UNIVERSIDAD NACIONAL“HERMILIO VALDIZAN”

FACULTAD DE INGENIERIA CIVIL Y ARQUITECTURA

ESCUELA ACADÉMICO PROFESIONAL DE INGENIERIA CIVIL

TEMA: LINEAS DE INFLUENCIA EN VIGAS ISOSTATICAS

METODO DE LA RIGIDEZ EN PORTICOS

(KARDESTUNCER)

CURSO: ANALISIS ESTRUCTURAL II

DOCENTE: ING. ANTONIO DOMINGUEZ MAGINO

Huánuco, Febrero del 2012

Debemos indicar que las líneas deinfluencia para vigas estáticamentedeterminadas se componen de tramosrectos debido a que las reacciones sonsiempre lineales con respecto a la posiciónde carga concentrada.

Considerando una viga simplementeapoyada, tal como se muestra en la figura.

A B

L

Procedemos a realizar el proceso constructivode las líneas de influencia de la reacción en elapoyo A, para ello utilizamos una cargaunitaria vertical y hacia abajo.

Si la ubicamos en el apoyo A, en dicho puntoobtendremos una reacción de igual valor ydirección pero de sentido opuesto.

A B

Ca r ga = 1

Rea cc ió n = 1

A B

Ca r ga = 1

Rea cc ió n = 0

En cambio si aplicamos en el apoyo B, lareacción en el apoyo A será cero.

Con estos datos obtenidos procedemos agraficar el diagrama de líneas deinfluencia.

A B

L

E

1y

Línea de influencia de la reacción en A

Si aplicamos una carga unitaria en el puntoE de la viga mostrada, la reacción aobtenerse en el apoyo A será “y”, medidasobre el diagrama de líneas de influencia

Considerando que sobre la viga actúa una

carga puntual vertical P, a una distancia x del

apoyo B de la viga.

Las líneas de influencia para las reacciones

en los apoyos A y B se muestran a

continuación

A B

L

E

1

y

1

y ´

P

L-x x

En la línea de influencia de la reacción en Apor semejanza de triángulos tenemos:

Por lo tanto la reacción en el apoyo A debido

a la carga P es la siguiente:

De forma similar para el apoyo B, el valor dela reacción debido a la carga P es lasiguiente:

De aumentar las cargas puntualesverticales dispuestas sobre la viga, lareacción en el apoyo se obtendrá de lasuma de los efectos producidos por cadauno de ellos, tal como indica el principiode superposición

A B

1

P Q S

C DE

C

c

d

e

L

Hallar el valor de las reacciones en losapoyos de la viga ABD.

6 0 T

0 .5m

2 m2 m2 m2 m

4 0 T

10 T/ m

A B C D

Al no existir fuerzas en la direcciónhorizontal aplicadas a la viga lacomponente horizontal de la reacción enA es cero, además la viga esestáticamente determinada.

Línea de influencia para el apoyo A

Aplicando una carga unitaria en A, lareacción en este punto será igual a uno.

Aplicando una carga unitaria en B o en D,la reacción en A será en ambos casoscero.

Aplicando una carga unitaria en C, lareacción en A será diferente de cero, perocuyo sentido es hacia abajo.

6 0 T

0 .5m

2 m2 m2 m2 m

4 0 T

10 T/ m

A B C D

1.0

1/ 2

0

-1/ 2

-1/ 8

Línea de influencia para el apoyo B

Aplicando una carga unitaria en A o enD, la reacción en B será en amboscasos cero.

Aplicando una carga unitaria en B, lareacción en este punto será igual a uno.

Aplicando una carga unitaria en C, lareacción en B será mayor que la cargaaplicada y su sentido será hacia arriba.

6 0 T

0 .5m

2 m2 m2 m2 m

4 0 T

10 T/ m

A B C D

1/ 2

1.0

3/ 2

3/ 8

0

Línea de influencia para el apoyo D

Aplicando una carga unitaria en D, la

reacción en este punto será igual a uno.

Aplicando una carga unitaria en

cualquier parte de la viga AC, la

reacción en D será igual a cero.

6 0 T

0 .5m

2 m2 m2 m2 m

4 0 T

10 T/ m

A B C D

1.0

3/ 4

0

Una ves determinado las líneas deinfluencia, procedemos a hallar lasreacciones en los apoyos.

Reacción en A:

Debido a la carga distribuida

Por las cargas puntuales:

Por lo tanto la reacción en A será:

Reacción en B:

Debido a la carga distribuida

Por las cargas puntuales:

Por lo tanto la reacción en B será:

Reacción en D:

Por las cargas puntuales:

Consideremos una viga simplemente

apoyada, tal como se muestra, en la cual se

desea conocer los momentos que se

originan en una sección E, debido a un

sistema de cargas cualesquiera dispuesta

sobre ella.

A B

L

E

A partir de la sección E, se mide su distanciahacia los apoyos, consideremos que paraeste caso es M y N.

La mayor longitud vertical del diagrama lacual se colocará en la sección E, será igualal cociente entre el producto y la suma dedichas distancias M y N.

Determinado el valor máximo, se procede aune el extremo del segmento con losextremos, tal como se muestra en la figura.

A B

N

E

M

Línea de influencia Momentos en E

En caso que se desee conocer el valor dealguna ordenada del diagrama obtenido seprocede de la siguiente manera:

De acuerdo al punto en donde se desea saberla ordenada del diagrama de influencia, semide la distancia desde ese punto al apoyocorrespondiente.

El valor de la ordenada buscada será igual auna fracción del máximo momento en lasección.

A B

N

E

x

1 2

y

M

Determinar el valor del momento flector a

dos metros del apoyo izquierdo de la viga

mostrada.

A B

2 0 T4 0 T

2 T/ m

0 .5m 2 m 1.5m 1m

Determinamos el diagrama de líneas de

influencia para una sección E a 2m. del

apoyo.

A B

2 0 T4 0 T

2 T/ mE

A

B C

D

Carga concentrada única:

Considerando una viga simple apoyada de

luz L sobre la cual actúa una carga P, a una

distancia P de uno de los apoyos

A B

P

F

La posición máxima del momento sedetermina derivando el momento conrespecto a e igualando a cero.

El momento máximo se producirá al centro

de la luz, cuando la carga este aplicada en

ella, siendo su valor:

Tren de cargas concentradas:

Considerando una viga simplemente

apoyada de luz mayor a 8.40 m, determinar

la sección en la que se produce el momento

flector máximo, para el sistema de cargas

móviles del semitrailer HS-20 de la norma

americana.

El máximo momento se produce las fuerzas

se hallan colocadas de manera que el punto

medio del tramo divide en partes iguales la

distancia entre aquella carga y la resultante

de todas las que actúa sobre la viga

Normalicemos el tren de cargas del HS-20

poniendo el sistema en función a la carga del

eje delantero. Maximicemos el momento

reduciendo al mínimo las distancias entre ejes

posteriores. Denominemos “n” al valor de la

distancia entre la carga central y la sección ala

centro de la luz de la viga.

A B

P 4 P 4 P

n n

R= 9 P

4 .2 m 4 .2 m

Calculando el momento del sistema de

cargas respecto al apoyo A tendremos:

En forma similar calculando el momento

respecto al apoyo A de la resultante del

sistema tenemos:

Igualando ambas expresiones obtenemos:

n=0.7m

Entonces para el sistema de cargas del HS-20,

el momento flector máximo se producirá en una

sección de la viga a 0.7m del eje central de la

misma y su valor será calculado considerando

que la carga del eje central se encuentra en

dicha sección.

A B

P 4 P 4 P

4 .2 m 3.5m0 .7 m

P=3629kg=8000Lb

Considerando una viga simplemente apoyada AB,en la cual deseamos conocer los esfuerzos decorte que se originan en una sección E bajo laacción de una carga concentrada vertical P.

Cuando la fuerza P se encuentra a la derecha de lasección E, el esfuerzo de corte en dicha sección espositivo y numéricamente iguala a la reacción quese produce en el apoyo izquierdo.

A B

E

y

P

Rx Ry

Ve

(+ )

(- )

Cuando la fuerza P se encuentra a la izquierda

de la sección E, el esfuerzo de corte en dicha

sección es negativo y numéricamente iguala a la

reacción que se produce en el apoyo derecho.

A B

EP

Ra Rb

Ve(+ )

(- )

Así, las líneas de influencia del esfuerzo de corte

se obtendrán tomando las zonas sombreadas de

los dos diagramas de líneas de influencia de las

reacciones en los apoyos, tal como se indica.

A B

E

1.0 Rb

1.0

a b

El máximo esfuerzo de corte positivo se produciráen el apoyo izquierdo, siendo su valor

A B

En una sección a 1.20 m del apoyo izquierdo:

A BE

Corte positivo:

Corte negativo:

Corte en E:

Se tiene una viga simplemente apoyada de 4.80 mde luz, la cual se halla en toda su longitud sometidaa la acción de una carga uniformemente repartidade 2.4 ton/m. Se desea conocer:

¿Cuál es el máximo esfuerzo de corte positivo quepuede producirse en la viga y en que sección seocasionaría?

¿Cuál es el valor del esfuerzo de corte en unasección a 1.20 m del apoyo izquierdo?

(C ó T)+W

C ó (0.25C+W)

0.90 (2C+W)

SOLUCIÓN

*El momento máximo se origina en el tramo BC y los mayores esfuerzos para el momento

positivo se da en algún punto del tramo BC para el cual se aplicará TEOREMA DE BARETT, y

el mayor esfuerzo para el máximo momento negativo se da en los puntos R1 Y R2 de los

tramos de AB y CD.

*Tramo BC: Aplicando el teorema de BARETT

14.78 (4.30) +3.57 (8.60) = 33.13 X

X=2.85m

X1= 1.45m

Mmax. (+) = 14.78 (2.97 +4.96 ) +3.57 (2.66)Mmax. (+) = 126.70 Tn - m

•Tramo AB y CD

Mmax. (-) = 14.78 (3.21 +4.62 ) + 3.57 ( 2.62) + 14.78 ( 3.02 + 5.35) + 3.57 ( 2.44)Mmax. (-) = 257.48 Tn - m

-Tandem (T)

11.2×1.2 = 22.4×X

X = 0.6

Mt = 11.2 ( 6.49 + 4.41)

Mt = 122.08 tn –m

-sobrecarga = W = 0.96 Tn/m

w = 0.96 tn/m

Mw =0.96×4.96×20/2Mw =47.60 tn-m

-Tandem (T)

Mt = 11.2 (4.44 + 4.62) + 11.2 (4.66 +

5.35)

Mt = 213.58 tn - m

-sobrecarga = W = 0.96 Tn/m

w = 0.96 tn/m w = 0.96 tn/m

Mw =0.96×( (4.62×25/2)+ (5.34×18/2))Mw =101.66 tn-m

(C ó T)+W

*126.69 ×1.33 +47.60 =216.10 tn - m*257.48×1.33 + 101.66 = 444.11 tn -m

1. Esto es aplicable a aquellos marcos rígidos planos donde los elementos

prismáticos están rígidamente unidos entre si y las cargas están

únicamente aplicadas solamente sobre los nudos.

2. Los ejes locales propuestos están orientados de tal manera que ningún

extremo de un elemento tenga preferencia.

x

y

y

xz

z

j

i

3. El objetivo del método matricial de rigidez para el análisis es establecer

la relación entre las cargas externas dadas y los desplazamientos en los

nudos de la estructura.

La matriz de rigidez de un elemento prismático en los marcos rígidos

planos puede entonces obtenerse de esta ecuación suprimiendo

aquellas filas y columnas que no son aplicables.

4. Para transformar la ecuación de coordenadas locales a generales,

necesitara de la matriz de rotación R entre estos sistemas de

coordenadas, donde los cosenos directores de los ejes locales en “i” del

elemento ij con respecto a los ejes generales son:

4. Tanto ∆i como ∂ij representan la misma cantidad vectorial en dos sistemas

diferentes:

5. Con el fin de tratar con una matriz de rotación, se realiza lo siguiente:

Ejemplo:Calcular las reacciones en elsiguiente marco rígido planodebido a las cargas mostradas.EI/EA = 100 pies2, en todos loselementos.

20 pies 40 pies

30

pies

80 k-pies

60 k.

x

y

Solución:La ecuación general es:

{P} = [K]*{∆}

Los desplazamientos (∆1 y ∆3) estánrestringidos, por lo tanto la ecuacióngeneral se reduce a:

{P2} = [K22]*{∆2}

Donde:{P2} : Vector de cargas en el

nudo 2.

[K22] : Matriz de rigidez global.

[K22] = -([K221]+[K223])

{∆2} : Vector de desplazamientos

del nudo 2.

Elemento 2-1:

Matriz de Rigidez Local del

Elemento 2-1:

Matriz de Rigidez Global de 2-1:

[K221] = [R21]T[K21][R21]

Elemento 2-3:

Matriz de Rigidez Local del

Elemento 2-3:

Matriz de Rigidez Global de 2-3:

[K223] = [R23]T[K23][R23]

Matriz de Rigidez Global de 2-2:

[K22] = -([K221]+[K223])

Calculo de los desplazamientos

del nudo 2:

{P2} = [K22]*{∆2}

{∆2} = [K22]-1{P2}

Calculo de las Reacciones:

Elemento 1-2:

{P1} = [K12]{∆2}

Matriz de Rigidez Local del

Elemento 1-2:

[K12] = [R12]T[K12][R12]

Reacciones del apoyo 1:

{P1} = [K12]{∆2}

Matriz de Rigidez Global de 1-2:

Elemento 3-2:

{P3} = [K32]{∆2}

Matriz de Rigidez Local del

Elemento 3-2:

Matriz de Rigidez Global de 3-2:

[K32] = [R32]T[K32][R32]

Reacciones del apoyo 3:

Ejemplo:Calcular las reacciones para lascargas indicadas.E, I y A son constantes.I/A = 1000.

Solución:La ecuación final completa es:

Por condiciones de contorno:∆i=0 i=3,4

La ecuación final es:

Las matrices de Rigidez de los elementosson:Elemento 21:

8 pies

10

pies

6

pies

15 k.

15 k-pies

10 k.

x

y

Elemento 31: Elemento 42:

La ecuación final es:

Los desplazamientos de los nudos libres resultan:

Las reacciones son:

Donde:K31 = K13*

K43 = K34*

GRACIAS…