8/18/2019 Resolución de Ecuaciones Lineales Con Más de Dos Incógnitas

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Sistemas de ecuaciones lineales escalonados

Uno de los procedimientos conceptualmente más sencillos para resolver sistemas cuadrados (con igual

número de incógnitas y ecuaciones) de más de dos ecuaciones se basa en la llamada forma escalonada.

Esta técnica consiste en transformar sucesivamente, según cualuiera de los métodos algebraicos

comunes (sustitución, igualación o reducción), el sistema de ecuaciones en otro euivalente ue tenga

forma escalona.

!étodo de "auss

En la resolución de sistemas cuadrados con tres incógnitas se utili#a un procedimiento escalonado,

conocido por método de Gauss, ue consiste en una generali#ación del método de reducción (ver t$).

Este método, aplicable también a otras resoluciones, debe su nombre a su descubridor, el matemático

alemán %arl &riedric' "auss (*+).

Según el método de "auss, el sistema original se va transformando en otros, 'asta obtener un sistema

equivalente final con-

• Una primera ecuación con tres incógnitas , y, #.

• Una segunda ecuación con dos incógnitas y, #.

• Una tercera ecuación con una incógnita #.

Se resuelve la tercera ecuación para obtener #, se sustituye en la segunda y se obtiene y, y se reempla#an

y, # en la primera para resolver completamente el sistema.

E/emplo de resolución de un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas por el método de "auss.

Sistemas lineales 'omogéneos

Un sistema de ecuaciones lineales se llama homogéneo cuando los términos independientes de todas sus

ecuaciones son nulos.

0ara tres ecuaciones, la epresión general de un sistema lineal homogéneo es siguiente-

http://www.hiru.com/matematika/matematika_00600.htmlhttp://www.hiru.com/matematika/matematika_00600.html

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1odos estos sistemas son compatibles, ya ue tienen una solución trivial para  2 3 2 4 2 5. 6o

obstante, las ra7ces realmente interesantes del sistema, si eisten, son las llamadas soluciones propias,

de manera ue si  2 s, 3 2 s3, 4 2 s4 fueran soluciones propias, también lo ser7an  2 s , 3 2 s 3, 4 

2 s 4,    8, siendo 5.

9as soluciones propias de los sistemas lineales 'omogéneos se pueden obtener por aplicación del métodode "auss o mediante operaciones con matrices representativas del sistema (ver t+).

Sistemas dependientes de un parámetro

%uando alguno de los coeficientes o términos independientes de una ecuación dentro de un sistema de

ecuaciones lineales es un parámetro, el sistema se denomina dependiente de un parámetro.

9os sistemas cuadrados de tres ecuaciones dependientes de un parámetro se pueden resolver mediante la

aplicación del método de "auss, como se ilustra en el e/emplo. Según los valores adoptados por el

parámetro, el sistema puede ser compatible determinado o indeterminado, o también incompatible

(discusión del sistema).

E/emplo de resolución de un sistema cuadrado de tres ecuaciones dependiente de un parámetro por el

método de "auss.

Sistema escalonado

Un sistema escalonado es un sistema en el ue todos los coeficientes ue 'ay por deba/o de la diagonal

principal del sistema es 5.

Sistema de cuatro ecuaciones con cuatro incógnitas de la llamada forma escalonada-

S:9U%; =E E%U>%;:6ES

Es un con/unto de valores de las incógnitas ue verifican simultáneamente a todas y cada una de las

ecuaciones del sistema.

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=e acuerdo con su solución, un sistema puede ser consistente, si admite solución? o Inconsistente, si no

admite solución.

Un sistema consistente puede ser- Determinado, si la solución es única o Indeterminado, si la solución no

es única. En este caso se demuestra ue eiste una infinidad de soluciones.

Diferenciando sistemas consistentes e inconsistentes

0ara diferenciar entre sistemas consistentes e inconsistentes, el primer paso es construir la matriz

aumentada  . 0or e/emplo, sean y -

Entonces la matriz aumentada será:

El segundo paso es calcular el rango  de la matri# aumentada y el rango  de la matri#

. Entonces-

• Si entonces el sistema de ecuaciones es consistente.

• Si entonces el sistema de ecuaciones es inconsistente.