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Capítulo 2:Concepto y Cálculo de Límites

Geovany Sanabria

Contenido1 Concepto de Límite 121.1 Una definición intuitiva de Límite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.1.1 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.2 Problemas con la utilización de sucesiones para calcular límites . . . . . . . . . . . . . 17

2 Cálculo de Límites 182.1 Propiedades principales de los limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182.2 ¡No siempre el limite es sustituir! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212.3 Formas indeterminadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.3.1 Conciente indeterminado0

0: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.3.2 Diferencia indeterminada ∞−∞ : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222.3.3 Producto indeterminado 0 ·∞ : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222.3.4 Potencias indeterminadas 00,∞0, 1∞ : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.4 Maniobras algebraicas para la forma indeterminada0

0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.4.1 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252.5 Limites Laterales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.5.1 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272.6 Limites infinitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2.6.1 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292.7 En resumen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292.8 Limites de funciones trigonométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

2.8.1 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322.9 Limites al infinito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

2.9.1 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342.10 Otros límites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

2.10.1 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

11

Apuntes Cálculo Diferencial e Integral, ITCR - 2. Límites Prof. Geovany Sanabria

1 Concepto de Límite

1.1 Una definición intuitiva de Límite

De acuerdo a la definición de límite utilizando sucesiones1 .se tiene la siguiente definición de límite.

Definición 1 Se dice que el límite de f, cuando x se acerca a b, es L y se escribe

limx−→b

f (x) = L

si para toda sucesión de números: x1, x2, x3, .. que se acerca a b y distintos de b, se tiene que lasucesión f (x1) , f (x2) , f (x3) , ... se acerca a L. Gráficamente:

6

4

2

-2

-4

5 10 15

.

..

f x3( )f x2( )f x1( )

... x3 x2 x1

De acuerdo a esta definición, bajo ciertas restricciones (asumiendo la existencia del límite), por mediode una tabla tomando algunos valores de una sucesión que se acerca a b, se puede obtener el valor dellímite.

Ejemplo 1 Calcular limx−→2

(3x+ 1) .

Sea f (x) = 3x+ 1, y consideremos una sucesión xn que se acerque a 2:

n xn f (xn)1 1 42 1, 9 6, 73 1, 99 6, 974 1, 999 6, 997...

......

Por lo tanto limx−→2

(3x+ 1) = 7.

1 limx−→b

f (x) = L si y solo si ∀ (xn) convergente a b, tal que {n ∈ N, xn = b}es finito, se tiene que f (xn) convergea L

12


Para tener más seguridad en el valor del límite se puede consideras dos sucesiones: una sucesióncreciente con valores menores a b (acercamiento por la izquierda o negativo) y otra decreciente convalores mayores a b (acercamiento por la derecha o positivo)


x3 − 2x2 − 3xx− 3 .

Sea f (x) =x3 − 2x2 − 3x

x− 3Por la Izquierda Por la derechaxn f (xn) xn f (xn)2 6 4 202.9 11. 31 3.1 12. 712.99 11. 93 3.01 12. 072.999 11. 993 3.001 12. 007...

......

...

Por lo que limx−→3

x3 − 2x2 − 3xx− 3 = 12.

Lo anterior permite introducir la idea de limite lateral

Definición 2 (Límite lateral) Se dice que el límite de f por la izquierda, cuando x se acerca a b,es L y se escribe

limx−→b−

f (x) = L

si para toda sucesión de números: x1, x2, x3, .. que se acerca a b y menores de b, se tiene que lasucesión f (x1) , f (x2) , f (x3) , ... se acerca a L. Similarmente se define el límite por la derecha:lim

x−→b+f (x) = L

Ejemplo 3 Calcular limx−→3−

|x− 3|x2 − 9 .

Sea g (x) =|x− 3|x2 − 9

Por la Izquierdaxn g (xn)2 −152.9 −0.169 492.99 −0.166 942.999 −0.166 69...

...

Así, limx−→3−

|x− 3|x2 − 9 = −0.16 = −

1

6. Calcule lim

x−→3+|x− 3|x2 − 9

13


Ejemplo 4 Sea m (x) =

2x si x ≤ 3x2 − 5x+ 6

x− 3 si 3 < xCalcular lim

x−→3m (x) .

Por la Izquierda Por la derechaxn f (xn) xn f (xn)2 4 4 22.9 5. 8 3.1 1. 12.99 5. 98 3.01 1. 012.999 5. 998 3.001 1. 001...

......

...

En este caso, se tiene que:

limx−→3−

m (x) = 6 y limx−→3+

m (x) = 1,

entonces limx−→3

m (x) NO EXISTE.

El concepto de infinito se combina con el concepto de límite en las siguientes definiciones.

Definición 3 (Límite al infinito) Se dice que el límite de f , cuando x crece indefinidamente y demanera positiva, es L y se escribe

limx−→∞ f (x) = L

si para toda sucesión de números creciente y no acotada: x1, x2, x3, .., se tiene que la sucesión f (x1) ,f (x2) , f (x3) , ... se acerca a L. Similarmente se define el límite a menos infinito: lim

x−→−∞ f (x) = L.

M

N

limx−→−∞ f (x) = N y lim

x−→∞ f (x) =M

Definición 4 (Límite infinito) Se dice que el límite de f, cuando x se acerca a b, es +∞ y seescribe

limx−→b

f (x) = +∞si para toda sucesión de números: x1, x2, x3, .. que se acerca a b y distintos de b, se tiene que lasucesión f (x1) , f (x2) , f (x3) , ... crece indefinidamente y de manera positiva. Similarmente se define

14


el límite: limx−→b

f (x) = −∞.

10

8

6

4

2

-2

5b

limx−→b

f (x) = +∞

-2

-4

-6

-8

-10

5c

limx−→c

f (x) = −∞


1

|x− 3| .

Sea h (x) =1

|x− 3| .Por la Izquierda Por la derechaxn h (xn) xn h (xn)2 1 4 12.9 10 3.1 102.99 100 3.01 1002.999 1000 3.001 1000...

......

...

Entonces limx−→3

1

|x− 3| = +∞

Ejemplo 6 Calcular limx−→−∞

3x+ 2

x+ 1.

Sea j (x) =3x+ 2

x+ 1.

xn j (xn)-10 3. 111 1-100 3. 010 1-1000 3. 001-10000 3. 000 1...

...

15


Entonces limx−→−∞

3x+ 2

x+ 1= 3.

Ejemplo 7 De acuerdo a la gráfica de la función k (x) calcule los siguientes límites.

4

2

-2

-4

-5 5 10

limx−→−5−

k (x) = limx−→2+

k (x) =

limx−→−5+

k (x) = limx−→2+

k (x) =

limx−→−2−

k (x) = limx−→+∞ k (x) =

limx−→−2+

k (x) = limx−→−∞ k (x) =

¿Cuál es el dominio de la función?

1.1.1 Ejercicios

1. Calcule los siguientes limites utilizando sucesiones:

limx−→2

x2 − 4x+ 3

limx−→∞

3x2 + 2x

x2 + 1

limx−→2

1

x− 2 limx−→1−

|1− x|x2 − 1

limx−→1+

|1− x|x2 − 1 lim

x−→−∞x2

x+ 1

16


2. Dé la definición de los siguientes límites y brinde una representación gráfica para cada uno:

limx−→b−

f (x) = +∞ limx−→∞ f (x) = +∞

limx−→−∞ f (x) = +∞ lim

x−→b+f (x) = −∞

3. Realice los ejercicios de la práctica: "Ejercicios sobre Límites" de las páginas 1-3.

1.2 Problemas con la utilización de sucesiones para calcular límites

La utilización de sucesiones, en la sección anterior, nos ayuda a tener una intuición sobre el valor dellímite. Sin embargo, esa intuición puede ser engañosa.

Ejemplo 8 Calcular limx−→0+

sen³πx

´Sea f (x) = sen

³πx

´. Se tiene que:

n xn f (xn)1 0, 1 02 0, 01 03 0, 001 04 0, 0001 0... ... ....

y erróneamente se puede concluir que limx→0

sen³πx

´= 0, cuando este límite no existe, basta ver la

gráfica de f :2

-2

-5 5

Conforme x se acerca a 0, la función comienza a oscilar entre −1 y 1 más rápidamente.Es así, como nuestra primera definición de límite no es confiable para calcular límites. En general, sesuele utilizar una definición menos intuitiva de límite:

Definición 5 Se dice que el límite de f(x) es L cuando x tiende a b y se escribe limx−→b

f (x) = L si

cuando x se acerca a b, f(x) se acerca a L.

Así, surge la interrogante ¿cómo calcular límites? Esta pregunta será contestada en el siguienteapartado.

17


2 Cálculo de Límites

2.1 Propiedades principales de los limites

Teorema 1 Sea c una constante y suponga que los límites: limx→b

f (x) y limx→b

g (x) existen y, tienen

como resultado un número real:

limx→b

f (x) = L, limx→b

g (x) =M, L,M ∈ R

entonces:a) lim

x→b[f (x) + g (x)] = lim

x→bf (x) + lim

x→bg (x) = L+M

b) limx→b

[f (x)− g (x)] = limx→b

f (x)− limx→b

g (x) = L−M

c) limx→b

[c · f (x)] = c · limx→b

f (x) = c · L

d) limx→b

[f (x) · g (x)] = limx→b

f (x) · limx→b

g (x) = LM

e) limx→b

·f (x)

g (x)

¸=limx→b

f (x)

limx→b

g (x)=

L

M, si M 6= 0

Nota: estas propiedades son válidas para límites laterales.

Ejemplo 9 Sabiendo que limx→0

x+ 3

x2 + 7x+ 12= 1

4 y limx→0senx

x= 1, determine utilizando las propiedades

principales los siguientes limites:

limx→0

µx+ 3

x2 + 7x+ 12+senx

x

¶limx→0

µx2 + 3x

(x2 + 7x+ 12) senx

¶

limx→0

µ3x+ 9

x2 + 7x+ 12− 2 senx

3x

¶limx→0

senx

18


Ejemplo 10 Considere el siguiente gráfico:

4

3

2

1

-1

-2

-6 -4 -2 2 4 6

y=g(x)

y=f(x)

Determine los siguientes límites:

limx→−2−

f (x) limx→0

[f (x) g (x)]

limx→ 1

2

g (x) limx→−2+

[f (x)− g (x)]

limx−→2

·3f (x)− 5g (x)

πx

¸

19


Ejemplo 11 Determine si es verdadera siempre o no, cada una de las siguientes afirmaciones:

a) Si limx−→b

f (x) = 0 y limx−→b

g (x) =∞ entonces limx−→0

f (x) g (x) = 0

b) Si limx−→1

f (x) = 5 y limt−→1

g (t) = −2 entonces limy−→3

4f (y)− g (y)

4=11

2

c) Si limx−→2−

t (x) = 3 y limx−→2

v (x) = 2 entonces limx−→2

[t (x) + v (x)] = 5

Teorema 2 Otras propiedades fáciles de intuir son:

a) limx→b

c = c c) limx→b

xn = bn, n ∈ N

b) limx→b

x = b d) limx→b

n√x = n

√b, n ∈ N

e) limx→b

npf (x) = n

qlimx→b

f (x), n ∈ N,y en caso de que n es par lim

x→bf (x) ≥ 0

Ejemplo 12 A partir de estas propiedades justifique las siguientes

a) limx→b

x−n = b−n, n ∈ N, b 6= 0

b) limx→b

xnm = b

nm , n ∈ Z,m ∈ N

Ejemplo 13 Calcule los siguientes límites y justifique sus pasos

a) limx→3

x4 c) limx→3

x−23

b) limx→2

x−6 d) limx→3

5√x2

e) limx→1

¡x2 + 2x+ 3

¢

Del último límite se puede intuir el siguiente teorema:

20


Teorema 3 Si P (x) es un polinomio entonces limx→b

P (x) = P (b) .

Ejemplo 14 Calcule los siguientes límites y justifique sus pasos

limx→3

¡x2 + x+ 4

¢limx→1

¡x2 + 4x− 2¢−23

limx→2

x−6 limx→3

5√x2 + 4x+ x6

limx→1

x2 + 2x+ 3

x2 + x− 5 limx→1

rx2 + 2x− 3x2 + x− 1

2.2 ¡No siempre el limite es sustituir!

Ejemplo 15 Sea f (x) =½3x− 2 si x 6= 15 si x = 1

. Note que f (1) = 5, sin embargo si x→ 1 entonces

x 6= 1, por lo tanto, de acuerdo a las propiedades anteriores:

limx→1

f (x) = limx→1

(3x− 2) = 1.

En las funciones que están definidas por partes se debe tener mucho cuidado al identificar la parte autilizar.

Ejemplo 16 Sea g (x) =½ √

x+ 2 si x < 1x+ 4 si x ≥ 1 . Observe los siguientes límites:

limx→0

g (x) = limx→0√x+ 2 =

√2.

limx→2

g (x) = limx→2

x+ 4 = 6.

limx→1−

g (x) = limx→1−

√x+ 2 =

√3.

2.3 Formas indeterminadas

Una forma indeterminada es un cierto límite cuyo valor en un primer momento se desconoce o puedeno existir. Para determine su valor en caso de que exista, se requiere realizar algunas maniobrasalgebraicas. A continuación se exponen las formas indeterminadas principales.

21


2.3.1 Conciente indeterminado0

0:

Si limx−→b


g (x) = 0 entonces limx−→b

f (x)

g (x)=?

Con "?" se quiere decir que el límite da "cualquier cosa", puede dar cualquier número real e inclusono existir. Esto se puede mostrar fácilmente con el siguientes ejemplos:

a) limx−→0

2x = 0, limx−→0

x = 0 y limx−→0

2x

x= lim

x−→02 = 2

b) limx−→0

3x = 0, limx−→0

x = 0 y limx−→0

3x

x= lim

x−→03 = 3

c) limx−→1

x− 1 = 0, limx−→1

(x− 1)2 = 0 y limx−→1

x− 1(x− 1)2 = lim

x−→11

x− 1| {z }NO EXISTE

2.3.2 Diferencia indeterminada ∞−∞ :

Si limx−→b

f (x) = ∞ (o −∞) y limx−→b

g (x) =∞ (o −∞)entonces lim

x−→b[f (x)− g (x)] = ?

Ejemplos:

a) limx−→∞ (x− 2) =∞, lim

x−→∞x =∞ y limx−→0

(x− 2)− x = limx−→0

−2 = −2b) lim

x−→∞ (x+ 3) =∞, limx−→∞x =∞ y lim

x−→0(x+ 3)− x = lim

x−→03 = 3

2.3.3 Producto indeterminado 0 ·∞ :

Si limx−→b


g (x) = ±∞ entonces limx−→b

f (x) g (x) =?

Ejemplos:

a) limx−→∞

2

x= 0, lim

x−→∞x =∞ y limx−→0

2

x· x = lim

x−→02 = 2

b) limx−→∞

4

x= 0, lim

x−→∞x =∞ y limx−→0

4

x· x = lim

x−→04 = 4

2.3.4 Potencias indeterminadas 00,∞0, 1∞ :

Si limx−→b



f (x)g(x) =?

Si limx−→b

f (x) = ∞ y limx−→b


f (x)g(x) =?

Si limx−→b


g (x) =∞ entonces limx−→b

f (x)g(x) =?

22


Un ejemplo para el primer caso:

a) limx−→∞ e−x = 0, lim

x−→∞1

x= 0 y lim

x−→0(e−x)

−1x = lim

x−→0e = e ≈ 2.71

b) limx−→∞ e−x = 0, lim

x−→∞3

x= 0 y lim

x−→0(e−x)

−3x = lim

x−→0e3 = e3 ≈ 20.086

2.4 Maniobras algebraicas para la forma indeterminada0

0

Si f (x) es una función no definida por partes formada por las operaciones: +,−, ·,÷, ()n , n√, y se

desea calcular el limx→b

f (x) pero al sustituir b en f (x) se obtiene una forma indeterminada, se debe

realizar alguna manipulación algebraica (factorización, racionalizar,...) para calcular el límite.

En el caso de la forma indeterminada0

0, si para el límite lim

x→bf (x) se tiene que “f (b) =

0

0 esto

significa que la expresión (x− b) es un “factor” común del numerador y denominador de f (x) , por lotanto, se debe tratar de factorizar f (x).

Ejemplo 17 Sea f (x) =5x− 5

3

3x− 1 , note que f

µ1

3

¶=0

0(forma indefinida), entonces ¿Cómo se

averigua lim

x−→1

3

f (x)?

Simplifiquemos f (x) .

5x− 53

3x− 1 =5

µx− 1

3

¶3x− 3

3

=

5

µx− 1

3

¶3

µx− 1

3

¶ =5

3.

Por lo tanto

lim

x−→1

3

f (x) = lim

x−→1

3

5x− 53

3x− 1 = lim

x−→1

3

5

3=5

3.

Ejemplo 18 (Cuidado con la definición de función) Considere la siguiente función

f (x) =8x− 5x2 + x3 − 4

x2 − 4

Simplificando8x− 5x2 + x3 − 4

x2 − 4 se obtiene que (realícelo):

8x− 5x2 + x3 − 4x2 − 4 =

(x− 2) (x− 1)x+ 2

.

Sin embargo note que f (x) 6= (x− 2) (x− 1)x+ 2

. ¿Por qué?. Sea g (x) =(x− 2) (x− 1)

x+ 2, aunque al

simplificar la fórmula de la función f se obtiene la fórmula de la función g, estas funciones son

23


diferentes, basta ver su dominio máximo:

El dominio de f es R− {2} , pues su denominador se hace cero en 2.El dominio de g es R.

Así debe quedar claro que al simplificar una fórmula de una función f (x) se obtiene una nueva funcióng, donde

f 6= g, pero limx−→a

f (x) = limx−→a

g (x) .

Ejemplo 19 Calcule limx−→0

2x3

7√x19

.

Note que al sustituir la x por 0 se obtiene la forma indeterminada0

0. Racionalizando la función se

obtiene que2x3

7√x19

= 27√x2, por lo tanto:

limx−→0

2x3

7√x19

= limx−→0

27√x2 = 0.

Ejemplo 20 Calcule limx−→0

2x√2x+ 2−√3x+ 2 .

Note que al sustituir la x por 0 se obtiene la forma indeterminada0

0. Racionalizando la función se

obtiene que2x√

2x+ 2−√3x+ 2 = −2¡√2x+ 2 +

√3x+ 2

¢, por lo tanto

limx→0

2x√2x+ 2−√3x+ 2 = lim

x→0−2 ¡√2x+ 2 +√3x+ 2¢ = −4√2.

Ejemplo 21 Calcule limh−→0

3h3√h+ 1− 1 .

Note que:

limh−→0

3h3√h+ 1− 1 = lim

h−→0

"3h

3√h+ 1− 1 ·

¡3√h+ 1

¢2+ 3√h+ 1 + 1¡

3√h+ 1

¢2+ 3√h+ 1 + 1

#

= limh−→0

3hh¡

3√h+ 1

¢2+ 3√h+ 1 + 1

ih+ 1− 1

= limh→0

3

·³3√h+ 1

´2+

3√h+ 1 + 1

¸= 9

24


Ejemplo 22 Calcule limx→16

x+√x− 20√

x− 4

= limx→16

x+√x− 20√

x− 4 ·√x+ 4√x+ 4

= limx→16

(x+√x− 20) (√x+ 4)x− 16

= limx→16

·(x− 20 +√x) (√x+ 4)

x− 16 · x− 20−√x

x− 20−√x¸

= limx→16

³(x− 20)2 − x

´(√x+ 4)

(x− 16) (x− 20−√x) = limx→16

¡x2 − 41x+ 400¢ (√x+ 4)(x− 16) (x− 20−√x)

= limx→16

(x− 16) (x− 25) (√x+ 4)(x− 16) (x− 20−√x) = lim

x→16(x− 25) (√x+ 4)(x− 20−√x) =

−9 · 8−8 = 9

2.4.1 Ejercicios

Calcule los siguientes límites

1. limx→3

x3 + 5x2 + x

x3 − 2x . R/257

2. limx→0

x√25− x− 5 . R/− 10

3. limx→25

x− 25√x− 5 . R/10

4. limx→0

1√1 + x

− 1x

. R/− 12

5. limt→0

√t2 + 4− 2

t2. R/14

6. limh→0

a2h+ 2h

h+ ha. R/

a2 + 2

1 + a

7. limx→0

20x√40x+ 2−√35x+ 2 . R/ 8

√2

8. limx→1

x− 1√7x+ 2−√5x+ 4 . R/ 3

2.5 Limites Laterales

Un teorema muy importante en el cálculo de límites es el siguiente:

Teorema 4 El limx→b

f (x) = L si y sólo si limx→b−

f (x) = L y limx→b+

f (x) = L

25


Para el cálculo de límite este teorema gracias al ”si y solo si” (⇐⇒) lo podemos utililizar de dosmaneras:

A) FORMA =⇒:Si el lim

x→bf (x) = L entonces lim

x→b−f (x) = L y lim

x→b+f (x) = L

Este forma la utilizamos para calcular límites laterales si se sabe como calcular el limite general.

Ejemplo 23 Calcule limx−→2+

|x− 4|:Note que

|x− 4| =½

x− 4 si x− 4 ≥ 0− (x− 4) si x− 4 < 0

Como x “se acerca” a 2, entonces x− 4 “se acerca” a −2, por lo tanto se puede supone que a partir"de cierto momento" x− 4 < 0, así |x− 4| = − (x− 4)

limx→2+

|x− 4| = limx−→2+

− (x− 4) = 2.

Ejemplo 24 Calcule limx−→0−

2x√3− x√

12x2 − 4x3 .

Note que si se sustituye en la función se obtiene la forma indeterminada0

0. Simplificando el denomi-

nador: p12x2 − 4x3 =

p4x2 (3− x) = 2 |x|√3− x

Como x “se acerca” a 0−, entonces se puede suponer que x < 0, yp12x2 − 4x3 = −2x√3− x.

Por lo tanto:

limx−→0−

2x√3− x√

12x2 − 4x3 = limx−→0−

2x√3− x

−2x√3− x= lim

x−→−2−1 = −1.

B) FORMA ⇐=:Para que el lim

x→bf (x) = L es necesario que se cumpla lim

x→b−f (x) = L y lim

x→b+f (x) = L.

Este forma es útil cuando la función esta definida por partes (se parte en b) y particularmente cuandola fórmula de la función contiene una expresión similar a |x− b| = |b− x| .

Ejemplo 25 Sea g (x) =½ √

3x2 + 6 si x > 52x− 1 si x ≤ 5 . Determine lim

x→5g (x) .

Calculemos los límites laterales:

limx→5−

g (x) = limx→5−

2x− 1 = 9 y limx→5+

g (x) = limx→5+

p3x2 + 6 = 9

Por el teorema limx→5

g (x) = 9.

26


Ejemplo 26 Sea f (x) =½2x2 − 5 si x ≥ 3bx− 4 si x < 3

. Determine el valor de b para que limx→3

f (x) exista.

Determinemos los límites laterales:

limx→3−

f (x) = limx→3−

bx− 4 = 3b− 4 y limx→3+

f (x) = limx→3+

2x2 − 5 = 13.

Así, el límite existe si 3b− 4 = 13,de donde se obtiene que b = 173 .


2x− 64|3− x| .

Los límites laterales son: limx→3−

2x− 64 |3− x| = lim

x→3−2x− 64 (3− x)

= limx→3−

−2 (3− x)

4 (3− x)=1

2

limx→3−

2x− 64 |3− x| = lim

x→3−2x− 64 (3− x)

= limx→3−

−2 (3− x)

4 (3− x)= −1

2

limx→3+

2x− 64 |3− x| = lim

x→3+2x− 6−4 (3− x)

= limx→3−

−2 (3− x)

−4 (3− x)=1

2

Por lo tanto, limx→3

2x− 64|3− x| NO EXISTE.

2.5.1 Ejercicios

Calcule los siguientes límites

1. limx→3+

x2 − 4x+ 3x2 − 9 . R/13

2. limx→7

x− 7|x− 7| . R/ NO EXISTE

3. limx→2−

2− x√4− x2

. R/0

4. Sea f (x) =½2b2x2 − 4 si x ≥ 1−3bx+ 1 si x < 1

. Determine los valores de b para que limx→3

f (x) exista. R/

1,−52

2.6 Limites infinitos

Teorema 5 Si el limx→b

f (x) = C, donde C es una constante diferente de cero y el limx→b

g (x) = 0,

entonces para el valor de limx→b

f (x)

g (x)existen tres posibilidades:

limx→b

f (x)

g (x)= +∞ o lim

x→b

f (x)

g (x)= −∞ o no existe.

27


El teorema anterior indica una manera de distinguir un limite infinito, además establece la necesidadde hacer uso de los límites laterales para ver si el limite existe o no. Dado que se quiere dejar de ladolas tablas y pasar de la intuición que estas nos brindan a un punto de vista más formal introduciremosla siguiente notación.

Notación. Si limx→b−

f (x) = 0 (o limx→b+

f (x) = 0) y f se va acercando por la derecha a cero entonces

se dice que el límite es equivalente a 0+. Gráficamente:

2

1

-1

-2

2

limx→2+

f (x) = 0+

2

1

-1

-2

2

limx→2−

g (x) = 0+

Del mismo modo si limx→b−

f (x) = 0 (o limx→b+

f (x) = 0) y f se va acercando por la izquierda

a cero entonces se dice que el límite es equivalente a 0−. Gráficamente:

2

1

-1

-2

2

limx→2−

f (x) = 0−

2

1

-1

-2

2

limx→2+

g (x) = 0−

Ejemplo 28 Note que

limx→2−

x− 2 = 0−, limx→−3−

|x+ 3| = 0+,

limx→5+

x2 − 25 = 0+, limx→5−

q(x− 5)2 = 0+.

28


Teorema 6 Si c es una constante distinta de 0 entonces

Si c > 0 :c

0+= +∞ c

0−= −∞

Si c < 0 :c

0+= −∞ c

0−= +∞

Ejemplo 29 Determine limx→5

x+ 5

x− 5 .

Al sustituir se obtiene la formac

0, entonces se recurre a los límites laterales:

limx→5−

x+ 5

x− 5 =10

0−= −∞ y lim

x→5+x+ 5

x− 5 =10

0+= +∞.

Por lo tanto, limx→5

x+ 5

x− 5 NO EXISTE.

2.6.1 Ejercicios

Calcule:

1. limx→3

12

x− 3 . R/ NO EXISTE

2. limx→1+

√x+ 1

x2 − 1 . R/∞

3. limx→−2

x2

|x+ 2| . R/∞

2.7 En resumen

Suponga que se desea calcular limx→b

f(x)

g(x), donde la expresión

f(x)

g(x)no esta definida por partes, entonces:

1. Sif(b)

g(b)=

c

d, d 6= 0 entonces lim

x→b

f (x)

g (x)=

c

d.

2. Sif(b)

g(b)=0

0, entonces es necesario realizar una maniobra algebraica para calcular lim

x→b

f (x)

g (x).

3. Sif(b)

g(b)=

c

0, c 6= 0, entonces lim

x→b

f (x)

g (x)es +∞, −∞ o no existe, este se debe averiguar utilizado

límites laterales.

29


2.8 Limites de funciones trigonométricas

Las funciones trigonométricas utilizadas serán las definidas en radianes y no en grados. Antes deestudiar estos límites se señalan dos resultados importantes.

Teorema 7 a) Si f(x) < g(x) cuando x se acerca a b , limx→b

f(x) y limx→b

g(x) existen, entonces

limx→b

f(x) ≤ limx→b

g(x).

Teorema 8 (Teorema del emparedado) Si f(x) < g(x) < h(x) y limx→b

f(x)= limx→b

h(x) = L entonces

limx→b

g(x) = L

Ejemplo 30 Dado que −1 ≤ senx ≤ 1, si x > 0 entonces

−x ≤ x senx ≤ x

Como limx→0+

−x = limx→0+

x = 0, por el teorema del emparedado, se tiene que limx→0+

x senx = 0.

Teorema 9 Algunos límites trigonométricos importantes son:

limx→b

senx = sen b

limx→b

cosx = cos b

limx→b

tanx = tan b, si b 6= nπ, n ∈ N

limx→0

senx

x= lim

x→0x

senx= 1

limx→0

1− cosxx

= 0

La mayoría de los límites trigonométricos se calculan utilizando los límites anteriores y las identidadestrigonométricas. Algunas identidades trigonométricas son:

1. sen2 θ+cos2 θ = 1.

2. senθ

2=

r1− cos θ

2, cos

θ

2=

r1 + cos θ

2.

3. sen 2θ = 2 sen θ cos θ, cos 2θ = cos2 θ − sen2 θ.

4. sen³π2− θ´= cos θ, cos

³π2− θ´= sen θ

5. cos (θ + α) = cos θ cosα− sen θ senα, sen (θ + α) = sen θ cosα+ cos θ senα.

6. cos (θ − α) = cos θ cosα+ sen θ senα, sen (θ − α) = sen θ cosα− cos θ senα.

30



sen 3x

sen 5x.

Note que

sen 3x

sen 5x=

sen 3x

xsen 5x

x

=

3 sen 3x

3x5 sen 5x

5x

Dado que

limx→0

3 sen 3x

3x= 3 · lim

x→0sen 3x

3x= 3 · lim

y→0sen y

y= 3 · 1 = 3,

realizando el cambio de variable y = 3x (Note que si x→ 0 entonces y → 0) y además, similarmente

limx→0

5 sen 5x

5x= 5,

entonces:

limx→0

sen 3x

sen 5x= lim

x→0

3 sen 3x

3x5 sen 5x

5x

=3

5.


tanx

x.

Note que

limx→0

tanx

x= lim

x→0senx

x cosx= lim

x→01

cosx· limx→0

senx

x= 1 · 1 = 1.


senx− tanxx2

.

limx→0

senx− tanxx3

= limx→0

senx

µ1− 1

cosx

¶x3

= limx→0

senx

µcosx− 1cosx

¶x3

= limx→0

·senx (cosx− 1)

x3 cosx· cosx+ 1cosx+ 1

¸= lim

x→0senx

¡cos2 x− 1¢

x3 cosx (cosx+ 1)

= limx→0

− sen3 xx3 cosx (cosx+ 1)

Como sen2 x+ cos2 x = 1, entonces cos2 x− 1 = − sen2 x, continuando:

limx→0

senx− tanxx3

= limx→0

senx¡cos2 x− 1¢

x3 cosx (cosx+ 1)= lim

x→0− sen3 x

x3 cosx (cosx+ 1)

= limx→0

·³senxx

´3 −1cosx (cosx+ 1)

¸=−12.

31


Ejemplo 34 Calcule limx→−2

tan (πx)

x+ 2.

Realiuzando el cambio de variable y = x+ 2 se obtiene que

limx→−2

tan (πx)

x+ 2= lim

y→0tan (πy − 2π)

y

Como la tangente es una función periodica de periodo π entonces tan (πy − 2π) = tan (πy) , así

limx→−2

tan (πx)

x+ 2= lim

y→0tan (πy − 2π)

y= lim

y→0tan (πy)

y

= limy→0

sen (πy)

πy

π

cos (πy)= 1 · π

1= π.

2.8.1 Ejercicios

Calcule

1. limx→0

x3 sen1

x2. R/0

2. limx→0

sen2 x

x. R/0

3. limx→0

senx− sen(−x)tanx− tan(−x) . R/1

4. limx→0

x3 + 3x

sen (3x). R/1

2.9 Limites al infinito

Teorema 10 Si c es una constante y r es un número racional positivo, entonces

limx→∞

c

xr=

c

+∞ = 0.

Similarmentec

−∞ = 0.

Ejemplo 35 Calcule limx−→−∞

4x3 − x

5x3 + 2x2

limx−→−∞

4x3 − x

5x3 + 2x2= lim

x−→−∞x3¡4− 1

x2

¢x3¡5− 2

x

¢ = limx−→−∞

4− 1x2

5− 2x

=4

5

Ejemplo 36 Calcule limx−→+∞

5√3x12

x3

32


Note que si se sustituye x por infinito se obtiene una forma indeterminada∞∞ . Desracionalizando se

tiene que:5√3x12

x3=

x25√3x2

x3·

5√x3

5√x3=

5√3

5√x3

,

por lo tanto

limx−→+∞

5√3x12

x3= lim

x−→+∞

5√3

5√x3=

5√3

+∞ = 0.

Ejemplo 37 Calcule limx−→∞

¡√x− 1−√2x− 1¢

Note que si se sustituye x por infinito se obtiene una forma indeterminada ∞−∞. Desracionalizando

se tiene que:√x− 1−√2x− 1 = −x√

x− 1−√2x− 1 (realícelo), por lo tanto

limx−→+∞

¡√x− 1−√2x− 1¢ = lim

x−→+∞−x√

x− 1 +√2x− 1 .

Sin embargo si se sustituye x por infinito se obtiene de nuevo otra forma indeterminada∞∞ . Note que

−x√x− 1 +√2x− 1 =

−xsx2µ1

x− 1

x2

¶+

sx2µ2

x− 1

x2

¶=

−x

|x|Ãr

1

x− 1

x2+

r2

x− 1

x2

!Como x→ +∞, se puede suponer que x > 0, entonces |x| = x, así

limx−→+∞

¡√x− 1−√2x− 1¢ = lim

x−→+∞−x

x

Ãr1

x− 1

x2+

r2

x− 1

x2

!= lim

x−→+∞−1r

1

x− 1

x2+

r2

x− 1

x2

=−10+

= −∞

Ejemplo 38 Calcule limx→∞

¡√2x2 − 3−√x3 − 4¢

limx→∞

³p2x2 − 3−

px3 − 4

´= lim

x→∞√x2

Ãr2− 3

x2−rx− 4

x2

!

= limx→∞x

Ãr2− 3

x2−rx− 4

x2

!= ∞ ·−∞ = −∞

33


Ejemplo 39 Calcule limx→−∞

√3− x−√4− 2x√

5− x=

Factorizando√−x se obtiene que

limx→−∞

√−xÃr

1− 3x−r2− 4

x

!√−x

r1− 5

x

= limx→−∞

r1− 3

x−r2− 4

xr1− 5

x

= 1−√2.

Recordemos la gráfica del arcotangente:

2

-2

-5 5

-π

2

π

2

De acuerdo a su gráfica se tiene que

limx→−∞ tan

−1 x = −π2

y limx→∞ tan

−1 x =π

2


tan−1 xx

limx→∞

tan−1 xx

=π

2limx→∞

1

x=

π

2· 0 = 0.

2.9.1 Ejercicios

Calcule

1. limx→∞ 2x

3 + x2 + 1. R/+∞

2. limx→∞ sin

1

x. R/0

3. limx→∞

2x+ 3

x2 + 3x. R/0

4. limx→∞

2x4

3x2 + 2x. R/∞

34


5. limx→∞

3x3 + 1

4x2 + 2x. R/∞

6. limx→∞

√x2 + 10x

x− 8 . R/1

7. limx→+∞

x2

7√x13

. R/ ∞

8. limx→+∞x

¡√3x− 1−√3x− 5¢ R/ ∞

9. limx→+∞

√3x+ 4−√2x+ 4

xR/ 0

10. limx→+∞

√3x2 + 4−√2x2 + 4

xR/√3−√2

11. Utilice el teorema del emparedado para probar que limx→∞

sinx

x= 0

2.10 Otros límites

Recuerde que se define la parte entera de x : [|x|] como el máximo entero menor o igual que x.

Ejemplo 41 Se tiene que:

limx→2−

[|x|] = 1, limx→2+

[|x|] = 2, limx→2+

[|x− 3|]x

=−12,

note que limx→2

[|x|] NO EXISTE.

En algunas un cambio de variable del límite puede permitir expresarlo como el cociente de dos poli-nomios.

Ejemplo 42 Calcule limx→0+

2 5√x− 3 4

√x

3 3√x+ 2 4

√x.

Si se sustituye se obtiene la forma indeterminada0

0. El mínimo común múltiplo de los índices de las

raíces es 60, por lo tanto realizando el cambio de variable x = y60 para eliminar las raíces. Cuandox → 0+, note que y → 0 (y puede ser positivo o negativo), sin embargo como 4

√x = y15 debe ser

positivo, entonces y → 0+ :

limx→0+

2 5√x− 3 4

√x

3 3√x+ 2 4

√x

= limy→0+

2y12 − 3y153y20 + 2y15

= limy→0+

y12¡2 + y3

¢y15 (3y5 + 2)

= limy→0+

2 + y3

y3 (3y5 + 2).

35


Si se sustituye y por 0, en este último límite, se obtiene la formac

0, dado que ya es un límite lateral,

se obtiene:

limy→0+

2 + y3

y3 (3y5 + 2)=

2

0+= +∞.

Por lo tanto, el limx→0

2 5√x− 3 4

√x

3 3√x+ 2 4

√x= +∞.


3x53 − 2x 1

3 + 1

2x43 + 2x− 2

33√x5

.

Realizando el cambio de variable x = y3 para eliminar las raíces, se obtiene:

limx→−∞

3x53 − 2x 1

3 + 1

2x43 + 2x− 2

33√x5

= limy→−∞

3y5 − 2y + 12y4 + 2y3 − 2

3y5= lim

y→−∞3− 2

y4 +1y5

2y +

2y2 − 2

3

=3

−23= −9

2.


x+√x− 20√

x− 4Anteriormente se calculo este límite racionalizando y desracionalizando. También se puede calcularde una manera más simple realizando un cambio de variable. Sea x = y2, note que si x→ 16 entoncesy → 4, por lo tanto:

limx→16

x+√x− 20√

x− 4 = limy→4

y2 + y − 20y − 4 = lim

y→4(y − 4) (y + 5)

y − 4 = limy→4

(y + 5) = 9.

Para el calculo de límites de funciones exponenciales y logarítmicas es necesario tener presente susgráficas:

Función exponencial ax

0 < a < 1 a > 1

2

1

2

2

1

-2

limx→∞ ax = 0 lim

x→∞ ax = +∞lim

x→−∞ ax = +∞ limx→−∞ ax = 0

36


Función logaritmo loga x0 < a < 1 a > 1

2

1

2

-1

-2

2

limx→∞ loga x = −∞ lim

x→∞ loga x = +∞limx→0+

loga x = +∞ limx→0+

loga x = −∞

Ejemplo 45 Note que:

a) limx→0−

(x+ 2) e3x = 2 · e−∞ = 0

b) limx→2+

3x

ln (x− 2) =6

−∞ = 0

c) limx→+∞

e3x +

µ1

2

¶x3x

= limx→+∞

·µe3

3

¶x+

µ1

6

¶x¸= +∞

d) limx→+∞ 5

ln 3x+1

x2+2 = limx→+∞ 5

lnx2( 3x+ 1

x2)

x2(1+ 2x2) = 5ln 0

+

= 0


3x − senx5x

Note que3x − 15x

≤ 3x − senx5x

≤ 3x + 1

5x

Utilizando el Teorema del Emparedado se tiene que

limx→∞

3x − 15x

≤ limx→∞

3x − senx5x

≤ limx→∞

3x + 1

5x

37


y como

limx→∞

3x − 15x

= limx→∞

·µ3

5

¶x−µ1

5

¶x¸= 0

limx→∞

3x + 1

5x= lim

x→∞

·µ3

5

¶x+

µ1

5

¶x¸= 0

entonces limx→∞

3x − senx5x

= 0


2x3 + x2 − tan−1 x3x2 − x3

Note que2x3 + x2 − π

2≤ 2x3 + x2 − tan−1 x ≤ 2x3 + x2 +

π

2

además, dado que x→∞, entonces se puede supones que x > 3 y por lo tanto 3x2−x3 = x2 (3− x) <0, así

2x3 + x2 +π

23x2 − x3

≤ 2x3 + x2 − tan−1 x3x2 − x3

≤2x3 + x2 − π

23x2 − x3

, con x > 3

Utilizando el Teorema del Emparedado se tiene que

−2 ≤ limx→∞

2x3 + x2 − tan−1 x3x2 − x3

≤ −2

entonces2x3 + x2 − tan−1 x

3x2 − x3= −2

Ejemplo 48 Suponga que limx→0

f (x)

(2x2 − 4x) = 4. Calcule L = limx→0

f (x)

sen (2x− x2)

L = limx→0

µf (x)

sen (2x− x2)· 2x− x2

2x− x2

¶= lim

x→0

µ2x− x2

sen (2x− x2)· f (x)

2x− x2

¶= lim

x→0

µ2x− x2

sen (2x− x2)· −2f (x)−2 (2x− x2)

¶= −2 lim

x→0

µ2x− x2

sen (2x− x2)· f (x)

(2x2 − 4x)¶

= −2 limx→0

2x− x2

sen (2x− x2)· limx→0

f (x)

(2x2 − 4x) = −2 · 1 · 4 = −8

2.10.1 Ejercicios

1. Calcule los soguientes límites:

(a) limx→∞

senx

2x

2. Realice los ejercicios de la práctica: "Ejercicios sobre Límites" de las páginas 4-5.

38

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