1

Diferenciação e Integração Numérica

Aula 4Métodos Numéricos Aplicados à

Engenharia

derivada

0

( ) ( )limx

dy f x x f x

dt x∆ →

+ ∆ −=∆

série de Taylor

Considerando… xi+1-xi=h

2 31 1 1 1

( )

1

´́ ( ) ´´ (́ )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ...

2! 3!

( )( )

!

i ii i i i i i i i i

nni

i i n

f x f xf x f x f x x x x x x x

f xx x R

n

+ + + +

+

′= + − + − + − +

+ − +

( )2 3

1

´´( ) ´´́ ( ) ( )( ) ( ) ( ) ...

2! 3! !

nni i i

i i i n

f x f x f xf x f x f x h h h h R

n+ ′= + + + + + +

Sendo o resto dado por…

1)1(

)!1(

)( ++

+= n

n

n hn

fR

ξ)( 1+= n

n hOR

11

)1(

)()!1(

)( ++

+

−+

= nii

n

n xxn

fR

ξ

2

diferenciação numérica

Diferença finita Progressiva

Diferença finita Regressiva

Diferença finita Centrada

diferenciação numérica

)( 1+= nn hOR

1 1( ) ( )( ) i i

i

f x f x Rf x

h h+ −′ = +

1( ) ( )( ) ( )i i

i

f x f xf x O h

h+ −′ = +

1 1( ) ( ) ( )i i if x f x f x h R+ ′= + +

( )2 3

1

´ (́ ) ´́ ´( ) ( )( ) ( ) ( ) ...

2! 3! !

nni i i

i i i n

f x f x f xf x f x f x h h h h R

n+ ′= + + + + + +

Diferença finita progressiva de 1º ordem1( ) ( )i

ff x O h

h

∆′ = +

diferenciação numérica

21

´́ ( )( ) ( ) ( ) ...

2!i

i i i

f xf x f x f x h h− ′= − + −

1( ) ( )( ) i i i

i

f x f x ff x

h h−− ∇′ ≅ = Diferença finita regressiva de 1º ordem

( )Erro O h=

3

diferenciação numérica

2 31

( ) ( )( ) ( ) ( ) ...

2! 3!i i

i i i

f x f xf x f x f x h h h+

′′ ′′′′= + + +

2 31

( ) ( )( ) ( ) ( ) ...

2! 3!i i

i i i

f x f xf x f x f x h h h−

′′ ′′′′= − + − +

31 1

( )( ) ( ) 2 ( ) ...

3!i

i i i

f xf x f x f x h h+ −

′′′′− = + +

-

21 1( ) ( )( ) ( )

2i i

i

f x f xf x O h

h+ −−′ = − Diferença finita Centrada de 1º ordem

ordens superiores

22

( )( ) ( ) ( )(2 ) (2 ) ...

2!i

i i i

f xf x f x f x h h+

′′′= + + +

22 1( ) 2 ( ) ( ) ( ) ...i i i if x f x f x f x h+ + ′′− = − + +

2 12

( ) 2 ( ) ( )( ) ( )i i i

i

f x f x f xf x O h

h+ +− +′′ = −

21

( )( ) ( ) ( ) ...

2!i

i i i

f xf x f x f x h h+

′′′= + + +-2

Diferença finita progressiva de 2ª ordem

ordens superiores

2 12

( ) 2 ( ) ( )( ) ( )i i i

i

f x f x f xf x O h

h+ +− +′′ = − Diferença finita progressiva de 2ª ordem

1 22

( ) 2 ( ) ( )( ) ( )i i i

i

f x f x f xf x O h

h− −− +′′ = − Diferença finita regressiva de 2ª ordem

21 12

( ) 2 ( ) ( )( ) ( )i i i

i

f x f x f xf x O h

h+ −− +′′ = − Diferença finita centrada de 2ª ordem

1 1( ) ( ) ( ) ( )

( )

i i i i

i

f x f x f x f x

h hf xh

+ −− −−′′ ≅

A 2ª derivada como a “derivada de uma derivada”….

4

fórmulas mais exactas

• Podemos gerar fórmulas mais exactas utilizando termos adicionais da série de Taylor…

progressivas/forward

regressivas/backwards

5

centradas

integração

( )b

aI f x dx= ∫

métodos de cálculo sem computador

6

fórmulas de Newton-Cotes

• As fórmulas mais utilizadas para integração numérica

• Substituição de uma função complexa ou de um conjunto de pontos por uma função facilmente integrável

( ) ( )b b

na aI f x dx f x dx= ≅∫ ∫

10 1 1( ) n n

n n nf x a a x a x a x−−= + + + +L

Newton-Cotes

22 0 1 2( )f x a a x a x= + +1 0 1( )f x a a x= +

7

fórmula dos trapézios• É a fórmula de Newton-Cotes

mais simples – polinómio de 1ª ordem

• A área abaixo da linha recta é uma estimativa do integral

• Estimativa do erro

∫∫ ≅=b

a

b

a

dxxfdxxfI )()( 1

2

)()()(

bfafabI

+−=

31( )( )

12tE f b aξ′′= − −

8

aplicação múltipla da regra dos trapézios

01 2 1

( ) ( )( ) ( ) ... ( )

2 2n

n

f x f xI h f x f x f x −

= + + + +

∫∫∫−

+++=

==−=

n

n

x

x

x

x

x

x

n

dxxfdxxfdxxfI

xbxan

abh

1

2

1

1

0

)()()(

0

L

2

)()(

2

)()(

2

)()( 12110 nn xfxfh

xfxfh

xfxfhI

++++++= −L

fn

abE

fnif

a ′′−−=

′′≅′′∑

2

3

12

)(

)(ξQuando o número de intervalos duplica o erro fica quatro vezes menor

(se h for constante)

regras de Simpson

9

fórmula de Simpson

[ ]2

)()(4)(3

)())((

))(()(

))((

))(()(

))((

))((

)()(

210

21202

101

2101

200

2010

21

20

2

2

0

abhxfxfxf

hI

dxxfxxxx

xxxxxf

xxxx

xxxxxf

xxxx

xxxxI

xbxa

dxxfdxxfI

x

x

b

a

b

a

−=++≅

−−−−+

−−−−+

−−−−=

==

≅=

∫

∫ ∫

bafab

Et pp ξξ )(2880

)( )4(5−−=

0 1 2( ) 4 ( ) ( )( )

6

f x f x f xI b a

+ +≅ −

aplicação múltipla da regra de Simpson 1/3

• A exactidão pode ser aumentada dividindo o intervalo de integração num número de segmentos iguais

• Permite obter resultados com boa exactidão e émelhor que a regra dos trapézios

• Utilização limitada a situações em que o intervalo é constante

• Só pode ser utilizado para um número par de segmentos (número ímpar de pontos)

aplicação múltipla da regra de Simpson 1/3

10

Simpson 3/8

[ ]

)(6480

5)(3

)(

)()(3)(3)(8

3

)()(

)4(

3210

3

ξfab

E

abh

xfxfxfxfh

I

dxxfdxxfI

t

b

a

b

a

−−=

−=

+++≅

≅= ∫ ∫

Simpson 3/8 Simpson 1/3 + 3/8

ruído…erro