Resortes y análisis mediante regresión lineal de datos

Objetivos• Establecer la ley de Hooke que caracteriza

un resorte mecánico.• Reconocer la necesidad de un análisis de

regresión para determinar parámetros físicos.

• Aplicar un análisis de regresión para estimar la constante de un resorte.

ResorteLey de Hooke

Si l0 es la longitud del resorte cuando no está estirado, la fuerza que éste ejerce cuando el resorte se estira o se comprime una distancia x a partir de su longitud normal es:

F=-Kx donde K es la constante del resorte o

constante elástica.

Determinación de la constante del resorte

Supongamos que queremos determinar la constante de un resorte que tiene una longitud inicial de 5.3 cm. Aplicamos consecutivamente fuerzas de 2, 4 y 6 N al resorte y encontramos que su longitud se incrementa a 7, 9.4 y 12.3 cm. respectivamente.

Sabemos que F=Kx = K(l-l0) = K l - K l0

¿Cuál es el valor de la constante del resorte?

¿Qué es mejor?a) Calcular K a partir de un par de datos escogidos al azar.

Longitud l (cm) Fuerza F (m)5.3 0

7 29.4 4

12.3 6

Fuerza F (m)

0

1

2

3

4

5

6

7

0 3 6 9 12 15

Longitud del resorte (cm)

Fu

erza

(N

)

b) Encontrar la recta que mejor aproxime todos los puntos.

a) Calcular K a partir de un par de datos escogidos al azar.

b) Encontrar la recta que mejor aproxime todos los puntos.

¿Cómo ajustar la recta a los datos?Longitud l (cm) Fuerza F (m)

5.3 07 2

9.4 412.3 6

Fuerza F (m)

0

1

2

3

4

5

6

7

0 3 6 9 12 15

Longitud del resorte (cm)

Fu

erza

(N

)6.2-0.5=5.7

12-6=6

cm

N.

cml

N.F

6

75

6

50

N . cm l

cm

N .F 506950 N 5.2 - l

cm

N .F 950

N 5.47 - l cm

N .F 950 cm .l ;

cm

N .K 0 475950

Ajuste gráfico

¿Cómo ajustar la recta a los datos?Longitud l (cm) Fuerza F (m) F calc. Error Error 2̂

5.3 0 -0.1615 0.1615 0.0260827 2 1.4535 0.5465 0.298662

9.4 4 3.7335 0.2665 0.07102212.3 6 6.4885 -0.4885 0.238632

0.634399 Sumatoria

N 5.47 - l cm

N .F 950

¿Cómo ajustar la recta a los datos?

• Sabemos que F=Kx = K(l-l0) = K l – K l0lo cual corresponde a una recta con pendiente K y sin cruce por cero: F = ml + b

• Se necesita encontrar las constantes m y b tales que minicen la suma de los cuadrados de las diferencias entre los valores de la recta aproximada y los valores dados:

Ajuste numérico

24

1

n

iii F̂F S

¿Cómo ajustar la recta a los datos?

• Función a minimizar:Ajuste numérico

24

1

n

iii F̂F S

24

1

n

iii b l m F S

• Minimización:

00204

1

24

1

l b l m l F l b l m F m

S n

iiiii

n

iiii

l b - l m - l F l b - l m - l F m

S n

ii

n

ii

n

iii

n

ii

n

ii

n

iii 000

4

1

4

1

24

1

4

1

4

1

24

1

¿Cómo ajustar la recta a los datos?

• Función a minimizar:Ajuste numérico

24

1

n

iii F̂F S

24

1

n

iii b l m F S

• Minimización:

001204

1

4

1

b l m F b l m F b

S n

iii

n

iii

n b - l m - F b - l m - F b

S n

ii

n

ii

n

i

n

ii

n

ii 000

4

1

4

1

4

1

4

1

4

1

¿Cómo ajustar la recta a los datos?

• Ecuaciones normales:Ajuste numérico

• Resolver sistemas de ecuaciones simultáneas (2 ecuaciones, 2 incógnitas: m, b)

n b - l m - F n

ii

n

ii 0

4

1

4

1

l b - l m - l F n

ii

n

ii

n

iii 0

4

1

4

1

24

1

i Longitud l (cm) Fuerza F (m) l 2̂ (cm 2̂) F*l (Ncm)1 5.3 0 28.09 02 7 2 49 143 9.4 4 88.36 37.64 12.3 6 151.29 73.8

Sumatoria 34 12 316.74 125.4

¿Cómo ajustar la recta a los datos?Ajuste numérico

n b - l m - F n

i

n

ii 0

4

1

4

1

l b - l m - l F n

i

n

i

n

ii 0

4

1

4

1

24

1

b - m - 043412

b - m . - . 034743164125

17024

84350

.- b

.m

cm . l

N/cm .K

90614

84350

0

i Longitud l (cm) Fuerza F (m) l 2̂ (cm 2̂) F*l (Ncm) F calc. Error Error 2̂1 5.3 0 28.09 0 0.332255 -0.33225 0.1103932 7 2 49 14 1.766205 0.233795 0.054663 9.4 4 88.36 37.6 3.790605 0.209395 0.0438464 12.3 6 151.29 73.8 6.236755 -0.23675 0.056053

Sumatoria 34 12 316.74 125.4 0.264953

¿Cómo ajustar la recta a los datos?Ajuste numérico

n b - l m - F n

i

n

ii 0

4

1

4

1

l b - l m - l F n

i

n

i

n

ii 0

4

1

4

1

24

1

b - m - 043412

b - m . - . 034743164125

17024

84350

.- b

.m

cm . l

N/cm .K

90614

84350

0

Ajuste numérico de una curva que pasa por el origen F = Kx, donde x=l-l0 (l0 es conocido)

¿Cómo ajustar la recta a los datos?

• Función a minimizar:

24

1

n

iii F̂F S

24

1

n

iii x m F S

• Minimización:

00204

1

24

1

x m x F x x m F m

S n

iiii

n

iiii

x m - x F x m - x F m

S n

ii

n

iii

n

ii

n

iii 000

4

1

24

1

4

1

24

1

Ajuste numérico de una curva que pasa por el origen F = Kx, donde x=l-l0 (l0 es conocido)

¿Cómo ajustar la recta a los datos?

• Minimización:

x m - x F n

ii

n

iii 0

4

1

24

1

x

x F m n

ii

n

iii

4

1

2

4

1

i Longitud l (cm) Fuerza F (m) x (cm)= l - 5.3 x^2 (cm^2) F*x (Ncm) F calc. Error 2̂1 5.3 0 0 0 0 0 02 7 2 1.7 2.89 3.4 1.529252 0.2216043 9.4 4 4.1 16.81 16.4 3.688196 0.0972224 12.3 6 7 49 42 6.29692 0.088161

Sumatoria 34 12 68.7 61.8 0.406987

¿Cómo ajustar la recta a los datos?Ajuste numérico de F=Kx

x

x F m n

ii

n

iii

4

1

2

4

1 . .

. m 899560

768

861

x . F 899560