TEMA Nº 2

MECANISMO DE DESPLAZAMIENTO DE FLUIDOS INMISCIBLES EN SISTEMAS LINEALES

1. TEORIA DE AVANCE FRONTAL

1.1. FLUJO FRACCIONAL DE AGUA.

En un yacimiento que produce por empuje de agua, que puede ser en base a influjo natural o inyección de agua, es importante determinar la variación de la fracción de agua producida, con relación a la producción total. En estas circunstancias, el desplazamiento de petróleo tiene lugar bajo la llamada condición de flujo difuso porque la interfase agua-petróleo no es un plano, sino una zona con saturaciones variables de acuerdo a una determinada distribución.

Se puede asumir que las saturaciones de fluido en cualquier punto del camino del desplazamiento lineal, están uniformemente distribuidas y tienen el mismo valor sobre un plano transversal al espesor de la arena. Al asumir este fenómeno, el problema se simplifica porque el desplazamiento se reduce en una sola dirección.

La condición de flujo difuso puede encontrarse en las siguientes dos condiciones extremas:

a) Cuando el desplazamiento ocurre a caudales de inyección muy altos; los efectos de la capilaridad y la gravedad son despreciables.

b) Para desplazamiento a caudales de inyección bajos, en yacimientos donde la curva de presión capilar excede por mucho el espesor de la arena.

Las permeabilidades relativas son medidas en laboratorio en condiciones de flujo difuso. Consideremos entonces desplazamiento de petróleo en un yacimiento inclinado con un área transversal uniforme A.

L a ley de Darcy para flujo lineal es:

u=κ∗ρ∗∆ Фµ

…… …………… ..1.

O bien:

qₒA

=uₒ=⁻ κ∗km∗ρₒ∗¿µₒ

∂Ф∂x

¿ ………………………….. 2.

pero, el potencial de flujo es:

∂Фₒ∂ x

n= 1ρₒ

(∂ pₒ∂x

+g∗ρₒ∗senθ ¿ …………………. 3.

Luego el caudal de petróleo:

qₒ = ⁻κ∗kro∗A

µₒ (

∂ pₒ∂x

+g∗ρₒ∗senθ ¿ ……………………. 4.

Y el caudal de agua:

qw = ⁻κ∗krw∗A

µw (

∂ pw∂ x

+g∗ρw∗senθ¿ ……………………. 5.

El caudal total del agua:

qt = qo + qw ................................. 6.

entonces:

qo = qt – qw …………………… 7.

Efectuando algunas transformaciones se tiene:

(q t – qw )∗µₒκ∗kro

=−¿A (∂ pₒ∂ x

+g∗ρₒ∗senθ ) ………………………. 8.

qw∗µᵥᵥκ∗krw

= ⁻ A (∂ p w∂ x

+g∗ρw∗senθ ¿ ……………………. 9.

Restando miembro a miembro las anteriores ecuaciones (9-8), se tiene:

qw(µw

κ∗krw+ µₒ

κ∗kro¿−q t∗µₒ

κ∗kro=A [( ∂ pₒ

∂ x−∂ pw

∂x )−g∗( ρw−ρₒ)∗senθ ] …….…… 10.

La presión capilar se puede expresar como una función de su derivada, por lo tanto:

∂ pₒ∂ x

=∂ pₒ∂ x

−∂ pw∂ x

………………… 11.

Y la diferencia de densidades del agua y el petróleo es:

Δρ=ρw−ρₒ ………………… 12.

Introduciendo las ecuaciones 11 y 12 en la ecuación 10. resulta:

qw (µw

κ∗kro+ µₒ

κ∗kro¿−q t∗µₒ

κ∗kro = A( ∂ p c

∂ x−g∗Δρₒ∗senθ ) …………………….. 13.

Por definición el flujo fraccional de agua es la relación entre el caudal d agua entre el caudal total que es:

Fw = qw/qt …………………………. 14.

Esta relación de caudales puede obtenerse directamente despejando q t/ qt de la ecuación 13 la cual da:

qwq t

= µₒ

κ∗kro+ A

( ∂P c∂ x

−g∗Δρₒ∗senθ)∗1q t

µₒκ∗kro

+µ w

κ∗krw

…………………….. 15.

Dividiendo numerador y denominador por µₒ

κ∗kro enel segundomiembro, se tiene:

fw = 1+ κ∗krw∗A

q t∗µₒ( ∂ Pc

∂ x+g∗Δρ∗senθ )

1+µwµₒ

krokrw

………………………………. 16.

la anterior ecuación también pueden expresarse en unidades técnicas obteniéndose:

fw = 1+0.00127 κ∗krw∗A

q t∗µₒ( ∂ Pc

∂ x−0.4335∗Δγ∗senθ)

1+µwµₒ

krokrw

…………………………………

17.

En la que Δγes la diferencia de gravedades especificas entre el agua y el petróleo.

Fig.1. Interfase de contacto en sistema agua-petróleo

El efecto de la gradiente de presión capilar ∂ p c∂ x

puede entenderse aplicando una

propiedad matemática. Multiplicando y dividiendo na expresión por un mismo valor, en este caso ∂ Sw ,la expresion novaria , entonces puede escribirse que:

∂P c∂x

=dP cdSw

∂Sw∂ x

…………………. 18.

Fig.2. Distribución de la saturación de agua con la distancia

Analizando el miembro de la derecha, se ve que el primer factor dP cdSw

es la

pendiente de la curva de la presión capilar, la cual siempre es negativa. Esta curva fue analizada en el capítulo XIX.

El segundo factor ∂Sw∂ x

es la pendiente del perfil de la saturación de agua en la

dirección el flujo, la cual también es negativa, Por eso ∂P c∂x

es siempre

positiva. Esta pendiente representa la variación de la saturación de agua con la distancia y es de especial interés en problemas de inyección de agua, pues a partir de esta relación se puede calcular la recuperación de petróleo, como verá adelante. En un sistema de desplazamiento inmiscible, por ejemplo petróleo desplazado por agua (ver fig.1), las dos fases se encuentran separadas físicamente y entre ellas existe una zona de interfase donde están presentes el petróleo y el agua, de acuerdo a la distribución de saturaciones. El plano ideal que separa la zona de petróleo con la interfase, representa el frente de agua; en este frente se tiene la mínima saturación de agua. A medida que uno se va alejando de este frente en dirección a la zona de agua, es decir colocándose detrás del frente la saturación de agua se va incrementando paulatinamente hasta llegar a un valor máximo.

Este hecho puede verse de otra forma, en un diagrama Sw vs x (ver fig. 2), en él, el frente del agua muestra un salto abrupto de saturación: del valor Swc a Swf.

Detrás del frente del agua, en la zona de interfase, hay un incremento gradual de la saturación de agua desde el valor Swf hasta el valor máximo 1-Sor. Este hecho puede verse de otra forma, en un diagrama Sw vs x (ver fig.2), en él, el frente del agua muestra un salto abrupto de saturación: del valor Swc a Swf. Detrás del frente de agua, en la zona de interfase, hay un incremento gradual de la saturación de agua desde el valor Swf hasta el valor máximo I-Soc. Este problema será estudiado con detalle un poco más adelante.

1.2. CASO PARTICULAR: YACIMIENOTO HORIZONTAL

Para un yacimiento horizontal se tiene que un angulo θ = 0, por consiguiente senθ=0 además, despreciando el valor de la variación de la presión capilar, se tiene:

fw = 1

1+µwkrw

kroµₒ

……….………. 19.

Una grafica de fw vs Sw, da una curva semejante a una semejante a una “S” alargada como se muestra en la figura.3.

La ecuación del flujo fraccional se usa para calcular la fracción del agua en cualquier punto del yacimiento, suponiendo conocida la correspondiente saturación de agua.

Ejemplo.1.

Con los resultados de permeabilidades relativas obtenidas en el calcular los valores del flujo fraccional para cada saturación de agua, suponiendo que el yacimiento es horizontal, con viscosidades µw=0.8 y µₒ=0.6 cp.

Solución:

Aplicando la ecuación 19, se tiene:

Sw krw kro fw0,1 0 1,8717 00,2 0 1,211556 00,3 0,000309 0,717223 0,0003230,4 0,011131 0,370682 0,0226060,5 0,068961 0,151969 0,2539180,6 0,230476 0,038239 0,8188560,7 0,592355 0,001548 0,996407

0,8 1,188065 0 10,9 2,186995 0 11 3,693594 0 1

Tabla.1. valores cálculos para el Ejemplo.1.

En la tabla procedente, por ejemplo, el flujo fraccional correspondiente a Sw = 0,4 ha sido calculado del siguiente modo:

fw = 1

1+0,8

0,0114310,7172230,6

= 0,022606

Los resultados han sido graficados en un sistema Sw vs fw que se muestran en la fig.3.

Fig.3. Gráfica de flujo fraccional vs saturación de agua (solución del ejemplo.1)

2. LA ECUACIÓN DEL EMPUJE FRONTAL

Esta ecuación que describe el desplazamiento inmiscible en una dimensión, fue presentada por Buckley y Leverett en 1942. Ella determina la velocidad lineal de un plano de saturación de agua constante, que se desplaza a través de un medio poroso.

Para simplificar la deducción de la ecuación del avance frontal se asumieron las siguientes suposiciones: a) que no hay transferencia de masa entre las fases; b) que las fases son incomprensibles.

Fig.4. Flujo a través de un volumen elemental de roca porosa y permeable

Un esquema simple muestra el flujo en la roca porosa en la zona de interfase con la dirección del movimiento de izquierda a derecha (fig.4). Se puede analizar un volumen elemental de caudal de masa igual a qwρw|x y por la derecha sale qwρw|

x+Δx. Si A es el área transversal, entonces el volumen elemental poroso será AФ*∆x.

Asumiendo condiciones de flujo difuso, la conservación de masa de agua fluyendo atraves de un volumen elemental AФ*∆x, se puede expresar como:

Caudalde caudal de incremento flujode

masa −flujode masa = de masa en

entrante saliente volumenelemental

o expresado en otra forma:

qwρw|x - [q w ρw ] x+Δx = AФ*∆x ∂∂ t

(ρw∗Sw ¿ …………………….. 20.

Haciendo operaciones y tomando limites cuando ∆x→0

∂

∂ X (q w∗ρw ¿ = - AФ

∂∂ t

(ρw∗Sw)

Asimismo, asumiendo desplazamiento incomprensible, ρw ≈ constante :

∂qw∂ X

|x = - AФ∂Sw∂ t

|x ............................... 21.

El diferencial completo dSw es, de acuerdo a una propiedad matemática de las diferenciales:

dSw = ∂Sw∂ x

|x dx + ∂Sw∂ t

|x dt ……………………… 22.

Si el reservorio es homogéneo y además isotrópico entonces la saturación de agua es constante en un plano transversal a la formación, dSw=0, se tiene:

∂Sw∂ x

|x = - ∂Sw∂ t

|x dtdx

|sw ……………………….. 23.

Si una expresión es multiplicada y dividida al mismo tiempo por cualquier cantidad, la expresión no varía, por lo tanto no se puede escribir:

∂qw∂ x

|x = - ∂qw∂Sw

∂Sw∂ x

|x ……………………… 24.

Reemplazando 21 y 23 en 24, y efectuando operaciones algebraicas

∂qw∂Sw

|x = AФdxdt

|x ………………….. 25.

que es la ecuación de Buckley-Leverett.

Expresando el caudal de agua en función al flujo fraccional y al caudal total, se tiene:

qw = fw * qt …………………….. 26.

Si qt es constante, la ecuación puede escribirse asi:

Vxw = dxdt

|x = qt

A ФdfwdSw

|Sw ……………………. 27.

ó también:

dx|x = 1

A ФdfwdSw

|Sw qt∗dt ……………………… 28.

Integrando esta ecuación desde el origen hasta una posición cualquiera x se obtiene:

∫0

x

dx=¿ 1A Ф

dfwdSw

∫0

t

qt∗dt ¿ ……………………… 29.

La integral del miembro derecho ∫0

t

qt∗dt es la integral numéricamente al volumen

de agua Wi que desplaza al caudal qt , luego:

Xxw = (W iA Ф

dfwdSw

)xw ……………………… 30.

donde Wi = agua inyectada acumulada.

En esta ecuación el valor de la derivada puede obtenerse en forma grafica apartir del diagrama fw vs Sw, por medio de trazar tangentes en cada uno de los puntos de interés.

otra expresión de la ecuación 30 es:

Xxw =WID (dfwdSw

¿Sw ……………………. 31.

en la cual WID es el volumen adimensional de agua inyectada.

En forma analítica, si la variación de la relación de permeabilidades relativas con la saturación es logarítmica:

krokrw

= ae- ΔSw

en la ecuación 19 del siguiente modo:

fw = 1

1+µwµₒ

ae−ΔSw ………………..….. 32.

Derivando ambos miembros respecto a la saturación de agua, se tiene:

dfw∂Sw

=

−µwµₒ

ae−ΔSw

(1+ µwµₒ

ae−ΔSw)2

ó haciendo algunas transformaciones:

dfw∂Sw

=b (µw

µₒ )( krokr w

)

(1+ µwµₒ

krokrw

)2 ……………………. 33.

Que puede ser de utilidad para el calculo de la derivada del flujo fraccional.

3. ECUACIONES DE WELGE.

Si la ecuación 30 es graficada en coordenadas cartesianas Sw vs x, la curva resultante tendrá la forma de una campana descansando sobre el eje de ordenadas. Sin embargo, esta gráfica obtenida por el método Buckley-Leverett, es físicamente inaceptable por lo menos en cierta parte de la curva, porque un mismo punto x no puede tener dos saturaciones diferentes.

Fig.5. Grafica de la ecuación de Buckley-Leverett

Para salvar esta aparente paradoja es suficiente hallar la saturación en el frente de agua Swf, lo cual se consigue desplazando una línea vertical que divide la campana, hacia la derecha o izquierda hasta que las áreas Ay B colocadas a uno y otro lado de esta línea sean iguales. Esta línea vertical definirá entonces la posición del frente de agua sobre el eje x, y además la saturación Swf en su intersección con la curva.

WELGE, en 1952, planteó un método más elegante desde el punto de vista matemático y práctico desde el punto de vista de ingeniería para la determinación de la posición del frente y su correspondiente saturación de agua, lo que implicó además, la introducción de una metodología de diseño y análisis.

La figura 6. Es una gráfica corregida de la figura 5. En ella se puede ver las variaciones de la saturación con la distancia. Cualquier punto situado antes de la zona de interfase agua-petroleo tendrá la máxima saturación de agua (1-Sor); en la zona de interfase la saturación de agua es variable pero va disminuyendo a medida que se aproxima al frente de agua. Más allá pasando el frente de agua, la saturación de agua es la minima Swc. En la figura 6. La saturación antes de la interfase se muestra como una recta horizontal hasta llegar al punto x1 que es donde comienza la zona de interfase; a partir de este punto se tiene una curva continua y decreciente hasta llegar al punto x2 que representa la posición frente de agua donde la saturación de agua sufre una caída abrupta desde un valor Swf

inmediatamente antes del frente de agua, hasta el valor Swc.

Fig.6. Variación de la saturación con la posición del frente de agua en el reservorio

En algún punto sobre la curva decreciente de la zona de interfase, es posible encontrar una saturación promedio Sw.

Fig.7. Determinar de la saturación promedio detrás del frente de agua

Si se considera que A es el área transversal del reservorio por donde fluye el sistema. Aplicando balance de materiales, se tiene que el agua de intrusión (o inyección) es igual a la diferencia de volúmenes entre el agua total en la interfase menos el volumen de agua connata, significando que:

Wi = Ax2 Ф Sw – Ax2 ФSwc …………………… 34.

que puede escribirse como:

w1=Ax2θ(Sv –Swc)………………………35

donde Sv es la saturación promedio detrás del frente

otra forma de expresar esta ecuación es despejando la expresión entre paréntesis y combinándola con la ecuación en la siguiente forma

Sw−Swc= wixiA∅

=wo= ldfvdSv

…………….36

O haciendo otras transformaciones

Sv=Swf + l−fwsvdfvdSv

…………….37

Esta es la primera ecuación de welge

La saturación promedio detrás del frente puede obtenerse por integración analítica perfil de saturación, permite establecer una equivalencia de áreas del siguiente modo: el area del rectángulo de lado Sv y la base X2 es equivalente a la sua del rectángulo de lado (1-Sw) y base X1, más el área subtendida por la curva de saturación variable que es del siguiente modo

SwX 2= (1−Sw ) x 1+∫x 2

x 1

Swdx ……………38

Las distancias son proporcionales a la variaciones de flujo fraccional respecto a la saturación, por lo que se puede establecer la siguiente equivalencia

Xsi=( dfwdSw

)sv…………………….39

Introduciendo estas equivalencias en la ecuación se obtiene

Sw( dfwdSw )swf =(1−Sw )( dfw

dSw )1−sw+∫Sw

x 1

Svd ( dfwdSw

)…………………40

La integral se puede resolver por partes considerando la propiedad matemáticas, para ello es necesario establecer que u=Sw y también du=dSw

Entonces resolviendo la integral y haciendo operaciones algebraicas se tiene la segunda ecuación de Welge

l−fvf =( dfwdSw )svf (Sw−Swf )………………41

Interpretando esta ecuación es ve que representa una línea recta que pasa por el punto de coordenadas su pendiente indica que es tangente a la curva

En base a este análisis se puede plantear un método que indica que trazando una tangente a la curva de flujo fraccional desde el punto se obtiene la saturación en frente de agua Swf la misma ecuación de Welge muestra que si se prolonga esta tangente hasta cortar a la línea definido por fw=1 este punto de intersección determina la saturación promedio detrás del frente Sw

RELACION DE MOVILIDADES

La mecánica de desplazar un fluido con otro es relativamente simple si el fluido desplazado tiene la tendencia a fluir más rápido en el fluido desplazante (agua) bajo esas circunstancias para el fluido desplazado no existe la tendencia a ser sobrepasado por el fluido desplazante y la interfase fluido-fluido es estable. Si ocurre lo contrario que el fluido desplazante tenga la tendencia a moverse más rápido que el desplazado, la interfase fluido es inestable; lenguas de fluidos desplazante se propagan en la interfase

MOVILIDAD

El concepto de movilidad es simple porque se refiere a la relacion entre la permeabilidad relativa y la viscosidad

Petroleo ƛo= kuo

……………………42

Agua ƛw= kuw

……………………………43

DESPLAZAMIENTO IDEAL

Si la relacion de movilidades es menor o igual a uno, el petroleo se mueve a un caudal mayor que el agua y es empujado adelante por el banco de agua que actua a la manera de un piston

El volumen de petroleo movible esta dado por

MOV=(1-Soi-Swi)pv………….44

Donde PV es volumen poral. Para un proyecto de inyección de agua, el volumen de petroleo recuperado es exactamente igual al volumen de agua inyectada

DESPLAZAMIENTO NO IDEAL

Con mayor frecuencia se encuentra que el agua es mas móvil que el petroleo. Como resultado lenguas de agua traspasan el petroleo y conducen a perfiles de saturación mucho menos favorable

En contraste con el desplazamiento ideal, en la irrupción de agua solamente una fracción de MOV es recuperado. Se requiere agua de inyección adicional para recuperar el petroleo

INYECCIÓN DE AGUA

La inyección de agua es considerada como un método de recuperación secundaria. La teoría anterior encuentra su aplicación en este proceso

En el reservorio escogido se organizan arreglos de inyección que consisten en grupos de pozos inyectores y pozos (receptores) productores. Básicamente cosiste en inyectar agua para poder desplazar el petroleo o gas y empujarlo hacia los pozos

La recuperación de petroleo puede ser calculada para cualquier tiempo de la vida del proyecto de inyección, pero debe ser previamente determinados los cuatro factores siguientes:

1) La cantidad del petroleo in situ, al comienzo del proyecto. Esta es función de la saturación de petroleo y del volumen poral inundable, el cual es altamente dependiente de los discriminadores de espesor neto, tales como los de permeabilidad y porosidad

2) La eficiencia de barrido areal, que es la fracción del area de reservorio que el agua va a alcanzar . este depende primariamente de las propiedades relativas al flujo del petroleo y agua, los arreglos y la distribución de presiones entre los pozos inyectores y productores, asi como la permeabilidad direccional

3) La eficiencia de barrido vertical, que es la fracción de una formación en un plano vertical que el agua puede alcanzar. Esta depende primariamente del grado de estratificación del reservorio

4) La eficiencia de desplazamiento, que es la fracción de petroleo que es el agua desplazara en la zona invadida

La eficiencia de recuperación de cualquier proceso de desplazamiento de fluidos esta dada por el producto de

Eficiencia de desplazamiento macroscópico o desplazamiento volumétrico Ev

Y la eficiencia de desplazamiento microscópico, Ed

Es decir

E=Ev* Ed……………………..45

La recuperación de petroleo Np puede ser computada en cualquier instante de la vida de un proyecto por medio de usar la formula

Np=N*EA*EV*ED……………….46

Donde

N=petroleo in situ en el volumen poral inundable al comienzo de la inyección

EA= eficiencia de barrido areal: fracción del volumen poral inundable barrido por el agua de inyección . puede estimarse con la ecuación

EA=0.2777 ln( QQm )+ EAM……………….47

Donde EAM eficiencia areal de barrido a la irrupción en un pozo productor, que puede estimarse

Adicionalmente la recuperación por inyección de agua es dependiente de un numero de otras variables, algunas de las mas comunes incluyen: saturación de petroleo al comienzo del waterflooding, saturación residual de petroleo, saturación de agua connata y saturación del gas libre al comienzo del proyecto, otras variables incluyen estratificación de los reservorios, modelos de inyección y aspectos de ingeniería

Los aspectos operacionales también influyen en los pronósticos de recuperación, como por ejemplo los tiempos de conversión o adecuación de pozos

Curvas de producción son evaluadas para monitoreo y detección de cambios en el desempeño del pozo o reservorio.

La estratificación en los reservorios puede crear mayores problemas, ocasionando la disminución en la eficiencia vertical del barrido. Las técnicas de predicción de asumen que toda el agua de inyección ingresa a los varios estratos en proporción a la capacidad del flujo de cada estrato. Aunque todos los estratos fluyen simultáneamente el agua de inyección busca las zonas de mas alta permeabilidad.

Por eso el agua debe ser inyectada en cada estrato basándose en el volumen poral de hidrocarburos desplazables para una inyección ideal

Para asegurarse que la inyección de cada estrato esta en proporción a su volumen poral de hidrocarburos desplazables, puede requerirse modificaciones de perfiles. Algunas técnicas que han sido utilizados exitosamente incluyen perforaciones selectivas, cementaciones forzadas a baja presión, acidificación, inyección de arena fina e inyección de polímeros.

Los beneficios de la modificación de perfiles pueden no ser observados por varios meses en el pozo productos