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SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES CON DOS INCOGNITAS Un sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas es de la forma: ! ax + by = c a´x + b´y = c´ 1 (x,y) Las soluciones de estos sistemas son los pares ordenados (x,y) que verifican ambas ecuaciones Infinitas (x1,y1), (x2,y2),… ninguna ! +=2 2 − = 1 El par (1,1) (x=1, y=1) es una solución del sistema porque cumple ambas igualdades: 1+1=2 2·1-1=1 El par (0,-1) (x=0, y=-1) no es una solución del sistema porque no cumple ambas igualdades: 0+(-1)≠2 2·0-(-1)=1

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SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES CON DOS INCOGNITAS

Un sistema de ecuaciones lineales con dos

incógnitas es de la forma: ! ax + by = ca´x + b´y = c´

1(x,y)

Las soluciones de estos sistemas son los pares ordenados (x,y) que verifican

ambas ecuaciones

Infinitas(x1,y1), (x2,y2),…

ninguna

! 𝑥 + 𝑦 = 22𝑥 − 𝑦 = 1

• El par (1,1) (x=1, y=1) es una solución del sistema porque cumple ambas igualdades:

1+1=22·1-1=1

• El par (0,-1) (x=0, y=-1) no es una solución del sistema porque no cumple ambas igualdades:

0+(-1)≠ 22·0-(-1)=1

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RESOLUCION DE SISTEMAS DE ECUACIONES

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MÉTODO DE SUSTITUCIÓN1. Despejar una incógnita de una de

las ecuaciones(la más fácil, de la

más fácil).

2. Sustituir esa expresión en la otra

ecuación.

3. Resolver la ecuación obtenida y

hallar el valor de una de las

incógnitas.

4. En la expresión del primer paso,

sustituir el valor hallado en el paso

anterior para así poder hallar el valor

de la incógnita que falta.

5. ACUÉRDATE DE COMPROBAR LAS

SOLUCIONES( debe cumplir todas las

ecuaciones)

! 𝑥 + 5𝑦 = 53𝑥 − 5𝑦 = 3

1ª𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛: x = −5𝑦 + 5

2ª𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛: 3 · −5𝑦 + 5 − 5𝑦 = 3

−15𝑦 + 15 − 5𝑦 = 3; −20𝑦 = −12

𝑦 =1220 =

35

x = −5 ·35 + 5 = 2

𝑥 = 2

𝑥 + 5𝑦 = 53𝑥 − 5𝑦 = 3 →

2 + 5 ·35 = 5

3 · 2 − 5 ·35 = 3

MÉTODO DE IGUALACIÓN1. Despejar la misma incógnita de las dos

ecuaciones.

2. Igualar ambas expresiones

3. Resolver la ecuación obtenida y hallar el

valor de una de las incógnitas.

4. En cualquiera de las expresiones del

primer paso, sustituir el valor hallado en el

paso anterior para así poder hallar el valor

de la incógnita que falta.

5. ACUÉRDATE DE COMPROBAR LAS

SOLUCIONES

! 𝑥 + 𝑦 = 14𝑥 + 2𝑦 = −3 @

𝑦 = 1 − 𝑥

𝑦 =−3 − 4𝑥

2

1 − 𝑥 =−3 − 4𝑥

22 − 2𝑥 = −3 − 4𝑥; 2 = −3 − 2𝑥

5=-2x;x= CDE

y = 1 −−52 =

72

𝑥 + 𝑦 = 14𝑥 + 2𝑦 = −3 →

−52 +

72 = 1

4 · −52 + 2 ·

72 = 3

2𝑦 = −3 − 4𝑥

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MÉTODO DE REDUCCIÓN1. Multiplicar las dos ecuaciones por el

número que haga falta para que los

coeficientes de una de las dos

incógnitas sean números opuestos.

2. Sumar ambas ecuaciones.

3. Resolver la ecuación obtenida y

hallar el valor de una de las

incógnitas.

4. En cualquiera de las ecuaciones

originales, sustituir el valor de la

incógnita hallada y calcular la que

falta.

5. ACUÉRDATE DE COMPROBAR LAS

SOLUCIONES

! 2𝑥 − 𝑦 = 3𝑥 + 5𝑦 = −2 → ! 2𝑥 − 𝑦 = 3

−2𝑥 − 10𝑦 = 4

−11𝑦 = 7

𝑦 = −711

2𝑥 −−711 = 3; 2𝑥 = 3 −

711 ;

2𝑥 =2611 ; 𝑥 =

1311

! 2𝑥 − 𝑦 = 3𝑥 + 5𝑦 = −2 →

2 ·1311 −

−711 = 3

1311 + 5 ·

−711 = −2

MÉTODO GRÁFICO1. Representar cada una de las gráficas.

Una ecuación de primer grado con dos

incógnitas representa una recta en el

plano. Para representarla:

a. Despejar la incógnita y

b. Hacer tabla de valores (al menos 3

valores)

c. Representar en un plano

cartesiano los puntos obtenidos

2. El punto de intersección de las rectas es

la solución gráfica del sistema de

ecuaciones.(Sólo si las rectas son

paralelas, el sistema no tendría solución)

3. PUEDES COMPROBAR LAS SOLUCIONES

RESOLVIENDO EL SISTEMA POR ALGUNO

DE LOS MÉTODOS ANTERIORES.

! 2𝑥 + 𝑦 = 4−𝑥 + 2𝑦 = 3

𝑦 = 4 − 2𝑥𝑦 =3 + 𝑥2

x y

1 2

2 0

0 4

x y

1 2

-1 1

3 3

Solución (1,2)

Multiplico la segunda ecuación por -2 (fíjate en los coeficientes de las x)

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1 SOLUCIÓNLas rectas se cortan en un punto

INFINITAS SOLUCIONES

Las rectas se cortan en infinitos puntos (son la misma). Todos los puntos e la recta son soluciones del sistema

NINGUNA SOLUCIÓNLas rectas no se cortan nunca, son paralelas (misma pendiente), ningún punto en común.

Solución (a,b)x=a, y=b