Método de la rigidez y de la flexibilidad

Análisis Estructural II UNS

ANÁLISIS DE ESTRUCTURAS

I. MÉTODO DE RIGIDEZ

Para establecer las ecuaciones de rigidez consideraremos el elemento simple mostrado en la figura (a), el cual sólo está sometido a carga axial. Este elemento puede identificarse con un resorte lineal.

Los extremos del puntal se identifican con nudos o puntos nodales (los dos términos se emplean indistintamente). En ellos se aplican las fuerzas y se determinan los desplazamientos. Las fuerzas que actúan en los nudos reciben dos subíndices, que indican los nudos del elemento donde actúan las fuerzas. El primer subíndice indica el nudo donde actúa la fuerza, en tanto que el segundo indica el otro extremo del elemento. Por ejemplo, F1,2 es la fuerza que actúa en el nudo 1 de un elemento cuyos nudos extremos son el 1 y el 2, y la fuerza F2,1 es la fuerza que actúa en el nudo 2 del mismo elemento.

El eje x del sistema se toma paralelo al eje del elemento y la dirección positiva se considera de izquierda a derecha. Las cargas y los desplazamientos en los nudos se consideran positivos cuando actúan en el sentido positivo del eje x del elemento. En la figura se aprecia que ambas son positivas. Análogamente, los desplazamientos u1 y u2 tienen direcciones positivas.

Si el extremo 2 del puntal está fijo, como se muestra en la figura (b), existen las siguientes relaciones entre las fuerzas y los desplazamientos (determinadas de acuerdo a los principios de la Resistencia de materiales):

u1

A,E

F F1,2 2,1

( a )

x

u2


Estas ecuaciones pueden resumirse, usando la notación matricial, de la siguiente manera:

Si ahora se impide que el nudo 1 del puntal se mueva, se tendrán las siguientes relaciones entre fuerzas y los desplazamientos:

O, en forma matricial:

u1

F F1,2 2,1

( b )

I I


Los extremos 1 y 2 del puntal pueden recibir desplazamientos arbitrarios y, con base en el principio de superposición, se pueden escribir las siguientes relaciones para las fuerzas resultantes en los nudos 1 y 2:

O, en notación matricial:

Esta última ecuación puede escribirse simbólicamente como:

En donde:

Es un vector de fuerzas en el nudo.

Es un vector desplazamiento de nudo, y

Es una matriz de coeficientes de rigidez, llamada matriz de rigidez.

En las ecuaciones 1.6 y 1.7 pueden verse que cada columna de la matriz de rigidez representa un conjunto de fuerzas correspondientes a un valor unitario de un solo desplazamiento de nudo. Entender esta característica de la matriz de rigidez permitirá determinar matrices de rigidez para estructuras más complejas que la que se está analizando.


II. MÉTODO DE LA FLEXIBILIDAD O MÉTODO DE LAS FUERZAS

Este método no es más que el método de las deformaciones compatibles, con un formato matricial.

Y es aplicable a estructuras estáticamente indeterminadas. A continuación se indican los pasos necesarios para analizar una estructura estáticamente indeterminada:

1. Se escoge un número suficiente de redundantes y se eliminan de la estructura,

resultando ésta estáticamente determinada. La estructura que queda, llamada la estructura primaria, debe ser estable.

2. Se analiza la estructura primaria para determinar las deformaciones en el lugar y en la dirección de las redundantes eliminadas.

3. Se aplica una carga unitaria a la estructura primaria en el punto y en la dirección de una de las redundantes y se determina la deflexión en esa redundante y en todas las demás. Por ejemplo, la deflexión debida a una carga unitaria en el punto 1 se calcula y se designa δ1,1; la deflexión en el punto 2, debido a una carga unitaria en el punto 1 se designa δ2,1, etc. Se repite este mismo procedimiento, aplicando una carga unitaria en cada una de las localidades de las demás redundantes. Los desplazamientos debido a una carga unitaria se denominan coeficientes de flexibilidad. El desplazamiento real en el nudo 1, debido a la redundante R1 veces la deflexión causada por una carga unitaria actuando en ese lugar, o sea, R1 * δ1,1; el desplazamiento en el nudo 2 debido a R1 es igual a R1 * δ2,1, etc.

4. Por último se escriben ecuaciones simultáneas de deformación compatible en cada localidad de las redundantes. Las incógnitas en esas ecuaciones son las fuerzas redundantes. Las ecuaciones se escriben en forma matricial y entonces se despejan las redundantes.

Para ilustrar este procedimiento se considera la viga de cuatro claros mostrada en la figura (c.1). Esta viga es estáticamente indeterminada de tercer grado y las tres reacciones R1, R2

y R3 en los apoyos se han escogido como redundantes; en la figura (c.2) estas reacciones se han suprimido de la estructura. Las cargas externas ocasionan que la viga se deflexione hacia abajo con los valores δ1, δ2 y δ3, como se muestra en la figura.

En la figura (c.3) una carga unitaria en el punto1 actuando hacia arriba. Esta produce deflexiones hacia arriba en los puntos 1, 2 y 3, respectivamente, iguales a δ1,1, δ2,1 y δ3,1. Análogamente, en las otras posiciones se aplican cargas unitarias hacia arriba en los puntos 2 y 3, respectivamente, y se determinan las deflexiones en los tres puntos de aplicación de las redundantes.


135 kN 135 kN 270 kN 270 kN

3m 3m 3m 3m 3m 3m 3m 3m

R1 R2 R3

R1=0 R2=0 R3=0

(c.1)

135 kN 135 kN 270 kN 270 kN

(c.2)

1 2 3

(c.3)

1

1,1 2,1 3,1


Ahora podemos escribir una expresión para la deflexión en cada uno de los nudos. Aquí δR1, es la deflexión total en el punto 1, δ2, es la deflexión total en el punto 2, etc. Como esta viga sólo tiene apoyos rígidos, cada uno de estos valores es igual a cero.

Estas ecuaciones pueden escribirse en forma matricial de la siguiente manera:

Estas ecuaciones expresan el hecho de que los desplazamientos debidos a las cargas, más la matriz de flexibilidades multiplicada por las redundantes, es igual a la deflexión final en los apoyos. Esta ecuación puede escribirse en forma compacta como se detalla a continuación.

Donde:

: Es un vector de desplazamientos debido a las cargas impuestas. : Es un vector de coeficientes de flexibilidad. : Es un vector de fuerzas redundantes. : Es un vector de deflexiones finales en los apoyos, (iguales a 0 aquí).

Esta ecuación puede escribirse un poco distinta y resolverse para las redundantes:

El símbolo representa la inversa de la matriz . Su valor puede encontrarse por la teoría de matrices.


III. RELACIÓN ENTRE MATRIZ DE FLEXIBILIDAD Y RIGIDEZ

Aunque se conoce que el método de la rigidez y el de flexibilidad son dos métodos indistintamente aplicables en la solución de problemas de estructuras, hay un parámetro que relaciona íntimamente a estos dos métodos; las matrices.

Si bien es cierto los coeficientes de flexibilidad representan desplazamientos en lugares específicos debido a cargas unitarias en otros lugares.

A continuación la figura (d):

Figura (d)

En el nodo de la viga se aplica un momento unitario, como se muestra más adelante en la figura (e). Las rotaciones resultantes en los nodos 1 y 2 son los coeficientes de flexibilidad,

y respectivamente. Sus valores se muestran en la figura (e). Igualmente se aplica un momento unitario en el nodo 2 de la viga, como se muestra en la figura (f), para determinar los coeficientes de flexibilidad y . Los valores de esos coeficientes se muestran en la figura (f).

A continuación, usando el principio de superposición, se escriben los desplazamientos totales en los nodos 1 y 2 debidos a la aplicación de los momentos arbitrarios M1 y M2.


O, en forma matricial:

Simbólicamente, la ecuación anterior se escribe:

Figura (e)

Figura (f)


Si ahora se considera la siguiente ecuación que se obtiene del análisis por el método de la rigidez.

Que también se puede escribir como:

Y analizando las ecuaciones (1.15) y (1.17) se observa que la matriz de rigidez es la inversa de la matriz de flexibilidad .

IV. MATRIZ DE TRANSFORMACIÓN DE FUERZAS

Si consideramos que en los dos extremos de la barra pueden actuar fuerzas externas que por conveniencia las asociaremos a los vectores desplazamiento dx y dy, tenemos el siguiente diagrama de fuerzas:

0

FXA

FyA

FyB

FXB


Necesitamos encontrar la relación entre P (fuerzas internas de la barra) versus las fuerzas externas fuera de la barra. Si tomamos el nudo B, tenemos

Diagrama de cuerpo libre del extremo

O alternativamente:

Y en el caso general (Fuerzas en extremos A y B).

Nota: es la fuerza axial resultante sobre la barra.

0

FXA

FyA

FyB

FXB

PP

B

A


Observar que la matriz columna relaciona a con las fuerzas externas en los extremos es la traspuesta de la matriz renglón encontrada previamente. Por esta razón podemos escribir la ecuación anterior de la siguiente forma:

V. MATRIZ DE TRANSFORMACIÓN DE DESPLAZAMIENTOS

Cuando aplicamos el método de la rigidez obtenemos

{P}= {K} · {d} {d}= {K}-1· {P}

Donde:

K = Matriz de rigidez de la estructura, en coordenadas globales. P = Matriz de cargas en los nudos de la estructura, en coordenadas globales. d = Matriz de desplazamientos de los nudos en coordenadas globales. Es decir: el primer resultado de cálculo de la estructura es el vector desplazamiento (movimiento) de los nudos, en coordenadas globales. Sin embargo para la determinación de los esfuerzos en barras, es necesario utilizar:

Los desplazamientos de los extremos de barras. La matriz de rigidez de las barras. Las solicitaciones en barras (axiles, cortantes,

flectores y torsores) tienen una referencia con los sistemas de ejes locales.

Las matrices de rigidez de las barras se expresan también en los sistemas de coordenadas locales. Por lo anterior se hace necesario establecer la relación entre los vectores desplazamiento de los extremos de las barras, expresados en coordenadas locales y los vectores desplazamiento de los nudos de la estructura, expresados en coordenadas globales, para poder obtener las solicitaciones en las barras. TRANSFORMACIÓN DE LOS DESPLAZAMIENTOS Se trata aquí de obtener una relación, entre los desplazamientos que sufren extremos de las barras y los nudos de una estructura, expresados en coordenadas globales y en coordenadas locales. La expresión del trabajo, refiriendo {P} y {d} en coordenadas globales será:

{ PG }T . { dG } donde: { PG }T es la traspuesta del vector carga en nudos, en coordenadas globales


{ dG } es el vector desplazamiento de los nudos, en coordenadas globales La expresión del trabajo, expresando { P } y { d } en coordenadas locales será :

{ PL }T . { dL }

Utilizando el concepto de matriz de transformación tendremos:

{ PG } = { T } { PL } e igualando la expresión del trabajo, dado que la magnitud trabajo es escalar y por ello es independiente del sistema de coordenadas utilizado para su obtención : { PG }T . { dG } = { PL }T . { dL } Sabemos que : { PG }T = { PL }T . { T }T

Y por tanto se cumplirá que : { PL }T . { T }T . { dG } = { PL }T. { dL } De la ecuación anterior, multiplicando por la matriz inversa de la traspuesta del vector carga en locales, los dos miembros de la igualdad, obtenemos la relación de transformación de desplazamientos de coordenadas globales a locales, que será: { dL } = { T }T . { dG }

Estas ecuaciones son aplicables tanto al caso de estructuras planas como espaciales, tanto de nudos de empotramiento elástico, comúnmente denominados como nudos rígidos, como de nudos articulados, aunque lógicamente los vectores carga y las matrices de transformación tendrán una expresión concreta adecuada a cada tipología estructural.

El procedimiento de cálculo matricial de estructuras se desarrolla partiendo del cálculo de las matrices de rigidez de las barras, expresadas en locales, para llegar a la matriz de rigidez de la estructura que hemos de expresar en coordenadas globales.

Una vez obtenida la matriz de rigidez de la estructura, definimos el vector de cargas en nudos y obtenemos el vector desplazamiento en nudos (en el sistema de coordenadas globales).


Necesitaremos utilizar la relación que estamos exponiendo en este apartado, para pasar a obtener los desplazamientos en los extremos de barras, en el sistema de ejes local, para poder calcular las solicitaciones en las barras, que se expresan utilizando el sistema de coordenadas locales.

La matriz de transformación, {T}, nos va a servir para resolver este proceso de cambio y relación entre los sistemas de coordenadas locales y globales, en este caso para los desplazamientos.

VI. TRABAJO VIRTUAL Y ENERGÍA

El método de trabajo virtual, llamado a veces método de la carga unitaria ficticia, es el de aplicación más amplia de entre todos los métodos empleados para calcular deflexiones. Es aplicable a vigas, marcos y sobre todo, a armaduras.

El trabajo virtual se basa en la ley de la conservación de la energía según el cual el trabajo hecho por un grupo de cargas externas aplicadas gradualmente a una estructura es igual a la energía elástica interna almacenada en la estructura. Para emplear esta ley en las derivaciones que siguen, es necesario hacer las siguientes suposiciones:

1. Las fuerzas internas y externas están en equilibrio. 2. El límite del material no se excede. 3. Los apoyos no tienen movimiento.

Figura (g)


Tomaremos como referencia para el siguiente análisis la armadura de la figura (g). Se aplican a la

armadura las cargas P1 a la P3, como se muestra; éstas producen fuerzas en las barras. Cada barra

de la armadura se acorta o se alarga dependiendo del carácter de la fuerza que actúe en ella. Estas

deformaciones internas causan deflexiones externas y cada una de las cargas se desplaza una

pequeña distancia. Ahora podemos establecer en detalle el principio de la conservación de

energía, según se aplica la armadura. El trabajo externo efectuado por las cargas P1 a P3, al

moverse éstas a través de sus respectivos desplazamientos, es igual al trabajo interno efectuado

por la fuerzas en las barras al desplazarse sobre sus respectivos cambios de longitud. Para escribir

una expresión del trabajo interno efectuado por una barra de la armadura, es necesario

desarrollar una expresión para la deformación de la barra. Con este fin consideraremos la barra de

la figura (h).

La fuerza aplicada a la barra produce en ésta un alargamiento de magnitud Δl. El alargamiento

puede calcularse en función de las propiedades de la barra. El alargamiento unitario Є es igual al

alargamiento total dividido por la longitud de la barra y es también igual al esfuerzo que actúa en

ésta, dividido por su módulo de elasticidad. Puede escribirse una expresión para Δl de la siguiente

manera:

De acuerdo con las suposiciones previas, las barras de una armadura toman sólo fuerza axial. A

éstas las llamaremos fuerzas F y cada barra sufrirá un cambio de longitud igual a Fl/AE.

Queremos encontrar una expresión que nos dé la deflexión en un nudo de la armadura de la

figura (g). Una manera conveniente de desarrollar tal expresión es quitar las cargas externas de la

armadura, colocar una carga unitaria en el nudo donde se desea la deflexión, volver a colocar las

cargas externas y escribir una expresión para los trabajos interno y externo efectuados por la carga

unitaria y las fuerzas producidas al volver a colocar las cargas externas.

Figura (h)


Las fuerzas producidas en las barras de la armadura por la carga unitaria se denominan fuerzas μ.

Estas fuerzas causan pequeñas deformaciones externas en la armadura. Cuando las cargas

externas se regresan a la armadura, la fuerza en cada una de las barras cambia de acuerdo a la

fuerza F y la deformación de cada barra cambia de acuerdo a Fl/AE. La armadura se deflecta y la

caga unitaria se transmite a una distancia δ. El trabajo externo que realiza la carga unitaria cuando

las cargas externas a la estructura se puede expresar como sigue:

Internamente, la fuerza μ en cada barra se desplaza una distancia Δl = Fl/AE. El trabajo interno

efectuado por todas las fuerzas μ al moverse esta distancia es:

Igualando los trabajos interno y externo, la deflexión en un nudo de la armadura puede expresarse

como sigue:

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