Matematicas I

Ejercicios PropuestosCurso 2009–2010

Profesores

Davila Cardenes, Nancy

Dorta Gonzalez, Pablo (Coordinador Practicas)

Garcıa Artiles, Marıa Dolores (Coordinadora CC. Economicas)

Gomez Deniz, Emilio

Suarez Vega, Rafael (Coordinador LADE y DCE)

Departamento de Metodos Cuantitativos en Economıa y Gestion

Universidad de Las Palmas de Gran Canaria

Capıtulo 1. Funciones reales de variable real. Lımites

y continuidad

Relacion de ejercicios

1. Hallar el dominio de las funciones:

(a) f(x) =5 − x2

x2 − 1. (b) g(x) =

√x2 + x + 1.

(c) h(x) = ln(x2 − 1). (d) q(x) = ex2−1

x .

2. Representar graficamente las siguientes funciones:

(a) y = 3x − 5. (b) y = x2 − 9.

(c) y =1

2x − 1. (d) y = −x2 − 2.

(e) y = x2 − 5x. (f) y = 6x − x2 + 3.

(g) y = 8x2 − x + 4. (h) f(x) =

⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩

2x + 1, 0 ≤ x ≤ 1,

−x2 + 2x, 1 < x.

(i) h(q) =

⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩

q, −1 ≤ q < 0,

3 − q, 0 ≤ q < 3,

q2 + 1, 3 ≤ q ≤ 5.

3. Dadas las siguientes funciones:

(a) f(x) = x2 + 1, g(x) =√

x − 1,

(b) f(x) = 4x, g(x) = x−2

2.

(c) f(x) = ln(

x−2x

), g(x) = ex2

,

obtener (g ◦ f)(x) y (f ◦ g)(x).

4. Hallar las funciones inversas de las siguientes funciones:

(a) f(x) = 3x + 5. (b) g(x) = x−2x+1

.

(c) h(x) = 5e2x−1. (d) t(x) = x2 − 2x + 1, para x > 1.

1

5. Una mujer compra un automovil en 3800 euros. Si despues de dos anos vale 3000

euros, hallar la relacion entre el ano y el valor del automovil si se representa por una

ecuacion lineal. ¿Cuanto costara el automovil 5 anos despues del dıa de la compra?

6. Un distribuidor vende naranjas a 80− 0.02x euros el kilo, donde x es la cantidad de

kilos vendida.

(a) Hallar la expresion para los ingresos I(x) (precio por cantidad vendida) por la

venta de la cantidad x y representa I(x).

(b) ¿Que cantidad producira el ingreso maximo, y cual es dicho ingreso maximo?

7. Resolver las siguientes ecuaciones:

(a) e2x−5 + 1 = 4. (b) 3e2x − 1 =1

2. (c) eln(2x) = 5.

(d) e3 ln x = 8. (e) 22x − 3 · 2x + 2 = 0. (f) ln(2x + 1) = 2.

8. La densidad de poblacion a x kilometros del centro de una ciudad esta dada por una

funcion de la forma P(x) = Ae−kx, expresada en personas por kilometro cuadrado.

Encontrar esta funcion si se conoce que la densidad de poblacion en el centro de la

ciudad es 15000 personas por kilometro cuadrado y la densidad a 10 kilometros del

centro es 9000 personas por kilometro cuadrado.

9. Las funciones de oferta y demanda se ajustan muchas veces mediante funciones

lineales. La demanda viene dada por funciones del tipo qd = b− a p, siendo a, b > 0

donde qd representa la cantidad demandada al precio p. Puesto que esta funcion

representa la cantidad que los consumidores estan dispuestos a comprar al precio p,

la pendiente negativa indica que al aumentar los precios las compras disminuyen.

Igualmente la oferta adopta la forma qs = c+d p, c, d > 0, representando la cantidad

que los productores estan dispuestos a producir a un precio de venta p, por tanto,

en este caso la pendiente positiva indica que si el precio aumenta tambien lo hace

la produccion.

2

El precio de equilibrio es aquel en el que la oferta y la demanda se igualan, qd = qs,

y la cantidad de equilibrio es el numero de unidades que hay que producir para que

se igualen demanda y oferta.

Dadas las funciones de demanda qd y de oferta qs determinar la cantidad y el precio

de equilibrio y representar graficamente.

(a) qd = 50 − 2 p, qs = 10 + 2 p.

(b) qd = 2160 − 180 p, qs = −2400 + 300 p.

10. Calcular los siguientes lımites, cuando existan:

(a) limx→+∞

5x2 + 7x

6x2 + 2x. (b) lim

x→0

√1 + x − 1

x. (c) lim

x→1

x − 1

x2 − 1.

(d) limx→2

a1/(x−2)2 , (a > 0). (e) limx→2

a1/(x−2), (a > 0). (f) limx→2

x2 − 4

x − 2.

(g) limx→0

|x|x

. (h) limx→+∞

8 − 2x − x4

5 − 3x4 + 2x2. (i) lim

x→+∞

√2x2 + 1

x − 1.

(j) limx→+∞

[2

x− x2

x2 − 1

]. (k) lim

x→+∞

(√x2 + x − x

).

11. Estudiar la continuidad de las siguientes funciones:

(a) f(x) =

⎧⎨⎩

11+e1/x , x �= 0,

0, x = 0.

(b) f(x) = |x|x

, x �= 0.

(c) f(x) = ex(x7 + 3).

(d) f(x) =

⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩

6x2 − 2x, 2 ≤ x ≤ 6,√

8x, 6 < x ≤ 8,

x2−32x−4

, x > 8.

12. Obtener el dominio y asıntotas para las funciones:

(a) f(x) = ex

x−1

x. (b) f(x) = 1√

x2−6x+8.

3

13. Comprobar la existencia de al menos una raız para las siguientes ecuaciones:

(a) x3 + 2x − 1 = 0 en [0, 3].

(b) x3 + x2 + 2x + 1 = 0 en todo IR.

(c) ln x =2

xen IR+.

14. Una funcion f definida para x ≥ a tiene la grafica

a

B

A

b c

Calcular, si existen, los siguientes lımites:

limx→a+

f(x), limx→b

f(x), limx→+∞

f(x).

¿Que puede decirse sobre la existencia de asıntotas?

15. Hallar el conjunto de puntos que verifican las siguientes desigualdades:

(a) x3 − 8x2 + 21x − 18 ≤ 0.

(b) x3 + 4x > 0.

(c) 3x2+3x+2

> 0.

16. Las ecuaciones de oferta y demanda de un bien son:

p = q3 + 6q + 20,

p = 300 − 10q,

respectivamente. Comprobar, utilizando el teorema de Bolzano, que existe un punto

de equilibrio del mercado en [5, 6].

4

Cuestiones tipo test

Solo una de las alternativas es correcta

1. Si f(x) = x3ex y g(x) = ln x, entonces

el valor de (f ◦ g)(

1e

)es:

a) e. b) −1

e. c)

1

e.

2. Dadas las funciones

f(x) =x + 3

x − 1, g(x) =

1

x2,

el dominio de la funcion (f ◦ g)(x) es:

(a) IR − {−1, 1}.

(b) IR − {1}.

(c) IR − {0}.

3. El dominio de la funcion

f(x) =2x + ln(x + 4)√

x2 + x − 6

viene dado por:

(a) Dom(f) = (−4,−3) ∪ (2, +∞).

(b) Dom(f) = (−∞,−3) ∪ (2, +∞).

(c) Dom(f) = (−3, 2).

4. Si y = ln(

x+2x

), entonces:

(a) No es posible obtener x en funcion

de y.

(b) x = e1+ln 2/y.

(c) x = 2ey−1

.

5. Si f(x) = 2x + 1 y g(x) =√

x − 1,

entonces:

(a) (f ◦ g)(x) = 2√

x − 1.

(b) (g ◦ f)(x) =√

2x + 1.

(c) (g ◦ f)(x) =√

2x.

6. Sea f(x) una funcion definida en todo

IR, continua en todo IR y estrictamente

creciente, entonces f(x):

(a) Puede tener asıntota horizontal y

vertical.

(b) Puede tener asıntota horizontal

pero no vertical.

(c) Puede tener asıntota vertical pero

no horizontal.

7. Dadas las funciones f(x) = 2x − 5 y

g(x) =1

x, entonces (g ◦ f)(x) tiene

una asıntota:

(a) Horizontal en y =1

2.

(b) Vertical en x =5

2.

(c) Vertical en x = 0.

8. La funcion f(x) =1 + 2x2

x + 1+

1

2tiene

una asıntota oblicua en:

5

(a) y = 2 − 3

2x.

(b) y = 2x − 3

2.

(c) y = 2x − 2

3.

9. Sea f : [−1, 1] → IR dada por:

f(x) =

⎧⎨⎩

1x, x �= 0,

0 x = 0.

(a) Como f(x) esta definida en un

intervalo cerrado y acotado, nece-

sariamente alcanza en [−1, 1] sus

extremos globales.

(b) f(x) es continua en [−1, 1].

(c) f(x) no esta acotada en [−1, 1].

10. El limx→+∞

ex + 3e3x

ex + 5e3xes:

(a) ∞. (b) 53. (c) 3

5.

11. La funcion

f(x) =

⎧⎨⎩

ln e3, x ≤ 2,

1 + ln(mx), x > 2,

es continua si m vale:

(a) 2e. (b) e2

2. (c) e2.

12. Si f(x) = e1+x y g(x) = 1ln(x2+2)

, en-

tonces:

(a) (g ◦ f)(x) = x.

(b) (g ◦ f)(x) = 1

ln(e2(1+x)+2).

(c) (g ◦ f)(x) = 1ln 2+2+2x

.

13. Si

p(x) = (x − 1)2(x2 − 5x + 6),

entonces :

(a) p(x) > 0, en (2, 3).

(b) p(x) < 0, en (1, 2).

(c) p(x) ≥ 0, en (−∞, 2).

14. La curva f(x) = x3

2x2−1tiene una asıntota

oblicua dada por:

(a) y = 12x. (b) y = −1

2x. (c) y = 2x.

15. Si existe una asıntota oblicua en una

funcion racional, entonces:

(a) El grado del numerador y del de-

nominador deben ser iguales.

(b) El grado del numerador debe ser

igual al grado del denominador

mas uno.

(c) El grado del numerador debe ser

inferior al grado del denominador.

16. Sea f(x) = ax + b2, a, b �= 0, f(x)

cumple las hipotesis de Bolzano en [0,1]

si:

(a) a < −b2. (b) a > 0. (c) a > b2.

6

17. Dada la funcion

f (x) =1√

x2 − 4x + 3,

entonces Dom (f) es:

(a) (−∞, 1) ∪ (3, +∞).

(b) [1, 3].

(c) (−∞,−3) ∪ (1, +∞) .

18. La inversa de la funcion

f (x) = ln

(x + 1

x − 1

)

es:

(a) x =1 − ey

ey + 1.

(b) x =ey − 1

ey + 1.

(c) x =ey + 1

ey − 1.

19. La inversa de la funcion

f (x) =√

1 − 4e2x

es:

(a) x = ln√

1−y2

4.

(b) x =

√ln

(1−y2

4

).

(c) x =√

1−y2

4.

20. La funcion inversa de

y = ln (ex − 1) − ln 2 − 1

es:

(a) x = ln (2ey+1 + 1) .

(b) x = ln (ey+1 + 1) .

(c) x = ln (2ey+1) .

21. Una asıntota horizontal de la funcion

f (x) =e

xx−1

x

es:

(a) y = 0. (b) y = 1. (c) y = e.

22. Dada la funcion f (x) = e1

1−x :

(a) x = 1 es una asıntota vertical por

la izquierda.

(b) x = 1 es una asıntota vertical por

la derecha.

(c) y = 0 es una asıntota horizontal.

7

Capıtulo 2. Derivabilidad de funciones reales de va-

riable real

Derivadas de las funciones elementales

f(x) = xn f ′(x) = nxn−1

f(x) =√

x f ′(x) =1

2√

x

f(x) =1

xf ′(x) = − 1

x2

f(x) = ln x f ′(x) =1

x

f(x) = ax, a > 0 f ′(x) = ax ln a

f(x) = ex f ′(x) = ex

Derivadas de las funciones compuestas

g(x) = f(x)n g′(x) = nf(x)n−1f ′(x)

g(x) = ln f(x) g′(x) =f ′(x)

f(x)

g(x) = af(x), a > 0 g′(x) = af(x)f ′(x) ln a

g(x) = ef(x) g′(x) = ef(x)f ′(x)

8

Relacion de ejercicios

1. Calcular las derivadas de las siguientes funciones y para los apartados (a), (b), (c)

y (e) calcular, si es posible, la expresion de la recta tangente a la curva en el punto

de abscisa 1.

(a) y = 3x−3 +1

2x2/3 − 3

4

5√

x2 +1

x−4. (b) y =

7

x2+ 200x. (c) y = ln(3x2 + 2).

(d) y =

(x + 1

x − 1

)3

. (e) y = ln 3

√1+x1−x

. (f) y =6x3 + 2x

4√

x.

(g) y =4√

3x. (h) y = ex+ex. (i) y =

a2 − x2

√a + x

.

(j) y = ln(x +

√1 + x2

). (k) y = x

√x2 − 1. (l) y =

√x

83√

x2.

(m) y = xe−x2. (n) y = ex ln x. (o) y = xx2

.

(p) y = xx. (q) y = (ln x)x . (r) f(x) = (ln x)ex

.

2. La depreciacion de cierta maquina cuyo valor inicial es de 50000 euros sigue la

expresion:

D(t) = 50000 − 5000t,

donde t esta medido en anos (0 ≤ t ≤ 10). Se pide:

(a) Calcular la tasa de variacion de la depreciacion con respecto al tiempo en t = 2,

t = 3 y para cualquier valor de t.

(b) Supongamos ahora que la tasa de depreciacion de esa misma maquina sigue la

expresion

D(t) = 50000e−2.3t.

Calcular la tasa de variacion de la depreciacion con respecto al tiempo en los

mismos valores que el apartado anterior.

9

3. La poblacion P de una ciudad dentro de t anos viene dada por P = 30000e0.04t.

Comprobar que la tasa de cambio de la poblacion en cualquier momento es propor-

cional a la poblacion en ese momento.

4. Dado:

(a) x = (p2 + p − 1)3 y p = t2+1t

, calcular dxdt

.

(b) r = Axα y x =√

u + 1, hallar drdu

.

5. La ecuacion de demanda del producto de un fabricante es p = 3 − 200√q. Se pide:

(a) Obtener la tasa de cambio de p con respecto a q.

(b) Obtener la tasa de cambio de q con respecto a p. Evaluarla en el punto p0 = 1.

6. Calcular dydx

para las siguientes funciones en los puntos que se indican:

(a) x = ey3+1 + y, en los puntos y = 1 e y = 3.

(b) x = 200y0.3 , en y = 1.

(c) x = ln(

3y2+2

)+ 4

y, en y = 1.

7. Dada la funcion de beneficios unitarios,

B(q) =

⎧⎨⎩

−(q − 3)2 + 15, 0 ≤ q ≤ 5,

11(43)q−5, 5 < q ≤ 10.

Se pide:

(a) Estudiar la continuidad y derivabilidad de B.

(b) Calcular los maximos y mınimos.

(c) Estudiar la concavidad y convexidad.

(d) Representar graficamente dicha funcion y dar el nivel de produccion optimo.

8. Utilizando el teorema de Rolle comprobar que:

10

(a) f(x) = x3 − 3x + 14

no puede tomar el mismo valor en dos puntos distintos del

intervalo (0, 1).

(b) El polinomio 24x3 − 3x2 + 56x − 7 tiene una sola raız real.

(c) x4 + 2x3 = 1 tiene una unica raız real en [0, 3].

(d) ln x = 2x

tiene una unica solucion en IR+.

9. Dada la ecuacion de oferta de un bien, p = q3+6q+20, y de demanda, p = 300−10q.

Probar utilizando los teoremas de Bolzano y Rolle que existe un unico punto de

equilibrio del mercado en [5, 6].

10. Representar graficamente las siguientes funciones:

(a) y = xx2+1

. (b) y = x3

x2−1. (c) y = ex(x − 1).

(d) y = e−x2/2. (e) y = x2

(x−1)3.

11. Calcular los siguientes lımites:

(a) limx→1

x1/(1−x). (b) limx→0

√a + 2x −√

a + x

x. (c) lim

x→0

(1

x− 1

ex − 1

).

(d) limx→+∞

(1 + x)1/x . (e) limx→+∞

(a1/x + b1/x

2

)x

. (f) limx→−∞

3e−x + 6

2e−x − 3.

(g) limx→+∞

(ln x)1

1−ln x . (h) limx→+∞

ex(a1/x−1). (i) limx→+∞

ln(1 + a/x)

ln(1 + b/x), (a, b > 0).

(j) limx→+∞

ex + 5e5x

ex − 7e5x. (k) lim

x→0

ex − e−x − 2x

x3 − x2. (l) lim

x→+∞ex + e−x

ex − e−x.

12. Calcular el valor de λ para que:

(a) limx→0

2 ln(1 + x) − 2λx

x2sea finito. (b) lim

x→1x

xλ(x−1) = e, con λ ∈ IR , λ �= 0.

(c) limx→0

eλx −√1 + x

x= 1. (d) lim

x→1

λln x − x2

ln x= 2.

11

Cuestiones tipo test

Solo una de las alternativas es correcta

1. Sea f la funcion de la grafica

La grafica de su derivada puede ser:

f´

f´

f´

a) b) c)

2. La funcion f(x) = x2

x−1:

(a) Es creciente en (0, 2) y decreciente

en (−∞, 0) ∪ (2, +∞).

(b) Presenta un maximo local en

x = 0 y un mınimo local en

x = 2.

(c) Presenta un mınimo local en

x = 0 y un maximo local en

x = 2.

3. Si la funcion de demanda de un pro-

ducto es p = 200e−0.1q:

(a) El ingreso (I = pq) se maximiza

para q = 100.

(b) El ingreso se maximiza para

q = 10.

(c) El ingreso maximo es 2000e.

4. Sea f la funcion de la grafica

X0 a0

¿Cual de las siguientes puede ser la

grafica de f ′?:

0 X0 0 X0

a) b) c)

a

a

5. La funcion f(x) = 11+x

:

(a) Es concava en IR+.

(b) Es convexa en IR+.

(c) Es convexa en (0, 1) y concava en

(1, +∞).

6. El limx→1

ex(x2 − 1)

x ln xvale:

(a) e2. (b) 0. (c) 2e.

12

7. La funcion f(x) = ln xx2 :

(a) Es creciente en (0,√

e).

(b) Tiene un mınimo local en el punto

de abscisa x0 =√

e.

(c) Es decreciente en (0,√

e).

8. La funcion

f(x) =1

3x3 − 2x2 + 3

(a) Tiene una unica raız en el inter-

valo (−2, 0).

(b) Tiene mas de una raız en el in-

tervalo (−2, 0).

(c) No tiene ninguna raız en el inter-

valo (−2, 0).

9. La funcion f(x) =(

12

)x3

:

(a) Es creciente en todo IR.

(b) Es decreciente en todo IR.

(c) Es creciente en IR+ y decreciente

en IR−.

10. Sea f(x) = 4x+2

ln 4− 8x, entonces:

(a) x = 12

es punto crıtico de f(x).

(b) x = −12

es punto crıtico de f(x).

(c) La funcion no tiene puntos crıticos.

11. La ecuacion de la recta tangente a la

curva f(x) = x+1x−1

en x = 0 es:

(a) 2x + y + 1 = 0.

(b) 2x + y − 1 = 0.

(c) 2x − y + 1 = 0.

12. La ecuacion√

x = 2x:

(a) Tiene al menos una solucion en

(1, 3).

(b) Tiene una unica solucion en (2,3).

(c) No tiene solucion.

13. La funcion f(x) =x2 − 3

e1/x:

(a) Es creciente en todo el dominio.

(b) Es creciente en (−∞, 0) y decre-

ciente en (0,∞).

(c) Es creciente en (1,∞).

14. La recta tangente de la funcion

y = ln

(2

x

)

en el punto x0 = 2 es:

(a) y = 1 − 12x.

(b) y = 2 − 12x.

(c) y = −1 + 12x.

13

15. Sea q = 1√p2+3

la ecuacion de demanda

de un producto donde los precios evolu-

cionan respecto al tiempo de la forma

p = e4t2−1. La variacion de q con res-

pecto al tiempo en t0 = 12

es:

(a)1

2. (b) −1

2. (c) 2.

16. Dada la funcion

q = 2 − ln(p − 2), p > 2,

entonces, dpdq

∣∣∣q=2

es:

(a) −1. (b) −2. (c) 2.

17. Si la funcion

f(x) = 1 +a

x+

6

x2, a ∈ IR ,

tiene en x = 3 un punto crıtico, en-

tonces:

(a) x = 3 es un maximo local.

(b) x = 3 es un mınimo local.

(c) x = 3 es un punto de inflexion.

18. El valor de λ para que

limx→+∞

(1 +

1

x

) x2λ

= 3√

e

es:

a)1

2 3√

e. b)

3

2. c)

2

3.

19. El resultado de limx→1

(x

x−1− 1

ln x

)es:

(a) 1. (b) 0. (c)1

2.

20. El resultado de limx→0

3x2 − x3

ex −√1 + 2x

es:

(a) 1. (b)1

2. (c) 3.

21. La ecuacion x3 + ln(

2x

)= 2x:

(a) No tiene solucion en (0, 2) .

(b) Tiene solucion unica en el inter-

valo(

12, 2

).

(c) Tiene solucion unica en el inter-

valo (1, 2) .

22. Si y = x(x− 12)

2

, entoncesdx

dy

∣∣∣∣x= 3

2

es:

(a)1

3 ln(

23

)+ 1

.

(b)1

2ln

(3

2

)+ 1.

(c)1

3 ln(

32

)+ 1

.

14

Capıtulo 3. Funciones reales de varias variables

Relacion de ejercicios

1. Sea f(x, y) = 2x + x2y calcular f(1, 0), f(0, 1), f(−2, 3).

2. Dada las funciones:

(a) f(x, y) =x2 + y2

x + y. (b) f(x, y) =

√x2 + y2 + 1. (c) f(x, y) = e1/y(x + y).

(d) f(x, y) =x

y. (e) f(x, y) = ln(4x + 2y). (f) f(x, y) = x + 2y.

(g) f(x, y) = x√

y + 1 + 5. (h) f(x, y) =√

x − 1 +√

y.

Se pide:

(a) Hallar el dominio y representarlo en el plano.

(b) Hallar las curvas de nivel y representarlas graficamente para las funciones de

los apartados (e) y (f).

3. Dada la funcion f(x, y) =ex

y.

(a) Determinar su dominio y representarlo graficamente.

(b) Obtener sus curvas de nivel de orden c ∈ IR y representarlas graficamente.

4. Derivar parcialmente con respecto a las dos variables las funciones:

(a) f(x, y) =x2 + y2

x + y. (b) f(x, y) = (x + y)e1/y. (c) f(x, y) = ln(4x + 2y).

(d) f(x, y) = x2e2x+y. (e) f(x, y) =√

xye2+y. (f) f(x, y) = (x2 + y2) ln

(x

y

).

5. Dada la funcion z = (4x + 3y)3, con x = r2s, y = r − 2s. Hallar∂z

∂ry

∂z

∂sen

r = s = 1.

6. Dada la funcion z = y2ex2+y, con y = ln xu. Hallar

∂z

∂xy

∂z

∂uen x = 1, u = 3.

15

7. Hallar las derivadas parciales segundas, comprobar que las derivadas cruzadas coin-

ciden y construir la matriz hessiana en los puntos que se indican para las funciones

siguientes:

(a) f(x, y) = exy ln x, en el punto (e, 0).

(b) f(x, y) = x2y + xy3 + x2, en el punto (2,−1).

(c) f(x, y, z) =√

x2 + y2 + z2, en el punto (1, 0, 0).

8. Calcular el vector gradiente, ∇f(x, y), para las funciones siguientes:

(a) f(x, y) = x2 y2 ln(x2 + y2) con (x, y) �= (0, 0).

(b) f(x, y) =xy

x2 + y2, con (x, y) �= (0, 0).

9. La funcion de demanda de dos bienes son:

x =√

p ln q, y =1

2p+ q,

siendo p y q los precios de ambos bienes. Se pide:

(a) Siendo p = 4 y q = e el precio de los bienes, estudiar, utilizando la diferen-

cial total, la variacion de la cantidad demandada del primer bien cuando los

respectivos precios aumentan en 0.001 y 0.0002.

(b) Si el precio de los bienes varıa con el tiempo de acuerdo a

p(t) = at2,

q(t) = bt3 + ct2,

hallar la variacion de la cantidad demandada del primer bien a lo largo del

tiempo.

(c) Averiguar en que direccion hemos de modificar los precios dados en el apartado

(a) para elevar al maximo la cantidad demandada del primer bien.

16

(d) Dado el nivel de precios en (a), calcular como deberıamos variar los precios

para elevar aproximadamente la demanda de ambos bienes en 0.1 y 0.5, res-

pectivamente.

10. Sea P = 2x2+3xy+4xy2 el ındice de contaminacion del aire en funcion de x, que es el

nivel de residuos solidos, e y, que es el nivel de gases nocivos en la atmosfera. Hallar

la variacion de la polucion cuando pasamos de unos niveles de (x0, y0) = (10, 5) a

unos niveles de (x1, y1) = (10.2, 4.7):

(a) Calculando la diferencia entre las imagenes.

(b) Usando la formula de la diferencial total.

(c) ¿Que error se comete al calcularlo de esta manera?

11. Sea un proceso productivo tal que dadas unas combinaciones de capital y trabajo

(K0, L0) las productividades marginales son:

QK(K0, L0) = 150, QL(K0, L0) = 70.

Calcular, aproximadamente, que incremento de produccion supone aumentar 0.5

unidades de K y una unidad de L.

12. Una funcion f(x, y) se dice homogenea de grado r ∈ IR, si

f(λx, λy) = λrf(x, y), ∀λ > 0.

Dada la funcion de produccion de Cobb-Douglas,

Q = AKα Lβ, A, α, β > 0.

Comprobar que:

(a) Q es una funcion homogenea de grado α + β.

(b) Se cumple, K ∂Q∂K

+ L∂Q∂L

= (α + β)Q.

17

13. Sea f(x, y) = ln(y − x2).

(a) Calcular su dominio y representarlo graficamente.

(b) Calcular las curvas de nivel para c = 0, c = 1 y c = 2 y representarlas

graficamente de forma aproximada.

(c) Obtener el vector gradiente de f(x, y) en el punto (1,2).

(d) Obtener una aproximacion de la variacion de la funcion al pasar del punto

(1, 2) al punto (0.99, 2.03) utilizando la diferencial total.

14. La funcion de produccion de un determinado bien es Q = 120K1/2L1/3, donde K

representa el factor capital y L las horas de dedicacion del factor trabajo, se pide:

(a) Calcular las derivadas parciales ∂Q∂L

y ∂Q∂K

si K = 40000 u.m. y L = 1000 horas

de trabajo.

(b) Aplicar la diferencial total para obtener una aproximacion del valor de la pro-

duccion cuando las variaciones del capital y del trabajo son 50 u.m. y 4 horas

de trabajo respectivamente.

15. La produccion de una empresa, Q, depende del capital, K, y del trabajo L, y viene

dada por la funcion

Q(K, L) = 10KL −√

K −√

L.

(a) Utilizando el concepto de diferencial total, hallar una aproximacion del incre-

mento de la produccion cuando (K, L) pasa del punto (1, 1) al punto (0.9, 1.5).

¿Cual es el valor aproximado de la produccion en (K, L) = (0.9, 1.5)?

(b) Si el valor del vector gradiente en el punto (K,L) = (14, a) es (9, b), esto es

∇Q(14, a) = (9, b), determinar a, b y escribir la expresion de la curva de nivel

sobre la que esta el punto hallado (14, a).

18

(c) Suponiendo que el capital y el trabajo son funciones del tiempo, t, y que estas

funciones son

K = K(t) = 0.2t + 1, L = L(t) = e0.1t,

aplicar la regla de la cadena para hallar la tasa de variacion de la produccion

respecto del tiempo, es decir dQdt

, en el momento t = 0.

16. Hallar la derivada de y con respecto a x en las siguientes ecuaciones:

(a) xy2 = 1, y evaluarla en el punto (1,1).

(b) y2 + 2xy2 − 3x + 1 = 0, y evaluarla en el punto (2,1).

(c) ln(xy) = yex , en el punto (1, e).

17. Calcular, si se puede, la pendiente de la recta tangente a las curvas siguientes en los

puntos que se indican.

(a) x2 + y2 = 1, en los puntos x =√

22

, x = 0, x = 1 respectivamente, y representar

graficamente.

(b) x + y2 = 2xy, en los puntos y = 0, x = 1 respectivamente.

18. Supongamos que la relacion que liga el precio y la cantidad demandada de un bien

responde a la ecuacion

p2 − 2qp + 2q2 = 10.

Calcular la variacion aproximada de la cantidad demandada por cada unidad de

aumento en el precio del bien, dado que el precio actual es de p0 = 2.

19. Hallar, si es posible, la tasa de variacion de z con respecto a x e y en las tres

ecuaciones siguientes:

(a) 5x2 + yx − z2y = 4.

(b) x2 + y2 + z2 = 1 en (0, 0, 1) y (1, 0, 0).

(c) 6x − y + 6z2 = 7.

19

20. Hallar la pendiente de la curva de nivel de la funcion f(x, y) = x2 + xy2 + y3 en el

punto (x0, y0) = (2, 1).

21. Dada la funcion z = f(x, y), con z > 0 y definida implıcitamente por la ecuacion

xz2 + y2(x + y) = 0,

se pide:

(a) Determinar el valor de z cuando x = −1, y = 2.

(b) Calcular, mediante derivacion implıcita, ∂z∂x

(−1, 2).

(c) Suponiendo que x e y dependen de las variables r y s de la forma

x = 2r − 3s, y = 6r − 4s,

hallar∂z

∂r(1, 1) y

∂z

∂s(1, 1).

22. Dada la funcion f(x, y) = x2y−2xy+8, se pide calcular la curva de nivel de valor 0,

ası como el dominio de esta, asıntotas e intervalos de crecimiento y decrecimiento.

20

Cuestiones tipo test

Solo una de las alternativas es correcta

1. Sea

f(x, y) = exy

x2−y2 ,

entonces Dom (f) viene dado por:

(a){(x, y) ∈ IR2 / x2 ≤ y2

}.

(b){(x, y) ∈ IR2 / x2 = y2

}.

(c){(x, y) ∈ IR2 /

(x − y)(x + y) �= 0} .

2. Dada y2 +xy = 2, entonces el valor de

dydx

en (1, 1) es:

(a) 0. (b) –1. (c)−1

3.

3. La pendiente de la curva de nivel de la

funcion f(x, y) = 2x1/2y1/2 en el punto

(1, 1) es:

(a) 0. (b) –1. (c)1

2.

4. Las curvas de nivel de la funcion

f(x, y) = ln

(x

y

), x, y > 0

son:

(a){(x, y) ∈ Dom (f) / y = x

ec

}.

(b){(x, y) ∈ Dom (f) / y = e

xc

}.

(c){(x, y) ∈ Dom (f) / y = ex

c

}.

5. El gradiente de la funcion

f(x, y) = xexy

en el punto (0, 1) es:

(a) (0, 1). (b) (1, 0). (c) (0, 0).

6. Si f(x, y) = exy + y3

2, entonces su ma-

triz hessiana en el punto (0,−1) es:

(a)

⎡⎣ 1 2

3 −3

⎤⎦.

(b)

⎡⎣ e 1

1 3

⎤⎦.

(c)

⎡⎣ 1 1

1 −3

⎤⎦.

7. Sea z = F (x, y) = x2 + y2, donde

x = x(t, s) = t − s2,

y = y(t, s) = ts + 1,

entonces dz|t=s=0 es:

(a) 0. (b) dt + ds. (c) dt + 2ds.

8. Sea la curva de nivel c = 0 de la funcion

f(x, y) = ln (y + x2), entonces el valor

de la derivada dydx

para x = 1 sobre

dicha curva de nivel:

(a) Es −2.

(b) Es 0.

(c) No se puede calcular.

21

9. Sea z = f(x, y), con

x = e3t,

y = 1 + e−3t,

entonces el valor dedz

dt

∣∣∣∣t=0

es:

(a) 3∂f

∂x(1, 2) + 3

∂f

∂y(1, 2).

(b) 3

(∂f

∂x(1, 2) − ∂f

∂y(1, 2)

).

(c)∂f

∂x(1, 2).

10. Dada la ecuacion

z2 + 4x2 + 5y2 − 12xy = 0 , z ≥ 0,

que define a z como funcion implıcita

de x e y, entonces:

(a) dz(1, 1) = 2√3dx + 1√

3dy.

(b) dz(1, 1) =√

3dx + dy.

(c) dz(1, 1) = − 1√3dx − 1√

3dy.

11. Dada la funcion

f(x, y) = xe−x(y2 − 4y

),

entonces ∇f(0, 1) es:

(a) (−3, 0). (b) (3, 0). (0,−3).

12. La ecuacion x2 + y2 + 2xy3 = e2 de-

fine a y como funcion implıcita de x.

Entoncesdy

dxpara x = 0 e y > 0 es:

(a) −e2. (b) e2. (c)√

e.

13. Sea

f(x, y) = e(x−4)2+(y+4)2 ,

entonces sus curvas de nivel son:

(a) Circunferencias con centro (−4, 4)

y radio ln c.

(b) Parabolas con mınimo en (4,−4).

(c) Circunferencias con centro (4,−4)

y radio√

ln c.

14. La ecuacion x3 +y2 +2x2y3 = 2 define

y como funcion implıcita de x para

todo y > 0. Entonces dydx

en el punto

(x, y) = (−1, 1) es:

(a) −1

8. (b)

1

8. (c) 8.

15. Sea

f(x, y) = ln√

(x − 1)(y + 1),

entonces:

(a) Sus curvas de nivel son parabolas

concavas.

(b) Sus curvas de nivel son hiperbolas

de ecuacion y = e2c

x−1− 1.

(c) Sus curvas de nivel son hiperbolas

de ecuacion y = e2c

x−1.

16. Si z = 2xy con x = s2 + t2 e y = st,

entonces el valor de dz(0, 1) es:

22

(a) 2ds + dt.

(b) 2dt − ds.

(c) 2ds.

17. Si x3 − 3xy + y3 = 1 define a y como

funcion implıcita de x, y = f(x), en-

tonces la ecuacion de la recta tangente

a f(x) que pasa por (0,1) es:

(a) y = 13x + 1.

(b) y = x + 1.

(c) y = x.

18. Sea

g(x, y) =x

x + y,

entonces dg(1, 1) es:

(a)dy − dx

4.

(b)dx − dy

2.

(c)dx − dy

4.

19. Las curvas de nivel de la funcion de

produccion del tipo

Q (K,L) = 30K1/3L2/3, K, L > 0

son:

(a) Curvas decrecientes.

(b) Funciones exponenciales.

(c) Parabolas convexas.

20. Las curvas de nivel de la funcion

f (x, y) = e1√

x−2y

son:

(a) Rectas de ecuacion y = 12x−1

2

(1

ln c

)2.

(b) Rectas de ecuacion y = 12x−(

1ln c

)2.

(c) Parabolas de ecuacion

y = 12

(1

ln c

)2 − 12x2.

21. Sea la funcion de produccion

Q (K, L) = AKαLβ, K, L > 0

y α + β = 1. Entonces la produc-

tividad marginal del trabajo cuando

K = L = 10, ∂Q∂L

(10, 10) , es:

(a) 10A (1 − α) .

(b) A (1 − α) .

(c) Aα.

22. La funcion de coste de cierto producto

que depende de dos factores cuyos pre-

cios son x e y es

C (x, y) =(1 −√

x)ln (xy) .

Si x = 4 e y = 14, la direccion en que se

deben modificar los precios para dis-

minuir al maximo los costes del pro-

ducto demandado es:

(a)(

14, 4

). (b) − (

14, 4

). (c)

(−4, 14

).

23

23. Dada la funcion g (x, y) =√

x + y2,

donde, x = 3ue1−v e y = uv, se tiene

que, ∂g∂v

(1, 1) es:

(a) −3

4. (b)−1. (c)−5

4.

24. Dada la funcion Q (K,L) = 10KL,

siendo K = 3t+etm y L = t2−m2, en-

tonces ∇Q (t,m) , para t = 1 y m = 0,

es:

(a) (110, 10) .

(b) (110, 100) .

(c) (100, 110) .

25. Dada la curva de nivel

x3y − 3y2x + y2 + 1 = 0,

se tiene que:

(a) En el punto (1, 1), dydx

es distinta

de cero.

(b) La recta tangente a la curva en

el punto (1, 1) es horizontal.

(c) El punto (1, 1) no pertenece a dicha

curva de nivel.

26. La ecuacion a la recta tangente a la

curva de nivel de la funcion

f (x, y) = x2 − (x − 1)√

y + xy3,

que pasa por el punto (1, 4) es:

(a) x + 3y = 13.

(b) 4x + 3y = 14.

(c) 4x + 3y = 16.

27. La matriz hessiana de la funcion

f(x, y) = x2ey

es:

(a)

⎡⎣ 2ey 2xey

2xey x2ey

⎤⎦ .

(b)

⎡⎣ 2ey 2ey

2ey x2ey

⎤⎦ .

(c)

⎡⎣ 2xey 2ey

x2ey 2xey

⎤⎦ .

24

Capıtulo 4. Introduccion a la optimizacion de fun-

ciones de varias variables

Relacion de ejercicios

1. Clasificar los puntos crıticos de las siguientes funciones:

f(x, y) = x2 + (y − 1)2. f(x, y) = x2 − xy + y2 − 2x + y.

f(x, y) = 1 + x2 − y2. f(x, y) = x2 + xy + y3.

Q(K, L) = 12KL −√

K −√L, con K,L > 0.

2. Si los precios fijados por el mercado para dos bienes producidos por una empresa

son p1 = 16, p2 = 20 unidades monetarias, respectivamente, y la funcion de costes

es

C(q1, q2) = q21 + 2q2

2 + 2q1q2 + 25,

donde q1, q2 representan las cantidades producidas de cada uno de los dos bienes.

Obtengase los valores de q1 y q2 que maximizan el beneficio de la empresa.

3. Estudiar graficamente la existencia de solucion optima y resolver por el metodo de

los multiplicadores de Lagrange los siguientes problemas de optimizacion restringida:

(a)Opt f(x, y) = x + y,

s.a x2 + y2 = 1.(b)

Opt f(x, y) = x2 + y2,

s.a y + x2 = 1.

(c)Opt f(x, y) = y − 3x,

s.a y + x2 = 3x.(d)

Opt f(x, y) = ln(x2y),

s.a x2 + y2 = 12.

4. Supongamos que una empresa produce un bien a partir de dos factores productivos,

donde la funcion de produccion viene dada por q(x1, x2) = x1 + 3x2, siendo q la

cantidad de bien producida y x1 y x2 las cantidades utilizadas de cada factor. Si

la funcion de costes viene dada por C(x1, x2) = x21 + x2

2, utilizando el metodo de

los multiplicadores de Lagrange, determinar las cantidades de factores con las que

25

se minimiza el coste de producir 10 unidades del producto. ¿Resultarıa rentable

producir una unidad mas de producto, suponiendo que su precio unitario fuese

p = 5 u.m.?

5. Una empresa produce un bien a partir de dos factores productivos. La cantidad

producida del bien cuando se utiliza x1 unidades del primer factor y x2 unidades

del segundo es q(x1, x2) = ln x1 + ln x2 + 5. El coste de produccion viene dado por,

C(x1, x2) = 3x1+2x2+5, y el precio unitario del producto es p = 6. Se pide plantear

el problema de optimizacion que permita maximizar el beneficio y resolverlo.

6. Se estima que si se gastan x miles de euros en trabajo e y miles de euros en equipos,

la produccion de un determinado bien viene dada por

Q(x, y) = 50x2/5y3/5.

Si se dispone de un total de 150000 euros, que se gasta completamente, hallar como

distribuirlos entre trabajo y equipos para maximizar la produccion de dicho bien.

¿Como se modifica, aproximadamente, el nivel de produccion por cada mil euros

adicionales presupuestados?

7. Sea C(x, y) = x2 + y2 el coste que soporta una empresa por producir un bien uti-

lizando dos factores en cantidades x e y, respectivamente. Si el nivel de produccion

ha de ser de 4 unidades de producto y la tecnologıa utilizada para alcanzar dicho

nivel viene dada por: q(x, y) = xy. Se pide:

(a) ¿Que combinacion de factores minimizan el coste de la empresa para producir

las 4 unidades de producto?

(b) Comprobar geometricamente que el punto obtenido es mınimo.

(c) Si el precio de venta del producto es de 5 u.m. ¿Le compensara a la empresa

aumentar la produccion en una unidad?

26

8. Sea U(x, y) = xy, la funcion de utilidad de dos bienes en cantidades x e y, respec-

tivamente. El precio de cada uno de los bienes es 2 y 1 u.m., respectivamente. Se

pide:

(a) ¿Que combinacion de bienes maximizan la utilidad si disponemos de un pre-

supuesto de 40 u.m. que se consume en su totalidad?

(b) Comprobar geometricamente que el punto obtenido es maximo.

(c) Si se dispone de 1 u.m. mas de presupuesto, ¿en cuanto se incrementa la

utilidad maxima?

9. Una Consejerıa del Gobierno dispone de 3000 u.m. de presupuesto para renovar

parte de sus equipos informaticos. Cada ordenador nuevo que se compre cuesta 12

u.m., y cada impresora 5 u.m. La mejora de eficacia de la Consejerıa, medida en

u.m., viene dada por E(x, y) = 1100

x y, donde x es el numero de ordenadores e y el

de impresoras adquiridos. Se pide:

(a) Plantear el problema de optimizacion que permite maximizar E(x, y) sujeta al

presupuesto disponible.

(b) Justificar graficamente que el problema tiene solucion.

(c) Aplicar el metodo de los multiplicadores de Lagrange para hallar el numero de

ordenadores y de impresoras con que se equipara la Consejerıa para maximizar

E(x, y).

(d) Interpretar el valor del multiplicador obtenido.

10. El coste que para una empresa supone fabricar dos bienes x e y viene dado por la

funcion C(x, y) = x2 + y2, mientras que la produccion es Q(x, y) = ln(xy), siendo

x, y > 0. Se pide:

(a) Plantear el problema de optimizacion que minimiza el coste que supone pro-

ducir exactamente 2 unidades de producto.

(b) Justificar geometricamente que el problema tiene solucion.

27

(c) Resolverlo por el metodo de los multiplicadores de Lagrange y obtener el valor

mınimo de la funcion.

(d) Con ayuda del multiplicador interpretar en cuanto tiene que aumentar/disminuir

la produccion en el optimo para que el coste disminuya aproximadamente en 2

unidades.

11. Si la funcion de produccion de una empresa viene dada por f(x, y) = 16x34 y

14 , siendo

x > 0, y > 0 los factores productivos, se pide:

(a) Plantear y resolver por el metodo de los multiplicadores de Lagrange el pro-

blema que permita maximizar la produccion sujeta a la restriccion de que la

suma de los factores sea 12.

(b) Justificar con ayuda de la grafica, en la que figuren el vector gradiente, la

restriccion y algunas curvas de nivel, si el valor obtenido en el apartado anterior

es solucion del problema.

(c) ¿En cuanto tendrıa que modificarse el termino independiente de la restriccion

para que la produccion disminuya aproximadamente en 4 unidades?

12. Una empresa fabrica un bien utilizando dos factores productivos x e y. La funcion

de costes viene dada por C(x, y) = ax + by, siendo a y b los precios de los factores,

mientras que estos estan sujetos a la restriccion xy = q2, donde q es la produccion.

Se pide:

(a) Plantear el problema que permita minimizar los costes sujeto a la restriccion

dada.

(b) Aplicando el metodo de los multiplicadores de Lagrange, obtener las condi-

ciones de primer orden de este problema, esto es,∂L

∂x,

∂L

∂yy

∂L

∂λ, siendo L la

funcion lagrangiana y λ el multiplicador.

(c) Demostrar que el punto crıtico satisface la relacion ax − by = 0.

28

(d) De las condiciones de primer orden obtenidas en el apartado anterior obtener los

valores de los factores productivos que debe utilizar la empresa para minimizar

los costes.

(e) Obtener la funcion de coste C(x, y) en funcion de la produccion q y de los

precios a y b de los factores productivos.

(f) Suponiendo que a = 4, b = 1, q = 10:

i. Representar la restriccion del problema, las curvas de nivel, incluyendo la

que pasa por el punto crıtico, ası como el vector gradiente. Justificar que

el punto crıtico obtenido en el apartado 4 corresponde a un mınimo.

ii. Haciendo uso del valor del multiplicador de Langange, calcular cuanto

variara aproximadamente el coste total si la produccion se incrementa en

una unidad.

29

Cuestiones tipo test

Solo una de las alternativas es correcta

1. La funcion

f(x, y) = 20x+26y+4xy−4x2−3y2 :

(a) Tiene un punto crıtico en (7, 9)

que es mınimo local.

(b) Tiene un punto crıtico en (7, 9)

que es maximo local.

(c) Tiene en (7, 9) un punto de silla.

2. Sea (x0, y0) un punto crıtico de una

funcion f(x, y) tal que

Hf (x0, y0) =

⎡⎣ 1 3

3 4

⎤⎦ ,

entonces:

(a) En (x0, y0) hay un maximo local.

(b) En (x0, y0) hay un mınimo local.

(c) En (x0, y0) hay un punto de silla.

3. Sea la funcion

f(x, y) = (x2 + y2)e−(x2+y2),

entonces:

(a) Esta funcion no tiene puntos crıticos.

(b) (0, 0) es el unico punto crıtico.

(c)(√

22

,√

22

)es punto crıtico.

4. Sea f(x, y) = 12x2+xy+ 1

2y2, entonces:

(a) Todos los puntos de la forma

x = −y son puntos crıticos.

(b) Esta funcion no tiene puntos crıticos.

(c) El unico punto crıtico es el (0, 0).

5. Sea el problema

Opt 3x2 + xy + 4y2 − 6x,

s.a 3x + y = 6.

Aplicando el metodo de los multipli-

cadores de Lagrange se obtiene:

(a) El punto (0, 2) con λ = 0.

(b) El punto (2, 0) con λ = 2.

(c) El punto (2, 1) con λ = 2.

6. El maximo de la funcion de beneficios

B(x, y) sujeta a q(x, y) = q0, donde

x e y son los factores productivos y

q(x, y) el nivel de produccion, tiene

como multiplicador de Lagrange aso-

ciado λ∗ = 1.5. Entonces, el beneficio

maximo:

30

(a) Se incrementa en 1.5 u.m. por

cada unidad adicional producida.

(b) Disminuye en 1.5 u.m. por cada

unidad adicional producida.

(c) No varıa por cada unidad adicional

producida.

7. Si f(x, y) = xex + y2 entonces (−1, 0)

es:

(a) Punto de silla de f .

(b) Maximo local de f .

(c) Mınimo local de f .

8. Sea f(x, y) = ax2y+bxy3 con a, b �= 0.

Entonces:

(a) f no tiene puntos crıticos.

(b) (0, 0) es el unico punto crıtico.

(c) (a, b) es el unico punto crıtico.

9. Sea la matriz hessiana de f

⎡⎣ −6x + 2y −9 + 2x + 2y

−9 + 2x + 2y −6 + 2x

⎤⎦ ,

y (0, 3) y (2, 2) dos puntos crıticos de

f , entonces:

(a) f tiene un punto de silla en (0, 3)

y maximo local en (2, 2).

(b) f tiene un punto de silla en (0, 3)

y mınimo local en (2, 2).

(c) f tiene puntos de silla en (0, 3) y

en (2, 2).

10. Dado el problema

Opt f(x, y) = 6 − 4x − 3y,

s.a x2 + y2 = 1,

su resolucion grafica indica que:

(a)(

45, 3

5

)es mınimo global.

(b)(

45, 3

5

)es mınimo local pero no

global.

(c)(−4

5,−3

5

)es mınimo global.

11. Una empresa desea maximizar su nivel

de produccion q(x, y), sabiendo que la

cantidad utilizada del primer factor ha

de ser el doble de la del segundo. El

planteamiento del problema a resolver

es:

(a) Max q(x, y),

s.a x = 2y.

(b) Max q(x, y),

s.a 2x = y.

(c) Max q(x, y),

s.a 2x − y = 1.

31

12. El conjunto de oportunidades o con-

junto factible del problema de opti-

mizacion

Opt ln (xy),

s.a x + y = 0.

viene dado por:

(a){(x, y) ∈ IR2 / xy > 0

}.

(b){(x, y) ∈ IR2 / x + y = 0

}.

(c) El conjunto vacıo.

13. Los puntos crıticos de la funcion

f(x, y) = x2 + y3 − 2xy

son:

(a) (0, 0), (23, 2

3), (0, 2

3), (2

3, 0).

(b) (0, 0), (23, 2

3).

(c) f(x, y) no tiene puntos crıticos.

14. El optimo del problema de minimizar

la funcion de costes C(x, y), suponiendo

que el nivel de produccion viene dado

por q(x, y) = 20, se alcanza en un

punto (x∗, y∗) con λ∗ = 2. ¿Cuanto

habra que variar el nivel de produccion

para que este mınimo disminuya en 6

unidades?

(a) Habra que producir tres unidades

mas.

(b) Habra que producir tres unidades

menos.

(c) No es necesaria ninguna variacion.

15. La funcion

f(x, y) = ey − ex+y−1 + x

(a) No tiene puntos crıticos.

(b) Tiene un mınimo en (1, 0).

(c) Tiene un punto de silla en (1, 0).

16. Dado el problema

Opt 3ye−(6x+y),

s.a xy = 0,

entonces:

(a) El punto (0,3) es un punto crıtico.

(b) El punto (1,1) es un punto crıtico.

(c) El punto (0,1) es un punto crıtico.

17. Dada la funcion

f (x, y) = x3 + 3xy2 − 15x − 12y,

se tiene que:

(a) (−1, 2) es un punto de silla.

(b) (1, 2) es un punto de silla.

(c) (1, 2) es un mınimo local.

32

18. Dado el problema

Opt x2 + 2y,

s.a x + y = 1,

su resolucion grafica indica que:

(a) (1, 0) es un maximo global.

(b) (1, 0) es un mınimo global.

(c) (1, 0) es un mınimo local pero no

global.

19. El conjunto de oportunidades o con-

junto factible del problema de opti-

mizacion

Opt f(x, y) = e1x+y,

s.a x − y = 0,

viene dado por:

(a){(x, y) ∈ IR2 − {(0, 0)} : x = y

}.

(b){(x, y) ∈ IR2 : x �= y

}.

(c){(x, y) ∈ IR2 : x = y

}.

20. Sea una funcion cuya matriz hessiana

es

⎡⎣ 2x y2

y2 2xy + a

⎤⎦. El valor que debe

tomar a para que el punto crıtico (1, 1)

sea mınimo local ha de ser:

a) a = −3

2. b) a >

3

2. c) a > −3

2.

33

Capıtulo 5. Integracion de funciones reales de variable

real

Integrales Inmediatas

∫dx = x + k.

∫xndx =

xn+1

n + 1+ k, n �= −1.

∫1

xdx = ln |x| + k.

∫f ′(x)

f(x)dx = ln |f(x)| + k.

∫exdx = ex + k.

∫eaxdx =

1

aeax + k.

∫axdx =

ax

ln a+ k.

34

Relacion de ejercicios

1. Hallar las siguientes integrales indefinidas:

(a)

∫7dx. (b)

∫6x−6dx. (c)

∫1

x8/3dx.

(d)

∫(1 + x + x2 + x4)dx. (e)

∫ √x (x + 5)dx. (f)

∫e−x + ex

2dx.

(g)

∫3

(3x − 1)3dx. (h)

∫e√

x

√x

dx. (i)

∫ln x

xdx.

(j)

∫(ln(x + 1))2

x + 1dx. (k)

∫xex2

ex2 − 2dx. (l)

∫x2ex3

dx.

(m)

∫x

4√

x2 + 1dx. (n)

∫e2x

5 + e2xdx. (o)

∫xe−xdx.

(p)

∫7x2 ln(4x)dx. (q)

∫(ln x)2dx. (r)

∫x ln xdx.

2. La funcion de costes marginales para un empresario es

dC

dq= 0.1q2 − 0.3q + 10.

Si los costes fijos son 100 u.m., hallar la funcion de coste total.

3. Obtener una funcion que modele las ventas V (t) de un best seller, durante el mes t,

cuando la rapidez de cambio en tales ventas se da por V ′(t) = et/2 y el numero de

libros vendidos inicialmente es V (0) = 100.

4. Hallar una funcion que represente el numero N(t) de ensayos literarios vendidos

durante el mes t cuando N ′(t) =√

t y se venden 1000 ejemplares inicialmente.

5. Para un cierto paıs la propension marginal al consumo viene dada por

dC

dY=

2

3− 1

2√

3Y,

35

donde C es el consumo, que es funcion de la renta nacional, Y , expresada en billones

de dolares. Determinar la funcion de consumo para dicho paıs si es conocido que el

consumo es de 10 billones de dolares cuando Y = 12 billones de dolares.

6. La funcion de costes marginales de un artıculo es

Cma(x) = 0.2x√

x + 8.

Sabiendo que el artıculo se vende a un precio de p = 15 u.m., calcular los costes fijos

de la empresa si los beneficios obtenidos en la venta de 10 unidades son 30 u.m.

7. Calcular las siguientes integrales definidas:

(a)

∫ 1

0

xexdx. (b)

∫ 1

0

e2x

5 + e2xdx. (c)

∫ 2

1

x ln xdx.

(d)

∫ 2

1

(3x1/3 + x(x2 + 3)3)dx. (e)

∫ 6

0

7x√

2x2 + 5dx. (f)

∫ 2

0

(ex − e−2x)dx.

(g)

∫ 2

0

x2ex3

dx. (h)

∫ 5

4

x

x2 − 10dx.

8. (a) Para un fabricante la funcion de coste marginal es dCdq

= 0.2 1√q

+ 20 donde

C viene expresada en u.m., hallar el coste total que supone incrementar la

produccion de 50 a 65 unidades.

(b) Si el coste marginal de una companıa es dCdq

= 200+ 100q2√q3−5

. Hallar el coste que

supone incrementar la produccion de 100 a 350 unidades.

9. Hallar el area comprendida entre las curvas que se indican a continuacion.

(a) La curva f(x) = 3x − x2, el eje OX y las rectas x = 0 y x = 4.

(b) Las curvas f(x) = x y g(x) = x2.

(c) Las curvas f(x) =√

x y g(x) = x.

(d) Las curvas f(x) = 4x − x2 + 8 y g(x) = x2 − 2x.

36

(e) Las curvas y = 9 − x2 e y = x2 + 1 desde x = 0 a x = 3.

10. El valor medio de una funcion en un intervalo [a, b] viene definido por:

y =1

b − a

∫ b

a

f(x) dx.

Hallar el valor medio de las funciones:

(a) f(x) =1

x2en el intervalo [1, 4].

(b) f(x) = 7(x − x2) en el intervalo [0, 1].

11. En una funcion de demanda p = f(q) se representan los precios que los consumidores

pagan por cantidades diferentes de un bien. Supongamos que el consumidor compra

q0 unidades del bien al precio p0. Entonces, se define el excedente del consumidor

como

EC =

∫ q0

0

(p − p0)dq =

∫ q0

0

f(q) dq − p0 q0.

Del mismo modo, si p = g(q) es una funcion de oferta en la que se representan los

precios a los que los productores suministran diferentes cantidades de un bien, el

excedente del productor (EP ) viene dado por

EP =

∫ q0

0

(p0 − g(q))dq = p0 q0 −∫ q0

0

g(q) dq.

Calcular el excedente del consumidor para las siguientes curvas de demanda:

(a) p = 400 − 8q2, q0 = 5 y p0 = 200.

(b) p =300

q + 6, q0 = 4 y p0 = 30.

Calcular el excedente de productor para las siguientes curvas de oferta:

(a) p = q2 + 3q + 70, q0 = 4 y p0 = 98.

(b) p = 6 + 0.5√

q, q0 = 100 y po = 11.

37

Cuestiones tipo test

Solo una de las alternativas es correcta

1. La integral de f(x) =−ex

(1 + ex)2es igual

a:

(a)ex

1 + ex+ k.

(b)1

1 + ex+ k.

(c)−1

1 + ex+ k.

2. La integral

∫ 1

0

xex dx es igual a:

(a) 0. (b) 1. (c) e.

3. La integral

∫dx

x√

1 − ln x

vale:

(a) −2

3

√(1 − ln x)3 + K.

(b) −2√

1 − ln x + K.

(c) 2√

(1 − ln x)3 + K.

4. Sea

∫(1 + x2)e−xdx = F (x) + k, k ∈ IR ,

entonces:

(a) F (x) = −e−x(x2 + 2x − 1).

(b) F (x) = −e−x(x2 + 2x + 3).

(c) F (x) = e−x(x2 + 2x + 3).

5. Si F (x) y G(x) son funciones primiti-

vas de f(x), entonces la derivada de

F (x) − G(x):

(a) Es f ′(x).

(b) Es 0.

(c) No se puede calcular.

6. El area comprendida entre

f (x) =1

x (ln x + 1),

el eje OX y las rectas x = 1 y x = 2

es:

(a) ln 2 + 1.

(b) ln (ln 2 + 1) .

(c) ln (ln 2) .

7. El area comprendida entre

f (x) = xex,

el eje OX y las rectas x = 0 y x = ln 2

es:

(a) 1 − 2 ln 2.

(b) 2 ln 2 − 1.

(c) 2 ln 2 + 1.

38

8. El area comprendida entre

f (x) = ex (1 − x) ,

el eje OX y las rectas x = 0 y x = 1

es:

(a) e − 2. (b) 2. (c) 2e2.

9. Si

f(t) =

∫ t

0

−1

(x + 1)2dx,

entonces f(1) vale:

(a)1

2. (b)

−1

2. (c) 2.

10. Si

∫f(x)dx = ex + 2x, entonces la

integral

∫xf(x)dx vale:

(a) xex + ex − x2 + k.

(b) xex − ex + x2 + k.

(c) −xex − ex + x2 + k.

11. La integral definida

∫ 1

0

xe−xdx vale:

a) 1 +2

e. b) 1 − 2

e. c) 1 +

1

e.

12. La integral definida

∫ e

1

(xex − 1

x

)dx

vale:

(a) (e − 1)ee − 1.

(b) ee − 1.

(c) 1 − (e − 1)ee.

13. La integral

∫ ln 6

0

(3 − x)exdx vale:

(a) 2(10 − 3 ln 6).

(b) 2(3 − 10 ln 6).

(c) 20 − 3 ln 6.

14. La integral

∫ ln 2

0

(1 − x)exdx vale:

(a) 1 − ln 2.

(b) 2(ln 2 − 1).

(c) 2(1 − ln 2).

15. El valor de la integral definida

∫ e

1

x ln xdx

es:

(a)1

4(1 − e2).

(b)1

4(e2 − 1).

(c)1

4(e2 + 1).

16. Sea y = f(x) la curva de nivel c de la

funcion de beneficios B(x, y) = x2y,

siendo x e y la cantidad de factores

utilizados. Entonces, el valor de c para

el que se cumple

∫ 3

1

f(x)dx = 10 es:

(a) 12. (b) 15. (c) 5.

39