8305783 Relaciones y Funciones

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GUSTAVO A. DUFFOUR

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Joseph LouisLagrange

(Italia, 1736-1813)

Habitualmente se considera que JosephLouis Lagrange era un matemático francés,

pero la Enciclopedia italiana se refiere a élcomo un matemático Italiano, lo cual es muyrazonable, pues Lagrange nació en Turín y fue bautizado con el nombre de Giuseppe Lodovico

Lagrangia.

Una especulación insensata, llevada acabo por su padre, abandonó a Lagrange a sus

propios recursos a una edad temprana. Pero estecambio de fortuna no resultó ser una grancalamidad, «pues de otro modo –dijo él– tal vez

nunca hubiera descubierto mi vocación».

Pasó sus primeros años en Turín, suactiva madurez en Berlín y sus últimos años enParís, donde logró su mayor fama. A losdieciséis años de edad fue nombrado profesorde matemáticas en la Escuela Real de Artilleríade Turín, donde el tímido muchacho –que no

poseía recursos de oratoria y era de muy pocas palabras– mantenía la atención de hombres

bastante mayores que él.

Lagrange estaba dispuesto a apreciar eltrabajo sutil de los demás, pero estabaigualmente capacitado para descubrir errores.En una temprana memoria sobre lasmatemáticas del sonido señaló defectos, incluso

en la obra de Newton. Otros matemáticos loreconocían, sin envidia, primero como sucompañero y, más tarde, como el mayor

matemático viviente.

Desde la antigüedad, el hombre ha observado que distintos objetos yfenómenos que aparecen en la naturaleza están relacionados entre sí, lo que posibilitaestablecer una correspondencia de causa-efecto entre ellos.

Imagínese una función comouna máquina que le hacecorresponder a un elemento de unprimer conjunto, un elemento biendefinido de un segundo conjunto.Así también, es posible usar dos omás máquinas (funciones), deforma tal que el resultado de laprimera máquina alimente a lasegunda máquina (función defunción).

Por lo tanto, una función es

una regla de correspondencia queasocia a cada objeto x, de unconjunto llamado dominio, un únicoobjeto f(x) de un segundo conjunto.Esta definición no imponerestricciones a los conjuntoscitados, pero no permite que a unaentrada le corresponda más de unasalida.

La teoría de funciones seconvirtió en el problema preliminardel análisis infinitesimal. El

concepto de función tenía dosaspectos: la función comocorrespondencia y la función comoexpresión analítica. En eltranscurso de los años treinta ycuarenta del siglo XVIII, en lofundamental gracias a Euler, fuecuando se elaboró, sistematizó yclasificó la teoría de las funcioneselementales analíticas.

Pero el trabajo más serio fue:Teoría de las funciones analíticas,

de

Lagrange.

En la actualidad, el conceptode función es una nociónmatemática fundamental en todaslas ciencias. Ya sea en Física,Química, Mecánica, Medicina,... elestudio de numerosos problemasconduce a establecer fórmulas(funciones) que permiten relacionardos (o más) cantidades variables.


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MATEMÁTICA DE CUARTO

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2

RELACIONES

Y FUNCIONES

1 – CONCEPTOS GENERALES SOBRE CONJUNTOS

1.1. INTRODUCCIÓN

Se entiende por conjunto una agrupación o colección de objetos reunidos en virtud deuna propiedad común.

NOTACIÓN

Es habitual anotar el nombre de los conjuntos con letras

mayúsculas y escribir sus elementos entre llaves,

separados entre sí por comas.

Ejemplo: M = {1, 2, 3, 4}

1.2. DETERMINACIÓN DE UN CONJUNTO

Se dice que un conjunto está bien determinado cuando, dado un elemento cualquiera,es posible decidir si pertenece o no al conjunto.

Un conjunto se determina por extensión cuando se enumeran cada uno de suselementos.

A es el conjunto formado por: a, b, c y d (definido por extensión).Entonces d∈A (d pertenece al conjunto A),pero h∉A (h no pertenece a A).

∈ significa: pertenece ∉ significa: no pertenece

A = { a, b, c, d}


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2i

significa: múltiplo de 2

Un conjunto se determina por comprensión cuando se indica la propiedad común quetienen sus elementos:

B es el conjunto de los números naturales talesque, elevados al cubo, resultan entre cero y 125,(definido por comprensión). 4∈B pero 7∉B.

Por extensión B = { 1, 2, 3, 4}

→ números naturales

/ significa: tal que


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Conjunto unitario: es un conjunto formado por un solo elemento. Por ejemplo: A = { a}

Conjunto vacío: es un conjunto sin elementos. Se anota: φ

Puede suceder que ningún elemento satisfaga la condición de pertenencia, porejemplo: a) El conjunto de los triángulos de cuatro lados es { }

b) C = { x / x∈, x + 2 = 0} = { } (– 2 no es un número natural)

Todos los conjuntos vacíos son iguales, lo que significa que existe un solo conjuntovacío.

NOTA

Se debe tener en cuenta que, el conjunto vacío φ no es elmismo que { φ } .

El conjunto vacío se anota por extensión como: { }

EJEMPLO: Determinar por extensión A = { x / x∈, 3 < (2x – 1) < 10}

En este caso, los elementos del conjunto son los números naturales que hacen que la

expresión (2x – 1) tenga un valor entre 3 y 10.

Para x = 1 2(1) – 1 = 1 el resultado no es mayor que 3.Para x = 2 2(2) – 1 = 3 el resultado no es mayor que 3.Para x = 3 2(3) – 1 = 5 el resultado está entre 3 y 10, 3 pertenece al conjunto.

Para x = 4 2(4) – 1 = 7 el resultado está entre 3 y 10, 4 pertenece al conjunto.Para x = 5 2(5) – 1 = 9 el resultado está entre 3 y 10, 5 pertenece al conjunto.Para x = 6 2(6) – 1 = 11 el resultado es mayor que 10.

A = { 3, 4, 5}

Dado el conjunto

A = { 0, a, José María, 3 de enero}Responder « verdadero » o « falso » y justificar la respuesta.

1) 0∈A 2) 3∉A

3) María ∈ A 4) 3 de enero ∈ A

5) ∈A 6) { }∈A

7) José María ∈A 8) { 0}∉A

Véanse los resultados en la página 240.


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2 – DIAGRAMAS DE VENN

En el estudio de conjuntos resulta muyútil representar esquemáticamente losconceptos que se van a desarrollar. Seutilizan para ello los llamados diagramas deVenn.

Por ejemplo, el conjunto A = { a, b, c} se representa:

Ciertas propiedades de los conjuntospueden ser mejor conceptualizadas a travésdel uso de los diagramas de Venn.

Es importante recordar que estosdiagramas solo son una aproximación quefacilita la comprensión del tema, pero noconstituyen una demostración rigurosa, yaque, aunque se examinaran exhaustivamente

todos los casos posibles –lo que es muyengorroso, por cierto–, aún quedaría sinpoder considerar por lo menos el conjuntovacío.

Una objeción mucho más seria para las demostraciones con diagramas de Venn esque ocultan los pasos del pensamiento que se requieren para llevarlas a cabo; es decir, nose especifica la lógica que debe utilizarse para sombrear los diagramas.

John Venn (Inglaterra, 1834-1923)

Publicó su primer libro,Lógica

simbólica

, en 1881, yPrincipios de lógica

empírica, en 1889. El uso dediagramas en la lógica formal no esuna historia fácil de seguir, pero esmuy cierto que los diagramas sonpopularmente asociados con Venn,aunque su origen fue muy anterior.

Aa b

c

8

11

3

13

11

15

11

10 13

11

4

A

D

CG

I

B

HF

E

En el dibujo hay un grupo denueve círculos, cada uno de ellosidentificados por una letra, de la A ala I. Cada letra tiene un valor entre1 y 9, que no se repite. Dondealgunos círculos se superponenhay un número que es el resultadode la suma de los valores de loscírculos. ¿Se anima a descubrircuál es el valor de cada letra?

Véase el resultado en la página 240.


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Comúnmente se habla decuplas, por ser paresordenados: (a, b) o (x, y).

Pueden ser ternas, contres elementos: (a, b, c).

En general se hablará den-uplas con n elementos.

3 – PAR ORDENADO

Un concepto muy importante es, el de parordenado o cupla, o sea, dos elementostomados en un orden.

Con el par ordenado (a, b) se indicaráque el elemento a se considera en el primerlugar y el b en segundo lugar.

Recuérdese que el par ordenado seescribe entre paréntesis curvos.

Dos cuplas son iguales si y solo si elprimer componente de una es igual al primercomponente de la otra, y el segundocomponente de una es igual al segundocomponente de la otra.

(a, b) = (c, d) si y solo si a = c y b = d

Es necesario no confundir el conjunto C = {a, b}, formado por dos elementos, con lacupla (a, b), pues se cumple:

{a, b} = {b, a} pero (a, b) ≠ (b, a) si a ≠ b

4 – PRODUCTO CARTESIANO

4.1. DEFINICIÓN

A partir de dos conjuntos (no vacíos) A y B, es posible definir un nuevo conjuntoformado por todas las cuplas que se puedan formar, donde el primer elemento pertenece aA y el segundo a B.

Se llamará producto cartesiano de dos conjuntos A y B, al conjunto de todas lascuplas (a, b) tales que a∈A y b∈B.

A × B = {(a, b) / a∈ A ∧ b∈B}

Si el conjunto A es de m elementos y el conjunto B es de n elementos, elconjunto producto A × B es de m × n cuplas.


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EJEMPLO: Dado A = {2, 4, 6} B = {m, n, q} hallar A × B

Una manera segura de hallar el producto cartesiano entre dos conjuntos es disponersus elementos en forma de tabla o cuadro de doble entrada, formando una columna con loselementos del primer conjunto y una fila con los del segundo conjunto.

m n q2 (2, m) (2, n) (2, q)4 (4, m) (4, n) (4, q)6 (6, m) (6, n) (6, q)

La extensión de: A * B = {(2, m), (4, m), (6, m), (2, n), (4, n), (6, n), (2, q), (4, q), (6, q)}

EJEMPLO: Dado A = {a, b, c} hallar A * A

El producto cartesiano puede efectuarse entre los elementos de un solo conjunto,formando todos los pares ordenados posibles con los elementos de ese conjunto.

a b ca (a, a) (a, b) (a, c)b (b, a) (b, b) (b, c)c (c, a) (c, b) (c, c)

La extensión de: A * A = A2 = {(a, a), (a, b), (a, c), (b, a), (b, b), (b, c), (c, a), (c, b), (c, c)}

Antes de continuar, es conveniente hacer

el ejercicio 6, de la página 34.

4.2. PROPIEDADES DEL PRODUCTO CARTESIANO

1) En el caso de tener en cuenta al conjunto vacío.

El producto cartesiano entre dos conjuntos tiene como resultado el conjunto vacío, sipor lo menos uno de los conjuntos es vacío.

Sean los conjuntos E y F; E * F = φ si y solo si E = φ y/o F = φ

2) El producto cartesiano es distributivo con respecto a la unión y con respecto a laintersección de conjuntos.

A * (B ∪ C) = (A * B) ∪ (A * C) A * (B ∩ C) = (A * B) ∩ (A * C)


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El cardinal de un conjunto

finito es la cantidad deelementos que tiene.

NOTACIÓN: # (A)

Téngase en cuenta que:# ( ) = 0

3) El producto cartesiano no es conmutativo.

4) Si #(A) y #(B) son finitos:#(A * B) = #(A) * #(B)

El número de cuplas del productocartesiano es igual al producto del número deelementos de los conjuntos que forman elproducto cartesiano.

Entre varios conjuntos finitos se cumple:#(A * B * C) = #(A) * #(B) * #(C)

5 – RELACIÓN BINARIA

Dados dos conjuntos A y B, se llama relación binaria R de A en B, a una ley ocriterio que hace corresponder a elementos deA, elementos de B.

Toda relación binaria de un conjunto A en un conjunto B es un subconjunto delproducto cartesiano A*B.

O sea que: R es una relación de A en B R C A * B

De modo que una relación binaria es un conjunto de cuplas, tal que sus elementoscumplen una determinada propiedad.

La relación binaria R de A en B se anota: R = {(a, b) / (a, b) ∈ A * B, a R b}

Una relación binaria R se puede establecer entre los elementos de un solo conjunto.

Se anota: R = {(a, b) / (a, b) e A * A, a R b}

Los conjuntos A y B donde se define la relación binaria, se denominan:

A: conjunto de partida. B: conjunto de llegada.

B A R


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Cada uno de los elementos a e A, que tiene su correspondiente en B, se denomina preimagen de b e B. El conjunto de todas las preimágenes se denomina dominio de larelación, y se anota D(R). El dominio de una relación no necesariamente es igual al conjuntode partida.

Los elementos b e B que tienen por lo menos una preimagen se llaman imagen dea e A. El conjunto de todas las imágenes se denomina recorrido de la relación, y se anotaR(R). El recorrido de una relación no necesariamente es igual al conjunto de llegada.

Si (1, 3) ∈ f se dice que 3 es la imagen de 1, y se escribe f(1) = 3

Si (– 4, 7) ∈ f se dice que – 4 es la preimagen de 7, y se escribe f(– 4) = 7

EJEMPLO: Dados los conjuntos: A = {2, 3, 5, 8, 9} B = {3, 4, 6, 7, 9} y la relación R = {(x, y) / (x, y)e A * B, y = x + 1}

1) Hacer un diagrama de la relación.2) Expresarla por extensión.3) Determinar el dominio y el recorrido.

La relación esta definida por: R = {(x, y) / (x, y)e A * B, y = x + 1}

1) Diagrama

2) El conjunto de cuplas que pertenecen a la relación esta dada por:R = {(2, 3), (3, 4), (5, 6), (8, 9)}

3) Dominio de R. Recorrido de R.D(R) = {2, 3, 5, 8} R(R) = {3, 4, 6, 9}

B

2 A

3 5

9 8

3 4

6

9

7


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Cuando no se especifica eldominio de una función real,siempre se supondrá que es elmayor conjunto de númerosreales para los cuales la fórmulafuncional tenga sentido.

Para ello es necesario estudiarsus condiciones de existenciaanalizando la estructura operativa

de dicha fórmula.

6 – FUNCIONES

6.1. INTRODUCCIÓN

Existencia. Se dice que una relación cumpleexistencia si todos los elementos del primerconjunto tienen, por lo menos, uncorrespondiente en el segundo. O sea, si sudominio es igual al conjunto de partida.

Unicidad. Se dice que una relación cumpleunicidad si cada elemento del dominio tieneuna y una sola imagen.

Una relación que cumpla unicidad yexistencia se dice que es una relación

funcional o, simplemente, una función.

6.2. DEFINICIÓN

Una relación f entre elementos de un conjunto A y elementos de un conjunto B esuna función de A en B, si y solo si se cumplen las dos condiciones siguientes:

t xe A E yeB / (x, y)e f (existencia)

(x, y) e f y (x, z) e f 6 y = z (unicidad)

6.3. NOTACIÓN

Las funciones se nombran con unaletra generalmente la f. Cuando es necesariohablar de varias funciones, se usan: g, h ... Es posible usar cualquier letra, salvo la x yla y, para evitar confusiones, pues estasgeneralmente indican números reales. Eneste caso, la letra x que representa a loselementos del conjunto preimagen (dominio),

se llama variable independiente.

Si f es la función, entonces el númeroque f asocia con x, se designa f(x). Elconjunto de valores de f(x) se llamarecorrido de la función. Recuérdese que el

símbolo f(x) solamente tiene sentido cuandox pertenece al dominio de f ; para otros x el símbolo f(x) no está definido.

Pues f representa la función, osea, el conjunto de paresordenados.

Yf

x)

es solo el segundocomponente de cada par.


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A R1 B A R2 B

No es función la relación R3 dibujada,porque a un elemento de A lecorresponden varios en B.

A R3 B

No es función la relación R4 dibujada,porque hay elementos en A que no tienenun correspondiente en B.

A R4 B

Es costumbre escribir y = f(x)

Ello significa: «y es el valor que la función f asigna al elemento x». La letra y querepresenta los elementos del conjunto imagen (recorrido) se llama variable dependiente.

f ⊆ A × BO sea, f: A → B es una función ⇔

∀ x∈ A ⇒ existe un único y∈B / (x, y)∈f

NOTA

En la práctica de trabajo se toleran algunas abreviaciones,

tales como hablar de la función y = f(x) la cual confunde

en rigor un número y una función, pero a pesar de todoresulta muy cómodo su uso.

En este libro, en la mayoría de los casos se usará la forma

abreviada, dada por el siguiente ejemplo:

f: f(x) = x2 + 3x

Se sobreentiende que está definida: D(f) → D(f) ⊆

Los siguientes diagramas R1 y R2 son relaciones funcionales:


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x

f(x)

O

b

a

Es el sistema formado por dosejes perpendiculares x y cuyosorígenes coinciden en el punto O.

Comúnmente se considera al ejex el horizontal, graduadopositivamente hacia la derecha, y eleje y el vertical, graduadopositivamente hacia arriba.

A cada punto P del plano le

corresponde uno y solo un par devalores (a, b) llamadoscoordenadas cartesianas orectangulares del punto P.

Cuando se representa un puntoen el plano, con un par denúmeros reales (a, b), se convieneque la abscisa a se escribe enprimer lugar, y la ordenada b, ensegundo lugar.

Por esa razón se considera a

(a, b) como un par ordenado.

El origen O tiene comocoordenadas (0, 0).

Los puntos sobre el eje x tienenpor coordenadas (x, 0).

Los puntos sobre el eje y tienenpor coordenadas (0, y).

P

7 – REPRESENTACIÓNGRÁFICA DE FUNCIONES

Se llama representación gráfica de unafunción f al conjunto de puntos del planocuyas coordenadas (x, f(x)) pertenecen a f .Es una muy buena manera de poder visualizar

a todas las parejas (x, f(x))∈ f .

Cada vez que se haga referencia a larepresentación gráfica de una función en unsistema de coordenadas cartesianas, seanotará por Gra(f).

No son funciones las representacionesgráficas siguientes, porque existen valores de

la variable x a los cuales les correspondendos valores funcionales.

Estas representaciones gráficassugieren una regla:

Para que un dibujo sea la representacióngráfica de una función f , cada recta verticaldebe cortar al dibujo en un solo punto.

Antes de continuar, es conveniente hacer

los ejercicios 7 al 12, de la página 34.

xO

xO


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8 – CERO DE LA FUNCIÓN O RAÍZ

El valor de la variable, que anula a lafunción, se denomina cero de la función.

Geométricamente, corresponde a laabscisa del punto de corte de la representacióngráfica con el eje horizontal (eje x).

Para calcularlo, se iguala la función acero y se despeja el valor de la variable.

EJEMPLO: Determinar los ceros de las funciones siguientes, dadas por susrepresentaciones gráficas.

La función f dada por su representacióngráfica tiene dos ceros, dados por las abscisasde los puntos, en que la representación gráfica,corta al eje x.

Ceros de f = { }2, 2−

La palabra función fue introducida por Leibniz,que utilizaba este término para designar ciertotipo de fórmulas matemáticas.

Para los matemáticos del siglo XVIII, elconcepto de relación funcional estaba más omenos identificado con la existencia de unafórmula matemática sencilla que expresara lanaturaleza exacta de esa relación.

Este concepto resultó demasiado restrictivopara las necesidades de la física matemática, porlo que la idea de función debió pasar por un largoproceso de generalización y clarificación.Gottfried Leibniz

Alemania, 1646–1716

es raíz de f ⇔ f( ) = 0

El valor de la variable, queanula la función (raíz ocero) es:

“la pre-imagen de cero”

x

f(x)

0

Cero en:x = 2

• •

Cero en:x = – 2


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En el eje horizontal, (eje x), se anota elcero de la función.

Encima del eje horizontal se indica, el signo

de los valores de f(x)

En algunos casos, se da, que larepresentación gráfica de la función, no corta aleje x, sino que lo toca.

En este caso dicho valor de la variable x,también es un cero de la función.

Ceros de g = { }2, 3−

9 – SIGNO DE UNA FUNCIÓNSi en la función f: f(x) = – 2x + 3 se efectúan los siguientes cálculos:

f(– 3) = – 2(– 3) + 3 = 9 → f(– 3) = 9 f(1) = – 2(1) + 3 = 1 → f(1) = 1

( ) ( ) ( )3 3 3f 2 3 0 f 02 2 2= − + = → =

f(2) = – 2(2) + 3 = – 1 → f(2) = – 1

f(3) = – 2(3) + 3 = – 3 → f(3) = – 3

Es costumbre dibujar la información anteriorcomo:

El concepto geométrico de signo de una función f , en que los valores de la funciónson positivos si la representación gráfica de f , se encuentra por encima del eje horizontal, osus valores son negativos, si su representación gráfica se encuentra por debajo del ejehorizontal; es aplicable a cualquier tipo de función, posible de graficar en un sistema decoordenadas cartesiano.

Valores positivos

de f(x).

Valores negativos

de f(x).

1

1

x

f(x)

1

1

x

g(x)

● ●

+ + + + +0 – – – – –

Signo (– 2x + 3)3

2


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30

1

1

x

f(x)

1

1

x

g(x)

| |a b

Su representación gráfica en la recta es:

a b| |

Su representación gráfica en la recta es:

EJEMPLO: Indicar el signo de las siguientes funciones, dadas por susrepresentaciones gráficas.

NOTAObserve el estudiante que, cuando la gráfica toca al eje x

sin cortarlo, el valor de la variable x se cuenta como uncero doble índice de multiplicidad par).

En este caso, es posible observar que la función no cambia

de signo. Suele indicarse con una doble rayita.

10 – DEFINICIÓN DE INTERVALO

10.1. INTERVALO ABIERTO

El conjunto de todos los números reales estrictamente situados entre a y b (cona < b) se anota (a, b) y se llama intervalo abierto.

(a, b) = { x / x e, a < x < b }

10.2. INTERVALO CERRADO

El conjunto de todos los números reales situados entre a y b (con a < b) y queincluye a los extremos a y b, se anota [a, b] y se llama intervalo cerrado.

[a, b] = { x / x e , a ≤ x ≤ b }

– – – –

0

+ + + +

0

– – – –Signo f(x) – 2 2

+ + +

0

+ + + 0

– – –

0

+ + +Signo g(x) – 2 2 4


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Esta notación da origen,naturalmente, a cierta ambigüedad,puesto que (a, b) se usa tambiénpara designar un par de números.Generalmente el contexto brindalos indicios suficientes para evitarla confusión.

Nótese que si a > b, entonces(a, b) = (el conjunto vacío). En lapráctica de trabajo, siempre que sehable de un intervalo (a, b), sesupone que a < b.

El símbolo ∞, llamado infinito, es de utilidaden muchas situaciones. Sin embargo, al usareste símbolo se debe tener bien presente que noes un número en el sentido ordinario de lapalabra, sino un concepto que representa a unnúmero tan grande como se quiera.

El concepto de infinito ha inspirado y hechizado a los matemáticosdesde tiempos inmemoriales. Los problemas y paradojas más profundos delas matemáticas a menudo van unidos a esta palabra.

A finales del siglo XVI y sobre todo durante el siglo XVIII, para resolverproblemas prácticos, los matemáticos recurrían aisladamente al razonamientosobre lo infinitamente pequeño y lo infinitamente grande, pero rara vez enforma rigurosa.

10.3. INTERVALO SEMIABIERTO

Existen dos intervalos semiabiertos que

se anotan (a, b] y [a, b).

(a, b] = { x / x ∈, a < x ≤ b }

[a, b) = { x / x ∈, a ≤ x < b }

10.4. INTERVALO INFINITO

En algunos casos aparece en la notaciónde intervalos el símbolo ∞ (infinito).

Se usará la notación (a, + 8) paradesignar el conjunto de todos los númerosreales mayores que a.

(a, +∞) = { x / x e, x > a }

Los números reales menores que a seindicarán como:

( – ∞, a) = { x / x ∈, x < a }

También es posible usar en algunos casos la notación ( – ∞, + ∞) para referirse alconjunto de todos los números reales.


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b

f(a)

x

f(x)

a

f(b)

b

f(a)

x

f(x)

a

f(b)

11 – FUNCIÓN CRECIENTE

Una función f, es creciente, cuando alaumentar los valores de la variable x, losrespectivos valores de la función, tambiénaumentan

t a∈D(f) t b∈D(f)f es creciente

Si b > a → f(b) > f(a)

12 – FUNCIÓN DECRECIENTE

Una función f , es decreciente, cuando alaumentar los valores de la variable x, losrespectivos valores de la función disminuyen.

t a∈D(f) t b∈D(f)f es decreciente

Si b > a → f(b) < f(a)

NOTA

El crecimiento o decrecimiento de una función, se indicacomo un intervalo de valores de la variable x.


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33

1

1

x

g(x)

1

1

x

f(x)

1

1

x

f(x)

EJEMPLO: Indicar los intervalos dónde las siguientes funciones, dadas porsus representaciones gráficas, son crecientes o decrecientes.

f es creciente en: (– ∞, 0) g es creciente en: (– ∞, – 1) ∪ (2, + ∞)f es decreciente en: (0, + ∞) g es decreciente en: (– 1, 2)

13 – EXTREMOS RELATIVOS

Se llaman extremos relativos de una función, al mayor o al menor valor de la funciónen algún intervalo incluido en el dominio.

Los extremos relativos de una función son los: máximos relativos y mínimos relativos.

La función f , cuya representación graficase da, tiene:

Máximo relativo en: x = 0

Mínimo relativo en: x = 2

Realizar los ejercicios 13 al 17 de la página 35

y resolver los problemas 18 al 22 de la página 36

Máximo relativo

Mínimo relativo


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1

1

x

f(x)

14 – EJERCICIOS PROPUESTOS Véanse los resultados en la página 240.

6) Dados los conjuntos: A = {3, 5, 8} y B = {m, p}

Determinar por extensión los conjuntos A*B y B* A7) Dados los conjuntos: A = {a, b, c} y B = {x, y, z, w}

Indicar cuales de las siguientes relaciones son funciones de A en BR1 =

{(a, x), (b, y), (c, w)}

R2 = {(a, w), (b, z), (c, y), (a, x)}

R3 = {(a, z), (b, y), (c, y)}

8) Dados los conjuntos: A = {a, b, c} y B = {p, k} y las siguientes relaciones.Diagramarlas e indicar cuales son funciones de A en B.

R1 = {(a, p), (b, p), (c, p)}

R2 = {(a, p), (b, k), (c, p)}

R3 = {(a, p), (a, k)}

9) Dado el conjunto: A = {0, 2, 3, 4} i) Hallar A* Aii) Indicar cuales de las siguientes relaciones son funciones de A en A

R1= {(x, y) / (x, y)e A* A, x + 2 = y}

R2= {(x, y) / (x, y)e A* A, x = y}

10) Sabiendo que f = {(2, 5), (– 1,– 1), (0, 1), (3, 7), (– 2, – 3)} i) Dominio de f. ii) Recorrido de f.

iii) Completar: f(3) = … f(…) = 5 f(0) = …

11) ¿Las siguientes representaciones gráficas son o no funciones?

12) Sea el dibujo, la representación gráficade una función f .Observando el dibujo contestar:i) f(2) =..... f(– 1) = ..... f(0) =.....

ii) Encontrar {x / f(x) = 0} iii) Encontrar {x / f(x) = 4} iv) Encontrar las preimágenes de – 1 y

la imagen de 3.

x

f(x)

x x

x x x

h(x)g(x)

n(x)k(x) j(x)

1) 2) 3)

4) 5) 6)


20/22


35

1

1

t

long

1

1

t

long

1

1

t

long

1

1

t

long 3)1) 4)2)

13) Dada la siguiente representacióngráfica de una función g.Observando el dibujo contestar:i) Para que valores de x, g(x) > 0

ii) Para que valores de x, g(x)


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GUSTAVO A. DUFFOUR

36

17) En la clase anterior el profesor entregó una fotocopia con una representacióngráfica, pero Teresa no fue a clase y llamó por teléfono a su amiga Ana, para quele explique cómo era esa gráfica. La siguiente es la descripción que hace Ana.

“...la gráfica empieza cuando x vale 0, concretamente en el punto (0,2) y va haciala derecha, subiendo. Sigue subiendo y pasa por el punto (3,4) y sube cada vezmás rápido. La x se acerca 5, pero nunca llega a valer 5 y, mientras tanto, losvalores de la función crecen más y más como si fueran a salirse de la hoja. Ojo que

todo eso pasa sin que x llegue a valer 5, pero se va acercando mucho, cada vez

más... cuanto más suben los valores de la función, más cerca está la x de 5, peronunca lo alcanza. A partir del 5 pasa lo contrario: la curva viene desde abajo y va subiendo. Corta aleje de las x en 8 y sigue subiendo hasta el punto (12,4) y a partir de ahí empieza abajar, pero cada vez más despacito... bueno, en realidad los que bajan cada vez

más despacio son los valores de la función; la x va aumentando rápido. A ver si seentiende mejor: la curva sigue hacia la derecha, bajando poco a poco, sin tocar el

eje de las x, pero acercándose mucho a él. Como se va pegando al eje, perosiempre está apenitas por arriba de él y nunca llega a tocarlo...”

Realiza un bosquejo de la gráfica que Ana le describió a Teresa.

15 – PROBLEMAS PROPUESTOS Véanse los resultados en la página 241.

18) Cuando una persona sana toma 50 grs de glucosa en ayunas, su glucemia

(porcentaje de glucosa en la sangre) aumenta desde 90 mgr/dl, que es el nivelnormal, hasta 120 mgr/dl en aproximadamente una hora. Tres horas después de laingesta, los valores de glucemia están un poco por debajo del nivel normal. Al cabode cinco horas, los valores regresan a la normalidad.Representa en un sistema de ejes la curva de glicemia de una persona normal, deacuerdo a los datos anteriores.

19) El costo de envío de correspondencia por una empresa privada está dado por lasiguiente tabla:

hasta 20 grs $ 10

hasta 100 grs $ 15

hasta 200 grs $ 17

hasta 500 grs $ 20más de 500 grs $ 35

→

→

→

→

→

Andrés quiere enviar correspondencia a unos amigos. La carta para Julio pesa15 grs, la de María pesa 80 grs, un sobre para Cristina pesa 125 grs, y lasencomiendas para Carlos y Estela pesan 625 grs y 500 grs respectivamente.

i) ¿Cuánto paga por cada envío?ii) Enviando todo a uno de sus amigos para que éste lo reparta.

¿Ahorraría dinero? ¿Cuánto?iii) ¿Es posible que a dos cartas con diferente peso, les corresponda el

mismo precio?


22/22


37

2

ºC

2412 h

5

15

2

grs.

2412 días

100

A

20) La representación gráfica adjunta

representa la variación de la temperatura(en ºC) según el tiempo (en hs)a lo largo del día.

i) ¿Con qué temperatura comenzó el día?ii) ¿Con cuál finalizó?iii) ¿Durante qué intervalo de tiempo la temperatura fue en ascenso?iv) ¿Cuál fue la máxima del día? ¿Y la mínima? v) ¿En qué horarios hubo menos de 5ºC?

21) La siguiente representación gráfica,corresponde a la variación del pesode un bebé, que pesó 3300 grs al nacer.

i) ¿Qué ocurre en los primeros días de vida?ii) ¿Qué día pesó el niño 150 grs menos que al nacer?iii) Se sabe que en algún momento del mes el niño estuvo con fiebre.

¿Cuándo crees que sucedió esto? Explica tu respuesta.iv) Indica el aumento de peso durante la tercera semana de vida. v) ¿Cual fue el peso máximo del niño en el período graficado? ¿Y el mínimo?

¿En qué días se dieron?

22) Tomado de: “PISA 2003”

La siguiente representación gráficarepresenta la estatura promedio delos hombres y mujeres jóvenes deHolanda en 1998.

i) Desde 1980 la estatura promedio de las mujeres de 20 años ha aumentado 2.3 cmhasta alcanzar los 170.6 cm en 1998.¿Cuál era la estatura promedio de una mujer de 20 años de edad en 1980?

ii) De acuerdo con este gráfico, en promedio, durante qué periodo de su vida son lasmujeres más altas que los hombres de su misma edad

iii) Explica cómo el gráfico muestra que el crecimiento promedio de las mujeres esmás lento después de los 12 años.

Estatura promediode hombres jóvenesen 1998

Estatura promediode mujeres jóvenesen 1998

Estatura(cm.)

Edad(años)

8305783 Relaciones y Funciones

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