y f x) = f x j = 1 2 m f x f x f x)) o D u h 2 o D h 0 · Derivadas parciales de orden superior (1)...

Derivada direccional (1)

Seaf : D ⊂ Rn −→ Rm

x = (x1, ··, xi , ··, xn) −→ y = f (x) = (y1, ··, yj , ··, ym).

Siendoyj = fj (x) = fj (x1, ··, xi , ··, xn) , j = 1, 2, ··, m

f (x) = (f1 (x) , ··, fj (x) , ··, fm (x)).

Sea c ∈o

D, sea una direccion u = (u1, u2, · · · , un), sea h ∈ R tal que

c + hu ∈o

D.

Se define la derivada de f en el punto c, segun el vector u, allımite, que denominamos f ′ (c; u) o Duf (c), si existe:

f ′ (c; u) = Duf (c) = limh→0

f(c+hu)−f(c)h Si es ‖u‖ = 1, se habla de

derivada direccional de f en c en la direccion u.

Varias Variables: Derivacion y diferenciacion

Derivada direccional (2)

Sera

limh→0

f (c + hu)− f (c)

h= lim

h→0

(f1 (c + hu)− f1 (c + hu)

h,

f2 (c + hu)− f2 (c + hu)

h, · · ·

fm (c + hu)− fm (c + hu)

h

)

es decir

f ′ (c; u) = Duf (c) =

= limh→0

f (c + hu)− f (c)

h= (f ′1 (c; u) , f ′2 (c; u) , · · · , · · · f ′m (c; u))

luego hemos de aprender a manejarnos con funciones reales devariable vectorial o de varias variables.

Si consideramos la base canonica {ei}i=1, ··,n, u =n∑

i=1

uiei .

A las derivadas segun los vectores basicos, derivadas direccionales,se las denomina derivadas parciales, y existen n, que denotamos

fxi (c) ≡ fei (c) ≡ ∂f (c)

∂xi≡ ∂f

∂xi

∣∣∣∣c


Derivada parcial (1)

En el caso de funciones reales de dos variables, tenemos

Derivada parcial segun x:

fx (x , y) =∂f

∂x(x , y) = lim

h→0

f (x + h, y)− f (x , y)

h

en este caso es: c = (x , y) y u = (1, 0)

Derivada parcial segun y :

fy (x , y) =∂f

∂y(x , y) = lim

k→0

f (x , y + k)− f (x , y)

k

en este caso es: c = (x , y) y u = (0, 1)

Si tenemos una funcion real de n variables, la derivada parcial conrespecto a ei , i = 1, 2, · · · , n, en un punto (a1, a2, · · · , an) sera

limhi→0

f (a1, a2, · · · , ai + hi , · · · an)− f (a1, a2, · · · , ai , · · · an)

hi= l ∈ IR


Derivada parcial (2)

Si estamos en un punto genererico (x1, x2, · · · , xn), la derivadaparcial con respecto a ei , sera

limhi→0

f (x1, x2, · · · , xi + hi , · · · xn)− f (x1, x2, · · · , xi , · · · xn)

hi=

= l (x1, x2, · · · , xn)

¿Que estamos haciendo?: Hemos supuesto constantes lascomponentes x1, x2, · · · , xi−1, xi+1, · · · xn y variable a lacomponente xi , y hemos calculado un lımite como si estuviesemosen funciones reales de una variable: xi . Luego practicamenteactuaremos del modo siguiente para calcular las derivadas parciales:Suponemos que son constantes todas las variables excepto aquellacon respecto a la cual estamos calculando la derivada.Escribiendose

∂f (x1, x2, · · · , xn)

∂xi≡ fxi = l (x1, x2, · · · , xn) , i = 1, 2, · · · , n


Derivada parcial (3): Ejemplo

z = x3y 2 + x2 + y 2 + 45xy :∂z

∂x= 3x2y 2 + 2x + 45y

:∂z

∂y= 2x3y + 2y + 45x

u = cos(x3y 2z + x2y

):

∂u

∂x=[−sen

(x3y 2z + x2y

)] (3x2y 2z + 2xy

):

∂u

∂y=[−sen

(x3y 2z + x2y

)] (2x3yz + x2

):

∂u

∂z=[−sen

(x3y 2z + x2y

)] (x3y 2

)


Interpretacion de la derivada parcial si IR2 (1)

Supongamos que tenemos

f : A ⊂ IR2 −→ IR(x , y) −→ z = f (x , y)

Sea un punto (a, b) ∈ A y sea P tal que P (a, b, f (a, b)).

A

B

C

D

P

y = b

x=a

Planox=a

Planoy=b

A

D

B

C

P P

b ab+k a+h



Consideremos los puntos pertenecientes a la superficie y que estanen el plano y = b, estos puntos forman la curva CPB, que estadefinida por {

z = f (x , y)y = b

→ z = f (x , b)

por lo que se trata de una funcion de una variable, cuya graficaesta en el plano y = b, es decir{

(x , y , z) ∈ IR3 |y = b, z = f (x , b)}

Consideremos los puntos pertenecientes a la superficie y que estanen el plano x = a, estos puntos forman la curva APD, que estadefinida por {

z = f (x , y)x = a

→ z = f (a, y)

por lo que se trata de una funcion de una variable, cuya graficaesta en el plano x = a, es decir{

(x , y , z) ∈ IR3 |x = a, z = f (a, y)}



Si queremos conocer la variacion de la funcion z = f (x , y) en elplano y = b en el punto x = a, es lo mismo que conocer lavariacion de la funcion z = f (x , b), por lo que podemos plantear laexistencia de la derivada de esa funcion con respecto a la variable x

limh→0

f (a + h, b)− f (a, b)

h=

∂f

∂x

∣∣∣∣(a, b)

Si queremos conocer la variacion de la funcion z = f (x , y) en elplano x = a en el punto y = b, es lo mismo que conocer lavariacion de la funcion z = f (a, y), por lo que podemos plantear laexistencia de la derivada de esa funcion con respecto a la variable y

limk→0

f (a, b + k)− f (a, b)

k=

∂f

∂y

∣∣∣∣(a, b)

Es decir, a traves de las derivadas parciales conocemos la variacionde la funcion en dos direcciones “privilegiadas”, las paralelas a losejes


Interpretacion de la derivada direccional si IR2

A=(a, b)

B=(a+h, b+k) el punto A = (a, b) = cel punto B = (a + h, b + k) = c + vsi D ∈ AB es D = c + tv, t ∈ IR , 0 ≤ t ≤ 1

Si queremos conocer la variacion de la funcion en el punto (a, b),segun una direccion definida por el vector (h, k), haremos losiguiente:

limt→0

f (B)− f (A)

t= lim

t→0

f (c + tv)− f (c)

t= f ′ (c; v)

Es decir, a traves de las derivada direccional conocemos lavariacion de la funcion en cualquier direccion



Sea: f (x , y) =

{x + y si xy = 01 si xy 6= 0

calculemos sus derivadas

parciales en el punto c = (0, 0),

fx (0, 0) =∂f

∂x(0, 0) = lim

h→0

f (0 + h, 0)− f (0, 0)

h= lim

h→0

(0 + h)− (0)

h= 1

fy (0, 0) =∂f

∂y(0, 0) = lim

k→0

f (0, 0 + k)− f (0, 0)

k= lim

k→0

(0 + k)− (0)

k= 1

Si ahora calculamos la derivada direccional en el punto c = (0, 0)en una direccion definida por el vector v = (v1, v2), v1v2 6= 0

f (1) (c; v) = Dvf (c) =∂f

∂v(0, 0) = lim

h→0

f (c + hv)− f (c)

h=

= limh→0

f ((0, 0) + h (v1, v2))− f (0, 0)

h= lim

h→0

f (hv1, hv2)− f (0, 0)

h=

= limh→0

1− 0

h→ @ existe derivada direccional en solo dos direcciones



Sea: f =

{ xyx2+y2 si (x , y) 6= (0, 0)

0 si (x , y) = (0, 0)Sus derivadas parciales son

(x , y) 6= (0, 0): fx =∂f

∂x=

y − xy (2x)

(x2 + y 2)2 , fy =∂f

∂y=

x − xy (2y)

(x2 + y 2)2

(x , y) = (0, 0):

limh→0

f ((0, 0)+h(1, 0))−f (0, 0)h = lim

h→0

(0+h)0

(0+h)2+02−0

h = limh→0

0h = 0

limk→0

f ((0, 0)+k(0, 1))−f (0, 0)k = lim

k→0

0(0+k)

02+(0+k)2−0

k = limk→0

0k = 0

Las derivadas en (x , y) = (0, 0), en cualquier direccion,distintas a las de los ejes, (v1, v2) , v1v2 6= 0:

limh→0

f ((0, 0)+h(v1, v2))−f (0, 0)h = lim

h→0

(0+hv1)(0+hv2)(0+hv1)2+(0+hv2)2−0

h = limh→0

v1v2v21

+v22

h →∞

Tanto f =

{xy

x2+y2 si (x, y) 6= (0, 0)

0 si (x, y) = (0, 0)como f (x, y) =

{x + y si xy = 01 si xy 6= 0

no

son continuas en (0, 0).


Derivadas parciales de orden superior (1)

Si f : X ⊂ IRn → IR es tal que existen todas las derivadas parciales

en un conjunto abierto A, A ⊂◦

X , podemos definir las n funciones

fxi : A ⊂ IRn → IR

x → fxi (x) =∂f (x)

∂xi

Si estas funciones a su vez admiten derivadas parciales, podemosdefinirlas y las representamos

fxjxi ≡∂fxi (x)

∂xj


Derivadas parciales de orden superior (1): Ejemplos

z = x3 + y 3 + 3x2y ⇒

zx = 3x2 + 6xy

{zx2 = 6x + 6yzxy = 6x

zy = 3y 2 + 3x2

{zyx = 6xzy2 = 6y

z = sen (x + y) + x3y2 ⇒

zx = cos (x + y) + 3x2y2

{zx2 = −sen (x + y) + 6xy2

zxy = −sen (x + y) + 6x2y

zy = cos (x + y) + 2x3y

{zyx = −sen (x + y) + 6x2y

zy2 = −sen (x + y) + 2x3

Si observamos en los dos casos, sucede que zxy = zyx , nospreguntamos: ¿es independiente el resultado del orden dederivacion parcial sucesiva cuando se deriva respecto a lasdiferentes variables?, es decir es:

∂2f

∂xi∂xj=

∂2f

∂xj∂xi, i 6= j

Existen varios teoremas que nos dan las condiciones suficientes

para que ası suceda, nosotros vamos a suponer que se cumple

siempre, es decir se cumple la igualdad de las derivadas cruzadas.Varias Variables: Derivacion y diferenciacion

Derivadas parciales de orden superior (2)

Si las derivadas parciales de orden 2, o de segundo orden, sontambien derivables se pueden calcular las derivadas terceras y asısucesivamente, si es que existen. Ası si tenemos

∂pf

∂xα11 · · · ∂xαk

k · · · ∂xαnn, α1 + · · ·+ αk + · · ·+ αn = p

es∂

∂xk

(∂pf

∂xα11 · · · ∂xαk

k · · · ∂xαnn

)=

∂p+1f

∂xα11 · · · ∂xαk+1

k · · · ∂xαnn

siendo independiente el orden de derivacion.


Notacion de Monge

Si z = f (x , y), en algunos textos se utiliza la siguiente notacion

∂f

∂x= p,

∂f

∂y= q,

∂2f

∂x2= r ,

∂2f

∂y 2= t,

∂2f

∂x∂y= s


Funcion diferenciable

Sea: f : D ⊂ IRn −→ IRm , c ∈ B (c; r) ⊂o

D,v ∈ Rn | c + v ∈ B (c; r) , decimos que f es diferenciable en c si existeuna funcion lineal

Tc : Rn −→ Rm | f (c + v)− f (c) = Tc (v) + ‖v‖Ec (v)

siendo Ec (v)→ 0, cuando v→ 0. Es decir

lim|v|→0

f (c + v)− f (c)− Tc (v)

‖v‖= 0

Tc (v) es la parte principal del incremento de la funcion cuandopasamos de un punto c a un punto c + v.Llamamos diferencial de la funcion f en el punto c a Tc .


Relacion entre diferencial y derivada direccional (1)

Si f es diferenciable en c con diferencial Tc , entonces la derivadadireccional f

′(c; u) existe para cada u ∈ Rn y se tiene

Tc (u) = f′

(c; u)

• Si u = 0, aplicando la definicion es f′

(c; 0) = 0; si la funcion es diferenciable,

f (c + 0)− f (c) = Tc (0) + ‖0‖Ec (0)⇒ 0 = Tc (0)

• si u 6= 0, u = hv,

f (c + hv)− f (c) = Tc (hv) + ‖hv‖Ec (hv)⇒por ser Tc una aplicacion lineal

f (c + hv)− f (c) = hTc (v) + |h| ‖v‖Ec (hv)⇒f (c + hv)− f (c)

h= Tc (v) +

|h|h‖v‖Ec (hv)

y tomando lımite cuando h→ 0

limh→0

f (c + hv)− f (c)

h= lim

h→0

(Tc (v) +

|h|h‖v‖Ec (hv)

)f

′(c; v) = Tc (v) + lim

h→0

|h|h ‖v‖Ec (hv)⇒ f

′(c; v) = Tc (v)

pues por ser diferenciable es limh→0

|h|h‖v‖ Ec (hv) = ±1 ‖v‖ lim

h→0Ec (hv) = 0


Determinacion de la aplicacion lineal T

En las funciones reales de variable real, el concepto de diferenciable nos llevaba a escribir d f = f ′ (x0) d x

cuando pasamos del punto x0 al punto x0 + d x y nos medıa el la parte principal del incremento.

En el caso de funciones vectoriales de variable vectorial, ladiferencial de la funcion en un punto c cuando pasamos del puntoc al punto c + v es la parte principal del incremento de la funcion yescribimos d f = Tc (v) = f

′(c; v), que siguiendo la notacion de las funciones reales de

variable real, suele escribirse

d f = Tc (v) = f′

(c; v) = f′

(c) (v)

ahora bien, al ser lineal Tc , si expresamos el vector v comocombinacion lineal de los vectores basicos

Tc (v) = Tc

(k=n∑k=1

vkek

)=

k=n∑k=1

vkTc (ek) =k=n∑k=1

vk f′

(c; ek) =k=n∑k=1

vk∂f (c)

∂xk


Determinacion de la aplicacion lineal T si IRn → IR

d f = Tc (v) =k=n∑k=1

vk∂f (c)

∂xk=

(∂f (c)

∂x1, · · · , ∂f (c)

∂xk, · · · , ∂f (c)

∂xn

)v1

·vk·

vn

y si el vector v = (d x1, · · · , d xk , · · · , d xn), escribimos

d f = Tc (v) =

(∂f (c)

∂x1, · · · , ∂f (c)

∂xk, · · · , ∂f (c)

∂xn

)d x1

·d xk·

d xn

El diferencial es el producto de dos matrices. A la matriz fila se ledenomina vector gradiente del campo escalar f (c), y se escribe

grad f (c) = ∇ f (c) =

(∂f (c)

∂x1, · · · , ∂f (c)

∂xk, · · · , ∂f (c)

∂xn

)puede existir el gradiente y no ser diferenciable.


Determinacion de la aplicacion lineal T si IRn → IRm (1)

Hemos visto que Tc (v) =k=n∑k=1

vk∂f (c)

∂xk, recordando que

∂f (c)

∂xk=

(∂f1 (c)

∂xk, · · · , ∂fj (c)

∂xk, · · · , ∂fm (c)

∂xk

)resulta

d f =

d f1

...d fj

...d fm

=

∂f1 (c)

∂x1· · · ∂f1 (c)

∂xk· · · ∂f1 (c)

∂xn· · · · · · · · ·

∂fj (c)

∂x1· · · ∂fj (c)

∂xk· · · ∂fj (c)

∂xn· · · · · · · · ·

∂fm (c)

∂x1· · · ∂fm (c)

∂xk· · · ∂fm (c)

∂xn

d x1

...d xk

...d xn


Determinacion de la aplicacion lineal T si IRn → IRm (2)

Es importante resaltar que la diferencial de una determinada funcion quedependa de n variables es un punto generico es una funcion que dependede las n variables, x1, x2, · · · , xn, que definen el punto y de las ncomponentes del vector, d x1, d x2, · · · , d xn, que define el cambio deposicion del punto.A la matriz

∂f1 (c)

∂x1· · · ∂f1 (c)

∂xk· · · ∂f1 (c)

∂xn· · · · · · · · ·

∂fj (c)

∂x1· · · ∂fj (c)

∂xk· · · ∂fj (c)

∂xn· · · · · · · · ·

∂fm (c)

∂x1· · · ∂fm (c)

∂xk· · · ∂fm (c)

∂xn

se le llama matriz jacobiana de las funciones f1, · · · , fj , · · · , fm con

respecto a las variables x1, · · · , xk , · · · , xn.


Jacobiano

En el caso m = n es posible hallar el determinante de la matrizanterior, que se denomina jacobiano, y se representa por

∂ (f1, ·, fj , ·, fn)

∂ (x1, ·, xk , ·, xn)=

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

∂f1 (c)

∂x1· · · ∂f1 (c)

∂xk· · · ∂f1 (c)

∂xn...

......

......

∂fj (c)

∂x1· · · ∂fj (c)

∂xk· · · ∂fj (c)

∂xn...

......

......

∂fn (c)

∂x1· · · ∂fn (c)

∂xk· · · ∂fn (c)

∂xn

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣


Aplicaciones IR2 → IR : Plano tangente (1)

Cuando pasamos del punto P (x0, y0, f (x0, y0)) al punto

A (x0 + h, y0, f (x0 + h, y0)) nos movemos en el plano y = y0, y la

curva que une los puntos P y A es la interseccion de la superficie

z = f (x , y) con el plano y = y0. Que es una curva plana y que, si

tiene tangente en el punto P, la pendiente viene definida por la

derivada de f (x , y0) con respecto a la variable x en el punto

x = x0, que es la derivada parcial de la funcion f (x , y) con

respecto a la variable x en el punto (x0, y0).



Cuando pasamos del punto P (x0, y0, f (x0, y0)) al puntoC (x0, y0 + k, f (x0, y0 + k)) nos movemos en el plano x = x0, y la curva que unelos puntos P y C es la interseccion de la superficie z = f (x , y) con el plano x = x0.Que es una curva plana y que, si tiene tangente en el punto P, la pendiente vienedefinida por la derivada de f (x0, y) con respecto a la variable y en el punto y = y0,que es la derivada parcial de la funcion f (x , y) con respecto a la variable y en elpunto (x0, y0).

Si en el punto P (x0, y0, f (x0, y0)), consideramos todas las curvascontenidas en la superficie que pasan por el punto P y suscorrespondientes rectas tangentes y consideramos el plano, siexiste, que contiene a todas las rectas tangentes es el planotangente. En particular contiene:• A la recta tangente en P a la curva que une los puntos P y Aque esta contenida en el plano y = y0.• A la recta tangente en P a la curva que une los puntos P y Cque esta contenida en el plano x = x0.Las direcciones de estas rectas son respectivamente:(

1, 0,∂f (x0, y0)

∂x

),

(0, 1,

∂f (x0, y0)

∂y

)Varias Variables: Derivacion y diferenciacion


Ya que el plano tangente viene definido por un vector que esperpendicular a las direcciones anteriores, el vector que lo definesera: ∣∣∣∣∣∣∣∣∣

e1 e2 e3

1 0∂f

∂x

0 1∂f

∂y

∣∣∣∣∣∣∣∣∣ = −(∂f

∂x,∂f

∂y, −1

)

La ecuacion del plano tangente en el punto P (x0, y0, f (a, b)) :si (x , y , z) es un punto generico perteneciente al plano tangente,el vector: (x − x0, y − y0, z − f (x0, y0)) esta contenido en el planotangente y su producto escalar con uno cuya direccion seaperpendicular al plano tangente sera nulo:(

∂f

∂x,∂f

∂y, −1

)• (x − x0, y − y0, z − f (x0, y0)) = 0⇒

z − f (x0, y0) = (x − x0)∂f (x0, y0)

∂x+ (x − x0)

∂f (x0, y0)

∂y

donde las derivadas parciales estan particularizadas en el punto(x0, y0).


Hiperplano

Si tuviesemos una aplicacion f de Rn en R se habla del hiperplanotangente, cuya ecuacion en un puntoP (a1, a2, · · · , an, f (a1, a2, · · · , an)), sera:

z − f (a1, a2, · · · , an) =

j=n∑j=1

(xj − aj)∂f

∂xj

∣∣∣∣(a1, a2, ··· , an)

Por ejemplo si queremos calcular el plano tangente en el punto(1, 2, 37) a la superficie z = x2 + 9y 2, sera,

∂f

∂x

∣∣∣∣P0

= 2x |(1, 2) = 2,∂f

∂y

∣∣∣∣P0

= 18y |(1, 2) = 36, x2 + 9y 2∣∣P0

= 1+36 = 37

z − 37 = 2 (x − 1) + 36 (y − 2)


y f x) = f x j = 1 2 m f x f x f x)) o D u h 2 o D h 0 · Derivadas parciales de orden superior (1)...

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