CÁLCULO VECTORIAL

TEMA 1

REPASO DE DIFERENCIABILIDAD

El curso de Cálculo Vectorial de la Facultad de Ingeniería continúa con el estudio de fun-ciones de varias variables iniciado en el curso de Cálculo Diferencial e Integral en VariasVariables. En esta oportunidad, dicho estudio estará centrado en el cálculo sobre curvas ysuperficies. En cuanto a la parte diferencial, profundizaremos sobre el concepto de fun-ción diferenciable y retomaremos el estudio de extremos absolutos y relativos de una fun-ción a valores reales. La búsqueda de extremos la vamos a complementar agregando fun-ciones de varias variables sujetas a restricciones. Agregaremos además a nuestro banco deteoremas un par que son muy importantes: los teoremas de la función inversa y funciónimplícita.

En el anterior curso de cálculo la parte de diferenciabilidad estuvo más enfocada en fun-ciones de varias variables a valores reales, a las cuales llamaremos campos escalares. Eneste curso nos enfocaremos también en funciones de varias variables a valores vectoriales,también llamadas campos vectoriales. Estas funciones son muy importantes en áreas estu-diadas en ingeniería como la mecánica y el electromagnetismo. Varios conceptos de estasáreas se explican mediante operaciones sobre campos escalares y vectoriales, como los sonel gradiente, la divergencia y rotacional.

Finalmente, la parte del cálculo integral la extenderemos a generalizaciones de las inte-grales simples y dobles, conocidas como integrales curvilíneas e integrales de superficie.Veremos además la relación entre estas integrales con las integrales dobles y triples, através de los Teoremas de Green, Stokes y Gauss.

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Motivación del curso

Como mencionamos hace apenas un momento, los conceptos y resultados que estudiare-mos a lo largo de este curso tienen su importancia en áreas como la mecánica y el elec-tromagnetismo. Hablando en términos muy generales, nuestra motivación será entender,escribir y manipular el lenguaje matemático que subyace detrás de estos campos de lafísica. Por ejemplo, las cuatro ecuaciones de Maxwell que describen toda la teoría electro-magnética están escritas en el lenguaje del cálculo vectorial. Está entre estas ecuaciones laLey de Gauss para el campo eléctrico, que describe el flujo eléctrico a través de una superficiecerrada S como la integral de superficie sobre S del campo eléctrico E que la atraviesa;y (2) la ley del Gauss para el campo magnético, que dice que sobre una superficie cerradaS la divergencia del campo magnético B es cero, o equivalentemente, que la integral desuperficie de B sobre S es cero. También la ley de Faraday y la ley de Ampère describenfenómenos electromagnéticos en términos de integrales curvilíneas y de superficie.

1.1 Continuidad

Los resultados expuestos en estas notas se enuncian sin demostración, ya que las mismascorresponden al curso anterior.

Comencemos nuestro repaso con el concepto de continuidad. Para acostumbrarnos a loscampos vectoriales, repasaremos éste y los siguientes conceptos para tales funciones, ha-ciendo las observaciones correspondientes para campos vectoriales.

Definición 1.1.1. Un campo escalar es una función f : U ⊆ Rn → R.

Un campo vectorial es una función F : U ⊆ Rn → Rm, dondem ≥ 2. Usualmente se representaa F como una m-upla F = (F1, . . . , Fm) donde cada Fk : Rn → R, con 1 ≤ k ≤ m, es un campoescalar. Siguiendo esta notación, si x = (x1, . . . , xn) ∈ U , entonces

F (x) = (F1(x1, . . . , xn), . . . , Fm(x1, . . . , xn)).

Definición 1.1.2 (continuidad). Dado un campo vectorial F : U ⊆ Rn → Rm y un puntox0 ∈ U en su dominio, diremos que F es continua en x0 si para todo ε > 0 existe δ > 0 tal que

||x− x0|| < δ y x ∈ U =⇒ ||F (x)− F (x0)|| < ε.

En otras palabras, si queremos acercarnos a F (x0) a una distancia menor que un ε > 0 fijo, for-mando una bola abierta B(F (x0), ε), entonces podemos acercarnos a x0 dentro de alguna bolaabierta B(x0, δ) tal que F (B(x0, δ) ∩ U) ⊆ B(F (x0), ε).

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Usando la notación de límites, tenemos que F es continua en x0 si

limx→x0

F (x) = F (x0).

Finalmente, diremos que F es continua en U si es continua en todo punto de U .

Figura 1.1: Para campos escalares de dos variables, hablamos intuitivamente de continuidad cuando sugráfica representa una superficie en R3 sin hoyos ni cortes.

(Imagen tomada de Cálculo Vectorial - Marsden & Tromba)

Observación 1.1.3. El símbolo ||− || que aparece en la definición anterior corresponde a la norma2 de Rn y Rm, según sea el caso. No se especifica esto en la notación para no sobrecargarla.

Teorema 1.1.4 (propiedades sobre límites). Las siguientes propiedades se cumplen para camposescalares y vectoriales:

1. Un campo vectorial F = (F1, . . . , Fm) : U ⊆ Rn → Rm es continuo en x0 ∈ U si, y solo si,cada campo escalar Fk : U → R es continuo en x0.

2. Homogeneidad: Si F : U ⊆ Rn → Rm es continuo en x0 ∈ U , entonces λF es continuoen x0 para todo escalar real λ ∈ R.

3. Aditividad: Si F : U ⊆ Rn → Rm y G : V ⊆ Rn → Rm son continuos en x0 ∈ U ∩ V 1,entonces F + G es continuo en x0.

4. Propiedad para el producto: Si F : U ⊆ Rn → R y G : V ⊆ Rn → R son campos es-calares continuos en x0 ∈ U ∩ V , entonces F ·G es continuo en x0.

1Se asume que U ∩ V contiene una bola abierta de x0.

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5. Propiedad para el cociente: Si F : U ⊆ Rn → R y G : V ⊆ Rn → R son campos es-calares continuos en x0 ∈ U ∩ V y G es diferente de cero en un entorno de x0, entoncesF /G es continuo en x0.

6. Propiedad para la composición: Si F : U ⊆ Rn → Rm y G : V ⊆ Rm → Rp son camposvectoriales tales que F es continuo en x0 ∈ U , V contiene a la imagen de F , y G es continuoen F (x0), entonces G ◦ F es continuo en x0.

1.2 Derivadas parciales y direccionales

Cuando estudiamos el análogo de derivadas para funciones de varias variables, nos en-contramos con varios problemas a la hora de hallar un concepto adecuado. Se empiezaestudiando los conceptos de derivadas parciales y direccionales, para luego presentar lanoción de diferenciabilidad. Esta última es el análogo apropiado en varias variables a lasfunciones derivables de una variable. Por apropiado nos referimos a que la mayoría de laspropiedades de derivabilidad se transfieren a la generalización de diferenciabilidad. Porejemplo, todo campo escalar diferenciable en un punto va a ser continuo en dicho punto.Pero por otro lado, el hecho de que existan las derivadas direccionales de un campo es-calar en un punto no implica que el campo sea continuo el tal punto. A pesar de esto,entender los conceptos de derivadas parciales y direccionales en fundamental para asim-ilar el de diferenciabilidad. Hagamos a continuación un recordatorio de estas nociones yde las relaciones más importantes que hay entre ellos.

Definición 1.2.1 (derivadas parciales). Sea f : U ⊆ Rn → R un campo escalar y x0 =(x1

0, . . . , xn0 ) ∈ U . Si para 1 ≤ i ≤ n existe el límite

limh→0

f(x1, . . . , xi−1, xi + h, xi+1, . . . , xn)− f(x10, . . . , x

n0 )

h,

entonces al mismo se le conoce como la i-ésima derivada parcial de f en x0, y es denotado como∂f∂xi

(x0).

Un concepto un poco más general que el anterior es el siguiente.

Definición 1.2.2 (derivadas direccionales). Sea f : U ⊆ Rn → R un campo escalar, x0 =(x1

0, . . . , xn0 ) ∈ U y v = (v1, . . . , vn) un vector de dirección (es decir, v 6= 0 y v2

1 + · · · + v2n = 1).

Si existe el límitelimh→0

f(x0 + hv)− f(x0)

h,

entonces al mismo se le conoce como la derivada direccional de f en x0 y en dirección v, y sedenota por ∂f

∂v(x0).

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1.3 Diferenciabilidad

Definición 1.3.1 (diferenciabilidad). Sea F : U ⊆ Rn → Rm un campo vectorial. Se dice queF es diferenciable en x0 si existe una transformación lineal Tx0 : Rn → Rm tal que

lim∆x→0

||F (∆x + x0)− F (x0)− Tx0(∆x)||||∆x||

= 0.

Equivalentemente, F es diferenciable en x0 si existe una transformación lineal Tx0 : Rn → Rm yuna campo vectorial r definido en un entorno de x0 y con valores en Rm tal que

F (∆x + x0) = F (x0) + Tx0(∆x) + r(∆x)

y donde lim∆x→0||r(∆x)||||∆x|| = 0.

Diremos que F es diferenciable en U cuando sea diferenciable en todo punto de U .

Figura 1.2: Para campos escalares de dos variables, hablamos intuitivamente de diferenciabilidad cuandosu gráfica representa una superficie en R3 sin picos, hoyos y esquinas.

(Imagen tomada de Cálculo Vectorial - Marsden, & Tromba)

Observación 1.3.2. Hacemos los siguientes comentarios sobre la definición anterior:

1. El símbolo ∆x se define como ∆x = x − x0 = (x1 − x10, . . . , xn − xn0 ), donde x =

(x1, . . . , xn) y x0 = (x10, . . . , x

n0 ), y se conoce como el incremento de x.

2. La transformación lineal Tx0 es única, se le conoce como el diferencial de F en x0 y sedenota por dFx0 . La transformación dFx0 está representada, en las bases canónicas de Rn y

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Rm, por la llamada matriz Jacobiana de F en x0, que se define de la siguiente manera aldenotar F = (F1, . . . , Fm):

JF (x0) =

∂F1

∂x1(x0) ∂F1

∂x2(x0) · · · ∂F1

∂xn−1(x0) ∂F1

∂xn(x0)

∂F2

∂x1(x0) ∂F2

∂x2(x0) · · · ∂F2

∂xn−1(x0) ∂F2

∂xn(x0)

...... . . . ...

...∂Fm−1

∂x1(x0) ∂Fm−1

∂x2(x0) · · · ∂Fm−1

∂xn−1(x0) ∂Fm−1

∂xn(x0)

∂Fm

∂x1(x0) ∂Fm

∂x2(x0) · · · ∂Fm

∂xn−1(x0) ∂Fm

∂xn(x0)

m×n

3. Para el caso m = 1, dFx0 está representada por el gradiente de F en x0, definido por

∇F (x0) =(

∂F∂x1

(x0) ∂F∂x2

(x0) · · · ∂F∂xn−1

(x0) ∂F∂xn

(x0))

1×n.

La Jacobiana y el gradiente de un campo escalar en un punto son la misma matriz.

Volviendo al campo vectorial F en 2., la Jacobiana de F en x0 también puede denotarse como

JF (x0) =

∇F1(x0)∇F2(x0)

...∇Fm−1(x0)∇Fm(x0)

.

4. Para campos escalares de dos variables f : U ⊆ R2 → R, ser diferenciable en (x0, y0) ∈ U esequivalente a pedir que

lim(∆x,∆y)→(0,0)

∣∣∣f((∆x,∆y) + (x0, y0))− f(x0, y0)− ∂f∂x

(x0, y0) ·∆x− ∂f∂y

(x0, y0) ·∆y∣∣∣√

(∆x)2 + (∆y)2= 0.

Teorema 1.3.3 (propiedades de la diferenciabilidad). Las siguientes propiedades se cumplenpara campos vectoriales y escalares:

1. Si F = (F1, . . . , Fm) : U ⊆ Rn → Rm es un campo vectorial y x0 ∈ U , entonces F esdiferenciable en x0 si, y solo si, cada campo escalar Fk es diferenciable en x0.

2. Homogeneidad: Si F : U ⊆ Rn → Rm es diferenciable en x0 ∈ U y λ ∈ R, entonces λFes diferenciable en x0. Además,

d(λF )x0 = λdFx0 y JλF (x0) = λJF (x0).

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3. Aditividad: Si F : U ⊆ Rn → Rm y G : V ⊆ Rn → Rm son diferenciables en x0∩U ∩V 2,entonces F + G : U ∩ V ⊆ Rn → Rm es diferenciable en x0. Además,

d(F+G)x0 = dFx0 + dGx0 y JF+G(x0) = JF (x0) + JG(x0).

4. Regla del producto: Si f : U ⊆ Rn → R y g : V ⊆ Rn → R son diferenciables enx0 ∈ U ∩ V , entonces f · g : U ∩ V ⊆ Rn → R es diferenciable en x0. Además,

d(f · g)x0 = g(x0)dfx0 + f(x0)dgx0 y Jf ·g(x0) = g(x0)Jf (x0) + f(x0)Jg(x0).

5. Regla del cociente: Si f : U ⊆ Rn → R y g : V ⊆ Rn → R son diferenciables en x0 ∈U ∩ V , y g es diferente de cero en U ∩ V , entonces f

g: U ∩ V ⊆ Rn → R es diferenciable en

x0m. Además,

d

(f

g

)x0

=g(x0)dfx0 − f(x0)dgx0

(g(x0))2y J f

g(x0) =

g(x0)Jf (x0)− f(x0)Jg(x0)

(g(x0))2.

6. Regla de la cadena: Si F : U ⊆ Rn → Rm es un campo vectorial diferenciable en x0 ∈ U ,y g : V ⊆ Rm → R (donde V contiene a la imagen de F ) es un campo escalar diferenciableen F (x0) ∈ V , entonces g ◦ F : U ⊆ Rn → R es un campo escalar diferenciable en x0.Además, d(g ◦ F )x0 está representada por la matriz

Jg◦F (x0) = ∇g(F (x0)) · JF (x0).

Teorema 1.3.4 (propiedades de diferenciabilidad). Sea F = (F1, . . . , Fm) : U ⊆ Rn → Rm

un campo vectorial. Entonces, las siguientes propiedades se cumplen:

1. Si F es diferenciable en x0 ∈ U , entonces F es continua en x0.

2. Si F es diferenciable en x0 ∈ U , entonces ∂Fk

∂xi(x0) existe para todo 1 ≤ k ≤ m y 1 ≤ i ≤ n.

3. Condición suficiente de diferenciabilidad: Si las derivadas parciales ∂Fk

∂xiexisten y son

continuas en una bola abierta centrada en x0, entonces F es diferenciable en x0.

Ejemplo 1.3.5 (continuidad no implica diferenciabilidad). Consideremos el campo escalarf : R2 → R dado por

f(x, y) =√x2 + y2.

Estamos claramente ante una función continua en su dominio, por ser una composición de fun-ciones continuas. En particular, f es continua en (0, 0). En cuando a la diferenciabilidad, sabemosdel curso anterior de CDIVV que la gráfica de f es la de un cono, con punta en el origen (0, 0, 0)y cuyo eje es el eje Z positivo. Tal gráfica presenta un pico en (0, 0, 0), por lo que la superficie querepresenta en R3 no es “suave”.

2Se asume que U ∩ V contiene una bola abierta de x0.

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Figura 1.3: Gráfica de f . (Wolfram Alpha)

Podemos sospechar entonces que f no es diferenciable en (0, 0). Para probar esto formalmente,necesitamos ver si se pueden calcular las derivadas parciales de f en (0, 0):

limh→0

f(h, 0)− f(0, 0)

h= lim

h→0

√h2 + 0− 0

h= lim

h→0

|h|h.

Como el límite anterior no existe (pues vale 1 o -1 dependiendo de si h tiende a 0 por la derecha oizquierda, respectivamente), tenemos que f no posee derivada parcial respecto a x en (0, 0). Porlo tanto, f no puede ser diferenciable, pues diferenciabilidad implica la existencia de las derivadasparciales según el teorema anterior.

Ejemplo 1.3.6 (continuidad y existencia de todas las derivadas direccionales no implicadiferenciabilidad). Consideremos el campo escalar g : R2 → R dado por

g(x, y) =

{y3

x2+y2si (x, y) 6= (0, 0),

0 si (x, y) = (0, 0).

Esta función es continua en (0, 0), ya que

lim(x,y)→(0,0)

g(x, y) = lim(x,y)→(0,0)

y3

x2 + y2= lim

(x,y)→(0,0)y · y2

x2 + y2= 0 = g(0, 0).

Lo anterior se debe a que la función (x, y) 7→ y tiene límite 0 en (0, 0), y la función (x, y) 7→ y2

x2+y2

es acotada en una bola abierta reducida centrada en (0, 0).

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Figura 1.4: Gráfica de g. (Wolfram Alpha)

Ahora calculemos las derivadas direccionales en (0, 0). Consideremos un vector de dirección v =(v1, v2). Tenemos:

∂g

∂v(0, 0) = lim

h→0

g((0, 0) + hv)− g(0, 0)

h= lim

h→0

(hv2)3

h2v21+h2v22

h= lim

h→0

h3v32

h3(v21 + v2

2)= lim

h→0

h3v32

h3= v3

2.

Tenemos hasta ahora que g es continua y con todas sus derivadas direccionales en (0, 0). Sinembargo, g no es diferenciable en (0, 0). Para ver esto, calculemos el límite

L = lim(x,y)→(0,0)

g(x, y)− g(0, 0)− ∂g∂x

(0, 0) · x− ∂g∂y

(0, 0) · y||(x, y)||

.

Tenga en cuenta que en este caso (∆x,∆y) = (x, y). Entonces,

L = lim(x,y)→(0,0)

y3

x2+y2− 0− 0 · x− 1 · y√

x2 + y2= lim

(x,y)→(0,0)

y3

x2+y2− y√

x2 + y2= lim

(x,y)→(0,0)

y3 − y(x2 + y2)

(x2 + y2)3/2

= lim(x,y)→(0,0)

− yx2

(x2 + y2)3/2.

El límite anterior no existe, porque se obtienen resultados distintos al calcularlos por los caminosy = x y x = 0. En conclusión, el límiteL no es 0 (no siquiera existe), por lo que g no es diferenciableen (0, 0).

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Ejemplo 1.3.7 (existencia de las derivadas parciales no implica continuidad). Consideremosel campo escalar q : R2 → R dado por

q(x, y) =

{ xyx2+y2

si (x, y) 6= (0, 0),

0 si (x, y) = (0, 0).

Esta función no es continua en (0, 0) ya que no tiene límite en (0, 0) (tal límite da lugar a valoresdiferentes si se calcula por los caminos x = 0 y x = y). Por otro lado, q sí tiene derivadas parcialesen (0, 0), y en este caso es fácil ver a partir de la definición que ∂q

∂x(0, 0) = 0 y ∂q

∂y(0, 0) = 0.

Figura 1.5: Gráfica de q. (Wolfram Alpha)

Ejemplo 1.3.8 (diferenciabilidad no implica la continuidad de las derivadas parciales).Consideremos el campo escalar s : R2 → R dado por

s(x, y) =

(x2 + y2) sin

(1√x2+y2

)si (x, y) 6= (0, 0),

0 si (x, y) = (0, 0).

Veamos que esta función es diferenciable en (0, 0) a partir de la definición de diferenciabilidad. Paraesto, necesitamos las derivadas parciales en (0, 0):

∂s

∂x(0, 0) = lim

h→0

s(h, 0)− s(0, 0)

h= lim

h→0

h2 sin(

1√h2

)h

= limh→0

h sin

(1

|h|

)= 0.

De manera similar, ∂s∂y

(0, 0) = 0. Entonces,

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L = lim(x,y)→(0,0)

s(x, y)− s(0, 0)− ∂s∂x

(0, 0) · x− ∂s∂y

(0, 0) · y||(x, y)||

= lim(x,y)→(0,0)

(x2 + y2) sin

(1√x2+y2

)√x2 + y2

= lim(x,y)→(0,0)

√x2 + y2 sin

(1√

x2 + y2

)= 0,

y así s es diferenciable en (0, 0).

Para el resto del ejemplo calculemos las derivadas parciales fuera de (0, 0). Por propiedades de ladiferenciabilidad, s es diferenciable en todo punto distinto del origen, por lo que existen las parcialesen (x, y) 6= (0, 0) y se calculan por las reglas usuales de derivación en una variable:

∂s

∂x(x, y) =

∂

∂x

((x2 + y2) sin

(1√

x2 + y2

))

=∂

∂x

((x2 + y2)

)· sin

(1√

x2 + y2

)+ (x2 + y2)

∂

∂x

(sin

(1√

x2 + y2

))

= 2x sin

(1√

x2 + y2

)+ (x2 + y2) cos

(1√

x2 + y2

)· (−1)

(√x2 + y2)2

· 1

2√x2 + y2

· 2x

= 2x sin

(1√

x2 + y2

)− cos

(1√

x2 + y2

)· x√

x2 + y2.

De manera similar se puede calcular ∂s∂y

(x, y). Entonces,

∂s

∂x(x, y) =

2x sin

(1√x2+y2

)− x√

x2+y2cos

(1√x2+y2

)si (x, y) 6= (0, 0),

0 si (x, y) = (0, 0).

∂s

∂y(x, y) =

2y sin

(1√x2+y2

)− y√

x2+y2cos

(1√x2+y2

)si (x, y) 6= (0, 0),

0 si (x, y) = (0, 0).

La derivada parcial ∂s∂x

(x, y) no es continua en (0, 0), ya que 2x sin

(1√x2+y2

)tiene límite 0 en

(0, 0) mientras que x√x2+y2

cos

(1√x2+y2

)no tiene límite en (0, 0). Para ver esto último, basta ver

que lim(x,y)→(0,0)x√x2+y2

cos

(1√x2+y2

)no existe a lo largo de y = 0.

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Figura 1.6: Gráfica de s(x, y). (Wolfram Alpha)

Escrito en LATEX por Marco A. Pérez.

Material consultado:• Cálculo Vectorial, de Marsden y Tromba.

Última actualización: 19 de Agosto de 2020.

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