Representación Matemática de una onda viajera

Ejercicio 15.79Un pulso de onda transversal viaja hacia la derecha a lo largo de una cuerda, con una rapidez v=2.4 m/s. En t=0 la forma del pulso esta dada por la función:

Donde D y x están en metros, a) Determine una formula para el pulso de onda en cualquier tiempo t, suponiendo que no hay perdidas por fricción, b) determine una formula si el pulso viaja hacia la izquierda, c) verifique que la función satisface la ecuación de una onda.

𝐷= 4.0 𝑚3𝑥2 + 2.0 𝑚2

A)_Datos v= 2.4 m/s En t= 0 s el pulso es:

𝐷= 4.0 𝑚3𝑥2 + 2.0 𝑚2

En la ecuación que nos proporcionan nos describen una onda con t= 0, es decir sin desplazamiento. Para que esta onda se desplace, una distancia “d”, necesitamos incluir el tiempo y como sabemos que d = vt entonces sustituimos el x de la ecuación por nuestro nuevo x que seria(x – vt).

Como tenemos que la velocidad es 2.4, sustituimos en v, obteniendo una formula para cualquier tiempo.

𝐷= 4.0 𝑚3(𝑥− 𝑣𝑡)2 + 2.0 𝑚2

𝑫= 𝟒.𝟎 𝒎𝟑(𝒙− 𝟐.𝟒𝒕)𝟐 + 𝟐.𝟎 𝒎𝟐

Gráfica del pulso :

B)_ Datos:

Para verificar si la ecuación satisface la ecuación de onda, derivamos parcialmente:Derivamos con respecto a t.

Derivamos con respecto a x.

𝐷= 4.0 𝑚3(𝑥− 𝑣𝑡)2 + 2.0 𝑚2

𝜕𝐷ሺ𝑥,𝑡ሻ𝜕𝑡 = 8𝑚3[ሺ𝑥− 𝑣𝑡ሻ2 + 2𝑚2]2 ∗ሺ𝑥− 𝑣𝑡ሻ𝑣

𝜕𝐷2ሺ𝑥,𝑡ሻ𝜕𝑡2 = 32𝑚3[ሺ𝑥− 𝑣𝑡ሻ2 + 2𝑚2]3 ∗ሺ𝑥− 𝑣𝑡ሻ𝑣2 − 8𝑚3[ሺ𝑥− 𝑣𝑡ሻ2 + 2𝑚2]2 ∗𝑣2

𝜕𝐷ሺ𝑥,𝑡ሻ𝜕𝑥 = − 4𝑚3[ሺ𝑥− 𝑣𝑡ሻ2 + 2𝑚2]2 ∗ሺ2𝑥− 2𝑣𝑡ሻ

𝜕𝐷2ሺ𝑥,𝑡ሻ𝜕𝑥2 = 8𝑚3[ሺ𝑥− 𝑣𝑡ሻ2 + 2𝑚2]3 ∗ሺ2𝑥− 2𝑣𝑡ሻ2 − 8𝑚3[ሺ𝑥− 𝑣𝑡ሻ2 + 2𝑚2]2

Anteriormente obtuvimos:

Si ahora dividimos la segundas derivadas obtenemos:

𝜕𝐷2ሺ𝑥,𝑡ሻ𝜕𝑡2 = 32𝑚3[ሺ𝑥− 𝑣𝑡ሻ2 + 2𝑚2]3 ∗ሺ𝑥− 𝑣𝑡ሻ𝑣2 − 8𝑚3[ሺ𝑥− 𝑣𝑡ሻ2 + 2𝑚2]2 ∗𝑣2

𝜕𝐷2ሺ𝑥,𝑡ሻ𝜕𝑥2 = 8𝑚3[ሺ𝑥− 𝑣𝑡ሻ2 + 2𝑚2]3 ∗ሺ2𝑥− 2𝑣𝑡ሻ2 − 8𝑚3[ሺ𝑥− 𝑣𝑡ሻ2 + 2𝑚2]2

𝜕𝐷2ሺ𝑥,𝑡ሻ𝜕𝑥2ൗ�𝜕𝐷2ሺ𝑥,𝑡ሻ𝜕𝑡2ൗ�= 8𝑚3[ሺ𝑥− 𝑣𝑡ሻ2 + 2𝑚2]3 ∗ሺ2𝑥− 2𝑣𝑡ሻ2 − 8𝑚3[ሺ𝑥− 𝑣𝑡ሻ2 + 2𝑚2]232𝑚3[ሺ𝑥− 𝑣𝑡ሻ2 + 2𝑚2]3 ∗ሺ𝑥− 𝑣𝑡ሻ𝑣2 − 8𝑚3[ሺ𝑥− 𝑣𝑡ሻ2 + 2𝑚2]2 ∗𝑣2

𝜕𝐷2ሺ𝑥,𝑡ሻ𝜕𝑥2ൗ�𝜕𝐷2ሺ𝑥,𝑡ሻ𝜕𝑡2ൗ�= 1𝑣2

Según la ecuación (15-16), el resultado que obtuvimos si satisface la ecuación de una onda:

Ecuación 15-16:

Despejando obtendríamos:

Y con el resultado obtenido de la división hecha anteriormente quedaría:

𝜕𝐷2(𝑥,𝑡)𝜕𝑥2 = 1𝑣2 ∗𝜕𝐷2(𝑥,𝑡)𝜕𝑡2

𝜕𝐷2ሺ𝑥,𝑡ሻ𝜕𝑥2ൗ�𝜕𝐷2ሺ𝑥,𝑡ሻ𝜕𝑡2ൗ�= 1𝑣2

1𝑣2 = 1𝑣2