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Capitulo 2Relaciones y Funciones


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Relaciones Binarias

Relaciones importantes entre proposiciones:1.la implicación y2.la equivalencia.

En algebra y calculo son importantes lasrelaciones entre variables; en geometría lo sonlas relaciones entre guras. !asta el momentono "emos necesita#o una #enición precisa #e lapalabra relación . $in embargo% sin una #enición&ormal es #i&ícil respon#er preguntas sobrerelaciones. '(ue se quiere #ar a enten#er% pore)emplo% cuan#o se#ice que #os relaciones aparentemente#i&erentes son iguales*


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+ro#ucto Cartesiano

• El pro#ucto cartesiano #e #oscon)untos , y B% #enota#o , - B% esel con)unto #e to#os los posibles

pares or#ena#os cuyo primercomponente es un elemento #e , y elsegun#o componente es un elemento

#e B.

, - B / 0%y 3 ∈ , 4 y ∈ B 5


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+ro#ucto Cartesiano

• E)emplo: $i , / a % b % c 5 y B / 1 % 2 5

,B / 0a%1% 0a% 2% 0b% 1% 0b% 2% 0c% 1%

0c% 2 5

6ote que, tiene 7 elementos

B tiene 2 elementos , B tiene 8 elementos.


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+ro#ucto Cartesiano

• E)emplo: , / cora9ón% trbol% coco% espa#a 5

B / 1% 2% 7% % % ?% 1@% 11% 12 5

, B / 0cora9ón% 1% 0cora9ón%2%A%0cora9ón%12%0trbol%1% 0trbol%2% A%0trbol%12% A%0espa#a%12 5

6ote que

, tiene elementos B tiene 12 elementos , B tiene > elementos 0to#as las cartas #el

ma9o


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rco cartesiano• Da#os los con)untos

, / 1 % 2 5 y B / 1 % 2 %7 5

el grco cartesiano #e , B es:

La primeracomponente de cada

elemento del producto

cartesiano es la

abscisa

La segunda

componente de cadaelemento del producto

cartesiano es la

ordenada


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E)ercicio : in#icar el grcocartesiano #e , B #on#e

, / 3 ∈ R ∧ 1≤ ≤ 1 5B R


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E)ercicio : in#icar el grcocartesiano #e , B #on#e

, / 3 ∈ R ∧ 2 ≤ < 5B / 3 ∈ R ∧ 1 ≤ 75


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Relación entre elementos #econ)untos

• Hay casos en que no todos los paresordenados de un producto cartesianode dos conjuntos responden a una

condición dada.


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Relación entre elementos #econ)untos

• Se llama relación entre los conjuntosA y B a un subconjunto del productocartesiano A x B.

• Este puede estar formado por un solo

par ordenado, varios o todos los queforman parte de A x B.


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Relaciones

• Da#o el siguiente #iagrama querelaciona los elementos #e , con los#e B

b estárelacionado

con 1

3 es elcorrespondiente

de d


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Con)untos #e sali#a y #ellega#a #e un relación

• , es el con)unto #e sali#a 0parti#a yB es el con)unto #e llega#a


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Dominio #e una relación

• Dom0R 3 ∈, ∧ 0%y ∈ R

Dom0R /b% c% #5


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Gmagen #e una relación

• Gm0R y 3 y∈B ∧ 0%y ∈R

Gm0R /1% 7% 5


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6otación•

$i R es una relación entre , y B % la epresión R y signica que 0%y ∈ R % o sea% que est relaciona#o con y por la relación R.

• E): b R 1 porque 0b%1 ∈ R


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Relación #eni#a en uncon)unto

• Cuan#o los con)untos #e parti#a y #ellega#a #e una relación R son elmismo con)unto ,% #ecimos que R es

una relación #eni#a en ,% o%simplemente% una relación en ,.

• Hna relación R en , es entonces unsubcon)unto #e ,2 , ,


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+ropie#a#es #e las relaciones#eni#as en un con)unto

• $i establecemos una relación entre loselementos #e un mismo con)unto% eistencinco propie#a#es &un#amentales quepue#en cumplirse en esa relación

• +ropie#a# reexiva

• +ropie#a# sim!trica

• +ropie#a# asim!trica• +ropie#a# antisim!trica

• +ropie#a# transitiva


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+ropie#a# reIeiva

• Ja propie#a# reIeiva #ice que to#os loselementos #e un con)unto estnrelaciona#os con si mismo

R es reflexiva si para todo x ∈ A, el par (x,x) ∈ R


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+ropie#a# simtrica• Ja propie#a# simtrica #ice que si un

elemento est relaciona#o con otro% stesegun#o tambin est relaciona#o con elprimero

R es simétrica si siempre ue un par (x,!) ∈ R, el par(!,x) también pertenece a R


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+ropie#a# $imtrica

• E)emplo " Da#o , /7% % 25 #ecir si las

siguientes relaciones en ,2 son

simtricas

R /02% 7% 07% % 0% 7% 07% 2% 0% 5

$ /07% 2% 0% 7% 02% 2% 07% 5


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+ropie#a# asimtrica

• Hna relación es asimtrica si ningKnpar or#ena#o #e la relación cumplela propie#a# simtrica.


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+ropie#a# antisimtrica• Hna relación es

antisimtricacuan#o sólocumplen lapropie#a#simtrica los pares#e elementosiguales y no lacumplen los pares&orma#os por#istintoselementos.


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+ropie#a# antisimtrica

• E)emplo " Da#o , /2% % 85 #ecir si las

siguientes relaciones en ,2 son

antisimtricas

R /02% 2% 0% 5

$ /02% 5

L /0% 8% 02% 2% 08% % 0% 25


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+ropie#a# transitiva• Ja propie#a# transitiva #ice que si un

elemento est relaciona#o con otro y steest a su ve9 relaciona#o con un tercero%el primer elemento est relaciona#o con eltercero.

R es transitiva si

∀x , ∀! ,∀# , (x,!) ∈ R ∧ (!,#) ∈ R ⇒ (x,#) ∈ R


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+ropie#a# transitiva

• E)emplo " Da#o , /2% % 8% 75 #ecir si las

siguientes relaciones en ,2 son transitivas

R /02% 2% 02% 7% 0% 8% 08% 2% 0% 2% 0%7% 08% 75

$ /02% 2% 0% % 0% 2% 02% 8% 08% % 08%25


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E)ercicio

• Da#o , /1% 2% 75 #ecir a que tipopertenecen las siguientes relaciones

" R1 /01% 1% 02% 1% 02% 2% 07% 2% 02% 7% 07%75.

" R2 /01% 15.

" R7 /01% 25.

" R /01% 1% 02% 7% 07% 25.


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E)ercicio

• $ea , /2% 7% %


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Relación #e equivalencia• +ermite marcar características similares

entre los elementos #e un con)unto


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E)emplo #e Relación #eEquivalencia

• $ea ! el con)unto &orma#o por to#os losseres "umanos.

R /0% y 3 %y ∈ ! 4 N es compatriota #eyN5

" R es reexiva puesto que to#a personaes compatriota #e si mismo.

" R es sim!trica% puesto que Nsi es

compatriota #e y% y es compatriota #e N.

" R es transitiva% por que Nsi escompatriota #e y e y es compatriota #e 9%entonces es compatriota #e 9N.


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E)ercicio

• ' Cul #e las siguientes relaciones en $

son #e equivalencia*

" R /0a% b3 a y b tienen la mismama#re5%

#on#e $ /a 3 a es cualquierpersona5

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