GEOMETRÍA PLANA

ÁNGULOS

Dos ángulos son suplementarios si suman 180°.

Dos ángulos son suplementarios si suman

180°.

TEOREMAS LÍNEAS

Dos ángulos opuestos por el vértice son iguales

<BOD = <COA

Ángulos correspondientes

Las parejas de ángulos: <1 y <5; <2 y <6; <4 y <8; <3 y <7 se llaman ángulos

correspondientes, y son congruentes.

Alternos externos

Las parejas de ángulos: <1 y <7; <2 y <8 se llaman ángulos alternos externos, y son

congruentes.

Alternos internos

Las parejas de ángulos: <4 y <6; <3 y <5 se llaman ángulos alternos internos, y son

congruentes.

DATOS IMPORTANTES - TRIÁNGULOS

En todo triángulo la suma de las medidas de sus ángulos interiores es igual a

180°.

En el triángulo ABC se cumple: x + y + z =180°

En todo triángulo la suma de las medidas de los ángulos exteriores considerando

uno por vértice es igual a 360°.

En el triángulo ABC, se cumple: x + y +z = 360°

En todo triángulo la medida de un ángulo exterior es igual a la suma de las

medidas de dos ángulos interiores no adyacentes a él.

En el triángulo ABC se cumple: c = a + b

La suma de dos lados es mayor que el tercero.

En todo triángulo la longitud de un lado es mayor que la diferencia de las

longitudes de los otros dos y menor que la suma de las mismas (propiedad

existencia).

En el triángulo ABC, sea: a ≥ b ≥ c

Se cumple: b-a<a<b+c

Al ángulo mayor se opone el lado mayor y al ángulo menor se opone el lado

menor.

En todo triángulo al lado de mayor longitud se le opone el ángulo de mayor

medida y viceversa (propiedad de correspondencia).

En el triángulo ABC, si: a>c

Entonces: x>z

En un triángulo isósceles los ángulos de la base son congruentes.

S i un t r iángulo t iene dos lados iguales ,

sus ángulos opuestos también son iguales .

En un triángulo equilátero todos los ángulos interiores son congruentes.

Teoremas Adicionales

En la figura se cumple: X = w + y + Z

En la figura del triángulo ABC y COD presentan un ángulo interior opuesto por el

vértice.

Se cumple: W + X = Y + Z

En la figura se cumple: X + Y = W + Z

En la figura, P es un punto interior al Triángulo ABC; se cumple:

p < PA + PB + PC < 2p

Teorema de Pitágoras

En todo triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma

de los cuadrados de los catetos.

Teorema de Tales

Del primer teorema de Tales se deduce además lo siguiente

(realmente es otra variante de dicho teorema, y, a su vez,

consecuencia del mismo):

Si dos rectas cualesquieras (r y s) se cortan por varias rectas

paralelas (AA’, BB’, CC’) los segmentos determinados en una

de las rectas (AB, BC) son proporcionales a los segmentos

correspondientes en la otra (A’B’, B’C’).

TRIÁNGULOS SEMEJANTES

Dados los t r iángulos ABC y

A'B 'C' determinamos los

lados y ángulos homólogos.

Lados homólogos:

a y a ' , b y b ' , c y c '

Ángulos homólogos:

Dos t r iángulos son semejantes cuando t ienen sus ángulos homólogos

iguales y sus lados homólogos proporcionales .

CRITERIOS DE SEMEJANZA

Dos t r iángulos son semejantes s i t ienen dos ángulos iguales .

Dos t r iángulos son semejantes s i t ienen los lados proporcionales .

Dos t r iángulos son semejantes s i t ienen dos lados

proporcionales y el ángulo comprendido entre e l los igual .

SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS

Dos t r iángulos rectángulos son semejantes s i t ienen un ángulo

agudo igual .

Dos t r iángulos rectángulos son semejantes s i t ienen los dos

catetos proporcionales .

Dos t r iángulos rectángulos son semejantes s i

t ienen proporcionales la hipotenusa y un cateto .

TEOREMA DE PROPORCIONALIDAD DEL TRIÁNGULO

Si una recta paralela a un lado de un triángulo intersecta los otros dos lados del

triángulo, entonces la recta divide esos dos lados proporcionalmente.

Si

FÓRMULAS SOBRE TEOREMAS DE POLÍGONOS.

✿ Teorema: La suma de los ángulos interiores de un polígono es igual a 180° (n −

2), donde “n” es el lado, o mejor, el número de lados del polígono.

EJEMPLO:

• Calcular la suma de los ángulos interiores de un

pentágono regular.

Suma de ángulos interiores = 180(n-2)

Suma de ángulos interiores = 180(5-2)

Suma de ángulos interiores = 180(3)

Suma de ángulos interiores = 540°.

✿ Teorema: Si se quiere calcular el ángulo interior de algún polígono, éste debe ser

regular, el valor de cada uno de sus ángulos es el mismo y es igual a la división de la

suma de los ángulos interiores entre “n”.

Ángulo interior = 180° (n−2)

𝑛

✿ Teorema: La suma de los ángulos exteriores de un polígono es de 360°.

Ángulo exterior = 360

𝑛

✿ Teorema: El número de diagonales que pueden trazarse desde los vértices de un

polígono es igual al producto de n(n − 3) y todo ello dividido entre 2.

# de / = n(n−3)

2

Dos polígonos son semejantes cuando tienen los ángulos homólogos

iguales y los lados homólogos proporcionales .

CIRCUNFERENCIA

La circunferencia es una l ínea curva

cerrada cuyos puntos están todos a la misma

distancia de un punto f i jo l lamado centro .

LONGITUD DE CIRCUNFERENCIA

La longitud de una ci rcunferencia es igual a pi por el

d iámetro .

La longitud de una ci rcunferencia es igual a 2 pi por el

radio .

Ángulos en la circunferencia

Ángulo central

E l ángulo central t iene su vért ice en e l centro de

la circunferencia y sus lados son dos radios .

La medida de un arco es la de su ángulo

central cor respondiente.

Ángulo inscrito

El ángulo inscr i to t iene su vért ice está en

la circunferencia y sus lados son secantes a el la.

Mide la mitad del arco que abarca.

Ángulo semi inscrito

E l vért ice de ángulo semi inscr i to está en

la circunferencia , un lado secante y el

otro tangente a e l la.

Mide la mitad del arco que abarca.

Ángulo interior

Su vért ice es inter ior a la ci rcunferencia y sus lados

secantes a e l la.

Mide la mitad de la suma de las medidas de

los arcos que abarcan sus lados y las prolongaciones

de sus lados.

Ángulo exterior

Su vért ice es un punto exter ior a la ci rcunferencia y los lados de sus

ángulos son: o secantes a e l la, o uno tangente y otro secante ,

o tangentes a el la:

Mide la mitad de la diferencia entre las medidas

de los arcos que abarcan sus lados sobre la ci rcunferencia.

Posiciones relativas de un punto respecto a una circunferencia

CENTROS DE UN TRIÁNGULO

Incentro

El incentro es el centro de la circunferencia inscrita al triángulo, por lo que la

distancia a cada uno de sus lados es la misma (el radio de dicha circunferencia).

Más concretamente, es el punto de intersección de las bisectrices de cada uno de

los ángulos del triángulo (siendo una bisectriz la recta que divide a un ángulo en

dos ángulos iguales), por lo que para representarlo gráficamente debemos dibujar

las tres bisectrices y localizar el punto de intersección de las mismas. En la imagen

siguiente podéis verlo:

Baricentro

El baricentro (también llamado centroide) de un triángulo es el punto de

intersección de las medianas de dicho triángulo (siendo una mediana el segmento

que une un vértice con el punto medio del lado opuesto). Por ello, para representar

gráficamente el baricentro debemos dibujar las tres medianas y localizar el punto

en el que se cortan. Esta figura muestra el baricentro de un triángulo:

Circuncentro

El circuncentro de un triángulo es el centro de la circunferencia circunscrita al

triángulo, por lo que la distancia a cada uno de sus vértices es la misma (el radio

de dicha circunferencia). En concreto, es el punto de intersección de las

mediatrices del triángulo (siendo una mediatriz la recta perpendicular a un lado

que pasa por el punto medio del mismo). Por tanto, para representar gráficamente

el circuncentro dibujamos las tres mediatrices y localizamos el punto de

intersección de las mismas. Puede verse el circuncentro de un triángulo en la

siguiente imagen:

Ortocentro

El ortocentro de un triángulo es el punto de intersección de las tres alturas del

triángulo (siendo una altura el segmento que parte de un vértice y es perpendicular

al lado opuesto a dicho vértice). Entonces para representar gráficamente el

ortocentro de un triángulo dibujamos las tres alturas y nos quedamos con el punto

en el que se intersecan. En esta figura puede verse el ortocentro de un triángulo:

En la entrada de presenta

]

Spiegel, M. & Ab

TEOREMA DEL COSENO

Dado un triángulo ABC, siendo α, β, γ, los ángulos, y a, b, c, los lados respectivamente

opuestos a estos ángulos entonces:

TEOREMA DEL SENO

En todo triángulo se da la siguiente relación entre la longitud de sus lados a, b y c y el

seno de sus respectivos ángulos opuestos A, B y C

ÁREA DE UN TRIÁNGULO

Conociendo la base y la altura

Conociendo dos lados y el ángulo que forman.

e

l

l

a

n

a

s