Relaciones Escalares y Complejas (1)

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UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA

FACULTAD DE INGENIERÍA ELÉCTRICA Y ELECTRÓNICA

LABORATORIO DE CIRCUITOS ELÉCTRICOS II

EXPERIENCIA N°1:“RELACIONES ESCALARES Y COMPLEJAS EN CIRCUITOS LINEALES”

INFORME PREVIODOCENTE:

ÁLVARO CISNEROS, CIRO

ALUMNO:SERNA TORRE, PAUL ADÁN

CÓDIGO DEL ALUMNO:20124052G

CÓDIGO DE CURSO:EE132M

Lima-Perú2014


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CICLO 2014-II

EXPERIENCIA N°: “Relaciones escalares y complejas en circuitos lineales”. INFORME PREVIO 2

UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍALABORATORIO DE CIRCUITOS ELÉCTRICOS II (EEI32M)

INFORME PREVIO: RELACIONES ESCALARES Y COMPLEJAS EN CIRCUITOS

LINEALES

1. FUNDAMENTO TÉÓRICO

Hoy en día, resulta importante para el ingeniero electricista recordar los conceptos primordiales que rigen el campo

de la electricidad, a pesar que muchas veces estos conceptos resultan “fáciles” a primera vista. A consecuencias

de esto, se plantea como fundamento teórico abordar saberes básicos acerca de los circuitos eléctricos y

finalmente tratar el tema de lugares geométricos, que es la base para el desarrollo de la experiencia en el

laboratorio.

1.1. CONCEPTO DE SENOIDES Y FASORES

¿Quées una s eno ide ?

Matemáticamente, se define como una función que tiene la forma de seno o coseno, por lo tanto posee todas sus

propiedades de una función sinusoidal. Para ejemplificar, si queremos representar una tensión de corriente alterna,

es necesario usar una senoide de la siguiente manera:

() = sin ó () = cos

Donde: : ó.

: ó.

¿Por q uérealmen te so n im po rtant es las s enoid es en la in geniería ?

Primera razón: las senoides aparecen en una amplia variedad de situaciones de la naturaleza como por ejemplo:

las vibraciones mecánicas. Segunda razón: las senoides son fáciles de generar y transmitir; por ejemplo: resulta

más beneficioso usar altos voltajes (en AC) para transmitir energía pues así se reduce las pérdidas i2r en los cables

pero para ese proceso es necesario el uso de transformadores los cuales solo pueden operar con corriente alterna.

Tercera razón: se puede decir que cualquier función periódica se puede expresar en senos y cosenos (series de

Fourier).

¿Quées un fas or ? ¿Po r q uése u san ? ¿Cómo obtener un fasor a part i r de una senoide ?

Es un número complejo (por lo tanto también un vector) que representa a una senoide con amplitud y fase,

cabe mencionar que los fasores no son variables con el tiempo; este es un claro motivo por qué se usan los

fasores para resolver circuitos eléctricos con excitación alterna en estado estacionario. Podemos

ejemplificar cómo relacionamos un fasor con una senoide de la siguiente manera:


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() = cos( + ∅) − −→ =

(Dominio del tiempo) -- (Dominio de la frecuencia)

1.2. RELACIONES FASORIALES CON ELEMENTOS DE CIRCUITOS

a) Elemento resistivo

Excitación (en el dominio del tiempo):

Respuesta (en el dominio del tiempo): (Ley de Ohm)

Respuesta (en el dominio de la frecuencia):

b) Elemento inductivo


Respuesta (en el dominio del tiempo):

Respuesta (en el dominio de la frecuencia):

Figu ra 1. Representac ión gráfica de losfasores de tensión y corr iente en unresist or. Nótese qu e ambo s están en faseo coinciden.

Figur a 2. Representaci ón en el planocom plejo de los fasores de tensión ycorr iente en el inducto r . Aquíel fasor d eco rrien te está atras ado 90°resp ecto alfasor de voltaje.


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c) Elemento capacitivo


Respuesta (en el dominio de la frecuencia): (El detalle de los pasos para pasar de la

respuesta del dominio del tiempo a la frecuencia es similar al del inductor solo que ahora se usará i=Cdv/dt, por

esta razón se han obviado los pasos).

1.3. DEFINICIONES LACÓNICAS DE IMPEDANCIA Y ADMITANCIA

Si analizamos en el dominio de la frecuencia (de cada elemento) nos podemos dar cuenta de la siguiente relación:

De esta manera, podemos decir que existe una ley de Ohm en el dominio fasorial, así podemos introducir el

concepto de impedancia y de admitancia:

Donde Z: impedancia; Y: admitancia. Así, la impedancia se puede definir como la oposición que presenta un

circuito al flujo de corriente alterna; la impedancia no es un fasor pues no representa a una senoide , pero

sí es un número complejo, por lo tanto se puede expresar en modo rectangular como la suma de dos componentes:

(R: resistencia; X: reactancia)

En adición, la admitancia también se puede descomponer en forma rectangular debido a que este también es un

número complejo:

(G: conductancia; B: susceptancia)

Figura 3. Muestra de los fasores detensión y co rr iente en un capacitor . Nótesequ e el faso r de co rrien te adelan ta 90°alfasor de tensión.


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1.4. LUGARES GEOMETRICOS DE UNA IMPEDANCIA

Con el breve fundamento anterior, ahora sí es posible referirnos a los lugares geométricos de una impedancia.

¿Cómo se originan los lugares geométricos en el plano de la impedancia y/o admitancia?

Cuando tenemos a una determinada impedancia (sea resistiva-inductiva o resistiva-capacitiva) y variamos el valor

de algún parámetro (R, L o C) obtenemos una impedancia distinta a la anterior; si seguimos variando ese mismo

parámetro manteniendo algún otro constante, entonces resultará otra impedancia diferente a las dos anteriores;

de esta manera, si continuamos realizando esta variación obtendremos una serie de impedancias, es decir,

números complejos cuyas “puntas” de sus vectores formarán una curva a la cual denominamos “lugar

geométrico”; como es obvio, esta curva generada se encuentra en el plano complejo pero específicamente en el

plano de la impedancia, luego si transformamos cada punto de la impedancia a una admitancia obtendremos otra

curva la cual está en el plano de la admitancia, así este es otro lugar geométrico.

¿Para qué nos sirve el lugar geométrico de la impedancia y/o admitancia?

Una vez que hemos obtenido el lugar geométrico de la admitancia (G vs B), entonces podemos emplear la relación

conocida como:

=

Si consideramos a la tensión como un número real, es decir un fasor con argumento cero grados, entonces al

multiplicarlo a la admitancia, no se deformará el lugar geométrico de la admitancia, tan solo se “agrandará” el lugar

geométrico de la admitancia; así este curva obtenida será el lugar geométrico de la corriente como fasor.Finalmente, con este lugar geométrico podremos conocer rápidamente la variación de la corriente en

magnitud y fase.

Incluso, si tenemos una conexión en paralelo de elementos RLC, podremos conocer para qué valor de cierto

parámetro (R, L o C) se alcanza un factor de potencia máximo; así determinaremos que en ciertos caso es

posible llegar a la resonancia del circuito con variar cierto parámetro.

A continuación se presenta las distintas configuraciones básicas de una impedancia, con sus respectivos lugares

geométricos:


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2. MATERIALES A UTILIZAR EN LA EXPERIENCIA

Instrumentos de m edic ión requer idos:

2 multímetros, escalas de 0-250V A.C. (V1, V2)

Amperímetro, escalas 2-3A AC.

Voltímetro de cuadro de 0-250V A.C. (V)

Elementos p asivos para los ci rcu i tos a montar :

Potenciómetro de 320Ω (R2)

Caja de condensadores (variable de 30uF)

Potenciómetro de 460Ω

Reactor de núcleo de hierro de 0.25Hr.

Juego de conductores

Máqu inas eléctr icas y o tro s d isp os itivo s eléctri cos para lo s c ircu itos a mon tar:

o Autotransformador 220V


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3. CIRCUITOS ELÉCTRICOS A UTILIZAR DURANTE LA EXPERIENCIA

Ci rc u it o N°1

El circuito a montar es básicamente un circuito R-L; básicamente utilizaremos un potenciómetro (R1) el cual

variaremos su resistencia y mediremos para cada valor de resistencia con los instrumentos de medición indicados.

Como se nota, se utiliza un autotransformador con el fin de regular la tensión de entrada a 220V.

Ci rc u it o N°2

A diferencia del primero circuito, ahora montaremos un circuito R-C; a pesar que los dos elementos R y C son

variables según se indica en el circuito, en realidad solo utilizaremos la resistencia variable para determinar como

referencia un valor de corriente de 1.2ª; luego cambiaremos los valores de capacitancia con la caja de

condensadores y utilizaremos los instrumentos de medición para registrar todas las magnitudes posibles (tensión

e intensidad de corriente).

Fig ur a 4. Cir cu ito eléct ric o N°1. Nótes e med idor es qu e se us arán asícom o lo spotenciómetros R1 y la inductancia L.

Figu ra 5. Ci rc u it o eléct ri co N°2.Nótese los m edidores que seus arán asícom o lospotenciómetros R2 y el banco decondensadores.


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Luego de realizar el análisis del circuito N°1, vemos que a partir de las ecuaciones I y II es posible calcular

todas las magnitudes del circuito. Con la ecuación I podremos calcular la tensión en R1 para una determinada

intensidad de corriente; luego con esta tensión conocida hallaremos el valor de la R1 que cumple para la corrienteque inicialmente se planificó. Cabe mencionar, que siempre se mantiene constante la tensión de alimentación.

Con la anterior, explicación solo queda realizar operaciones aritméticas; lo que realmente importa es acerca de

cuántos decimales se emplean para las operaciones debido a que esto influye en la exactitud de los cálculos. Así

en la siguiente tabla se usan las ecuaciones I y II, usando un redondeo de 3 decimales.

VE (V) A VR (V) VL (V) R (Ω) cos f.p)

1 220 0.8 206.676 75.398 258.345 0.939

2 220 0.75 208.335 70.686 277.78 0.947

3 220 0.7 209.875 65.974 299.821 0.954

4 220 0.65 211.299 61.261 325.075 0.96

5 220 0.6 212.608 56.549 354.347 0.966

6 220 0.55 213.806 51.836 388.738 0.972

7 220 0.5 214.894 47.124 429.788 0.977

8 220 0.45 215.873 42.412 479.718 0.981

9 220 0.4 216.746 37.699 541.865 0.985

10 220 0.35 217.513 32.987 621.466 0.989

Observaciones acerca de los cálculos:

-A medida que la resistencia aumenta, la corriente se ve disminuida manteniendo siempre la tensión de entrada

constante.

-Cuando aumentamos la resistencia de la carga (RL), esto se ve reflejado directamente en un aumento del factor

de potencia; esto se debe a que al aumentar la parte resistiva de la carga, mayor es el consumo de potencia activa.

-Según la experiencia, solo disponemos de dos resistores uno de 320Ω y otro de 460Ω; por lo tanto según el

cuadro, para seguir disminuyendo la corriente de 0.05 en 0.05A será necesario conectar las dos resistencias en

serie, de esta manera dispondremos de un mayor valor de resistencia.


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5. SIMULACIONES DE LOS CIRCUITOS A UTILIZAR

5.1. SIMULACIONES REFERIDAS AL CIRCUITO N°1

Se utilizó el simulador Multisim donde se montó hasta tres circuitos diferentes con diferente valor de

resistencia cada uno; de esta manera podemos comparar los valores obtenidos por los cálculos previos

y la simulación.

Simulación cuando R1=258.345Ω : Obtenemos un a corr iente de 0.8 A que es acorde con lo plani f icado y

cálcu los prev ios .

Simulación cuando R1=277.78 Ω: Obtenemos una corriente de 0.75A que resulta igual con los cálculos

previos y lo pani f icado.

V1

220 Vrms

60 Hz

0°

R1

277.78Ω

L1

0.25H

U1

AC 10MOhm

208.334 V

+ - U2

AC 10MOhm70.688 V+

-

Ue

AC 10MOhm220.000 V+

-

A

AC 1e-009Ohm

0.750 A+ -

V1

220 Vrms

60 Hz

0°

R1

258.345Ω

L1

0.25H

U1

AC 10MOhm

206.675 V

+ - U2

AC 10MOhm75.400 V+

-

Ue

AC 10MOhm220.000 V+

-

A

AC 1e-009Ohm

0.800 A+ -


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Simulación cuand o R1=325.075 Ω: Nuevamente o btenemo s u na co rriente de 0.650 A que es idéntico con el

valor planif icado.

5.2. SIMULACIONES REFERIDAS AL CIRCUITO N°2

Nuevamente se utilizó el simulador Multisim, también se realizaron simulaciones de hasta tres circuitos con

diferentes valores de capacitancia en cada uno. Estos valores de capacitancia han sido previamente cálculos para

una determinada corriente; de esta manera, se intentará corroborar las mediciones de las simulaciones con los

cálculos previos.

Simulación cuando C1=30uF: se obtuvo u na corr iente de 1.2A qu e es conforme co n lo p redicho con los


V1

220 Vrms

60 Hz

0°

R1

325.075Ω

L10.25H

U1

AC 10MOhm

211.297 V

+ - U2AC 10MOhm61.263 V

+

-

UeAC 10MOhm220.000 V

+

-

A

AC 1e-009Ohm

0.650 A+ -

V1

220 Vrms

60 Hz

0°

R1

160.603Ω

U1

AC 10MOhm

192.722 V

+ - U2AC 10MOhm106.104 V

+

-


+

-

A

AC 1e-009Ohm

1.200 A+ -

C130µF


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Simulación cu ando C1=10.807uF: se obtuvo una corr iente de 0.75A que es conform e con lo predicho con

los cálcu los prev ios .

Simulación cuand o C1=17.642uF: se obtu vo un a corriente de 1A que es acorde con lo predic ho co n los


Observación: Acerca de todas las tensiones obtenidas por simulación en todos los circuitos, estos valores difieren

ligeramente (por milésimas) respecto a los cálculos previos; esto se debe a dos razones:

-Los dispositivos de medición utilizados en la simulación poseen una resistencia interna que está

indicada cerca de ellas; justamente esta resistencia interna influye cuando se realizan las mediciones;

en cambio cuando se hizo cálculos previos, se consideró que todos los dispositivos eran ideales.

-Durante los cálculos previos, se utilizó aritmética de tres dígitos para todas las operaciones , es

decir, que se redondearon todos los resultados hasta con tres dígitos decimales; por lo tanto a medida

que se hacían más operaciones aritméticas se introducían más errores aunque estos son de poca

consideración.

V1

220 Vrms

60 Hz

0°

R2

160.603Ω

U1

AC 10MOhm

120.453 V

+ - U2AC 10MOhm184.092 V

+

-


+

-

A

AC 1e-009Ohm

0.750 A+ -

C10.807µF

V1

220 Vrms

60 Hz

0°

R1

160.603Ω

U1

AC 10MOhm

160.600 V

+ - U2AC 10MOhm150.356 V

+

-


+

-

A

AC 1e-009Ohm

1.000 A

+ -

C117.642µF


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6. APLICACIONES

A consecuencia de que la experiencia que se realizará está orientada a operar con los diferentes elementos básicos

(R, L y C) de un circuito con corriente alterna, se desarrollarán dos aplicaciones que están relacionadas con ese

enfoque.

APLICACIÓN 1: CIRCUITOS MEDIDORES DE INDUCTANCIA Y CAPACITANCIA

Este es una aplicación muy parecida al puente Wheatstone con corriente directa; ahora el objetivo será emplear

un circuito con elementos R, L o C para calcular una inductancia de un inductor o una capacitancia de un capacitor.

Seguiremos el mismo principio que se realizó en el puente Wheatstone; ahora se necesita una fuente de corriente

alterna; así como un amperímetro o voltímetro pero de precisión de CA.

Considérese la forma general del circuito puente de ca que se presenta en la figura 6. El puente está equilibrado

cuando no fluye corriente a través del medidor. Esto significa que V1=V2. Al aplicar el principio de división de

corriente se tiene:

Figura 6. Circuito “puente de CA”. Nóteseque el medidor de CA puede ser unamp erímet ro o vo ltímet ro de CA.

Figur a 7. Puentes de CA esp ecífico s paramedir indu ctancias y capacitancias.


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Esta es la relación para un puente de CA equilibrado. En la figura 7 se muestran puentes de CA para medir L y C,

donde Lx y Cx son las magnitudes que se desean conocer, mientras que Ls y Cs son valores conocidos con gran

precisión. En cada caso, dos resistores R1 y R2 se hacen variar hasta que el medidor de CA lee cero, se diceentonces que el puente está equilibrado. De la ecuación anterior se obtiene:

APLICACIÓN 2: CIRCUITO DESFASADOR RC

Un circuito desfasador suele emplearse para corregir un corrimiento de fase no deseable que se encuentra

presente en un circuito. Con la finalidad de corregir se emplea un circuito RC, debido a que la corriente en capacitor

está adelantada a la tensión aplicada. Dos circuitos RC de uso común aparecen en la figura 8. En la figura 8.a se

observa que la corriente del circuito I se adelanta a la tensión aplicada Vi en algún ángulo de fase que se

encuentra entre 0 y 90°, dependiendo de los valores R y C. Si Xc=-1/(wc), entonces la impendancia total es

Z=R+jXc y el desplazamiento de fase está dado por:

Esto indica que el corrimiento de fase depende de los valores R, C y de la frecuencia de operación. Puesto que la

tensión de salida Vo a través del resistor está en fase con la corriente, Vo se adelanta a Vi como se muestra en la

figura 9.a.

En la figura 8.b, la salida se ha tomado a través del capacitor. La corriente I se adelanta a la tensión de entrada Vi

en , pero la tensión de salida Vo(t) a través del capacitor se atrasa a la tensión de entrada Vi como se muestra

en la figura 9.b.


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Figura 8. Circui tos desfasadores RC paraadelanto y atraso.

Figur a 9. Ondas Vo y Vi desfas adas segúnel circui to RC uti l izado.

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