1

INTEGRAL INDEFINIDA. INTEGRAL DEFINIDA Y

APLICACIONES

I – La integral indefinida (repaso)

(Comenzamos por el recordatorio de los conceptos de primitiva, integral definida y sus

propiedades y los métodos de integración que se suponen conocidos)

- Definición 1. Sea y = f(x) una función real de variable real, se dice que y= F(x) es una

función primitiva de y=f(x) si )()()´( fDxxfxF ∈∀= .

Ejemplo: 2)( xxF = es primitiva de f(x)=2x. 7)( 2 += xxG también lo es.

En general si F(x) es una primitiva de f(x) entonces G(x) = F(x) + C con RC∈

también lo es.

- Definición 2. Dada y = f(x) una función real de variable real, se llama integral

indefinida de y=f(x) al conjunto de sus infinitas funciones primitivas:

Si y = F(x) es una primitiva de y= f(x), se escribe: ∫ += CxFdxxf )()( con C

cualquier constante real.

- Propiedades. Se recuerda que en función de las propiedades de las funciones

derivables, la integral indefinida verifica que es un operador lineal (además de inverso

de la derivación):

∫ ∫ ∫ ∈∀⋅+⋅=⋅+⋅ Rkkdxxgkdxxfkdxxgkxfk 212121 ,)()())()(( y

∀ f(x) , g(x) funciones reales de variable real.

- Métodos de integración

1.- Integrales inmediatas

Recordamos que son aquellas que se pueden calcular con el uso de las reglas de

derivación de forma directa y con el arreglo de constantes multiplicativas.

Para ello se le pide al alumno que vuelva a utilizar la tabla de integrales inmediatas que

tiene desde la unidad anterior ( Se incluye la tabla en estos apuntes)

Con ayuda de varios ejemplos, se recuerda las interrogantes básicas que le ayudarán a

ver si una integral es inmediata o no:

a) ¿Qué tipo de función es?.

b) ¿Parece responder a la forma generalizada que recoge la tabla dependiendo de

la localización del tipo de función que he hecho?.

2

c) ¿Puede ajustarse con el uso adecuado de constantes multiplicativas?

d) Si es fracción, el numerador es la derivada del denominador salvo constantes

multiplicativas?.

e) Si no es inmediata, ¿qué método parece lógico utilizar?.

Ejemplo 1: Calcular ∫

−+− dxxxx3

76

5

32 23

Cxxxx

dxxxx +⋅−⋅+⋅−⋅=

−+−∫ 3

7

26

35

3

42

3

76

5

32

23423

Ejemplo 2: Calcular ∫ −⋅ dxxx )56( 32

∫∫ +−⋅−=−⋅⋅−

=−⋅ Cx

dxxxdxxx3

)56(

15

1)56(15

15

1)56(

33232232

TABLA DE INTEGRALES INMEDIATAS FORMA SENCILLA FORMA GENERALIZADA

∫ += Cxdx ∫ += Ckxkdx

11

1

−≠++

=∫+

nCn

xdxx

nn ∫ −≠+

+=⋅

+

11

))(()´())((

1

nCn

xudxxuxu

nn

∫ += Cxdxx

ln1

∫ += Cxudxxu

xu)(ln

)(

)´(

∫ += Cedxe xx ∫ +=⋅ Cedxxue xuxu )()( )´(

∫ += Ca

adxa

xx

ln ∫ +=⋅ C

a

adxxua

xuxu

ln)´(

)()(

∫ +−= Cxxdx cossen ∫ +−=⋅ Cxudxxuxu ))(cos())(sen()´(

∫ += Cxxdx sencos ∫ +=⋅ Cxudxxuxu ))(sen())(cos()´(

∫ ∫ +=+= Cxdxxdxx

tg)tg1(cos

1 22

∫ += Cxudxxu

xu))(tg(

))((cos

)´(2

∫ +=−Cgxdx

xcot

sen

12

∫ +=−Cxgudx

xu

xu)(cot

))((sen

)´(2

∫ +=+

Cxdxx

arctg1

12

∫ +=+

Cxudxxu

xu))(arctg(

))((1

)´(2

3

∫ +=−

Cxdxx

arcsen1

12

∫ +=−

Cxudxxu

xu))(arcsen(

))((1

)´(2

∫ +=−−

Cxdxx

arccos1

12

∫ +=−

−Cxudx

xu

xu))(arccos(

))((1

)´(2

Ejemplo 3: Calcular ∫ +−−

dxxx

x

562

13

2

∫∫ ++−⋅=+−

−⋅=+−

−Cxxdx

xx

xdx

xx

x562ln

6

1

562

66

6

1

562

1 33

2

3

2

2.- Integración por partes.

Uso de la fórmula ∫ ∫ ⋅−⋅=⋅ duvvudvu

Para utilizar esta fórmula se intenta identificar en la función a integrar parte de ella con

una función fácilmente derivable (u) y la otra parte con una función fácilmente

integrable (dv)

Ejemplo 4: Calcular ∫ ⋅ xdxx cos

∫ ∫∫=−⋅=⋅⇒

==⇒==⇒=

senxdxsenxxxdxxsenxxdxvxv

dxduxucos

coscos

Cxsenxx ++⋅= cos

Ejemplo 5: ∫ ⋅ senxdxx2

En algunos casos, la integración por partes requiere de la aplicación del método 2 veces;

como en este caso

∫ ∫∫=−⋅−−⋅=⋅⇒

−==⇒==⇒=

dxxxxxsenxdxxxsenxdxvsenxv

xdxduxu)cos(2)cos(

cos

222

2

∫ ⋅+⋅−= xdxxxx cos2cos2

Aplicamos nuevamente la integración por partes a esta 2ª integral:

∫ ∫∫=⋅−⋅=⋅⇒

==⇒==⇒=

senxdxsenxxxdxxsenxxdxvxv

dxduxu22cos2

coscos

22

4

)cos(22 xsenxx −−⋅=

Sustituyendo en la principal:

Cxsenxxxxsenxdxx +⋅+⋅+⋅−=⋅∫ cos22cos22

3.- Integración por sustitución o cambio de variable.

Con el cambio x= g(t) (con dx = g´(t)dt), puede ocurrir que la integral resulte

inmediata:

∫ ∫ ⋅= dttgtgfdxxf )´())(()(

Al cambiar la variable con una función concreta g(t) , se interpreta dx como la derivada

de la función de cambio g(t) respecto de la nueva variable t.

Ejemplo 6: Calcular ∫ ⋅− xdxx 2

Permite hacerla el cambio tdtdxtx 22 2 =⇒=− y por tanto queda:

( ) ( )∫ ∫∫ +−+−=+=+=⋅+⋅=⋅− Cxxtt

dttttdtttxdxx35

35242 2

3

22

5

2

3

2

5

2)22(2)2(2

Ejemplo 7: ∫ +dx

x

x

1

Hacemos el cambio de variable tdtdxtx

tx2

1

12

2

=⇒

−==+

La integral queda por tanto

( )∫ ∫∫ ++⋅−+⋅=

−⋅=−⋅=⋅−=

+Cxxt

tdtttdt

t

tdx

x

x121

3

2

32)1(22

1

1

33

22

4.- Integrales de funciones racionales.

Este método resuelve la integral de funciones racionales (fracciones polinómicas) en

aquellos casos en los que la fracción polinómica puede descomponerse en suma de

fracciones simples y siempre con el numerador de grado menor que el polinomio

denominador.

Entendemos fracciones simples aquellas de las formas siguientes:

ax

k

− y

nax

k

)( − con k y a números reales concretos y n natural , n > 1.

5

Estas dos fracciones tienen integral inmediata:

∫∫ +−⋅=−

=−

Caxkdxax

kdxax

kln

1

Caxn

k

n

axkdxaxkdx

axkdx

ax

kn

nn

nn+

−⋅+−=

+−−⋅=−⋅=

−⋅=

− −

+−−

∫ ∫ ∫ 1

1

)()1(1

)()(

)(

1

)(

Ejemplo 8: ∫ ++⋅=+

Cxdxx

2ln32

3

Ejemplo 9: ∫ ∫ +−

−=+−

−⋅=−⋅=−

+−− C

x

xdxxdx

x 3

2

12

)3(2)3(2

)3(

2 122

2

En general, la descomposición de la fracción depende de las raíces del polinomio

denominador y de su factorización, por ello consideramos los siguientes casos:

4.1.- Denominador con todas sus raíces simples.

En estos casos, la fracción se puede descomponer en suma de tantas fracciones como

factores simples tenga el denominador en su descomposición y su integral por tanto, en

suma de integrales simples como las del ejemplo 6.

Ejemplo 10: ∫ −+−

dxxx

x

2

822

Factorizamos el denominador con ayuda de sus raíces

)1()2(21,202 221

2 −⋅+=−+⇒=−=⇒=−+ xxxxxxxx por tanto:

12)1()2(

82

2

822

2

−+

+=

−⋅+−=

−+−

x

B

x

A

xx

x

xx

x con A y B constantes a determinar

Para hallar A y B procedemos a la inversa, hacemos la suma de las fracciones e

igualamos a la original. Como los denominadores son iguales, deben serlo también los

numeradores.

Al igualar numeradores, damos valores concretos a x y obtenemos A y B:

⇒−⋅+

−=−⋅+

+⋅+−⋅=−

++ )1()2(

82

)1()2(

)2()1(

12 xx

x

xx

xBxA

x

B

x

A

6

)2()1(82 ++−=− xBxAx damos valores a x (por ejemplo las raíces)

2361

4)3(122

−=⇒⋅=−⇒==⇒−⋅=−⇒−=

BBxsi

AAxsi

Utilizando la descomposición para resolver la integral

∫ ∫∫ +−⋅−+⋅=−

−++

=−+

−Cxxdx

xdx

xdx

xx

x1ln22ln4

1

2

2

4

2

822

4.2.- Denominador con raíces simples y múltiples

El procedimiento es similar al anterior. Hay que descomponer la fracción en suma de

fracciones simples.

La diferencia reside en el hecho de que cada factor múltiple, determina en la

descomposición de la fracción, tantas fracciones como indica la multiplicidad de la raíz.

Cada una de grado superior al anterior y con numeradores constantes hasta llegar al

grado del factor.

Por ejemplo, si en la factorización del polinomio denominador interviene 3)2( −x , este

factor ( y solo él independientemente del resto de factores que llevarán los suyos) da

lugar a las 3 fracciones siguientes:

32 )2()2(2 −+

−+

− x

C

x

B

x

A

Las constantes que queden en los numeradores se hallan igual que en el caso anterior de

las raíces simples.

Ejemplo 11: ∫ −+−−

dxxx

xx

2

9333

2

Factorizamos el polinomio denominador, buscando sus raíces (Ruffini) queda

23 )1()2(2 −⋅+=−+ xxxx una simple y una doble. La fracción por tanto

22

2

3

2

)1(12)1()2(

933

2

933

−+

−+

+=

−⋅+−−=

−+−−

x

C

x

B

x

A

xx

xx

xx

xx

Igual que en el caso anterior, sumamos las 3 , igualamos a la original

2

2

2 )1()2(

)2()1)(2()1(

)1(12 −⋅+++−++−=

−+

−+

+ xx

xCxxBxA

x

C

x

B

x

A

Igualando numeradores (los denominadores lo son), tenemos

)2()1)(2()1(933 22 ++−++−=−− xCxxBxAxx

7

Damos 3 valores concretos a x ( por ejemplo -2 , 1 y 0) y resolvemos el sistema

obteniendo A = 1 , B = 2 y C = -3

Utilizando la descomposición, nuestra integral será :

∫ ∫ ∫∫ =−−+

−+

+=

−+−−

dxx

dxx

dxx

dxxx

xx23

2

)1(

3

1

2

2

1

2

933

Cx

xx +−

+−++=1

31ln22ln

4.3.- Denominador de 2º grado sin raíces reales

En este caso puede haber dos situaciones: numerador constante o numerador de grado

1.

Vemos las dos

4.3.1.- Con numerador constante.

Esta integral es de tipo arcotangente, por ello se utiliza la inmediata de la tabla de

primitivas inmediatas ∫ +=+

Cxuarctgdxxu

xu))((

))((1

)´(2

La integral que nos den se transformará de manera equivalente para poder aplicar esta

regla.

Ejemplo 12: ∫ +dx

x 2

32

No hay raíces y por tanto no se puede descomponer. Hacemos la transformación:

∫∫ ∫ ∫∫ =

+

⋅=+

⋅=

+

=+

=+

dxx

dxx

dxx

dxx

dxx 22222

21

1

2

3

21

1

2

3

212

3

2

3

2

3

Cx

arctgdxx

+

⋅=

+

⋅⋅= ∫ 22

23

21

2

1

22

32

4.3.2.- Con numerador de grado 1.

Cuando el numerador es de grado 1 y el denominador de segundo grado sin raíces

reales, la integral de la función da lugar a suma de dos integrales. La primera de ellas es

de tipo logaritmo neperiano y la segunda es de tipo arcotg como el caso anterior.

Recordemos que los dos tipos, según la tabla de inmediatas, son:

8

∫ += Cxudxxu

xu)(ln

)(

)´( y que ∫ +=

+Cxuarctgdx

xu

xu))((

))((1

)´(2

Ilustramos con un ejemplo las transformaciones para ver este tipo

Ejemplo 13: ∫ ++

dxx

x

4

132

La primera transformación se hace para obtener la de tipo ln. Para ello el numerador

debe ser la derivada del denominador y aquí basta con separar los monomios del

numerador:

∫ ∫∫ =+

++

=++

(*)4

1

4

3

4

13222

dxx

dxx

xdx

x

x

∫ ∫ ∫ +⋅=+

⋅⋅=+

⋅=+

4ln2

3

4

2

2

13

43

4

3 2222

xdxx

xdx

x

xdx

x

x

La segunda integral que nos queda, ∫ +dx

x 4

12

, es como el caso anterior. Buscamos

las transformaciones para arctg:

∫∫∫∫ =

+⋅⋅=

+⋅=

+⋅

=+

dxx

dxx

dxx

dxx 2222

21

2

1

24

1

21

1

4

1

414

1

4

1

⋅=22

1 xarctg

Nuestra integral queda definitivamente .

Cx

arctgx +

⋅++⋅=22

14ln

2

3(*) 2

Nota Importante: Cuando la función racional a integrar, ∫ dxxQ

xP

)(

)(, tiene numerador de

grado mayor o igual que el denominador, se puede hacer la división polínomica y aplicar el

algoritmo de la división:

)()()()( xRxQxCxP +⋅= (dividendo = cociente por divisor más resto)

Esto permite expresar la fracción de la forma siguiente:

)(

)()(

)(

)(

xQ

xRxC

xQ

xP += y por tanto la integral quedaría:

9

∫ ∫∫ += dxxQ

xRdxxCdx

xQ

xP

)(

)()(

)(

)(

Con la primera integral inmediata, por ser polinómica, y la segunda integral ya es con

numerador de grado menor al igual que los casos anteriores.

Ejemplo 14: ∫ −+−−

dxxx

xx

2

62

3

Hacemos la división polinómica y tenemos con la prueba de la división

2

821

2

622

3

−+−+−=

−+−−

xx

xx

xx

xx. Por tanto

∫ ∫ ∫∫ =−+

−+−=−+

−+−=−+−−

dxxx

xx

xdx

xx

xdxxdx

xx

xx

2

82

22

82)1(

2

62

2

22

3

Cxxxx +−⋅−−⋅+−= 1ln22ln42

2

puesto que la última integral es la misma que la

del ejemplo 10

II- Área determinada por una curva. Integral definida de una

función continua. Propiedades.

El cálculo integral resolverá el problema del cálculo de áreas limitadas por curvas.

Recordemos que tan solo sabemos calcular el área de algunos recintos planos,

recurriendo a las áreas conocidas: triángulos, rectángulos, polígonos,….

Recurriendo a ellos se puede aproximar el área de un recinto cualquiera, tal y como nos

muestran las figuras siguientes:

10

El recinto de área R, puede ser sucesivamente acotado por áreas mayores (en rojo) y

áreas menores (en azul) utilizando polígonos.

En este razonamiento se basa el cálculo del área limitada por una curva y el eje de

abscisas (Recinto R en la figura siguiente) que resolverá siempre el problema general de

un recinto limitado por curvas:

Dividimos el intervalo [a,b] en n intervalos, no necesariamente iguales, mediante los

puntos x0 = a , x1 , x2 , ….. , xn = b; haciendo así una partición P de [a,b] en n sub-

intervalos [xi-1 , xi] .

La función es continua y acotada en cada sub-intervalo por lo que alcanza su máximo

M i y su mínimo mi en algún punto del intervalo [xi-1 , xi] para los n intervalos (Teorema

de Weierstrass) y podemos acotar así el área R determinada por la curva por :

∑ −−⋅=i

iiin xxms )( 1 (suma inferior de Riemann para la partición P)

∑ −−⋅=i

iiin xxMS )( 1 (suma superior de Riemann para la partición P)

nn SRs ≤≤

11

Tomando particiones con cada vez más puntos, determinamos dos sucesiones de áreas

convergentes: { } { }nn Sys con NnSRsySSss nnnnnn ∈∀≤≤≥≤ ++ 11 ,

y tales que nn

nn

SsR∞→∞→

== limlim obteniendo así el área R de nuestra curva con el eje

OX entre x = a y x = b.

Definición: Sea y = f(x) una función continua y positiva en el intervalo [a , b]. Se

llama integral definida de la función f en dicho intervalo al área ,A, de la región del

plano limitada por la gráfica de f, el eje OX y las rectas x = a y x = b y se designa:

∫ =b

aAdxxf )(

Si la función es negativa en el intervalo [a , b], la integral definida en dicho intervalo

será también negativa ( mi y Mi serán negativos en todos los sub-intervalos de las

particiones sucesivas)

Si la función cambia de signo en el intervalo, su integral puede ser positiva, negativa o

nula dependiendo de cada caso:

Propiedades de la integral definida

Se deducen fácilmente de la definición y son:

12

1.- Si b = a , la integral es nula: ∫ =a

adxxf 0)(

2.- Si f es continua en [a , b] y ),(bac∈ entonces ∫ ∫∫ +=c

a

b

c

b

adxxfdxxfdxxf )()()(

3.- Si cambiamos los límites de integración, la integral cambia de signo:

∫∫ −=a

b

b

adxxfdxxf )()(

4.- S y = f(x) e y = g(x) son continuas en [a , b] entonces:

∫ ∫ ∫+=+b

a

b

a

b

agxxgdxxfdxxgxf )()())()((

5.- ∫ ∫⋅=⋅∈∀b

a

b

adxxfkdxxfkRk )()(

6.- Si y = f(x) e y = g(x) son continuas en [a , b] y [ ]baxxgxf ,)()( ∈∀≥

∫∫ ≥b

a

b

adxxgdxxf )()(

III- Teorema fundamental del Cálculo integral. Regla de

Barrow.

Establecido el concepto de integral definida de una función continua en un intervalo nos

queda ver cómo se puede calcular fácilmente una integral definida.

Se establece con los teoremas siguientes, cuyas demostraciones no se incluyen pero que

pueden resultar interesantes para acrecentar el grado de formalización matemática que

deben adquirir estos alumnos.

1.- Teorema del valor medio

Si y = f(x) es continua en el intervalo [a , b] [ ]bac ,∈∃⇒ tal que

∫ −⋅=b

aabcfdxxf )()()(

Interpretación que queda perfectamente clara con la figura adjunta:

13

El Teorema fundamental del cálculo precisa de la consideración de la función siguiente:

Para f continua en [a , b], si tomamos [ ]bax ,∈ , el área del trapecio mixtilíneo que

determina la gráfica de y = f(x) en el intervalo [a , x] es una función que depende de x, y

sabemos que es la integral definida de la función entre a y x: ∫=x

adttfxS )()(

Teniendo en cuenta esta función, se verifica el siguiente:

2.- Teorema fundamental del cálculo integral

Si y = f(x) es una función continua en [a , b] y G(x) es la función definida de la forma

∫=x

adttfxG )()( ⇒ G es derivable y además G´(x) = f(x) ),(bax∈∀ .

Así pues, la función G(x) es una primitiva de f(x) lo que permite calcular integrales

definidas usando la regla siguiente que se deduce del teorema fundamental del cálculo

integral:

3.- Regla de Barrow

Si y = f(x) es una función continua en [a , b] e y = F(x) es una función primitiva de

y = f(x), entonces se verifica que )()()( aFbFdxxfb

a−=∫

14

Con este resultado queda establecido de forma muy sencilla el procedimiento de cálculo

de integrales definidas.

Ejemplo 15: Calcular ∫ +1

0 2)1(

2dx

x

Encontrando la primitiva ∫ ∫ ++

−=−+⋅=+⋅=

+

−− C

x

xdxxdx

x 1

2

1

)1(2)1(2

)1(

2 12

2,

1)2(11

2

)1(

21

0

1

02

=−−−=

+−=

+∫ xdx

x

Ejemplo 16: Calcular ∫e

xdx1

ln

Con la ayuda de la integración por partes resolvemos la correspondiente integral

definida, obteniendo ∫ +−⋅= Cxxxxdx lnln . Por tanto tenemos:

[ ] 1)11ln1()ln(lnln 11=−⋅−−⋅=−⋅=∫ eeexxxxdx ee

Ejemplo 17: Cuando se recurre a un cambio de variable para encontrar la primitiva de la

función a integrar, si se cambian también los límites de integración, no es necesario

deshacer el cambio de variable para calcular la integral definida tal y como muestra el

siguiente ejemplo:

∫ −1

0

21 dxx . Recurriendo al cambio de variable trigonométrico x = sen t tendremos

⇒

==

tdtdx

sentx

cos los límites de integración serán

=⇒=

=⇒=

21

00π

txsi

txsi; quedando

∫ ∫ ∫∫ =

+=+==−=−1

0

2

0

2

0

2

0

22

0

22

4

2

2

1

2

2cos1coscos11

π ππ

π tsentdt

ttdttdttsendxx

40

422

1 πππ =−

+⋅= sen

IV- Representación de funciones (repaso)

Antes de comenzar la aplicación más importante de la integral definida en este nivel, se

hace necesario el repaso del método de representación de funciones. Con dos ejemplos

repasamos el procedimiento de estudio y representación de funciones.

15

Es necesario hacer hincapié en que a la hora de resolver un problema de área, debe

obtenerse el esbozo de la gráfica de forma rápida buscando lo elemental : dominio,

monotonía y extremos fundamentalmente.

Ejemplo 18 :Estudio y representación gráfica de funciones

Estudio y representación de x

xxfy

1)(

2 −==

1) Dominio: { }0)( −= RfD En x = 0 tiene una discontinuidad de salto infinito con:

−∞=+∞=+− →→

)(lim)(lim00

xfyxfxx

Por lo demás, f es continua y derivable en todo su dominio.

2) Simetrías: )(11)(

)(22

xfx

x

x

xxf −=−−=

−−−=− . Simétrica impar.

3) Puntos de corte con los ejes: Eje OY: No corta: )(0 fD∉

Eje OX: ⇒−==⇒=−⇒= 11010 212 xyxxy corta en (1 , 0) y (-1 , 0).

4) Monotonía . Extremos relativos: Uso de la 1ª derivada

⇒∈∀≠⇒+= )(0´

1´

2

2

fDxyx

xy No tiene extremos relativos.

Como ⇒∈∀> )(0´ fDxy y = f(x) es creciente en todo su dominio:

Intervalo )0,(−∞ (0 ,+ ∞)

Signo(y´) + +

Monotonía Creciente Creciente

5) Concavidad y convexidad. Puntos de inflexión: Uso de la 2ª derivada

⇒∈∀≠⇒−= )(0´´

2´´

3fDxy

xy No tiene Puntos de Inflexión . Además:

Intervalo )0,(−∞ ),0( ∞+

Signo(y´´) + -

16

Curvatura Cóncava Convexa

6) Asíntotas:

a) Verticales: x = 0 con los límites laterales calculados en el apartado 1).

b) Horizontales:

⇒+∞=−=+∞→+∞→ x

xxf

xx

1lim)(lim

2

No tiene asíntotas horizontales.

c) Oblicuas: y=mx + n

11

lim

1

lim)(lim2

2

2

=−=

−

==∞→∞→∞→ x

x

xx

x

xfmxxx

01

lim1

lim))((lim2

=−=

−−=⋅−=

∞→∞→∞→ xx

x

xxmxfn

xxx

Asíntota oblicua: y = x

7) Representación gráfica:

Ejemplo 19 :Estudio y representación gráfica de funciones

Estudio y representación de x

exfy

x

−==

−

1)(

1) Dominio: { }1)( −= RfD En x = 1 tiene una discontinuidad de salto infinito con:

17

−∞=+∞=+− →→

)(lim)(lim11

xfyxfxx

Por lo demás, f es continua y derivable en todo su dominio.

2) Simetrías: ))(()(1

)( xfxfx

exf

x

−≠≠+

=− . No presenta simetrías.

3) Puntos de corte con los ejes: Eje OY: 10 =⇒= yx Por tanto el punto (0 , 1).

Eje OX: ⇒=⇒= − 00 xey No corta al no anularse la exponencial

4) Monotonía . Extremos relativos: Uso de la 1ª derivada

000´,)1(

´2

=⇒=⋅⇒=−⋅= −

−

xexyx

exy x

x

Como Rxe x ∈∀>− 0 , el signo de y´ quede en función del signo de x y de la

discontinuidad

Intervalo )0,(−∞ (0 , 1) ),1( ∞+

Signo(y´) - + +

Monotonía Decreciente Creciente Creciente

En x = 0 f tiene un mínimo relativo en coordenadas (0 , 1).

5) Concavidad y convexidad. Puntos de inflexión: Uso de la 2ª derivada

⇒∈∀≠−

⋅+=−

)(0´´;)1(

)1(´´

3

2

fDxyx

exy

x

No tiene Puntos de Inflexión .

Además:

Intervalo )1,(−∞ ),1( ∞+

Signo(y´´) + -

Curvatura Cóncava Convexa

6) Asíntotas:

a) Verticales: x = 1 con los límites laterales calculados en el apartado 1).

b) Horizontales: ⇒=−=−

−=−

= ∞−−

+∞→

−

+∞→+∞→0

1lim

1lim)(lim e

e

x

exf

x

x

x

xxy = 0

c) Oblicuas: No tiene al tener horizontal y = 0.

18

7) Representación gráfica:

V- 1ª aplicación de la integral definida: área limitada por una

función, el eje OX y las rectas x = a y x = b.

Por orden establecemos las distintas posibilidades dependiendo de la situación de la

gráfica respecto del eje OX:

1.- Si la función es continua y positiva en [a , b] ya sabemos que 2)( udxxfAb

a∫=

2.- Por las propiedades de la integral, si la función es continua y negativa en [a , b]

tendremos que 2)( udxxfAb

a∫=

3.- Si la función es continua en [a , b] y cambia de signo (como muestra la figura)

∫ ∫∫ ++=++=d

c

b

d

c

audxxfdxxfdxxfTTTA 2

321 )()()(

4.- Si la función tiene alguna discontinuidad de salto finito en algún punto de [a , b], se

tendrá en cuenta dicho punto y las consideraciones anteriores para calcular el área.

19

VI- 2ª aplicación de la integral definida: área limitada por dos

curvas.

Cuando el problema nos lleva a el cálculo del área limitada por dos curvas entre las

rectas x = a y x = b, y sin puntos de corte entre ellas en dicho intervalo (figura), y

siendo las dos funciones continuas en [a , b]

Las propiedades de la integral muestran, independientemente de que las curvas sean

positivas o negativas, que si [ ]baxxgxf ,)()( ∈∀≥ entonces:

2))()(( udxxgxfAb

a∫ −=

En cuanto al problema general del cálculo del área limitada por dos curvas, debemos

tener en cuenta los puntos de intersección de las mismas y los correspondientes

intervalos en los que una de ellas está por encima de la otra para poder aplicar la

fórmula anterior.

Ejemplo 20: Calcular el área limitada por las curvas 2)(2)( 2 +=+= xxgyxxxf

Se hace la representación de las dos curvas

Encontramos los puntos de corte de las dos curvas:

1222)()( 212 =−=⇒+=+⇒= xyxxxxxgxf

20

Como podemos observar en el intervalo [-2 , 1] , la curva g(x) está por encima de la

curva f(x). Por tanto el área buscada será:

=

+−−=+−−=−=

−−− ∫∫

1

2

231

2

21

22

23)2())()(( x

xxdxxxdxxfxgA

2

2

94

2

4

3

82

2

1

3

1u=

−−−

+−−=

Ejemplo 21: Calcular el área determinada por la función xexy ⋅= y las rectas x = 1 e

y = 0.

Es necesario hacer una representación gráfica aproximada de la función.

Tiene por dominio D = R. Corta a los dos ejes en O(0,0). Es continua y derivable en

todo su Dominio y sus derivadas primera y segunda son:

xx exyeexy ⋅+=⋅+= )2(´´)1(´ que se anulan respectivamente en x = -1 y x = -2.

De las mismas se deduce que :

Es creciente en ),1( +∞− , decreciente en )1,( −−∞ y tiene un mínimo relativo en el

punto ( )1,1 −−− e .

Es convexa en )2,( −−∞ , cóncava en ),2( +∞− y tiene un punto de inflexión en

( )22,2 −⋅−− e

Con todo ello su gráfica queda de la forma siguiente:

Teniendo en cuenta las rectas x = 1 e y = 0 , el área encerrada por la curva y las dos

rectas es la zona marcada con la flecha. Es el área que determina con el eje de abscisas

la función xexy ⋅= entre x = 0 y x = 1.

Por tanto:

21

∫ ⋅=1

0dxexS x

Buscamos una primitiva de nuestra función resolviendo por partes la integral indefinida:

∫ ⋅ dxex x (*) . Utilizando integración por partes:

xx evdxedv

dxduxu

=⇒==⇒=

⇒

⇒ (*) ∫ +−⋅=−⋅= Ceexdxeex xxxx

Utilizando la primitiva básica:

[ ] 200111

0

1

01)0()1( ueeeeeexdxexS xxx =−⋅−−⋅=−⋅=⋅= ∫

VII- 3ª aplicación de la integral definida: cálculo de

volúmenes de revolución.

Si tomamos una curva continua en [a , b] y hacemos girar el trapecio mixtilíneo que

determina con el eje OX respecto de dicho eje, obtenemos un sólido de revolución del

que no es difícil calcular su volumen utilizando la integral definida.

Razonamos de la misma forma que para el cálculo del área plana del trapecio:

Haciendo una partición Pi de [a , b], al ser la función continua en dicho intervalo, lo es

también en [xi-1 , xi] ni ,....,1=∀ por lo que f alcanza su máximo, Mi, y su mínimo, mi,

en dicho intervalo [xi-1 , xi].

Los rectángulos de anchura xi – xi-1 y alturas mi y Mi respectivamente, originan

cilindros de volúmenes

)()( 12´

12

−− −⋅⋅=−⋅⋅= iiiiiiii xxMVyxxmV ππ

Por tanto si llamamos V al volumen del sólido se verifica que ´ii VVV ≤≤ para toda

partición Pi del intervalo [a , b].

22

Tomando particiones cada vez más finas de [a , b], obtendremos dos sucesiones de

volúmenes { } { }´nn VyV , verificando

⇒

∈∀≤≤∈∀≤≤

+

+

NnVVV

NnVVV

nn

nn´´

1

1 { } { }´nn VyV tienen límite común y ese límite es el

volumen buscado: ´limlim nn

nn

VVV∞→∞→

==

Además ese límite coincide con la integral definida de la función 2f⋅π en [a , b] :

∫ ⋅=b

audxxfV 32))((π

Ejemplo 22: Calcular el volumen de la esfera de radio r.

(Representar en pizarra el semicírculo de radio r, centrado en O, que genera la esfera de

radio r al girar alrededor del eje OX)

La esfera se genera al girar la curva 22)( xrxf −= (como función) continua en el

intervalo [-r , r] alrededor del eje OX en dicho intervalo.

Así pues el volumen de la esfera es:

∫−−

⋅⋅=

−⋅=−⋅=

r

r

r

r

urx

xrdxxrV 333

222

3

4

3)( πππ