REOLOGÍA DE UNA EMULSIÓN DE GOTAS EN COMPARACIÓN CON UNA SUSPENSIÓN DE

VESÍCULAS

Rafael Augusto Casas Bolívar Diciembre 2009

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Asesor: Andrés González Mancera Universidad de los Andes Facultad de Ingeniería Departamento de Ing. Mecánica Bogotá D.C., Colombia

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Agradecimientos

Deseo agradecerle al profesor Andrés González Mancera por el apoyo brindado durante el semestre. Su compromiso como asesor siempre se mantuvo más allá de lo esperado, motivando mi interés por la ingeniería. Me alegra en verdad el haber trabajado en su compañía. Le quiero dar un agradecimiento especial a mi papá Rafael Alberto Casas por darme la gran oportunidad de estudiar Ingeniería Mecánica. Como ingeniero y como un gran padre siempre mantuvo el interés sobre mis proyectos, por más simples que estos fuesen. Por ultimo le deseo agradecer a mi mamá Clemencia Bolívar ya que sin ella, jamás hubiese adquirido el hábito del estudio que con tanto amor inculco en mí desde los 5 años.

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Resumen

En el presente trabajo se ha analizado la reología de emulsiones de gotas en comparación con suspensiones de vesículas, a partir del comportamiento microscópico de las mismas. Dicho comportamiento se estudió a partir de la simulación de gotas y vesículas suspendidas en flujo cortante simple. La respuesta de las partículas al flujo está caracterizada por el parámetro de deformación DF propuesto por Taylor [7] y por el ángulo de orientación α. Tanto para gotas como para vesículas, la deformación y el alineamiento de la partícula con respecto al flujo, aumentan con la tasa de corte.

La reología de las suspensiones se estudió a partir de la contribución de las partículas al tensor de esfuerzos efectivo de la emulsión o suspensión. Para una vesícula, dicho aporte depende linealmente de la tasa de corte, mientras que para una gota, dicha relación se asemeja a una forma logarítmica. A partir de lo anterior se encontró que el aporte de la partícula a la viscosidad efectiva de la emulsión disminuye conforme aumenta la tasa de corte, tanto en el caso de gotas como en el de vesículas. De esta forma se puede atribuir el comportamiento pseudoplástico al comportamiento de las partículas en suspensión

Los resultados en términos del comportamiento de las partículas y de la reología de las suspensiones, fueron comparados con la literatura correspondiente. Los resultados propuestos para gotas, concordaron bastante bien con lo propuesto por Kennedy [1] [2] y González [3], mientras que en el caso de vesículas, los resultados arrojaron ciertas discrepancias con lo propuesto por Danker [4]. Con el fin de realizar una validación de los algoritmos implementados, se prestó especial atención a los casos donde los resultados difirieron de lo propuesto por la literatura.

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Índice 1. Introducción 7

1.1. Antecedentes…………………………………………………………………… 8

2. Descripción del Problema 9 2.1. Metodología………………………………………………………………….. 9 2.2. Flujo de Stokes……………………………………………………………….. 10 2.3. Calculo de Esfuerzos…………………………………………………………. 11

3. Gota Bajo Flujo Cortante 13 3.1. Gota en Estado Estable…………………………………………………….... 13

3.1.1. Deformación como Función del Número Capilar………………………. 14 3.1.2. Orientación como Función del Número Capilar……………………….. 16 3.1.3. Capilares Críticos e Inestabilidad………………………………………. 17 3.1.4. Caso especial λ =1.0……………………………………………………. 17

3.2. Gota en Estado Transitorio………………………………………………….. 18 3.2.1. Respuesta Estable……………………………………………………… 18 3.2.2. Respuesta Transitoria…………………………………………………... 19

3.3. Resumen……………………………………………………………………... 20

4. Vesícula Bajo Flujo Cortante 21 4.1. Modelo de la Membrana….………………………………………………….. 21 4.2. Validación del Algoritmo…………………………………………………….. 22 4.3. Vesícula en Estado Estable…………………………………………………... 23

4.3.1. Deformación como Función del Número Capilar….…………………... 24 4.3.2. Orientación como Función del Número Capilar……………………….. 25

4.4. Resumen……………………………………………………………………… 26

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5. Reología Comparativa de Suspensiones 27 5.1. Reología de una Gota………………………………………………………… 28

5.1.1. Resultados Generales…………………………………………………… 28 5.1.2. Adelgazamiento por Corte………………………………………………. 29 5.1.3. Esfuerzos Normales…………………………………………………….. 30 5.1.4. Presión Efectiva………………………………………………………… 30

5.2. Reología de una Vesícula…………………………………………………….. 30 5.2.1. Resultados Generales…………………………………………………… 31 5.2.2. Vorticidad………………………………………………………………. 33 5.2.3. Caso Especial λ =6.4…………………………………………………… 34

5.3. Análisis Comparativo………………………………………………………… 36 5.4. Resumen……………………………………………………………………... 37

6. Conclusiones 38

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Capítulo 1

Introducción

La reología de suspensiones es un campo de suma importancia en temas como la hematología o estudio de la sangre, el mezclado de fluidos y la emulsificación, cuyas aplicaciones se concentran principalmente en la industria farmacéutica. Las suspensiones son mezclas heterogéneas de partículas no solubles en un fluido (fase continua). Cuando las partículas no solubles son gotas de algún fluido con viscosidad definida, dichas suspensiones se denominan emulsiones.

La reología de una suspensión está determinada por las propiedades tanto de la fase continua como de las partículas en suspensión. Una de las propiedades que más afecta el comportamiento reológico de suspensiones es la viscosidad de los fluidos. Generalmente dicho comportamiento es de tipo pseudoplástico en el cual la viscosidad aparente de la suspensión disminuye conforme la tasa de corte aumenta.

Múltiples estudios en el campo de reología de suspensiones se han desarrollado [1, 2, 3, 6] utilizando el método de integrales de frontera para flujo de Stokes, el cual permite obtener la velocidad en cualquier punto de la superficie de una partícula en suspensión. El objetivo del presente trabajo es el de realizar una comparación de la reología de suspensiones de vesículas y emulsiones de gotas. Lo anterior se realizará por medio de la predicción del comportamiento de las partículas en suspensión, mediante el uso de herramientas computacionales de simulación. Dichas partículas serán gotas limpias en el caso de emulsiones y vesículas en el otro caso. Se define una vesícula como una gota limpia cubierta por una membrana de bicapa lipídica. A continuación se presenta un breve resumen de los antecedentes en el campo de reología de suspensiones. En el capítulo 2 se presenta la metodología y un resumen acerca de los métodos analíticos y

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numéricos implementados. En los capitulos 3, 4 y 5 se muestran los resultados de emulsiones y suspensiones de vesículas en términos de reología. Los resultados son analizados y comparados entre sí.

1.1 Antecedentes Kennedy [1, 2] y González [3] realizaron diversas predicciones del comportamiento reológico de

emulsiones a partir del comportamiento microscópico de sus partículas en términos de su deformación. En ambos casos se implementó el método de integrales de frontera para flujo de Stokes. Ambos autores lograron evidenciar el comportamiento pseudoplástico de las emulsiones, el cual es consecuencia directa de la deformación de las partículas. Además de esto, ambos autores reportaron la existencia de capilares críticos (ecuación 2.1) a partir de los cuales, las gotas no logran obtener una deformación fija. Tanto la deformación como la orientación de la gota, dependen de la tasa de corte y de la viscosidad de los fluidos que componen el sistema.

DeHass [5] y colaboradores realizaron predicciones del comportamiento reológico de una suspensión de vesículas con membrana de bicapa lipídica. Danker [4] realizó un estudio analítico de la reología de suspensiones de vesículas en comparación con emulsiones de gotas, obteniendo el mismo comportamiento pseudoplástico descrito en el anterior párrafo. Danker [4] desarrolló modelos analíticos para el comportamiento de las deformaciones de la vesícula, encontrando que la deformación de las partículas es totalmente independiente de la viscosidad de los fluidos del sistema. Además de esto, Danker propone que el aporte al tensor de esfuerzos por parte de una vesícula en suspensión, es lineal en relación con la tasa de corte, mientras que para una gota dicha relación es cuadrática.

El Laboratorio de Fluidos Compuestos y de Múltiples Fases (FCMF) de la Universidad de los Andes (González [3]), ha desarrollado un algoritmo en MATLAB el cual, mediante el método de integrales de frontera para flujo de Stokes, permite predecir el comportamiento reológico de suspensiones y emulsiones, simulando gotas y vesículas inmersas en flujo cortante.

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Capítulo 2

Descripción del Problema

Se predecirá el comportamiento reológico de emulsiones y suspensiones de vesículas, a partir de la composición y comportamiento microscópico de las mismas. Dicho comportamiento microscópico consiste en una gota o vesícula suspendida en un flujo cortante. A partir del método de integrales de frontera para flujo de Stokes, se determinará las velocidades y deformaciones de la superficie de la partícula, con las cuales se obtendrá el aporte de la partícula al tensor de esfuerzos efectivo de la suspensión. Se supone suspensiones diluidas donde las posibles interacciones entre partículas son despreciables (Kennedy [1]).

1.4 Metodología Mediante el algoritmo para la simulación de emulsiones y suspensiones de vesículas, se realizarán simulaciones de gotas y vesículas inmersas en flujo cortante. La intensidad del flujo cortante se caracteriza por el numero adimensional Ca descrito en la ecuación 2.1.

(2.1)

Donde es viscosidad del entorno (fase continua), R es el radio equivalente de la gota esférica, es la tasa de corte, es la tensión superficial (Caso de la gota) y es el tiempo característico de relajación.

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Se desea realizar simulaciones a diversas tasas corte para los λ descritos por Kennedy [1], donde λ

se define como la relación de viscosidad / , donde es la viscosidad de la partícula ya sea gota o

vesícula, y es la viscosidad del entorno.

El comportamiento de las partículas estará caracterizado por dos parámetros usados ampliamente

en la literatura. El primer parámetro es el parámetro de deformación DF propuesto por Taylor [7]. Dicho

parámetro se define como DF=(L-B)/(L+B), donde L y B son las dimensiones máximas y mínimas de la

gota en el plano xy. El segundo parámetro es el ángulo de orientación α, definido gráficamente en la

figura 2.1.

Figura 2.1: Representación gráfica de una partícula inmersa en flujo cortante. Tomado de [1]

1.5 Flujo de Stokes Se supone densidades iguales tanto al interior como al exterior de la partícula. Además Re cercano a cero permite que el flujo pueda ser modelado mediante las ecuaciones de Stokes. Dicho flujo satisface la ecuación de continuidad (ecuación 2.2), o en otras palabras satisface la conservación de la masa.

Las fuerzas que experimenta el flujo son netamente viscosas por lo que las ecuaciones de Navier-

Stokes se reducen a la ecuación para flujo de Stokes (ecuación 2.3).

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La condición de frontera (ecuación 2.4) para la partícula establece que el desplazamiento de la superficie será normal a esta y dependerá directamente de la velocidad.

Finalmente la formulación de integrales de frontera para flujo de Stokes permitirá obtener la velocidad en la superficie de la partícula satisfaciendo las ecuaciones 2.2 y 2.3. La velocidad según Kennedy [2] será:

Donde Gi,j(x,x0) y Tijk(x,x0) son las funciones de Green para la velocidad y el esfuerzo, según lo

propuesto por Pozrikidis [12]. El salto en el esfuerzo normal a través de la interfaz partícula-entorno depende del tipo de partícula. Para el caso de una gota dicho salto es:

Donde H es la curvatura media de la gota. Según Danker [4] el salto en el esfuerzo normal para

una vesícula es: Donde es el modulo de doblamiento o flexión, K es la curvatura gaussiana y es el operador

Laplace-Beltrani sobre la superficie de la vesícula. Además es un término equivalente a la tensión superficial, el cual a diferencia de una gota, no es constante sino depende de la deformación según lo propuesto por Rawicz [11].

1.6 Cálculo de Esfuerzos

El estudio de las deformaciones de un cuerpo sometido a esfuerzos externos se denomina reología. Para conocer el comportamiento reológico de una suspensión, es importante analizar el

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comportamiento de los esfuerzos al interior de la suspensión. En especial se debe analizar el aporte de las gotas al tensor de esfuerzos efectivo de la suspensión.

Kennedy [1] demostró que para una suspensión diluida (con gotas o vesículas), el aporte de una partícula al tensor de esfuerzos efectivo de la suspensión esta dado por:

Dicho aporte al tensor de esfuerzos es el que genera el comportamiento pseudoplástico de la suspensión, el cual se define como la disminución de la viscosidad aparente de la suspensión conforme aumenta la tasa de corte. En otras palabras, la presencia de partículas en suspensión, aumenta la capacidad de deformación de la suspensión con la tasa de corte.

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Capítulo 3

Gota Bajo Flujo Cortante

En este capítulo se estudiará el comportamiento de una gota inmersa en flujo cortante. Para esto se han

simulado gotas con las mismas relaciones de viscosidad λ empleadas por Kennedy [1,2] y González [3] con el fin de validar los resultados obtenidos. El comportamiento de las gotas estará caracterizado por los parámetros de deformación DF y α definidos en el capitulo anterior. En la primera parte de este capítulo se muestra el comportamiento de las gotas en estado estable, en el cual se puede observar las tres fases de deformación y orientación descritas por Kennedy [1]. Además de esto también se muestra un breve análisis de los capilares críticos y de la estabilidad del algoritmo implementado. Cerrando la primera parte de este capítulo se encuentra un análisis en cuanto a deformación para el caso especial de λ=1.0. En la segunda parte de este capítulo se analiza el comportamiento de la gota en estado transitorio

tanto para λ bajos como para λ altos. Se encontrará que el comportamiento de las gotas en estado transitorio se asemeja bastante al comportamiento descrito para sistemas amortiguados y sub-amortiguados.

3.1 Gota en Estado Estable El intervalo de tiempo en el cual una gota inmersa en flujo cortante está experimentando deformaciones se denomina estado transitorio. Una vez que la velocidad normal a la superficie de la gota es despreciable (Vn< ) se llega a estado estable en el cual, la forma de la gota se mantiene en estado cuasi-estático.

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En estado estable y variando la tasa cortante mediante el numero capilar Ca, se evidenció deformación y orientación compuestas por tres fases según lo propuesto por Kennedy [1]. Para λ altos

(3.6 y 6.4) la deformación y la orientación se estabilizan conforme aumenta el Ca, mientras que para λ bajos (0.08 y 1.0), la gota no logra estabilizarse, deformándose indefinidamente (Ca>Cacr). Se define el Cacr como el capilar a partir del cual la gota experimenta deformación indefinida.

En la última parte de esta sección se presenta un análisis del caso especial λ=1.0, en el cual la

deformación presenta cierta irregularidad con respecto a las gotas de diferentes λ.

3.1.1 Deformación como Función del Numero Capilar A continuación se muestra la grafica de DF vs. Ca

Figura 3.1: Deformación de la gota en estado estable, DF como función de Ca para diferentes λ

En la anterior gráfica se pueden observar las tres fases de deformación descritas por Kennedy [1] tanto para λ bajos como para λ altos.

- Para λ bajos (0.08 y 1.0) la primera fase consiste en un incremento lineal de DF con respecto a Ca seguida por una segunda fase en la cual la relación dDF/dCa aumenta y seguida a su vez por una tercera y última fase en la cual la gota no logra llegar a estado estable luego de sobrepasar el Cacr. En esta última fase, la gota se deforma indefinidamente.

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- Para λ altos (3.6 y 6.4) la primera fase consiste al igual que en λ bajos, en un incremento lineal de la deformación con respecto a Ca, seguida de la segunda fase en la cual la relación dDF/dCa disminuye y seguida a su vez por una tercera fase en la cual la deformación se estabiliza asintóticamente.

Como se puede observar en la figura 3.1, la deformación disminuye conforme aumenta λ ya que las fuerzas necesarias para deformar una gota de mayor viscosidad son mayores que aquellas necesarias para deformar una de menor viscosidad. Lo anterior sucede para todas las viscosidades excepto para λ=1.0, donde la deformación es mayor que para λ=0.08. Un estudio más detallado de este caso especial se muestra en la sección 3.1.4.

Durante la deformación y para todos los λ considerados, las gotas adoptan formas elipsoidales como se muestra en la figura 3.2. Estas formas de elipsoides concuerdan con los resultados propuestos por Kennedy [1,2] y González [3]. Además, los resultados numéricos de la figura 3.1 fueron corroborados con los propuestos por González y comparados con los de Kennedy. En ambos casos los resultados concuerdan, aunque existen pequeñas diferencias con Kennedy, las cuales pueden ser atribuidas a la implementación del método.

Figura 3.2: Geometría de la gota para diferentes valores Ca y λ: (a) λ=0.08 Ca=0.3 (b) λ=1.0

Ca=0.36 (c) λ=3.6 Ca=0.8 (d) λ=6.4 Ca=1.1

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3.1.2 Orientación como Función del Numero Capilar A continuación se muestra la gráfica de 45°- α la cual permite observar cuan alineada está la gota con respecto al flujo.

Figura 3.3: Orientación de la gota en estado estable, 45- α como función de Ca para diferentes λ

En la figura 3.3 se pueden observar las tres mismas fases descritas para deformación, pero en términos del ángulo de orientación. En esta caso, entre mayor es el valor en la gráfica, menor será el ángulo de orientación y por ende, la gota se alineará mas con el flujo longitudinal. Entre mayor es la relación de viscosidades λ, menor será el ángulo de orientación y por ende la gota se encontrará mas alineada con el flujo. Lo anterior también se puede evidenciar en la figura 3.2, donde para λ=6.4, la gota se encuentra casi horizontal.

Aunque González [3] no presenta valores numéricos para el ángulo de orientación, el comportamiento descrito en el anterior párrafo se evidencia en las geometrías que el autor presenta, donde muestra que a mayor λ y Ca, las gotas tienden a alinearse más con respecto a la horizontal. Los valores propuestos por Kennedy [1] en términos de orientación también concuerdan con los resultados de la figura 3.3. De nuevo existen pequeñas discrepancias que pueden ser atribuidas a la implementación del método.

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3.1.3 Capilares Críticos e Inestabilidad Rallison [6] demostró que existe un capilar crítico por encima del cual la gota no logra un estado estable y por ende se deforma indefinidamente. Esta deformación indefinida puede ser tomada como una ruptura o división de la gota. En este trabajo se logró hallar capilares críticos para los λ bajos obteniendo que para λ=1.0 el Cacr=0.42 y para λ=0.08 el Cacr=0.53.

Rallison [6] estimó que para λ =1.0 existe un Cacr de 0.41, lo cual concuerda con los resultados obtenidos en este trabajo y de esta manera se corrobora lo obtenido por González [3]. Kennedy estimó que al Cacr para un λ =1.0 es de 0.37, lo cual difiere de los resultados propuestos en este trabajo. Estas discrepancias fueron atribuidas por Kennedy a diferencias en la implementación del método de integrales de frontera para flujo de Stokes según González [3].

Para λ altos (3.6 y 6.4) no se lograron hallar capilares críticos ya que para Ca muy altos, el algoritmo se vuelve inestable. Esta inestabilidad se debe a que tanto la deformación como la inclinación de la gota experimentan un estado oscilatorio que no permite la convergencia de la respuesta. Esta respuesta oscilatoria se analizara más a fondo en la segunda parte de este capítulo.

3.1.4 Caso Especial λ=1.0 Como se advirtió en la sección 3.1.1, aunque a mayor λ menor deformación, existe un caso particular en el cual no se cumple la anterior relación ya que cuando λ=1.0, su deformación en términos del parámetro DF es mayor que la deformación de λ=0.08.

Aunque Kennedy [1,2] nunca reporta esta irregularidad, se puede evidenciar en sus resultados la existencia de este fenómeno. Por otro lado González [3] no realiza un estudio de λ=0.08, lo que no permite corroborar los resultados. A continuación se muestra un acercamiento a este fenómeno desde las perspectivas física y matemática.

Físicamente cuando la viscosidad de la gota es menor a la de la fase continúa, la deformación de la gota afrontará cierta resistencia debida a la viscosidad del entorno, mientras que si la viscosidad de la gota es igual o mayor a la del entorno esta se podrá deformar libremente sin que el entorno le oponga resistencia. Es por esto que en el caso de λ=1.0, la resistencia que ofrece el entorno es menor a la ofrecida cuando λ=0.08, y por ende la deformación será mayor para λ=1.0 que para λ=0.08.

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Matemáticamente lo anterior se ve reflejado en el término que acompaña la primera integral de la formulación de integrales de frontera para flujo se Stokes. El termino se define como =( λ -1)/( λ +1). Para λ<1.0, el valor de es negativo, mientras que para λ=1.0 dicho valor es nulo. Según la formulación de integrales de frontera para flujo de Stokes (ecuación 2.5), la velocidad en cualquier punto sobre la superficie de la gota depende en forma directa de . Al ser negativo (λ<1.0), la velocidad sobre la superficie y por ende la deformación de la superficie es menor que si fuera nulo (λ=1.0). Es por esto que la deformación de la gota a cualquier valor de Ca, es mayor para λ=1.0 que para λ=0.08.

3.2 Gota en Estado Transitorio Como se definió en la primera parte de este capítulo, el periodo en el cual una gota inmersa en flujo cortante experimenta deformación se denomina estado transitorio. Durante las simulaciones se asumió estado transitorio siempre que la velocidad normal a la superficie de la partícula permaneciera por encima de (< ).

En esta sección se analizará el comportamiento de las gotas inmersas en flujo cortante desde el estado transitorio, el cual se puede dividir en dos tipos de comportamiento: Respuesta estable para λ bajos (0.08 y 1.0) donde la deformación se aproxima al estado estable de forma asintótica; Respuesta oscilatoria para λ altos (3.6 y 6.4) donde la deformación oscila varias veces antes de llegar al estado estable.

3.2.1 Respuesta Estable Para λ bajos (0.08 y 1.0) la respuesta transitoria en términos de la deformación y del ángulo de orientación se asemeja bastante a la de un sistema sobre-amortiguado en el cual la respuesta se acerca al estado estable de manera asintótica. Este comportamiento se puede observar en la figura 3.4.

Los resultados propuestos en la figura 3.4 concuerdan con lo reportado por Kennedy [1] atribuyendo este comportamiento sobre-amortiguado a gotas cuya composición es de λ<4.0. Este comportamiento se observó para λ bajos siempre y cuando Ca<Cacr. Una vez que se sobrepasaba el Cacr la respuesta en cuanto a deformación aumentaba indefinidamente sin llegar a algún estado estable.

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Figura 3.4: Comportamiento de una gota en estado transitorio: λ=1.0 Ca=0.36.

(a)Deformación (DF) (b) Orientación (45°- α)

3.2.2 Respuesta Oscilatoria Para λ altos (3.6 y 6.4) la respuesta transitoria en términos de la deformación y el ángulo de orientación se asemeja bastante a la de un sistema sub-amortiguado en el cual la respuesta oscila alrededor del equilibrio. Dicho comportamiento se puede evidenciar en la figura 3.5 tanto para DF como para 45°- α.

Figura 3.5: Comportamiento de una gota en estado transitorio: λ=6.40 Ca=1.10

(a)Deformación (DF) (b) Orientación (45°- α)

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Según lo propuesto por Kennedy [1], los resultados obtenidos en la figura 3.5 concuerdan con sus resultados pero solo para λ=6.4. Kennedy propone que el comportamiento oscilatorio solo está presente en gotas con una composición λ>4, por lo que λ=3.6 estará dentro del comportamiento sobre-amortiguado. Según los resultados obtenidos durante la simulación, λ=3.6 tiene un comportamiento sub-amortiguado y no sobre-amortiguado como propone Kennedy [1]. Esta discrepancia de nuevo se puede atribuir a diferencias en la implementación del método de integrales de frontera para flujo de Stokes.

3.3 Resumen En este capítulo se ha analizado el comportamiento de una gota bajo flujo cortante tanto en estado estable como en estado transitorio. Se define estado transitorio como el lapso de tiempo en el cual la gota está experimentando deformación. Una vez que la deformación se detiene y la forma de la partícula queda fija, se llega al estado estable.

En estado estable, la deformación de una gota tiene dos tipos de comportamiento dependiendo de su viscosidad. Para λ bajos (0.08 y 1.0) dicho comportamiento se divide en tres fases: linealidad entre DF y Ca, aumento de la tasa dDF/dCa y deformación indefinida luego de sobrepasar el Cacr. Para λ altos (3.6 y 6.4) no se puede llegar a un Cacr debido a la inestabilidad del método, por lo que las tres fases de deformación en este caso serán: linealidad entre DF y Ca, disminución de la tasa dDF/dCa y estabilización asintótica de la deformación. El comportamiento del ángulo de orientación es similar al comportamiento de DF. Finalmente se analizó el caso de λ =1.0 donde la deformación es mayor que cualquier otro λ. Esto se debe a que la velocidad según la formulación de integrales de frontera para flujo de Stokes depende del termino =( λ -1)/( λ +1) el cual es cero para λ =1.0.

El estado transitorio también se caracteriza por dos tipos de comportamiento. Para λ bajos (0.08 y 1.0) el comportamiento de DF y α se asemeja al de un sistema sobre-amortiguado en el cual, la respuesta del sistema se acerca asintóticamente al estado estable. En cuanto a λ altos (3.6 y 6.4) el comportamiento de DF y α se asemeja al de un sistema sub-amortiguado en el cual la respuesta oscila varias veces antes de llegar al estado estable.

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Capítulo 4

Vesícula Bajo Flujo Cortante

En este capítulo se estudiará el comportamiento de una vesícula inmersa en flujo cortante. Para esto se

han simulado vesículas con las mismas relaciones de viscosidad λ propuestas en el capítulo anterior para gotas. El comportamiento de las vesículas también estará en términos de los parámetros de deformación DF y α definidos en el capítulo 2. Debido a la presencia de una membrana de bicapa lipídica, los capilares simulados para presenciar deformación, son mayores a los empleados en el capitulo anterior. Dicha deformación también estará sujeta al parámetro de exceso de área Δ, el cual representa un exceso de área en la membrana permitiendo que esta se deforme. En la primera parte de este capítulo se aclarará la diferencia que existe entre el exceso de área propuesto por Danker [4] y el exceso de área implementado en el algoritmo desarrollado. En la segunda parte de este capítulo se muestra una validación del algoritmo, la cual permitirá corroborar los resultados arrojados por la simulación. Por último, en la tercera parte se mostrará el comportamiento de una vesícula en estado estable

4.1 Modelo de la Membrana Danker [4] en su trabajo asume que para una vesícula, la membrana de bicapa lipídica es totalmente incompresible, inhabilitando su posibilidad de deformarse. Para esto, Danker [4] impone un parámetro de exceso de área Δ, el cual es un excedente en el área total de la membrana. Al existir dicho exceso, la vesícula puede experimentar deformación, ocupando el excedente de área presente. Cuando Δ es nulo, la

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deformación de la vesícula será cero. Al fijar cualquier valor de Δ, la deformación (DF) se mantendrá independiente de λ y de Ca según el modelo analítico propuesto por Danker (ecuación 4.1) Con el fin de poder observar el comportamiento de una vesícula inmersa bajo varios capilares, el algoritmo implementado en este trabajo asume que la membrana no es totalmente incompresible, y que esta posee cierta elasticidad. Dicha elasticidad se debe a las fluctuaciones térmicas sub-ópticas presentes en la membrana de bicapa lipídica, permitiendo así que la vesícula se deforme ligeramente. La diferencia entre el área inicial (cuando Ca=0) y el área final (cuando Ca>0) generada por la deformación elástica, se asume como equivalente al parámetro Δ propuesto por Danker [4]. Esta suposición permite que el exceso de área generado por la deformación varié con el cambio de Ca.

4.2 Validación del Algoritmo Para la validación del algoritmo de flujo de Stokes para vesículas, se simuló el comportamiento de una

vesícula con composición de λ =3.6. Los resultados arrojados por la simulación en términos de los parámetros DF y α fueron comparados con los resultados arrojados por los modelos analíticos propuestos por Danker [4]. La formulación analítica propuesta por Danker es como sigue:

(4.1)

(4.2)

Donde h=60(2π/15)1/2/(32+23 λ). Como se puede observar en los modelos analíticos [4.1] y [4.2], el número capilar no afecta directamente ni la deformación ni la orientación de la vesícula. La participación del capilar en estos modelos analíticos es indirecta y por medio del exceso de área Δ, el cual aumenta conforme aumenta la tasa de corte. Los resultados, tanto de la simulación como de los modelos analíticos en función del número capilar se muestran en la figura 4.1.

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Figura 4.1: Comportamiento de una vesícula mediante simulación y modelo analítico: DF y α

como función de Ca para λ=3.6 (a) DF (b) 45- α

Como se puede observar en la figura 4.1 los resultados de la simulación corresponden bastante bien a los resultados obtenidos mediante los modelos analíticos de Danker [4] (ecuaciones 4.1 y 4.2). El error relativo promedio es de 0.58% para la deformación y de 3.16% para el ángulo de inclinación.

4.3 Vesícula en Estado Estable Al igual que una gota, cuando una vesícula se encuentra inmersa en un flujo cortante, esta experimenta cierta deformación. Cuando el cambio de deformación es despreciable, se asume que la vesícula entra en lo que se denomina estado estable. En este capítulo se analizará el comportamiento de una vesícula en estado estable a partir de las mismas composiciones implementadas en el capítulo 3.

En esta sección se prestará especial atención a la deformación de la vesícula la cual resulta ser independiente de la composición λ debido a la presencia de una bicapa lipídica. Se llegará a que la deformación solo depende del exceso de área de la membrana Δ, el cual depende a su vez del número capilar. En la segunda parte de esta sección se analizará la orientación de la vesícula prediciendo como dicha orientación afectará la viscosidad de la suspensión como tal.

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4.3.1 Deformación como Función de Ca En una vesícula las fuerzas viscosas dentro de esta son despreciables en comparación con la rigidez de la membrana. Es por lo anterior que la deformación estará dada según el comportamiento de la membrana y se mantendrá independiente de λ. A continuación se muestra la deformación de la vesícula en función del Ca.

Figura 4.2: Deformación de la vesícula en estado estable: DF como función de Ca para

diferentes λ.

Como se puede observar en la figura 4.2 la deformación DF de la vesícula se mantiene independiente de la composición de la misma λ, lo cual concuerda con lo propuesto por Danker [4] en el modelo analítico de la ecuación [4.1]. Según el algoritmo desarrollado, el exceso de área depende de la intensidad del flujo cortante, obteniendo para cada valor de Ca una deformación distinta.

En vesículas también se puede evidenciar la presencia de tres fases de deformación. Estas fases de deformación son las mismas para todos los valores de λ y a su vez son las mismas fases que Kennedy [1] propuso para λ altos en gotas (λ >4). En resumen las tres fases son: linealidad entre Ca y DF; disminución de dDF/dCa; estabilización de DF asintóticamente. Las fases para λ bajos en gotas (λ <4) no se pueden observar en vesículas, ya que la membrana de bicapa lipídica no permite que las vesículas se deformen indefinidamente.

Finalmente se puede concluir que la deformación de vesículas es igual para todos los λ. Al igual que en gotas, la deformación aumenta conforme el Ca lo hace. Por último, las fases de deformación que

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experimenta una vesícula se asemejan bastante a las fases descritas para gotas con λ altos, según lo obtenido en la sección 3.1.1.

4.3.2 Orientación como Función de Ca A diferencia de la deformación, el ángulo de orientación si depende de λ. Esto se puede evidenciar tanto en el modelo analítico propuesto por Danker [4] (ecuación [4.2]) como en los resultados obtenidos de la figura 4.3, ya que los resultados muestran una curva de orientación diferente para cada valor de λ. Al igual que la deformación descrita en la sección anterior, el comportamiento del ángulo de orientación como 45°- α, exhibe las tres fases descritas por Kennedy [1] para λ altos. La rigidez de la membrana de bicapa lipídica no permite que la vesícula se deforme indefinidamente, por lo que al igual que DF, las tres fases para λ bajos no se presentan en este caso.

La figura 4.3 permite evidenciar el alineamiento de la vesícula con respecto al flujo. Es decir, entre mayor es el valor de la curva, mas alineada estará la vesícula. A continuación se muestra el comportamiento de una vesícula en términos de orientación.

Figura 4.3: Orientación de la vesícula en estado estable: 45°- α como función de Ca para

diferentes λ.

La figura 4.3 confirma lo propuesto por Danker [4]. Entre mayor es el valor de λ, menor será el ángulo de inclinación α y mas alineada se encontrará la vesícula con respecto al flujo. Lo anterior también se puede evidenciar en el comportamiento de una gota, figura 3.3.

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Basándose en los resultados de la figura 4.3, se puede llegar a predecir en cierto modo el comportamiento reológico de una suspensión de vesículas. Para una deformación igual e independiente de λ, la viscosidad aportada a la suspensión por parte de una vesícula, dependerá principalmente de la orientación de la vesícula. Los resultados en términos de reología serán presentados de manera más precisa en el capítulo 5.

4.4 Resumen En este capítulo se analizó el comportamiento en estado estable de una vesícula inmersa en flujo cortante. Danker [4] asume que la membrana de bicapa lipídica de la vesícula es totalmente incompresible., por lo que la deformación estará en términos del exceso de área Δ que se le impone a la partícula. Por otro lado, en este trabajo se asume que la membrana posee cierta elasticidad permitiéndole a la partícula experimentar deformación. El área generada a partir de dicha deformación será equivalente al parámetro de exceso de área Δ propuesto por Danker. En la segunda parte del capítulo se presentó una validación del algoritmo mediante el uso de los modelos analíticos propuestos por Danker [4]. En dicha validación los resultados obtenidos en términos de DF y α, fueron comparados con los resultados arrojados por los modelos analíticos propuesto por Danker. Los errores relativos promedio para DF y α estuvieron alrededor de 0.58% y 3.16% respectivamente, evidenciado la validez del algoritmo. Finalmente en la última parte de este capítulo, se presentó un análisis del comportamiento de la vesícula en estado estable. La deformación se mantiene totalmente independiente de la viscosidad λ, mientras que el ángulo de orientación es mayor conforme λ aumenta. Lo anterior muestra que entre mayor es la viscosidad de la vesícula, mas alineada estará la partícula con respecto a la dirección del flujo.

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Capítulo 5

Reología de una Suspensión de Vesículas en Comparación con una Emulsión de Gotas

En este capítulo se discutirá como el comportamiento de las partículas en suspensión afectan el comportamiento reológico de las suspensiones. En otras palabras se observará como las deformaciones de gotas y vesículas afectan el comportamiento de las suspensiones que las contienen. En especial se quiere observar como se ve afectada la viscosidad aparente de las suspensiones. En la literatura se puede encontrar que las partículas en suspensión son las que dan origen al comportamiento pseudoplástico de la suspensión, y esto es que la viscosidad aparente disminuye conforme aumenta la tasa de corte del flujo. El objetivo final de este capítulo es comparar la reología de emulsiones de gotas con suspensiones de vesículas. Para esto se ha dividido el capitulo en tres partes: la primera parte es un análisis de la reología de una gota y de cómo esta afecta a la emulsión; la segunda parte también es una análisis reológico pero esta vez, para vesículas; finalmente la tercera parte realiza una comparación en términos de viscosidad y esfuerzos entre emulsiones y suspensiones de vesículas.

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5.1 Reología de una Gota En esta sección se analizará el aporte que las deformaciones de una gota en estado estable (descritas en el capítulo 3), tienen sobre el tensor efectivo de esfuerzos de la emulsión. Se podrá observar que el comportamiento pseudoplástico que experimenta la emulsión es originado por la presencia y especialmente por la deformación de las gotas en suspensión. Además de esto, tanto la presión efectiva de la emulsión como los esfuerzos normales también se verán afectados.

5.1.1 Resultados Generales La contribución de una gota al tensor de esfuerzos efectivo se puede resumir en la figura 5.1.

Figura 5.1: Contribución de una gota al tensor de esfuerzos efectivo: (a) λ=0.08 (b)

λ=1.0 (c) λ=3.6 (d) λ=6.4.

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Las componentes del tensor de esfuerzos efectivo son: la componente isotrópica la cual corresponde al aporte de la gota a la presión efectiva de la emulsión (τij/3)-2; las diferencias entre esfuerzos normales τ11- τ22 y τ22- τ33; y por último el esfuerzo cortante τ12. El aporte de la gota a la viscosidad aparente de la emulsión µ*= τ12/Ca se puede observar en la figura 5.2. Como se puede observar en la figura 5.2, el aporte de la gota a la viscosidad aparente de la emulsión disminuye conforme aumenta la tasa de corte. Al ser el aporte de las gotas menor, la viscosidad aparente de la emulsión disminuirá exhibiendo lo que se denomina comportamiento de fluido pseudoplástico. Junto con lo anterior se lograron observar tres comportamientos que exhiben comportamiento no-newtoniano: Shear thinning, diferencias entre los esfuerzos normales, y aumento en la presión efectiva.

Figura 5.2: Aporte de la gota a la viscosidad aparente de la emulsión µ*= τ12/Ca como

función de Ca

5.1.2 Adelgazamiento por Corte Según lo propuesto por Kennedy [1], Shear Thinning o adelgazamiento por corte es la diminución del aporte a la viscosidad aparente de la emulsión por parte de la gota. La teoría de Kennedy concuerda con lo obtenido en la figura 5.2, donde se muestra el comportamiento pseudoplástico aportado por las gotas. Como se puede observar, dicho comportamiento es consecuencia directa de la deformación, ya que µ* se estabiliza una vez que el cambio en la deformación desaparece. Además de esto, el ángulo de orientación también juega un rol importante, ya que para mayor Ca, mejor es el alineamiento de la gota con respecto

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al flujo (Fig. 3.3) lo que da como resultado una diminución en la oposición al flujo o en otras palabras una disminución en la viscosidad aportada por la gota.

5.1.3 Esfuerzos Normales Otro factor que exhibe comportamiento no-Newtoniano según Kennedy [1,2] es la existencia de diferencias entre los esfuerzos normales aportados a la emulsión. Dichas diferencias explicitas en la figura 5.1, significan que el aporte de esfuerzos normales no es igual en todas las direcciones. En la literatura se puede encontrar una demostración en la cual, los esfuerzos normales son idénticos en todas las direcciones del fluido siempre y cuando dicho fluido sea Newtoniano.

5.1.4 Presión Efectiva Finalmente, el último factor que exhibe comportamiento no-Newtoniano es el aumento en el esfuerzo isotrópico, el cual corresponde a la presión efectiva de la emulsión.

El esfuerzo isotrópico es un esfuerzo normal que es igual en todas las direcciones y por ende se considera como una presión efectiva. El aporte de la gota a dicha presión efectiva, aumenta junto con la tasa de corte, lo cual sugiere que el comportamiento de la emulsión es no-Newtoniano. Según Kennedy, un acercamiento Newtoniano del problema no considera el efecto de las gotas sobre la presión de la emulsión, siendo dicha presión idéntica, tanto en presencia como en ausencia de las gotas.

Lo anterior no se evidencia en la figura 5.1, donde la presencia de las gotas a mayor tasa de corte, representa un aumento en el aporte y por ende en la presión efectiva de la emulsión.

5.2 Reología de una Vesícula En la primera parte de esta sección y al igual que en la sección 5.1 se analizará el efecto que el comportamiento de una vesícula en estado estable, tiene sobre el tensor de esfuerzos efectivo de la suspensión que la contiene. En esta primera parte también se analizará el aporte de la vesícula a la viscosidad efectiva de la emulsión.

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Aunque el comportamiento de las vesículas bajo flujo cortante que se observó en el capítulo 4, concuerda bastante bien con los modelos analíticos propuestos por Danker [4], los resultados en términos de viscosidad difieren de los obtenidos en dicho trabajo. En la segunda parte de esta sección se muestra un estudio en términos de Vorticidad con el cual se espera dar explicación a las discrepancias con Danker.

Finalmente en la tercera parte de esta sección se realiza un estudio para el caso especial de λ =6.4, donde la suspensión de vesículas pasa de un comportamiento pseudoplástico a un comportamiento dilatante.

5.2.1 Resultados Generales La contribución de una vesícula al tensor de esfuerzos efectivo se puede resumir en la figura 5.3. En dicha figura los esfuerzos son los mismos descritos en la sección 5.1.1.

Figura 5.3: Contribución de una vesícula al tensor de esfuerzos efectivo: (a) λ=0.08 (b)

λ=1.0 (c) λ=3.6 (d) λ=6.4.

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Al igual que una gota, existen tres clases de factores que exhiben comportamiento no-Newtoniano en una suspensión de vesículas. Estos son: Shear thinning (Fig. 5.4), diferencias en los esfuerzos normales (Fig. 5.3), y aporte a la presión efectiva de la suspensión por parte de la partícula (vesícula) (Fig. 5.3). Este última tiene una participación mínima en relación con los demás esfuerzos.

Ahora, según los resultados del capítulo 4 y de acuerdo a lo propuesto por Danker [4], se espera que entre mayor valor de λ, menor sea el aporte a la viscosidad de la suspensión. Para una deformación independiente de λ y un mayor alineamiento de la vesícula con respecto al flujo, la oposición de la vesícula debe ser menor. Es decir, la viscosidad aportada debe disminuir conforme aumenta λ, ya que el alineamiento de la vesícula con respecto al flujo, es mejor conforme aumenta λ.

Lo anterior puede ser refutado ya que para λ altos, la viscosidad de la vesícula será mayor, lo que automáticamente aumentará la viscosidad aparente de la suspensión. Esto se puede observar en la figura 5.4, donde la viscosidad aportada por la vesícula aumenta con λ.

Figura 5.4: Aporte de la vesícula a la viscosidad aparente de la emulsión µ*= τ12/Ca como

función de Ca En general, se puede evidenciar el comportamiento pseudoplástico que se observó en gotas. En

este caso se evidencia un λ en particular, en el cual la viscosidad aumenta con Ca, dando origen a lo que se denomina fluido dilatante. En la sección 5.2.3 se analizará dicho caso especial.

Como se observa en la figura 5.4, la viscosidad aportada por la vesícula está más afectada por la viscosidad intrínseca de la vesícula, que el comportamiento en términos de deformación y orientación. Por ejemplo, para (λ<1), la viscosidad aportada es negativa, ya que en sí, la viscosidad de la vesícula es menor que la del entorno.

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No obstante, la deformación y el ángulo de orientación (Fig. 4.3) son los que le dan origen al comportamiento pseudoplástico de las vesículas. En este caso y para todo λ al igual que en gotas, un mayor Ca representa una mayor alineación con el flujo, lo que da como consecuencia menor oposición al flujo y por ende un menor aporte a la viscosidad de la suspensión. Las diferencias entre los resultados de la figura 5.4 y lo propuesto por Danker [4], se pueden atribuir a la generación de vorticidad dentro de la vesícula, lo cual posiblemente no fue considerado dentro de los modelos analíticos del autor. Dicha generación de vorticidad al interior de la vesícula, es en otras palabras, la generación de altos flujos cortantes, lo que puede conllevar a mayores aportes de viscosidad. Lo anterior se analizará con más profundidad en la siguiente sección.

5.2.2 Vorticidad Danker [4] en su trabajo establece que el aporte de una vesícula a la viscosidad de la suspensión disminuye conforme aumenta λ, lo cual difiere de lo obtenido en la figura 5.3, donde se observa que µ* aumenta con λ. El aumento de µ* conforme aumenta λ se puede deber a la generación de vorticidad al interior de la vesícula, lo cual posiblemente no es tomado en cuenta por Danker en sus modelos. Para poder observar el aumento en la generación de vórtices al interior de la vesícula conforme aumenta λ, se ha implementado un algoritmo en MATLAB que permite observar la vorticidad y los esfuerzos cortantes definidos respectivamente como sigue:

(5.1)

(5.2)

En la figura 5.5 se puede observar que para un Ca particular, la generación de vórtices al interior de la vesícula aumenta conforme aumenta el valor de λ. Este aumento en la generación de vórtices genera mayores esfuerzos cortantes en la vesícula (Fig. 5.6) lo que da como resultado, un mayor aporte a la viscosidad de la suspensión µ*= τ12/Ca. Lo anterior logra corroborar los resultados de la figura 5.4.

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Figura 5.5: Campo de Vorticidad para Ca=2.0: (a) λ=1.0 (b) λ=3.6 (c) λ=6.4

Figura 5.6: Campo de Esfuerzos Cortantes para Ca=2.0: (a) λ=1.0 (b) λ=3.6 (c) λ=6.4

5.2.3 Caso Especial λ=6.4 En esta última parte de la sección 5.2 se analizará el caso especial de una vesícula cuya composición es de λ=6.4. Según los resultados de la figura 5.4, el aporte de la vesícula a la viscosidad de la suspensión aumenta con el Ca. El comportamiento de la suspensión pasará de ser pseudoplástico a ser dilatante. El aumento de µ*= τ12/Ca, se debe obviamente a un aumento en los esfuerzos cortantes, los cuales son consecuencia de la generación de vórtices al interior de la vesícula como se trató en el numeral 5.2.2. En la figura 5.8 se muestra un aumento en los esfuerzos cortantes de la vesícula conforme aumenta el número capilar Ca para una viscosidad fija de λ =6.4. Esto se debe al aumento en la generación de vórtices que se evidencia al interior de la vesícula en la figura 5.7. Como se puede observar, la disminución del aporte a la viscosidad que se observa en otros λ (Shear Thinning), no es significativa con respecto al aumento de µ* generado por la vorticidad al interior de la vesícula. En otras palabras, los efectos del ángulo de orientación y de la deformación, solo son significativos para bajos Ca, donde se observa Shear Thinning. Para Ca más altos, el efecto que

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predomina el aporte a la viscosidad, es la generación de esfuerzos cortantes al interior de la vesícula, despreciando los efectos de DF y α.

Figura 5.7: Campo de Vorticidad para λ=6.4: (a) Ca=0.5 (b) Ca=2.0 (c) Ca=6.0

Figura 5.8: Campo de Esfuerzos Cortantes para λ=6.4: (a) Ca=0.5 (b) Ca=2.0 (c) Ca=6.0

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5.3 Análisis Comparativo Basándose en los resultados de las secciones 5.1 y 5.2, se enunciarán las diferencias más importantes entre vesículas y gotas, en términos de reología.

- Tanto para una emulsión de gotas, como para una suspensión de vesículas, el aporte de una partícula a la viscosidad aparente de la suspensión aumenta conforme aumenta λ.

- Excepto para vesículas con λ>6.4, el aporte de una gota o vesícula a la viscosidad aparente disminuye conforme aumenta Ca, dando origen al comportamiento pseudoplástico de la suspensión.

- En gotas la deformación varia para cada valor de λ, mientras que para vesícula la deformación es independiente de λ debido a la presencia de la membrana.

- Tanto para gotas como para vesículas, la deformación aumenta con Ca, describiendo tres fases de deformación. Las fases de deformación descritas para vesículas son idénticas a las propuestas para gotas cuyos λ>3.6.

- En ambos tipos de partículas, el alineamiento de la partícula con respecto al flujo es mayor, conforme aumenta Ca y λ.

- En gotas el comportamiento no-Newtoniano es exhibido por tres factores: Shear Thinning, diferencias entre los esfuerzos normales y aumento en el aporte a la presión efectiva de la emulsión.

- En vesículas se puede observar Shear Thinning y diferencias entre los esfuerzos normales, mientras que el aporte a la presión efectiva de la emulsión es despreciable.

- Al igual que lo observado por Danker [4], los esfuerzos normales en vesículas tienden a aumentar de forma cuadrática, mientras que para gotas los esfuerzos aumentan de forma lineal.

- El comportamiento del aporte al tensor de esfuerzos de la suspensión para una vesícula de λ=1.0 se asemeja bastante al comportamiento exhibido por gotas.

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5.4 Resumen En este capítulo se ha analizado la reología de una suspensión de vesículas en comparación con una emulsión de gotas. En una emulsión la deformación de las gotas da origen al comportamiento pseudoplástico en el cual el aporte de una gota a la viscosidad efectiva de la emulsión disminuye como función de la tasa de corte. Además de esto, diferencias entre los esfuerzos normales y el aporte a la presión efectiva por parte de las partículas, también son factores que exhiben comportamiento No-Newtoniano. En cuanto a vesículas, el comportamiento No-newtoniano también es exhibido por la pseudoplasticidad y las diferencias entre esfuerzos normales, pero la presión efectiva de la emulsión jamás se ve afectada por las partículas. El único caso en el cual las vesículas afectan la presión efectiva de la suspensión, es cuando λ =1.0 donde además de esto, los esfuerzos se comportan de forma similar a los experimentados por una gota.

Según lo propuesto por Danker [4] el aporte a la viscosidad de la suspensión por parte de una vesícula disminuye como función de λ, lo cual no concuerda con los resultados de este trabajo. Se desarrolló un análisis en términos de la generación de vorticidad al interior de la vesícula, el cual confirma el aumento del aporte a la viscosidad como función de λ, debido a la alta generación de esfuerzos cortantes al interior de la vesícula. Este estudio también ayudó a entender el comportamiento dilatante de la suspensión para λ=6.4 y en el cual la viscosidad aportada por una vesícula aumenta como función de Ca.

En la última parte de este capítulo se realizó un análisis comparativo entre los resultados propuestos para un suspensión de vesículas y una emulsión de gotas. El comportamiento que generalmente este tipo de suspensiones presenta es de tipo pseudoplástico, el cual es consecuencia directa de la deformación de las partículas en suspensión. La relación entre el aporte al tensor de esfuerzos efectivo y el Ca es lineal en el caso de una suspensión de vesículas, mientras que dicha relación se asemeja a una relación cuadrática para el caso de gotas. Finalmente se reporta que el comportamiento reologico de una vesícula con λ=1.0 se asemeja bastante al comportamiento de una gota

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Capítulo 6

Conclusiones

Se desarrolló un análisis de la reología de emulsiones de gotas en comparación con suspensiones de vesículas a partir del comportamiento de sus partículas inmersas en flujo cortante. El algoritmo basado en el método de integrales de frontera para flujo de Stokes y el cual fue desarrollado por el Laboratorio de Fluidos Compuestos y de Múltiples Fases (FCMF) (González [3]), permitió la simulación numérica de los escenarios necesarios para el desarrollo de este análisis. Las simulaciones permitieron predecir el comportamiento de las deformaciones tanto de gotas como de vesículas, para diferentes valores de Ca y λ. Se pudo corroborar los resultados con la literatura encontrando que para una gota, la deformación aumenta con Ca y λ, mientras que para una vesícula, la deformación es independiente de λ, dependiendo únicamente de Ca. El comportamiento de la deformación permitió evidenciar la existencia de capilares críticos en los cuales las gotas experimentan deformación indefinida. Para vesículas, debido a la existencia de una membrana de bicapa lipídica, dicho comportamiento no es posible. Las simulaciones también permitieron observar el comportamiento del ángulo de orientación para gotas y vesículas. En ambos casos se pudo concluir que la partícula se alinea en mayor forma con el flujo, conforme aumenta Ca y λ. Estos resultados fueron corroborados con la literatura disponible la cual confirmaba la validez de estos. En términos de reología el algoritmo permitió observar la diferencia que existe entre el aporte al tensor de esfuerzos efectivo por parte de una gota y una vesícula. La relación que existe entre los esfuerzos aportados y Ca es de forma cuadrática para gotas, mientras que para vesículas, dicha relación se mantiene lineal. Esto concuerda con lo propuesto por Danker [4].

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El aporte a la viscosidad de la suspensión para ambos casos (gota y vesícula) aumenta conforme aumenta λ. Este mismo aporte disminuye conforme aumenta Ca, lo cual da origen al comportamiento pseudoplástico de la emulsión.

Se realizó un estudio especial para el caso de un gota con λ=1.0, donde la deformación no sigue el patrón definido por los demás λ. Se llegó a la conclusión que la deformación de una gota es máxima cuando λ=1.0. Además de este caso, también se analizó el caso de una vesícula con λ=6.4, donde el aporte a la viscosidad aparente de la emulsión, aumenta con el Ca, dando origen al comportamiento dilatante de la suspensión.

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