RELACIONES Y RELACIONES Y FUNCIONESFUNCIONES

SUBCONJUNTOSUBCONJUNTOSean A y B dos conjuntos. Al conjunto A se le llama un subconjunto de B si todo elemento de A es también elemento de B. Sin embargo, no todo elemento de B necesita ser un elemento de A. Esto se expresa como :

A ⊆ B

TUPLATUPLASon objetos colocados en cierto orden. Se utilizan para organizar datos. La tupla más común es el par.

Si (x, y) es un par, entonces es frecuente limitar x a un conjunto de A e y a un conjunto de B.

El conjunto de todos los pares posibles que se pueden obtener se llama producto cartesiano de A y B.

PRODUCTO CARTESIANOPRODUCTO CARTESIANOSean A y B dos conjuntos. El conjunto de todos los pares ordenados tal que el primer miembro del par ordenado es un elemento de A y el segundo miembro es un elemento de B, se llama el producto cartesiano de A y B y se escribe A X B.

A X B = { (x,y) | (x ∈ A) & (y ∈ B)}

RELACIONESRELACIONESLas relaciones son conjuntos, por lo tanto se puede usar la representación de conjuntos para representar relaciones.

Una relación n-aria es un conjunto de n-tuplas. Las relaciones binarias con conjuntos de pares

REPRESENTACION DE REPRESENTACION DE RELACIONESRELACIONES

Forma tabular

Forma Matricial

Forma Gráfica

R={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,2),(2,3),(2,4),(3,3),(3,4),(4,4) } Representación tabular

Representación matricial 1 2 3 41 1 1 1 12 0 1 1 13 0 0 1 140 0 0 1

• Representación gráfica

1 2

3 4

1 2 3 4 52 1 1 1 13 0 1 1 14 0 0 1 15 0 0 0 1

PROPIEDADES DE LAS PROPIEDADES DE LAS RELACIONESRELACIONES

RELACIONES REFLEXIVASRELACIONES REFLEXIVASSi todo elemento en A está relacionado con sigo mismo, con símbolos: (∀ x ∈ A) (x,x) ∈ R

Reflexiva1 0 10 1 01 0 1

RELACIONES SIMETRICASRELACIONES SIMETRICASSi cuando un elemento está relacionado con un segundo elemento, el segundo también se relaciona con el primero, con símbolos: (∀ x)(∀ y) ((x,y) ∈ R ⇒ (y,x) ∈ R)

Simétrica1 0 10 1 01 0 0

RELACIONES ASIMETRICASRELACIONES ASIMETRICASSi cuando un elemento está relacionado con un segundo elemento diferente, el segundo no se relaciona con el primero, con símbolos:

(∀ x)(∀ y) ((x,y) ∈ R ^ x ≠ y) ⇒ (y,x) ≠ R) ANTISIMETRICA

0 0 10 1 00 1 0

RELACIONES TRANSITIVASRELACIONES TRANSITIVASSi cuando un elemento está relacionado con un segundo elemento y el segundo está relacionado con un tercero, entonces el primero está relacionado con el tercero: (∀ x)(∀ y)(∀ z)((x,y) ∈ R ^ (y,z) ∈ R) ⇒ (x,z) ∈ R)

2 3

1

FUNCIONESFUNCIONES

FUNCIONFUNCIONUna función es una correspondencia entre dos conjuntos tales que existe exactamente un elemento del segundo conjunto asociado con cada elemento del primero. Al primer conjunto e elementos se le llama dominio y al segundo rango.

A={1,3,5,7}B={2,4,6,8}

La tabla muestra una función ya que para cada elemento de el conjunto A corresponde exactamente uno del B

A B1 23 45 67 8

INDUCCION MATEMATICAINDUCCION MATEMATICA

Este procedimiento de demostración de fórmulas cuantificadas universalmente, verifica primero que se cumple para los casos llamados básicos, y después, suponiendo que se cumple para los casos anteriores, se verifica para un elemento típico x arbitrario. Este último paso es llamado ``inductivo''. Se concluye entonces que la fórmula vale para cualquier x.

La inducción es un razonamiento que permite demostrar una infinidad de proposiciones, o una proposición que depende de un parámetro n que toma una infinidad de valores, usualmente en el conjunto de los enteros naturales N.