LÍMITES TRIGONOMÉTRICOS

Los límites trigonométricos se pueden resolver aplicando un límite notable o una identidad trigonométrica y en algunos casos ambas operaciones. Sin embargo a veces es necesario realizar algunas operaciones algebraicas como multiplicar y dividir por un número, factorizar, multiplicar por su conjugado o aplicar las propiedades de los límites.

x

sin( x )1

x

0lim

x

x1

sin( x )

0lim

x

tan( x )1

x

0lim

x

x1

tan( x )

0lim

sin( x ) 0

x 0lim

x( x ) 1

0lim cos

1 cos( x )1

x

x 0lim

x

cos( x ) 11

x

0lim

5

6

7

8

1

2

3

4

1sin( )

c sec( )

1cos( )

sec( )

sin( )tan( )

cos( )

cos( )c tan( )

sin( )

1

2

3

4

2 2sin ( ) cos ( ) 1

2 21 tan ( ) sec ( )

1

2

3 2 21 c tan ( ) c sec ( )

sin( ) sin( )cos( ) sin( )cos( )

cos( ) cos( )cos( ) sin( )sin( )

1

2

3 sin( 2 ) 2 sin( )cos( )

2 2cos( 2 ) cos ( ) sin ( ) 4

sin(3 )

2

x

xx 0lim

sin(3 )

2

x

x

x 0lim

sin(3

3

)

2

x

x

x 0lim

3 3 sin(3 )

2 3

x

x

x 0lim

3 sin(3 )

2 3

x

x

x 0lim

1

3

2

31

2

sin( ) 1 cos( )

sin(2 )

x x

x x

x 0lim

sin( ) cos( )

sin(2 )

x x

x x

x 0

1lim

sin( ) 1 cos( ) 1 cos( )

2sin( )cos( ) 1 cos( )

x x x

x x x x

x 0lim

2sin( ) ( )

2sin( )cos( ) 1 cos( )

x x

x x x x

x 0

1 coslim

sin( ) sin( )x x

x 0lim

2x sin(x) cos( ) 1 cos( )x x

sin( )

2 cos( ) 1 cos( )

x

x x x

x 0lim

1 sin( ) 1

2 cos( ) 1 cos( )

x

x x x

x 0lim

1 sin( )

2

x

xx 0lim

1

cos(0 ) 1

1

cos( ) 1 cos( )x x

x 0

lim1

2

2

2 2

2

4

tan( ) sin( )

1 cos( )

x x

x

x 0lim

tan( ) sin( )

1 cos( )

x x

x

sin( )sin( )

cos( )

1 cos( )

xx

x

x

sin( ) cos( )sin( )

cos( )

1 cos( )

1

x x x

x

x

sin( )(1 cos( ))

cos( )

1 cos( )

1

x x

x

x

sin( )(1 cos( ))

cos( )(1 cos( ))

x x

x x

sin( ) (1 cos( ))x x

cos( ) (1 cos( ))x x

sin( )

cos( )

x

x

tan( ) sin( ) sin( )

1 cos( ) cos( ) x x x

x x

x 0 x 0lim lim

sin( )

cos( )

x

x

x 0

x 0

lim

lim

sin( )

cos( )

x

x

x 0lim

0

10

tan( )x

x

π

x4

1lim

π

4

tan( )x

x

1

π

4

tan( ) tanx

x

π

4π

4

sinsin( )

cos( )cos

x

x

π

4π

4π

x4

sin( ) cos sin cos( )

cos( ) cos

x x

x

π π

4 4π

4π

x4

sin( ) cos sin cos( )

cos( ) cos

x x

x

π π

4 4

π πx

4 4

sin

cos( )x

πx

4

π πx Cos

4 4

sin1

cos( ) cosx

πx

4

π πx

4 4

sintan( ) 1

cos( ) cos

x

x

π π

x x4 4

πx

1 4lim lim

π π πx x

4 4 4

sin1

cos( ) cosx

πx

4

πx

4lim

π πx

4 4

sin1

cos( ) cosx

π πx x

4 4

πx

4lim lim

π πx

4 4

11

cos cos

π π

4 4

11

2 22

2 2

π

x h4

; π

Si x h4

π

Si x4

h 0

sinsin( )

1

xh

hx

π h 0x4

π

4lim lim

π

4

Por cambio de variable, tenemos:

2.

4.

6.

x 0 x 02

x 0x2

2x 0 x 0

2x 0

x sen2x1. lim lim

sen2x cos x

tan x senx tan x3. lim lim

senx 1 cos x

senx tan x 1 cos x5. lim lim

x sen x

1 cos x7. lim

x

10.

8.

x4

xx 04

x

senx cos x

sen xlim

1 cos x

lim1 tan x

1 cos 2x9. lim

3xsen2x