Relações entre os Plano-s e Plano-z

Relações entre os Plano-s e Plano-z

Prof. Juan Moises Mauricio Villanueva

[email protected]

www.cear.ufpb.br/juan

1

mailto:[email protected]

http://www.cear.ufpb.br/juan

Sistemas de segunda ordem subamortecidos

2

2

1( ) 1 cos 1

1

nt

nc t e t

=4


Tempo de pico, Tp

21p

n

T

2

2

( )sin 1

1

ntnn

c te t

t

( )0

c t

t

21n

nt

21d n Frequência de oscilaçãoAmortecida

2

2

1( ) 1 cos 1

1

nt

nc t e t


Sobrevalor percentual, %SP

2

max

/ 1

max

% 100

( ) 1

1

final

final

p

final

c cSP

c

c c T e

c

2/ 1

% 100SP e

2 2

ln % /100

ln % /100

SP

SP


2/ 1

% 100SP e

%SP


Tempo de assentamento ou de estabilização, Ts

É o tempo necessário para que o sistema se estabilize em uma faixa de 2% do valor final, cfinal.

2

2

1( ) 1 cos 1

1

nt

nc t e t

A amplitude máxima da função coseno tem que ser 0,02 e t=Ts

2ln 0,02 1

s

n

T

44s

n

T

= constante de tempo

0 0,9

Para

s=+j


2

2 2( )

2

n

n n

G ss s

Frequência de oscilaçãoAmortecida

Frequência exponencial amortecida

cos A maior ângulo,menor amortecimento.


1%SP

2%SP

2/ 1

% 100SP e

44s

n

T

21p

n

T

1 1

2 2

1 2 1 2

1 2

cos

cos

cos cosSe

12

9

clc; close all; clear

epsilon = 0.7;

wn = 5;

%Num = wn^2

%Den = s^2 + 2*epsilon*wn*s+wn^2

Num = [wn^2];

Den = [1 2*epsilon*wn wn^2];

sys = tf(Num,Den);

figure, step(sys,5), grid

Tsampling = 0.01;

%% Transformado o eixo imaginario do plano-s para o plano-z

w = (-350:0.1:350);

s=j*w;

z = exp(j*w*Tsampling);

rho = abs(z); %raio

tetha = angle(z);

figure, polarplot(tetha,rho)

%% Transformação da diretriz com SP = 4,5%

rho = 500:-0.1:0;

w = rho*tan(0.7954);

z = exp(-rho*Tsampling).*exp(j*w*Tsampling);

rho1 = abs(z); %raio

tetha1 = angle(z);

hold on

polarplot(tetha1,rho1)

hold off

10

Ts = 0.4s

11

-3.5

j3.5707

=cos(atan(3.5707/3.5))

SP = exp(-epsilon*pi/sqrt(1-epsilon^2))*100 = 4,59%

sT T j T

s j

z e e e

SP = 4,59%

12

0

1sT j T

s j

z e e

Raio=1

13

-3.5

j3.5707

=cos(atan(3.5707/3.5))=0,7

SP = exp(-epsilon*pi/sqrt(1-epsilon^2))*100 = 4,59%

sT T j T

s j

z e e e

SP = 4,59%

Tang()= w/rho

=0.7954 rad

14

sT T j T

s j

z e e e

Raio

Rho =

0

-

S=-500 S=0

=constante=0,7

=constante

SP = 4,59%

SP = 4,59%


Tempo de subida, Tr

21r

n

T

1 1tan tand d

n d


Tempo de subida, Tr 2

2

1( ) 1 cos 1

1

nt

nc t e t

n rT

1 2

2 1

2 1

( ) 0,1 ( ) 0,9

r

n r n

c t e c t

T t t

T t t

17

Resposta ao Degrau para Diferentes valores do

Coeficientes de Amortecimento

0

0.1

0.2

1.0

0.9

0.3

0.40.5

0.6

0.7 0.8

18

Resposta ao Degrau para Diferentes valores do

Coeficientes de Amortecimento

Tipo de Resposta Características

Sub amortecido 0<<1 Polos Complexos Conjugados.Apresenta oscilações

Criticamente Amortecido =1 Polos reais iguais. Sem oscilações

Sobre amortecido >1(Superamortecido)

Polos reais negativos. Resposta lenta sem oscilação.

19

Relações entre os Planos-S e Plano-Z

Os pontos do semiplano esquerdo do plano-S correspondem aos pontos internos do circulo unitário do plano-Z

Os pontos sobre o eixo imaginário do plano-S correspondem aos pontos sobre o circulo unitário

Os pontos do semiplano direito do plano-S correspondem aos pontos fora do circulo unitário

Tempo de assentamento ou de estabilização, Ts

4 44s

n

T

s j

j

Traio e

| z |

sT T j T

T

s j

z e e e

e

módulo

21

j

-3,5

x

x

Wn = 5Epsilon = 0,7Ts = 1,14 s

-4,2

Raio =0,96Ts = 1,14 s

Raio =0,95Ts = 0,95sWn=6

22

clc

close all

clear

%% Análise do Tempo de Assentamento

%Tsampling <0,04 =40ms

Tsampling = 10e-3;

epsilon = 0.7;

SP = exp(-epsilon*pi/sqrt(1-epsilon^2))*100

wn = 5;

Num = wn^2;


r = roots(Den)

rho = abs(real(r(1)))

Ts = 4/rho

raio = exp(-rho*Tsampling)

sys1= tf(Num,Den);

%----------------

epsilon = 0.7;

SP = exp(-epsilon*pi/sqrt(1-epsilon^2))*100

wn = 6;

Num = wn^2;


r = roots(Den)

rho = abs(real(r(1)))

Ts = 4/rho

raio = exp(-rho*Tsampling)

sys2= tf(Num,Den);

figure

step(sys1,3)

hold on

step(sys2,3)

hold off

grid

legend('w_n=5','w_n=6')

Lugar Geométrico de Frequência Constante

j

1 samplingângulo T2

sj

2

sj

Polos com Frequência constante

Linhas radiais com ângulo TsT T j T

s j

z e e e

2

0

-

24

DFT=Transformada Discreta de Fourier

|H|

2piWsfs

04pi

-2pi-ws-fs

piWs/2fs/2

-pi-ws/2-fs/2

Lugar Geométrico com constante

j

Linha com constante

cos

Im LGR com constante

No plano-Z teremos o LGR do tipo espiral Quando seja 90°, o é zero e o LGR será equivalente ao circulo unitário

sT T j T

s j

z e e e


j

Linha com constante

cos

sT T j T

s j

z e e e

j

Linha com constante

cos


44s

n

T

21p

dn

T

2/ 1

% 100SP e

cos

â𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 = 𝜔𝑑𝑇

Analisar a correspondência das variáveis complexas entre os plano-S e plano-Z

28

2

( ) 25( )

( ) 6 25

C s KT s

R s s s K

25( )

( 6)pG s

s s

Esboçar o LGR em malha aberta MA Determinar um valor do ganho K Usar a equação característica para determinar os polos em

malha fechada MF


29

%% Em malha aberta MA

NumMA = 25;

DenMA = [1 6 0];

sysMA = tf(NumMA,DenMA);

figure

rlocus(sysMA)

25: ( )

( 6)pMA KG s K

s s

Lugar Geométrico das Raízes


• Para =0,6 e Ts=1,33 s (Tempo de assentamento).

30

25: ( )

( 6)pMA KG s K

s s

Lugar Geométrico das Raízes

1cos (0,6) 53

=0,6

dj

tan 533

4 rad/s

5 rad/s

d

d

n

4 41,33

3

s

n

T s

s=-+jS=-3+j4



31

Lugar Geométrico das Raízes =0,6

dj

Condição de Módulo para Determinar K

| ( ) | 1

1 | || 6 |

| ( ) | 25

pKG s

s sK

G s

Para s = -3+4j

1 | 3 4 || 3 4 |1

| ( ) | 25

j jK

G s

1K s=-+jS=-3+j4



32

2

( ) 25( )

( ) 6 25

C s KT s

R s s s K

2

1 ( ) 0

6 25 0

pKG s

s s K

Equação característica em MF

K Polo 1 Polo 2

1 -3+4j -3-4j

10 -3+15,52j -3-15,52j

33

1 2

25( )

6 25KT s

s s

10 2

250( )

6 250KT s

s s

2

11 2 2 2

1 1 1

1

1

1 1

2

1 1 1

25( )

6 25 2

5 /

0,6

cos 53°

1 4 /

n

n n

n

d n

T ss s s s

rad s

rad s

2

1010 2 2 2

10 10 10

10

10 _10 10

10 10

2

10 10 10

250( )

6 250 2

250 15,81 /

2 6 0,189

cos 79.1°

1 15,52 /

n

n n

n

n

d n

T ss s s s

rad s

rad s

K=10K=1

34

K Polo 1 Polo 2

1 -3+4j -3-4j

10 -3+15,52j -3-15,52j

35

x x

K=0

T=0,11

2

0

6

s

s

sTz e

1

2

1

0,54

z

z

K=0

25: ( )

( 6)pMA KG s K

s s

36

K=0,36

T=0,11

2

3

3

s

s

sTz e

1

2

0,7408

0,7408

z

z

K=0,36

x x

37

K=1

T=0,11

2

3 4

3 4

s j

s j

sTz e

1

2

0,6823 0,2885

0,6823 0,2885

z j

z j

K=1

x x

38

K=10

T=0,11

2

3 15,52

3 15,52

s j

s j

sTz e

1

2

0,0136 0,7407

0,0136 0,7407

z j

z j

K=10

x x

39

%% Circulo Unitario

r = 1; x0 = 0; y0 = 0;

th = 0:pi/50:2*pi;

xunit = r * cos(th) + x0;

yunit = r * sin(th) + y0;

%% Mapeamento S-> Z

Tsampling = 0.1;

K = 0:0.01:10;

x = [];

y = [];

for i=1:length(K)

DenMF = [1 6 25*K(i)];

S = roots(DenMF);

Z = exp(S*Tsampling);

x = [x real(Z)'];

y = [y imag(Z)'];

end

figure

plot(x,y,'.')

hold on

plot(xunit, yunit);

hold off, grid

xlabel('Real')

ylabel('Imaginario')

axis([-1.5 1.5 -1.2 1.2])

K=10

x x

sTz e

2

1 ( ) 0

6 25 0

pKG s

s s K


j

Linha com constante

cos


No plano-Z teremos o LGR do tipo espiral Quando seja 90°, o é zero e o LGR será equivalente ao circulo unitário

sT T j T

s j

z e e e


sT T j T

s j

z e e e


sT T j T

s j

z e e e

Para 0<d<0.5s

43

=0,6

53

dj

1K


sT T j T

s j

z e e e

=0,6

44

=0,6

53

dj

1K %Circulo Unitario

r = 1; x0 = 0; y0 = 0;

th = 0:pi/50:2*pi;

xunit = r * cos(th) + x0;

yunit = r * sin(th) + y0;

%Figura no plano-z

T = 0.1;

rho = 0:0.01:60;

wd = (4/3)*rho;

z=exp(-rho*T).*exp(j*wd*T);

x = real(z);

y = imag(z);

figure

plot(x,y)

hold on

plot(xunit, yunit);

hold off

grid

xlabel('Real')

ylabel('Imaginario')

axis([-1.5 1.5 -1.2 1.2])

sT T j T

s j

z e e e

=0,6

45

• No plano-s, linhas com constantes são normais a linhas com n constantes.

• No plano-z, esta propriedade se mantem.

Comando MATLAB: zgrid

Métodos de Discretização(Aproximações)

46

47

1zs

T

1z sT

Forward differences (Euler)

Backward differences1z

szT

1

1z

sT

2 1

1

zs

T z

12

12

sT

zsT

Aproximação trapezoidal (Tustin-Bilinear)

lnsT zz e s

T

Transformação Exata

APROXIMAÇÕES s z z s

Aproximação de uma Derivada

48

0

( ) ( )limT

dy y t T y t

dt T

( ) ( )dy y t T y t

dt T

Diferenciação Forward

( ) ( )dy y t y t T

dt T

Diferenciação Backward

1. Método Forward Difference (Euler)

49

( ) ( )dy y t T y t

dt T

Diferenciação Forward

T = Tempo de amostragem


• A derivada é aproximada por:

• Aplicando a transformada de Laplace

50

( ) ( ) ( ) ( )dy y t T y t y kT T y kT

dt T T

( ) ( ) 1( ) ( )

sTe Y s Y s zsY s Y s

T T

1zs

T

1z sT


51

1zs

T

1z sT

O semi-plano esquerdo do plano-s é mapeado para a região que inclui o círculo unitário no plano-z

Nesta aproximação é possível que um sistema contínuo estável seja transformado em um sistema discreto instável (polos em z fora do círculo unitário)

Exemplo 1 (Forward)

• Realizar a transformação forward-difference

52

1( )

2C s

s

1zs

T

1(z)

1 1 22

TC

z z T

T

Polo s=-2

Sistema EstávelPlano esquerdo

Polo z=1-2TSe T>1 o polo ficará fora do círculo unitário2T>2-2T<-21-2T<-1

Sistema Instável

Exemplo 2 (Forward)

53

( )y t1

s

( )u t1z

sT

( ) 1

( )

Y s

U s s

( )y k

1

T

z

( )u k

(z)

(z) 1

Y T

U z

Integrador Continuo Integrador Discreto

Exemplo 2 (Forward)

• Para o Integrador

54

( ) ( )

t T

t

y t u t dt

( )

( ) ( )( )

( 1) ( )( )

( 1) ( ) ( )

dyu t

dt

y t T y tu t

T

y k y ku k

T

y k y k Tu k

Aproximação retangular

Área Retangular

2. Método Backward Difference

55

( ) ( )dy y t y t T

dt T

Diferenciação Backward

T = Tempo de amostragem


• A derivada é aproximada por meio da equação:

• Aplicando a transformada de Laplace:

56

( ) ( ) ( ) ( )dy y t y t T y kT y kT T

dt T T

1( ) ( ) 1( ) ( )

sTY s e Y s zsY s Y s

T T

1zs

zT

1

1z

sT


57

1zs

zT

1

1z

sT

Exemplo 3 (Backward)

• Realizar a transformação backward-difference

58

1( )

2C s

s

1(z)

1 (1 2 ) 12

zTC

z z T

zT

Polo s=-2

Sistema EstávelPlano esquerdo

Polo

Se T>0 o polo ficará dentro do círculo unitário

Sistema Estável

1zs

zT

1

1 2z

T

Exemplo 3 (Backward)Simulação Matlab

59

%% continuo

Num = 1;

Den = [1 2];

sys = tf(Num,Den);

figure

impulse(sys,5)

%Discreto Backward

T=0.1;

Num = [T 0];

Den = [(1+2*T) -1];

sysD = tf(Num,Den,T);

Tsim = 0:T:5;

hold on

impulse(sysD,Tsim)

hold off

grid

legend('Continuo','Discreto')

1( )

2C s

s

(z)(1 2 ) 1

zTC

z T


60

( )y t1

s

( )u t

( ) 1

( )

Y s

U s s

( )y k

1

zT

z

( )u k

(z)

(z) 1

Y zT

U z


1zs

zT


• Para o Integrador

61

( ) ( )

t

t T

y t u t dt

( )

( ) ( )( )

( ) ( 1)( )

( ) ( 1) ( )

dyu t

dt

y t y t Tu t

T

y k y ku k

T

y k y k Tu k

Aproximação retangular

Área Retangular

3. Método Tustin- BilinearIntegração Trapezoidal

62

( ) ( 1)

( ) ( 1)( ) ( 1)

2

y k y k Área

u k u k Ty k y k

( ) ( )

( ) 1

( )

t

t T

y t u t dt

Y s

U s s

Aproximação Trapezoidal Aplicando a Transformada Z

1

1

1

1

( ) ( )( ) ( )

2

( ) 1

( ) 2 1

U z z U z TY z z Y z

Y z T z

U z z

Aproximação trapezoidal, com menor erro quando comparado com a retangular!!


63

( )y t1

s

( )u t

( ) 1

( )

Y s

U s s

( )y k1

1

1

2 1

T z

z

( )u k

1

1

(z) 1

(z) 2 1

Y T z

U z


1

1

2 1

1

zs

T z

2 1

1

zs

T z

12

12

sT

zsT


64

2 1

1

zs

T z

12

12

sT

zsT

Frequência de Amostragem

• Uma regra geral utilizada para determinar o tempo de amostragem é utilizar de 8 a 10 vezes a saída do sistema em malha fechada durante um ciclo de oscilação senoidal amortecida, considerando sistemas subamortecidos.

65

10

2

1

s

d

s sampling

sampling

sampling

f

Tf

Exemplo 5• Para a função de transferência T(s), discretizar a função de

transferência utilizando os métodos de Tustin, Forward e Backward. Traze as respostas obtidas para T=0,05 s.

66

2

25( )

6 25H s

s s

Avaliar se esta correta a frequência de amostragem?

Exemplo 5

67

2

25( )

6 25H s

s s

%Continuo

Num = 25;

Den = [1 6 25];

Hc = tf(Num,Den);

figure

bode(Hc)

grid

Resposta em frequência do sistema

Exemplo 5

68

Considerando-se que o sistema tem uma resposta em frequência máxima de max=5,8 rad/s

2

2 5,8 11,6 /

2 11,6

11,61,84

2

11,84 0,54

sampling

sampling

sampling

sampling

sampling

sampling

BW

rad s

f

f

TT

0,05 !samplingT s está correto

2

25( )

6 25H s

s s

Exemplo 5• Para a função de transferência T(s), discretizar a função utilizando

os métodos de Tustin, Forward e Backward. Traze as respostas obtidas para T=0,05 s.

69

2

25( )

6 25H s

s s

2

2

2

2

2

1 0,0625

1,7 0,7625

1 0,0625

1,363 2,3 1

2 1 0,0625 0,125 0,0625

1 4,662 7,875 3,462

for

back

tus

zs H

T z z

z zs H

Tz z z

z z zs H

T z z z

70

Tsampling = 0,05 s

71

%Continuo

Num = 25;

Den = [1 6 25];

Hc = tf(Num,Den);

figure, bode(Hc),grid

T = 0.05; %Tempo de amostragem

%Discreto Forward

Num = 25*T^2;

Den = [1 (-2+6*T) (1+25*T^2-6*T)];

Hfor = tf(Num,Den,T);

%Discreto Backward

Num = [25*T^2 0 0];

Den = [(1+6*T+25*T^2) (-2-6*T) 1];

Hback = tf(Num,Den,T);

%Discreto Tustin

Num = 25*T^2*[1 2 1];

Den = [(4+12*T+25*T^2) (-8+50*T^2) (4-12*T+25*T^2)];

Htus = tf(Num,Den,T);

%% Resposta ao Degrau

Tmax =2.5;

figure, step(Hc,Tmax) , grid

hold on

Tsim = 0:T:Tmax;

step(Hfor,Tsim); step(Hback,Tsim); step(Htus,Tsim);

hold off

legend('Hc','Hforward','Hbackward','Htustin')

2

2

2

2

2

1 0,0625

1,7 0,7625

1 0,0625

1,363 2,3 1

2 1 0,0625 0,125 0,0625

1 4,662 7,875 3,462

for

back

tus

zs H

T z z

z zs H

Tz z z

z z zs H

T z z z

2

25( )

6 25H s

s s

Observações sobre Métodos de Discretização

• Quanto maior a fsampling, maior a equivalência entre os métodos e maior a aproximação entre os sistemas contínuos e discretos.

• Caso a estabilidade seja uma especificação critica do projeto, não utilizar o método de discretização forward.

• Caso as especificações da fsampling são criticas, deve ser utilizado o método de discretização Tustin e mapeamento casado Polo-Zero, pois produze menos distorção.

72

Ferramentas Complementares

73

Exemplo de Frações Parciais

74

Relações entre os Plano-s e Plano-z

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