TEMA 7 SISTEMAS DE ECUACIONES

7.1 Ecuaciones de primer grado con dos incógnitasPÁGINA 156 Actividades1. Averigua cuáles de los siguientes pares de valores son soluciones de la ecuación 3x � 4y � 8

f)x � 3

y � 14

Sustituimos estos valores en la ecuación:

3 � 3 � 4 � 14

� 8

9 � 44

� 8

9 � 1 � 8 CIERTÍSIMOOOOO!!!!! Luego si es solución.Tareas 11-03-2013: todos los ejercicios que faltan del 12 Busca tres soluciones diferentes de esta ecuación x � y � 4

Tenemos las soluciones siguientes:

�x � 3

y � 1pues 3 � 1 � 4

�x � 2

y � 2pues 2 � 2 � 4

�x � �2

y � 6pues �2 � 6 � 4

�x � 1

y � 3pues 1 � 3 � 4

�x � 3. 5

y � 0. 5pues 3. 5 � 0. 5 � 4. 0

�x � �3

y � 7pues �3 � 7 � 4

� Etcétera.................................................. nos podemos morir sin haber terminado de dar parejasde valores cuya suma sea 4. Por eso, decimos que las ecuaciones lineales tienen infinitassoluciones.

Tareas 11-03-2013: 23 Copia y completa en tu cuaderno la tabla, con soluciones de la ecuación 3x � y � 12.

x 0 3 5 -1 -3

y 9 0 18

� Si x � 0 tenemos que hallar y :3 � 0 � y � 120 � y � 12y � 12

� Si y � 9 tenemos que hallar x :3x � 9 � 123x � 12 � 93x � 3

x � 33

� 1

Tareas 11-03-2013: todos los ejercicios que faltan del 3

1

4 Reduce a la forma general las siguientes ecuaciones:a) 2x � 5 � y2x � y � 5

d)x � y

3� x � 1

55�x � y� � 3�x � 1�5x � 5y � 3x � 35x � 5y � 3x � �32x � 5y � �3Tareas 11-03-2013: todos los ejercicios que faltan del 4.

Página 157 Actividades5 Completa la tabla para cada ecuación y representa la recta correspondiente.

b) x � 2y � 2Vamos a despejar la "y" en función de la " x" :x � 2 � 2y

y � x � 22

De esta forma al dar valores a la x y sustituirlas en la expresión anterior, nos salen los valorescorrespondientes de y.

Tenemos la tabla x -6 -4 -2 0 2 4 6 ........

y -4 -3 -2 -1 0 1 2

Vamos a completarla, es decir, rellenar los valores de y.

� x � �6 � y � �6 � 22

� �82

� � 4

� x � �4 � y � �4 � 22

� �62

� � 3

� x � �2 � y � �2 � 22

� �42

� � 2

� x � 0 � y � 0 � 22

� �22

� � 1

� x � 2 � y � 2 � 22

� 02

� 0

� x � 4 � y � 4 � 22

� 22

� 1

� x � 6 � y � 6 � 22

� 42

� 2

La representación gráfica quedaría como

Pero en realidad, para representar cualquier recta nos basta con conocer dos puntos nada mas. Por lotanto, a partir de ahora, para representar rectas sólo daremos tablas con dos valores.Tareas 12-03-2013: todos los ejercicios que faltan del 5.6 Representa gráficamente:

2

f) 2x � 3y � 3 � 0Despejamos la "y" en función de la "x":2x � 3 � 3y

y � 2x � 33

Tabla de valores x -2 2

y -2.3 0.3

� x � �2 � y �2 � ��2� � 3

3� �4 � 3

3� � 7

3� � 2. 333 3 � �2. 3

� x � 2 � y � 2 � 2 � 33

� 4 � 33

� 13

� 0. 333 33 � 0, 3

Vamos a pintar los puntos A � ��2,�2. 3� y B � �2, 0. 3� para luego unirlos mediante una recta:

Tareas 13-03-2013: todos los ejercicios que faltan del 6

7.2 Sistemas de ecuaciones linealesUn sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas está asociado a la representación gráfica dedos rectas en el plano, que pueden ocupar las siguientes posiciones relativas:� Rectas paralelas: no tendrían ningún punto en común, por lo que el sistema no tendría solución.

Diremos que es un sistema incompatible.

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5

-18

-16

-14

-12

-10

-8

-6

-4

-2

2

4

6

8

10

12

14

16

x

y

� Rectas coincidentes: tendrían infinitos puntos en común, por lo que el sistema tendría infinitassoluciones. Diremos que es un sistema compatible indeterminado.

3

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5

-14

-12

-10

-8

-6

-4

-2

2

4

6

8

10

12

14

x

y

� Rectas que se cortan en un punto: por lo que el sistema tendría una única solución. Diremos queel sistema es compatible determinado.

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5

-20

-10

10

20

x

y

Tareas 13-02-2013: todos los ejercicios de la página 158

7.3 Métodos para la resolución de sistemas lineales7.3.1 Método de sustitución

Página 159 ActividadesTareas 19-03-2013: todas las actividades de esa página

7.3.2 Método de igualaciónTareas 20-03-2013: todas las actividades de esa página.

7.3.3 Método de reducciónTareas 21-03-2013: todas las actividades de esa página.

7.4 Resolución de problemas con ayuda de los sistemas de ecuaci onesPágina 162 Actividades1. En una clase hay 29 alumnos y alumnas, pero el número de chicas supera en tres al número

de chicos. ¿Cuántos alumnos y alumnas hay en la clase?CHICOS� xCHICAS� yCHICOS � CHICAS � 29� x � y � 29CHICAS � CHICOS � 3� y � x � 3

4

Tenemos el siguientes sistemas de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas:

x � y � 29

y � x � 3

Utilizaremos el método de reducción para resolverlo

x � y � 29

�x � y � 3

b) Ahora, sumando miembro a miembro, obtenemos una ecuación con una sola incógnita:0x � 2y � 322y � 32

y � 322

� 16

d) Sustituimos este valor y � 16 en cualesquiera de las ecuaciones iniciales:x � 16 � 29x � 29 � 16 � 13

Solución del sistema�x � 13

y � 16

Respuesta a la pregunta: hay 13 chicos y 16 chicas.

Tareas 02-04-2013: 2

Página 163 Actividades4 En la frutería, un cliente ha pagado 3.90 euros por un kilo de naranjas dos de manzanas. Otro

cliente ha pedido tres kilos de naranjas y uno de manzanas, y ha pagado 5.70 euros. ¿Cuántocuesta un kilo de manzanas y un kilo de naranjas?

1 x naranjas � 2 x manzanas � 3.90� x � 2y � 3. 93 x naranjas � 1 x manzanas � 5.70� 3x � y � 5. 7

Llamamosx precio de un kilo de naranjas

y precio de un kilo de manzanas

Tenemos el siguiente sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas:

x � 2y � 3. 9

3x � y � 5. 7

Vamos a resolverlo por el método de igualación.a) Despejamos x en ambas ecuaciones.

x � 3. 9 � 2y

3x � 5. 7 � y

x � 3. 9 � 2y

x �5. 7 � y

3b) Igualamos las dos expresiones obtenidas para x.

3. 9 � 2y �5. 7 � y

3c) Resolvemos la ecuación en y.3�3. 9 � 2y� � 5. 7 � y11. 7 � 6y � 5. 7 � y11. 7 � 5. 7 � �y � 6y6 � 5y

y � 65

� 1. 2

Lo hacemos con números decimales pues sabemos que se trata de un precio en euros.d) Sustituimos el valor y � 1. 2 en cualquiera de las expresiones obtenidas al despejar x.

5

x � 3. 9 � 2 � 1. 2 � 3. 9 � 2. 4 � 1. 5

Solución del sistema�x � 1. 5

y � 1. 2

Respuesta a la pregunta: un kilo de naranjas vale 1.50 euros y un kilo demanzanas vale 1.20 euros.

Tareas 03-04-2013: 36 ¿Qué cantidad de oro, a 8 euros/gramo, y de plata, a 1.7 euros/gramo, se necesitan para

obtener 1 kg de aleación que resulte a 4.22 euros/gramo?

cantidad (g) precio (euros/g) coste (euros)

oro x 8 8x

plata y 1.7 1.7y

aleación 1000 4.22 4220

Recordamos que 1kg � 1000 g.Sacamos el siguiente sistemas de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas.

x � y � 1000

8x � 1. 7y � 4220

Aplicamos el método de sustitucióna) Despejamos x en la primera ecuación.x � 1000 � yb) Sustituimos la expresión obtenida en la segunda ecuación.8�1000 � y� � 1. 7y � 4220c) Resolvemos la ecuación de primer grado en y obtenida.8000 � 8y � 1. 7y � 4220�8y � 1. 7y � 4220 � 8000�6. 3y � �3780

y � �3780�6. 3

� 600. 0

d) Sustituimos el valor de y � 600 en la expresión obtenida al despejar x, y calculamos.x � 1000 � 600 � 400

Solución del sistema�x � 400

y � 600

Respuesta a la pregunta: necesitamos 400 gramos de oro y 600 gramos de plata.

Tareas 03-04-2013: 5

EJERCICIOS FINALES DEL TEMA1. Resuelve gráficamente.

a)x � y � 1

x � 2y � �5

Cada una de las ecuaciones lineales del sistema se representa como una recta.Para representar una recta me hacen falta dos puntos de la misma.Vamos a construir para cada una de ellas una tabla de dos valores.a.1) recta de ecuación x � y � 1Despejamos "y" en función de "x": y � 1 � x

Tabla de valores�x 2 4

y -1 -3

Se completa según las operaciones siguientes:� si x � 2 � y � 1 � 2 � � 1

6

� si x � 4 � y � 1 � 4 � � 3

La recta pasará por los puntosA � �2,�1�

B � �4,�3�

a.2) recta de ecuación x � 2y � �5Despejamos "y" en función de "x": x � 5 � 2y

y � x � 52

Tabla de valores�x 1 3

y 3 4

Se completa según las operaciones siguientes:

� si x � 1 � y � 1 � 52

� 62

� 3

� si x � 3 � y � 3 � 52

� 82

� 4

La recta pasará por los puntosC � �1, 3�

B � �3, 4�

La representación gráfica sería:

Las rectas se cortan en un punto ��1, 2�,entonces la solución del sistema es

x � �1

y � 2

Tareas 04-04-2013: todos los ejercicios que faltan del 1.2 Observa el gráfico y contesta.

7

a) Escribe un sistema cuya solución seax � 2

y � 4

El sistema será3x � y � 2

x � 2y � 10pues ese punto se encuentra sobre estas dos rectas.

Tareas 04-04-2013: todos los ejercicios que faltan del 23 Resuelve por sustitución despejando la incógnita más adecuada.

d)4x � 3y � 3

5x � 2y � �5

d.a) Despejamos y en la primera ecuación.4x � 3 � 3y

y � 4x � 33

d.b) Sustituimos la expresión obtenida en la segunda ecuación.

5x � 2 4x � 33

� �5

d.c) Ya tenemos una ecuación con una sola incógnita, x. La resolvemos.

5x � 8x � 63

� �5

Calculamos el m. c. m. �1, 3� � 315x3

� 8x � 63

� �153

Como todos los denominadores son iguales los puede eliminar.15x � �8x � 6� � �1515x � 8x � 6 � �157x � �15 � 67x � �21

x � �217

� � 3

d.d) Sustituimos el valor de x � �3 en la expresión obtenida al despejar y, y calculamos:

y �4��3� � 3

3� �12 � 3

3� �15

3� � 5

Solución del sistema�x � �3

y � �5

Tareas 04-04-2013: todos los ejercicios que faltan del 34 Resuelve por igualación.

d)5x � 2y � 1

7x � 3y � 0

d.a) Despejamos la y en las dos ecuaciones.

2y � 1 � 5x

3y � �7x

y � 1 � 5x2

y � �7x3

d.b) Igualamos las dos expresiones obtenidas para y:1 � 5x

2� �7x

3d.c) Ya tenemos una ecuación con una sola incógnita, y. La resolvemos.3�1 � 5x� � 2��7x�3 � 15x � �14x3 � �14x � 15x

8

3 � xd.d) Sustituimos el valor de x � 3 en cualquiera de las expresiones obtenidas al despejar y, paracalcularla.

y � �7 � 33

� �213

� � 7

Solución del sistema�x � 3

y � �7

Tareas 08-05-2013: todos los ejercicios que faltan del 4.5 Resuelve por reducción.

d)2x � 3y � 5

3x � 5y � 9

d.a) Elegimos la x. Multiplicamos la primera ecuación por 3 y la segunda ecuación 2.

�2x � 3y � 5�3

�3x � 5y � 9�2

6x � 9y � 15

6x � 10y � 18

d.b) Ahora, restando miembro a miembro, obtenemos una ecuación con una sola incógnita, y:0x � y � �3y � �3d.d) Sustituimos el valor y � �3 en cualquiera de las ecuaciones iniciales.2x � 3��3� � 52x � 9 � 52x � 5 � 9

x � �42

� � 2

Solución del sistema�x � �2

y � �3

Tareas 08-04-2013: todos los ejercicios que faltan del 5

Tareas 08-04-2013: 6 Tienen que resolverse empleando al menos dos veces cadamétodo!!!!!!!!!!!!!!!!!!!.9 La suma de dos números es 57, y su diferencia es 9. ¿Cuáles son esos números?� Planteamiento

Sean x e y los números buscados.suma de dos números es 57� x � y � 57su diferencia es 9� x � y � 9

� ResoluciónTenemos el siguiente sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas.

x � y � 57

x � y � 9

Vamos a resolverlo por el sistema de sustitución.a) Despejamos la x en la primera ecuación.x � y � 57x � 57 � yb) Sustituimos la expresión obtenida en la segunda ecuación.57 � y � y � 9c) Ya tenemos una ecuación con una sóla incógnita. La resolvemos.57 � 9 � y � y48 � 2y

9

y � 482

� 24

d) Sustituimos el valor de y � 24 en la expresión obtenida al despejar x.x � 57 � 24 � 33

Solución del sistema�x � 33

y � 24

� Solución del problema.Los números son 33 y 24.

Tareas 09-04-2013: 10,1112 Un ciclista sube un puerto y, después, desciende por el mismo camino. Sabiendo que en la

subida ha tardado 23 minutos más que en la bajada y que la duración total del paseo ha sidode 87 minutos, ¿Cuánto ha tardado en bajar? ¿Y en subir?

� Planteamiento

Seanx los minutos que tardamos en bajar

y los minutos que tardamos en subir

en la subida ha tardado 23 minutos más que en la bajada� x � y � 23la duración total del paseo ha sido de 87 minutos� x � y � 87

� ResoluciónTenemos el siguiente sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas.

x � y � 23

x � y � 87

Aplicamos el método de igualación.a) Despejamos la x en las dos ecuaciones.� x � y � 23

x � 23 � y� x � y � 87

x � 87 � yb) Igualamos las dos expresiones obtenidas para x.23 � y � 87 � yc) Ya tenemos una ecuación con una sola incógnita. La resolvemos.y � y � 87 � 232y � 64

y � 642

� 32

d) Sustituimos el valor y � 32 en cualquiera de las expresiones obtenidas al despejar x, ycalculamos.x � 87 � 32 � 55

Solución del sistema�x � 55

y � 32

� Solución del problema.Tardó 55 minutos en subir y bajó en 32 minutos.

Tareas 09-04-2013: 13,14,1516 Una tienda de artículos para el hogar pone a la venta 100 juegos de cama a 70 euros el juego.

Cuando lleva vendida una buena parte, los rebaja a 50 euros, continuando la venta hasta quese agotan. La recaudación total ha sido de 6600 euros. ¿Cuántos juegos ha vendido sin rebajary cuántos rebajados?

� Planteamiento

Llamamosx al número de juegos no rebajados vendidos

y al número de juegos rebajados vendidos

10

pone a la venta 100 juegos� x � y � 100La recaudación total ha sido de 6600 euros(a 70 euros el juego y rebaja a 50euros)� 70x � 50y � 6600

� Resolución del problemaTenemos el siguiente sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas.

x � y � 100

70x � 50y � 6600

Aplicamos el método de reducción.a) Elegimos una incógnita en las dos ecuaciones, la y. Multiplicamos la primera ecuación por 50 yla segunda por 1.� 50�x � y � 100�

50x � 50y � 5000Nos queda el sistema

50x � 50y � 5000

70x � 50y � 6600

b) Ahora, restando miembro a miembro, obtenemos una ecuación con una sola incógnita, x:�20x � 0y � �1600c) Resolvemos la ecuación obtenida.

x � �1600�20

� 80

d) Sustituimos el valor x � 80 en cualquiera de las ecuaciones iniciales.80 � y � 100y � 100 � 80 � 20

Solución del sistema�x � 80

y � 20

� Solución del problemaVendió 80 juegos no rebajados y 20 rebajados.

Tareas 10-04-2013: 17,18,1920 Cristina tiene el triple de edad que su prima María, pero dentro de diez años solo tendrá el

doble. ¿Cuál es la edad de cada una?

hoy dentro de diez años

Cristina x x�10

María y y�10

� Planteamiento del problemaCristina tiene el triple de edad que su prima María� x � 3ydentro de diez años solo tendrá el doble� x � 10 � 2�y � 10�

� Resolución del sistemaTenemos el siguiente sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas.

x � 3y

x � 10 � 2�y � 10�

Aplicamos el método de sustitución.a) Despejamos la x en la primera ecuación.b) Sustituimos la expresión obtenida en la segunda ecuación.3y � 10 � 2�y � 10�c) Ya tenemos una ecuación con una sola incógnita. La resolvemos.3y � 10 � 2y � 203y � 2y � 20 � 10y � 10

11

d) Sustituimos el valor y � 10 en la expresión obtenida al despejar x, y calculalmos.x � 3 � 10 � 30

Solución del sistema�x � 30

y � 10

� Solución del problemaCristina tiene 30 años y María 10 años.

Tareas 10-04-2013: 2122 La base de un rectángulo es 8 cm más larga que la altura, y el perímetro mide 42 cm. Calcula

las dimensiones del rectángulo.

� Planteamiento del problemaDiferencia entre los lados� x � y � 8Perímetro� x � y � x � y � 42� Resolución del problema

Tenemos el siguiente sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas.

x � y � 8

2x � 2y � 42

Como en la segunda ecuación todos son pares, podemos dividirla entre dos, quedando.

x � y � 8

x � y � 21

Aplicamos el método de reducción.b) Ahora, sumando miembro a miembro, obtenemos una ecuación con una sola incógnita, la x:2x � 0y � 29c) Resolvemos la ecuación obtenida.

x � 292

De nuevo aplicamosb) Ahora, restando miembro a miembro, obtenemos una ecuación con una sola incógnita, la y:0x � 2y � �13c) Resolvemos la ecuación obtenida.

y � �13�2

� 132

Solución del sistema�x � 29

2

y � 132

� Solución del problema

La base mide 292

� 14. 5 cm y la altura mide 132

� 6. 5 cm.

12

24 Un concurso de televisión está dotado de un premio de 3000 euros para repartir entre dosconcursantes, A y B. El reparto se hará en partes proporcionales al número de pruebassuperadas. Tras la realización de estas, resulta que el concursante A ha superado cincopruebas, y el B, siete. ¿Cuánto corresponde a cada uno?

� Planteamiento del problema

Llamamosx la cantidad que se lleva el concursante A

y la cantidad que se lleva el concursante B

premio de 3000 euros para repartir entre dos concursantes, A y B� x � y � 3000reparto se hará en partes proporcionales al número de pruebas superadas:A ha superado cinco pruebas,y el B, siete� x

5�

y7

� Resolución del sistemaTenemos el siguiente sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas.

x � y � 3000x5

�y7

Aplicamos el método de igualación.a) Despejamos la incógnita x en las dos ecuaciones.

� x � 3000 � y

� x �5y7

b) Igualamos las dos expresiones obtenidas para x.

3000 � y �5y7

c) Ya tenemos una ecuación con una sola incógnita, la y.7�3000 � y� � 5y21000 � 7y � 5y21000 � 5y � 7y21000 � 12y

y � 2100012

� 1750

d) Sustituimos el valor y � 1750 en cualesquiera de las expresiones obtenidas al despejar x, y calculamosx.x � 3000 � 1750 � 1250

Solución del sistema�x � 1250

y � 1750

� Solución del problemaA se lleva 1250 euros y B se lleva 1750 euros.

13