globales. Si hubiesen cargas actuantes sobre lasbarras debe de aplicarse el principio de superposición desdoblando laestructura original en dos estados:

En este estado se aplican todas las solicitaciones externas y serestringen los grados de libertad, produciendo empotramientosficticios, a partir de ahí se obtienen reacciones en los apoyos ficticiosque se almacenan en el vector de reacciones, como estas reaccionesson ficticias no existen en la estructura original deberían eliminarseaplicando el estado complementario un vector de cargas nodales

En este caso se aplica el vector de cargas nodales y se liberan losgrados de libertad, este estado es el que se resuelve por el métodode rigidez directo.

Aclaración importante:

Para armaduras solo se utiliza el estado

complementario, no es necesario primario, ya que

las cargas estas colocadas directamente en los

nudos de la estructura.

La Matriz de Pórticos es:

Encuentre, solo en los grados de libertad libres, el vector de cargas nodales 𝑄 = − 𝑟 , No hay necesidad de hacerlo para los grados de libertad

restringidos o despreciados. Es por eso que a partir de ahora solo consideramos 𝑄𝑓 =vector de cargas nodales en los grados de libertad libres.

Encuentre los desplazamientos de los grados de libertad libres usando la expresión: 𝐷𝑓 = 𝐾𝑓𝑓 −1 ∗ 𝑄𝑓 − 𝐾𝑓𝑟 ∗ 𝐷𝑟

En donde:

{Dr}= Desplazamiento en la dirección de los grados de libertad restringidos.

Conocido {Df} las reacciones correspondientes al estado complementario se calculan mediante la expresión:

𝑄𝑟 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑎𝑟𝑖𝑜 = 𝐾𝑟𝑓 ∗ 𝐷𝑓 + 𝐾𝑟𝑟 ∗ 𝐷𝑟

Estas reacciones deberán sumarse con las obtenidas en el estado primario para obtener las reacciones finales

𝑅 = 𝑄𝑟 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑎𝑟𝑖𝑜 + 𝑄𝑟 𝑝𝑟𝑖𝑚𝑎𝑟𝑖𝑜

En donde:𝑄𝑟 𝑝𝑟𝑖𝑚𝑎𝑟𝑖𝑜 = {𝑟}

Las fuerzas internas se pueden calcular por equilibrio estático en los nudos