Relaciones

y funciones En este artículo se aborda el problema de la enseñanza

de álgebra

4 Relaciones binarias

13 Funciones

3

¿Qué significa triunfar para usted?

Póngase a prueba. Imagine las siguientes

situaciones:¿Quién diría que es un verdadero

triunfador?

ÁLEX

Á lex es honrado, trabajador y amable. Tiene

un negocio que marcha bien y le permite

vivir cómodamente con su familia.

CARLOS

C arlos también tiene un negocio y gana

mucho más que Álex. Pero como quiere

superar a la competencia, se ha esclavizado al

negocio y ahora está muy enfermo.

Y aneth es muy buena estudiante y le encanta

aprender. Siempre saca buenas notas.

YANETH

HELENA

H elena saca mejores notas que Yaneth; de hecho,

está entre las primeras de la clase. Pero hace

trampa en los exámenes y realmente no le interesa

aprender.

Si su respuesta fue Carlos y Helena, o los cuatro, es probable que para usted el éxito se mida por

los resultados, sin importar cómo se hayan obtenido.

En cambio, si su respuesta fue Álex y Yaneth, es probable que mida el éxito por el carácter y la

ética de trabajo de la persona. Eso es mejor. Después de todo…

... ¿qué le conviene más a Yaneth? ¿Sacar las notas más altas, o aprender?

... ¿qué les conviene más a los hijos de Álex? ¿Que su padre pueda comprarles muchas cosas, o

que pase tiempo con ellos? En conclusión, el triunfo imaginario es pura fachada. El triunfo de verdad no es superficial; se basa

en valores y principios.

Relaciones

Relación binarias

Las relaciones binarias se utilizan en muchos

ramas de las matemáticas para modelar

conceptos como "es mayor que", "es igual a", y

"se divide" adentro aritmética, "a

"adentro geometría, "está adyacente" a

adentro teoría de gráfico, y muchos más.

El concepto todo-importante de función se

define comoclase especial de relación binaria.

Las relaciones binarias son también muy

usadas adentro informática, especialmente

dentro de modelo emparentado para bases de

datos.

En matemáticas, una relación binaria es una

relación matemática R entre los elementos de

dos conjuntos A y B.

:

Las proposiciones siguientes son correctas

para representar una relación binaria :

:

También puede expresarse

Ejemplo

Dado el conjunto de los números reales, definimos la relación binaria P (x,y) de los

puntos del plano, según la función cuadrática :

En siglo XIX

El álgebra abstracta se desarrolló en

el siglo XIX, inicialmente centrada

en lo que hoy se conoce como teoría

de Galois y en temas de la

contractibilidad

4

Partiendo del conjunto A de los automóviles de

una localidad y P de las personas, podemos

definir la relación binaria C Conduce, formada

por cada automóvil a, y quien lo conduce p:

Definición. Dominio de una relación.

Sea R una relación.

Definimos el dominio de R como el conjunto

formado por las primeras componentes de las

parejas ordenadas que pertenecen a R y lo

notamos D ( R ) o dom ( R ). Dicho conjunto lo

representamos por comprensión así:

Consecuencias.

Definición. Rango de una relación.

Sea R una relación.

Definimos el rango de R como el conjunto

formado por las segundas componentes de las

parejas ordenadas que pertenecen a R y lo

notamos r ( R ) o ran ( R ). Dicho conjunto lo

representamos por comprensión así:

Consecuencias.

Para las relaciones R y S de la ilustración

10 se tiene.

Representación graficas de

relaciones, las usuales son:

Representación cartesiana y sagital

Los pares ordenados se pueden representar

gráficamente por medio de diagramas

sagitales o por medio de puntos en el plano

cartesiano. Veamos el siguiente ejemplo.

Si A = {1, 2, 3, 4, 5} y B = {1, 3, 5, 7, 9} y R la

relación definida por la regla

R = {(x, y) / y = 2x + 1}, graficar R.

Solución: Los pares ordenados que

pertenecen a la relación (que cumplen con y =

2x + 1) son: R = {(1, 3), (2, 5), (3, 7), (4, 9)}

Relaciones

R = {(x, y) / y = 2x + 1}, graficar R.

Los pares ordenados que pertenecen a

la relación (que cumplen con y = 2x + 1)son:

Y la gráfica correspondiente es la siguiente:

R = {(1, 3), (2, 5), (3, 7), (4,

9)}

Matriz de una relación

La construcción de arreglos en filas y columnas

que cumplen con las reglas de una álgebra,

denotados entre ( ), l l o [ ]. (Nosotros las

representaremos con [ ]). Se construye la matriz

aumentada A", del sistema AX=Y, Esta es la matriz

mx(n+1) cuyas primeras n columnas son las de A

por X y la última columna es Y.

Relación inversa

Sea R una relación. Definimos la relación inversa

de R y la notamos R -1 , al conjunto con la siguiente

propiedad:

Consecuencias.

Ilustración

Para las relaciones R 1 y R 2 , presentadas

anteriormente se tiene:

COMPOSICIÓN DE RELACIONES

sea una relación de A en B y una relación de B

en C. La composición de y es una relación

consistente de los pares ordenados (a, c), donde a

A y c C y para los cuales existe un b B tal que

(a, b) y (b, c) , es decir a b y b c.

Relaciones

La composición se denota por , si y son relaciones.

ejemplos :

a) Sea A={1, 2, 3}, B={1, 2, 3, 4} y C={0, 1, 2} y sean

={(1, 1), (1, 4), (2, 3), (3, 1), (3, 4)}

={(1 ,0),(2, 0), (3, 1), (3, 2), (4, 1)}

Entonces ={(1, 0), (3, 0), (1, 1), (3, 1), (2, 1), (2, 2)}

b) Sean A={1, 2, 3}, B={2, 4, 6, 8} C={s, t, u} y sean

={(1, 2), (1, 6), (2, 4), (3, 4), (3, 6), (3, 8)}

={(2, u), (4, s), (4, t), (6, t), (8, u)}

Entonces ={(1, u), (1, t), (2, s), (2, t), (3, s), (3, t), (3, u)}

c) Sean A={a, b, c, d}, B={s, t, u, v} C={1, 2, 3, 4, 5} y sean

={(a, s), (a, t), (c, v), (d, u)}

={(s, 2), (t, 1), (t, 4), (u, 3)}

Entonces ={(a, 1), (a, 2), (a, 4), (d, 3)}

y gráficamente se puede representar como

Con los ojos cerrados

Chiste de informática

Que haces en frente de la

computadora con los ojos

c e r r a d o s ? ? ?

Nada hijo es que Windows

me dijo que cierre las

pestañas

Relaciones

,,

Relación en un conjunto

En esta sección y en los siguientes nos

ocuparemos de estudiar las relaciones

definidas en un conjunto; es decir, de las

relaciones en las que el conjunto de partida

coincide con el de llegada

En el conjunto R de los números reales se

tienen dos relaciones de esencial importancia.

La relación de igualdad y la relación “menor o

igual”. Uno de nuestros objetivos es

generalizar estas dos relaciones, para obtener

las relaciones de equivalencia y las relaciones

de ordenes de orden, respectivamente. A

cada una de estas le dedicaremos una sección

de partes.

Sean R una relación de un conjunto x. Se dice

que la

RELACIÓN REFLEXIVARELACIÓN REFLEXIVA

Una relación binaria R sobre un conjunto A, es Una relación binaria R sobre un conjunto A, es

reflexiva o refleja si todo elemento de A está reflexiva o refleja si todo elemento de A está

relacionado consigo mismo mediante R.relacionado consigo mismo mediante R.

Es decir,Es decir,

Ejemplos

Sea A un conjunto cualquiera:

Sea , es reflexiva, porque todo conjunto está contenido en sí mismo.

Sea , ("mayor o igual que") es

reflexiva, pero ("mayor estricto que") no lo

es.

Sea , ("menor o igual que") es

reflexiva, pero ("menor estricto que") no lo es.

Sea , (la igualdad matemática), es reflexiva.

Sea , (la inclusión de conjuntos), es reflexiva.

Sea , (la divisibilidad) es reflexiva.

Sea el conjunto de todas las rectas en el

plano, la relación de paralelismo || entre

rectas es reflexiva, porque toda recta es

paralela a sí misma.

Sea el conjunto de todas las rectas en el

plano, la relación de perpendicularidad entre dos rectas es antirreflexiva, porque no

hay rectas que sean perpendiculares a sí

mismas.

Las relaciones Ser padre de y Ser madre de son

antirreflexivas, porque en ningún caso alguien

puede ser padre o madre de sí mismo.

RELACIÓN SIMÉTRICA

Una relación binaria R sobre un conjunto A, es

simétrica cuando se da que si un elemento está

relacionado con otro mediante R, entonces ese

otro también está relacionado con el primero

Es decir

Relaciones

,

Ejemplos

Sea A un conjunto cualquiera:

Sea , (la igualdad matemática), es simétrica.

Sea , es simétrica.

"Estar casado con" es una relación simétrica,

mientras que "ser más alto que" no lo es.

Sea , ("mayor estricto que") es asimétrica,

al igual que ("menor estricto que").

Sea , (la inclusión estricta de conjuntos), es asimétrica.

Relación antisimétrica

Una relación binaria sobre un conjunto es

antisimétrica cuando se da que si dos elementos de

se relacionan entre sí mediante , entonces

estos elementos son iguales.

Es decir,

Ejemplos

Sea un conjunto cualquiera:

Sea , ("mayor o igual que") es

antisimétrica, al igual que ("mayor estricto que"), pues en este último caso, el antecedente

de la definición nunca se cumple.

Sea , ("menor o igual que") es

antisimétrica, al igual que ("menor estricto que"), pues en este último caso,

el antecedente de la definición nunca se

cumple.

La relación "ser más alto que" es

antisimétrica, pues el hecho que a sea

más alto que b y b sea al mismo tiempo

más alto que a, es imposible.

Relación transitiva

Una relación binaria sobre un

conjunto es transitiva cuando se

cumple: siempre que un elemento se

relaciona con otro y éste último con un

tercero, entonces el primero se

relaciona con el tercero.

Esto es:

Dado el conjunto A y una relación R,

esta relación es transitiva si: a R b y b R c

se cumple a R c.

La propiedad anterior se conoce como

transitividad.

Ejemplos

Así por ejemplo dado el conjunto N de

los números naturales y la relación de

orden "menor o igual que" vemos que es

transitiva:

Relaciones

Relaciones de equivalencia

Las relaciones de equivalencia son relaciones entre

los elementos de un conjunto cualquiera y su

característica principal es que abstraen el concepto de

igualdad.

La importancia de estas relaciones consiste en que

dividen a los elementos del conjunto en diferentes

clases, llamadas clases de equivalencia, de tal suerte

que cada elemento pertenece a una y sólo una clase.

Sea un conjunto dado no vacío y una

relación binaria definida sobre . Se dice

que es una relación de equivalencia si

cumple las siguientes propiedades:

Reflexividad: Todo elemento de está relacionado consigo mismo. Es decir,

.

Simetría: Si un elemento de está relacionado con otro, entonces ese otro

elemento también se relaciona con el

primero. Es decir,

Transitividad: Si un elemento de está

relacionado con otro, y ese otro a su vez se

relaciona con un tercero, entonces el

primero estará relacionado también con

este último. Es decir,

Ejemplos

Sea N= {0,1,2, 3...}. Se define una relación de

equivalencia en NxN, como sigue: (a;b)~

(c;d) s.s.s. a+d = b +c. Esta es una relación

de equivalencia en NxN y cada clase de

equivalencia es un número entero. [(2;0)]=

{ (x;y)/ 2+y = 0 + x } a (2;0) se llama

representante canónico y se denota,

simplificadamente, 2.

La igualdad matemática.

La relación de congruencia módulo M en el

conjunto de los números enteros (i.e.

), donde se define: si y sólo si

es múltiplo de M.

Esta relación es de equivalencia porque:

Es reflexiva: a - a = 0, que es múltiplo de M.

Es simétrica: si a - b es múltiplo de M, entonces

b - a = -(a - b) también es múltiplo de M.

Es transitiva: sean k y l números enteros tales

que a - b = M k y b - c = M l. Entonces, a - c = (a

- b) + (b - c) = M k + M l = M(k + l) y por tanto

un múltiplo de M. En particular, si M = 2

tenemos la tradicional clasificación de los

números enteros en pares e impares.

Sea H un subgrupo de un grupo G. Definiendo

para elementos del grupo si y sólo si

, tendremos la relación de equivalencia llamada congruencia módulo

H .

Definiendo, para elementos del grupo,

si y sólo si existe g en G talque , se llama relación de conjugación. Sus clases:

clases de conjugación. Las clases de

equivalencia reciben el nombre de órbita o

clase de conjugación.

Construcción de los enteros

El conjunto de los números enteros puede ser

formalmente construido como las clases de

equivalencia de pares ordenados de números

naturales (a, b) La intuición marca que (a, b)

referirá al resultado de restar a - b, por

supuesto que esta definición obliga a que los

enteros representados por 1-2 y 4-5 sean el

mismo número, para confirmar esto

definiremos una relación ~ sobre estos pares

con las siguientes característ icas

(a, b) ~ (c, d) si a + d = b + c

Relaciones

Construcción de los racionales

En el conjunto Z × Z* de todas las posibles

parejas ordenadas de enteros, donde el

segundo es

distinto de cero, definimos la relación de

equivalencia

(p, q) � (r, s) si y solo si p × s = q × r.

Relación de orden

En matemática y en lógica matemática,

especialmente en teoría del orden y álgebra

abstracta, una relación de orden es una

relación binaria que pretende formalizar la

idea intuitiva de ordenación de los elementos

de un conjunto.

Sea un conjunto dado no vacío y una

relación binaria definida en , entonces se

dice que es una relación de orden[1] si cumple las siguientes propiedades:

Reflexividad: Todo elemento de está relacionado consigo mismo. Es decir, .

Antisimetría: Si dos elementos de se relacionan entre sí, entonces ellos son iguales.

Es decir,

Transitividad: Si un elemento de está relacionado con otro, y ese otro a su vez se

relaciona con un tercero, entonces el primero

estará relacionado también con este último. Es

decir,

Una relación de orden sobre un conjunto

puede denotarse con el par ordenado .

En matemáticas, un diagrama de Hasse es una

representación gráfica simplificada de un

conjunto parcialmente ordenado finito. Esto se

consigue eliminando información redundante.

Para ello se dibuja una arista ascendente entre

dos elementos solo si uno sigue a otro sin

haber otros elementos intermedios.

Diagrama de Hasse

En un diagrama de Hasse se elimina la

necesidad de representar:

ciclos de un elemento, puesto que se entiende

que una relación de orden parcial es

reflexiva.

aristas que se deducen de la transitividad de la

relación

Sea A un conjunto parcial o totalmente

ordenado.

Los elementos a y b de A son consecutivos si y

sólo si:

1.

2.

Orden parcial y orden total

Un orden parcial es una relación binaria R

sobre un conjunto X que es reflexiva,

antisimétrica, y transitiva, es decir, para

cualesquiera a, b, y c en X se tiene que:

aRa (reflexividad).

Si aRb y bRa, entonces a = b (antisimetría).

Si aRb y bRc, entonces aRc (transitividad).

Relaciones

Un conjunto con un orden parcial se denomina

conjunto parcialmente ordenado o poset. A

veces se usa la expresión conjunto ordenado

para uno parcialmente ordenado, siempre que

quede claro que no se hará referencia a otras

clases de orden. En particular, a un conjunto

totalmente ordenado también se lo llama

ordenado a secas, en especial en campos

donde éstos son más comunes que los

parcialmente ordenados.

Usualmente se usa la notación de "≤" en lugar

de "R" para el orden total, ya que este cumple

con la tricotomía

Ejemplos

El conjunto de los naturales con su orden usual

(la relación "menor o igual"). Este orden es

además un orden total.

El conjunto de los enteros con su orden usual.

Este orden es también total.

Un subconjunto finito {1, 2,..., n} de los

naturales. Este orden es también total.

El conjunto de naturales ordenado por la

relación de divisibilidad.

El conjunto de subconjuntos de un conjunto

dado (i.e. su conjunto de partes) ordenado por

inclusión.

El conjunto de subespacios de un espacio

vectorial, ordenado por inclusión.

El conjunto de subespacios de una topología,

ordenado por inclusión.

Relación de orden total. Sea un conjunto

dado, es una relación de orden total si y

solo si todos los elementos de se relacionan entre sí, es decir,

.

Ejemplo es totalmente ordenado. En

efecto, es:

Reflexivo: entonces (porque

por definición, )

Antisimétrico: si y

entonces

Transitivo: si y

entonces

Orden total, pues

Sean m y n dos números naturales, entonces m

≤ n ó n ≤ m.[3]

Contraejemplo, (ℤ+, | ) no es totalmente

ordenado con la relación a|b, " a divide b";

pues

5 no divide a 12, ya que no existe h entero

positivo tal que 12 = 5h. En todo caso, para

cualquier h ∈ ℤ+, 12 ≠ 5h.

Ilusión óptica

¿ v e z l o s

p u n t o s

negros? yo también los veía, pero, descubrí

que en realidad estos, no están, para

comprobarlo, trata de agarrar uno de los

puntos negros. JAJAJA buenísimo.

Funciones

En matemática, una función (f) es una relación

entre un conjunto dado X (llamado dominio) y

otro conjunto de elementos Y (llamado

condominio) de forma que a cada elemento x

del dominio le corresponde un único elemento

f(x) del condominio (los que forman el

recorrido, también llamado rango o ámbito).

Igualdad de funciones

Dadas dos funciones f : A → B y g : C

→ D, son iguales o idénticas si se

cumple:

Tienen el mismo dominio: A = C

Tienen el mismo codominio: B = D

Asignan las mismas imágenes: para cada x ∈ A

= B, se tiene que f(x) = g(x)

hFunción inyectiva y suryectiva

Se dice que una función f : A → B es inyectiva si

las imágenes de elementos distintos son

distintas:

o, de modo equivalente, si sólo asigna

imágenes idénticas a elementos idénticos:

Una función f : A → B se dice

suprayectiva (o sobreyectiva) si su

imagen es igual a su codominio:

o, de modo equivalente, si todo

elemento del codominio es la imagen

de algún elemento del dominio:

Las funciones inyectivas no repiten las

imágenes: si b = f(a), ningún otro a' tiene por

imagen a b, por lo que la anti-imagen de este

último sólo contiene al elemento a. Las

funciones suprayectivas recorren todo el

codominio, por lo que ninguna anti-imagen

puede estar vacía. La definición de función

suprayectiva asume que esta tiene un

codominio especificado previamente. De lo

contrario, la noción de suprayectividad no

tiene sentido.

Cuando una función tiene ambas propiedades

a la vez, se dice que es una biyección entre

ambos conjuntos:

Una función f : A → B se dice biyectiva si es

inyectiva y suprayectiva.

Las funciones biyectivas constituyen un

«emparejamiento perfecto» entre los

elementos del dominio y el codominio: cada

elemento en A tiene una única «pareja» en B —

como todas las funciones—, y a cada elemento

de B le corresponde uno solo en A —al menos

uno por ser suprayectiva, y como mucho uno

por ser inyectiva.

Ejemplos.

La función cubo f: R → R es biyectiva. Es

inyectaba porque dos números reales que

tienen el mismo cubo son idénticos, y es

suprayectiva porque Im(f) = R.

La función «inverso» g: R \ {0} → R es inyectiva,

ya que el inverso de cada número real no nulo

es único (1/x = 1/y implica necesariamente que

x = y). Sin embargo no es suprayectiva, dado

que Im(g) = R \ {0}.

mamíferos hay clasificada al menos una

especie de mamíferos.

distintos con el mismo área.

13

Funciones

La función de clasificación de mamíferos γ: M

→ G no es inyectiva, ya que hay mamíferos

distintos en el mismo género (por ejemplo, γ

(Yak) = γ(Toro) = . Sin embargo sí es

suprayectiva, en cada género .

La función área A: T → R no es sobreyectiva, ya

que Im(A) = R+. Tampoco es inyectiva, ya que

pueden construirse con facilidad triángulos

Composición de funciones

Sean dos funciones f : A → B y g : C → D, tales

que el recorrido de la primera esté contenido

en el dominio de la segunda, m(f) ⊆ C.

Entonces puede formarse la composición de g

con f, la función g ∘ f : A → D que a cada a en el

dominio A le asocia el elemento (g ∘ f)(a) = g(f

(a)).

Es decir, la composición g ∘ f hace actuar

primero la función f sobre un elemento de A, y

luego g sobre la imagen que se obtenga:

La condición Im(f) ⊆ C asegura precisamente

que este segundo paso se pueda

llevar a cabo.

Ejemplos

La imagen de la función «inverso» g es R \ {0}

—puesto que todo número real no nulo es el

inverso de otro—, y por tanto está contenido en

el dominio de la función cubo f, que es R. La

composición f ∘ g: R \ {0} → R actúa entonces

como f(g(x)) = f(1/x) = (1/x)3 = 1/x3.

Dadas las funciones reales h1: R → R y h2: R →

R dadas por h1(x) = x2 y h2(x) = x + 1, puede

tomarse la composición en ambos órdenes, h1 ∘ h2 y h2 ∘ h1. Sin embargo, son funciones

distintas, ya que:

(h1 ∘ h2)(x) = h1(h2(x)) = h1(x + 1) = (x + 1)2 =

x2 + 2x + 1, y

(h2 ∘ h1)(x) = h2(h1(x)) = h2(x2) = x2 + 1

La función γ que clasifica los mamíferos en

géneros puede componerse con la función

ω: G → Or que clasifica los géneros de

mamíferos en órdenes —que forman el

conjunto Or—. La función ω ∘ γ asigna a

cada mamífero su orden:

(ω ∘ γ)(Humano) = ω(Homo) = Primate, (ω ∘ γ)

(Guanaco) = ω(Lama) = Artiodactyla

Función inversa

Dada una función f : A → B, se dice

que g : B → A es la inversa o

recíproca de f si se cumple:

La inversa se denota por g = f−1, y tanto f como

f−1 se dicen invertibles.

Veamos un ejemplo a partir de la función f(x) = x + 4

Sopa de letras

Autores: Richard león C.I.:25.570.467

Eduardo Pérez 22.181.338

Ariannys Veliz 26.568.768