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MATEMATICAS 11 PARA LA EMPRESA

EJERCICIOS

PARTE 11 INTEGRACIÓN

1°.- Calcu lar las siguientes primitivas inmediatas:

a) J 3xdx e) . - J 2x dx - d). J e3x dx x2 + 4 e 3x + 6

e).J R 1 -x2

h). J cosx dx i) J ba; dx : Jl - sinx

2°.- Integración por descomposición, por partes y sustitución:

a).-J(3x4- 5x3)dx b).Jxi3dx c).J ( (x~3)- (x~2) )dx

d) Jxcosxdx e) J xexdx j).x2 lnxdx

g) J (x2: 1) f dx h)f X 4dx l+x

i) J 4x3 + 14x dx

x 4 + 7x2 + 2

3°.- Integración de funciones racionales y transcedentes:

a)J X dx b) f 1 +X dx (x - 1 ) (x + 1) ( 1 - x) 2

e) J sinxcos3xdx

4°.- Integral definida:

2 d) Area limitada por las curvas y = x e y = x

4

e) Area de un circulo de radio r

5°.- Integrales impropias y funciones eulerianas:

a) r dx o x2 b) r 1 dx

-«> 1 + x 2 c)J>lnxdx

d) J:, e-x2 dx e)( hdx o 1 - x2

J) J: e-x2x2dx

g) J: e-x ji dx h) J! cos5xsin2xdx i) J ~ (lnx) 4 dx

1

6°.- Integrales múltiples:

a) f f /x2 + y 2 )dx dy siendo S el cuadrado de vertices (0,0), (0, 1 ), (1, 1 ),(1 ,0)

b) f f/x- y)dx dy siendo S el triángulo d_e vértices (0,0), (0 ,1 ), (1 ,1)

e) f f sx2y dx dy siendo S la región del plano limitado por las lineas

y = O, y = X, X +y = 1

d) f fs ~ dx dy siendo S={(x,y)!x2 + y 2 ~ 25, x2 + y 2 ~ 16 x ~y, O ~ x }

2

'C',_;.::::,..__.._ .. .._... _ _ ............... - •• ·~--" ....... \~- ... -~ . .;) __..._...~ ,_.__) ... ~----...:..J'....:.....ll'-. \f'l~ ''Jo"" .

\<91..~ h·. GJ

INTEGRAL INDEFINIDA

~ Encontrar la integral indefinida y verificar el resuftado mediante integración

l. l J (x + 7)dx

l. 3 J (2x- 3x2 )dx

l. S J (x 5 + 1 )dx

l. 7 J (x 312 + 2x + 2)dx

!.9f{;idx

I,_ii':J x+ 6 dx : . jX

1.13 f +dx X

l. 15 f (x + 1)(3x - 2)dx

l. 17 f (1 + 3t)t2dt

e~J2x5xdx 1.2lf(tg2x+ l)dx

rl. ;~'J¡ 5 , dx '\._¿ / 1 + 4x-

1.2 fC13 - x)dx

l. 4 f (8x3 - 9x2 + 4)dx

1.6 fCx 3- lüx- 3)dx

1.8 s(x + 2}x )dx

l.IoJ(R +l)dx J 2 " 1.12Jx- + ;-.)dx

X

l.l4fdx

í~) Jy2 pdy

f 3x 1.18 ydx

l. 20 f (3senx- 5 cos 2x)dx

l. 22 f tg~dx l.24f-2 -dx

2 +x2

CALCULO DE UNA SOLUCIÓN PARTICULAR

© Ca lcular una función F(x) sabiendo que

@F'(x) = 3x 2- 1;

!I(",.,) F "( ) - J? ? 'IE..:9 x - _x + -·

y pasa por el punto (2 ,4)

F(O) = 3; F(-1) = 3

@F''(x) = 6; y pasa por los puntos P = (0 ,3) y Q = (- 1,4)

~ F'' (x ) = J2x + 3. pasa por el punto (0.3) y su derivada se anula en el_ punto de abcisa x = -2;

.. ·_ ..

@calcular las siguientes integrales

3. 1 f (x4 + 7)x 3dx

3.3 f X 2 dx l+x

3. 5 f tg2x _l_2x dx cos

3. 7 f ( 1 + +y t; dx

3. 9 f sen3x cos 3x dx

31l f x+ 6 dx . ¡x

3. 13 f 8\ cos ~ de

3. 2 f x J 13 - x 2 dx

3.4 f X 4 dx 1+x

3.6 f cosx ? dx 1 - cos-x

3. 8 f 2x 2 dx 1+x

3.Iof Rdx 3. 12 f ( ~ + 4~2 ) dt

3. 14 f 0 b dx

ax+

INTEGRAL DEFINIDA

(D- Compruebe los siguiente resultados:

l.lf ~/4 tg X dx = ~2

l. 3 f~14

sen x dx = 1 - i J2

frr:/4 1T: 2 l. 5

0 elr cosx dx = e S

1 7 Jo X dx = _!!_ . o a 4 + x4 8a2

CALCULO DE AREAS PLANAS

l. 2 f ~14

tan2x dx = 1 - ~ n

l. 4 f ~ are cos x dx = 1

l. 6 J ~ (x 3 + 2) 5x2 dx = 2i frr:/4 1

-F-1. 8 0

e os 2x dx = 2

l. 10 r2 J2 - rx dx = 4J2 - 6 rx

@ Utilizando la integral definida, calcule las áreas que se indican:

2.1 Área de la región comprendida entre las curvas y= x e y= x2/4

2.2 Área limitada por las curvas y= x2 e y= -3x2 + 1

..1 2.3 Área comprendida entre la curva ~ = 3, la recta x = 1 y el eje de abscisas.

-1 2.4 * Área de un cuadrante de un círculo de radio r .

_, 2.5* Área del circulo de radio r

-'2.6 Área delimitada por las curvas y= cosx, y= O, x = O; x = 2rr .

-T: 2.7 Area limitada por la función j(x) = -. { 4 si x < 3

x2 - 5 si x > 3 el eje de abscisas, y

las rectas y = O; y = 4;

2.8 Área limitada por la curva y= (x- l)(x + 2), las rectas x = -3; x = 2 y el eje de abscisas

INTEGRALES IMPROPIAS Y EULERIANAS

INTEGRALES IMPROPIAS

@-calcule, si es posible, el valor de las siguientes integrales:

1.1 I+oo _1 dx 1 xs

I.-2 J~ e2x dx

1.3 J~ e-3x dx 1.4 J+oo lnx dx e X

1.5 Jo dx -1 rx 1.6 fl_dx

O X

13.- Compruebe los siguientes resultados:

l.lJ~ x Jxe-x dx = 3f l. 3 J+oo e-x x 2 dx = 3r( .±.)

o ~ 3

l. 5 J~ e-x2x2 dx = ~

l. 7 J~ e-krcx- 2) 2 dx =

1.9f fi dx=.!L o JT=X 2

Irrn 8 1.11

0 cos 5x sen2x dx =

105

1.13 J+oo ,e;; dx = 3r(4/3) o 4x2

1.2 J~ x2e-x dx = 2

l. 4 J+oo e-xl4x 3 dx = 29 * 3 o .

l. 6 J~ e-(x+1) X

1.8f dx .1L o~ 2

l.lüf3 1 dx=;r 2 j(3 -x)(x -2)

l. 12 J ~12

cos4x sen4x dx = .]5~ 1.14 J~x7 e-x dx = 24 * 32 * 5 * 7

LÍMITES 1 CONTINUIDAD

EJERCICIOS

1. Calcular los limites si existen de las siguientes funciones. En caso de no existir explicar la razón de su no existencia

l. xy

a. i. lffi(x,y)-(0,0) 2 2 X +y

. x3 + y3 ii. llmcx,y)-(O,o) 2 2

X +y . xy-x+y

iii. lliD (x,y,z)-+(0,0) X+ Y

iv. j(x,y) ~ { ;: : ;' si x2 +y =1= O

si x2 +y =t= O

x4 + y4 V. j( X, y) = -----"---,-

(x2 + y4)3

-t vi . j(x,y) = sen(xy) Jxz + y2

-tvii. j(x,y) = x 2 1n(x2 + y2 )

"'S~'( )-(x 2 2 l)C II t VIII. ea1,x,y- x+y'x +ysenxy acuar

limcxJ•Ho.o;/(x,y) b. Hallar la continuidad de las funciones

{

x2 _ y2

i. f(x,y) = xz + y2

. o

si (x,y) =t= (0,0)

si (x,y) =t= (0, O)

->.¡ iL j(x,y) = [x +y+ z, sen(x +y), tang(x- y)] en (0,0)

{

xy2

-l:::iii. j(x,y) = jx4 + y 8

(0,0)

si (x,y) =t= (0,0)

si (x,y) =t= (0, O)

1

-\- 2.

i-3.

\,!Q.lo, +- r rn . r;/ Yt'\1 t

~ / / ""-, o Estudiar la continuidad de la función.f(x,y) =

2x-

2 en el conjunto

X +y A = {(x,y) /O :::; x 2 + y 2 :::; 1} . Razónese si.f(A) es un conjunto acotado y sij alcanza sus valores máximo y mínimo en A . Estudiar la continuidad de la función

{

2xj;2 si (x,y) * (0, 0)

fix,y ). = 0

x2 + Y 2

en el conjunto

si (x,y) * (0, O)

A = { (x,y) /0 :::; x 2 + y 2 :::; 1}. Razónese si.f(A ) es un conjunto acotado y sij alcanza sus valores DJ..áximo y mínimQ. en A . ·

2

TEMAS

DERIVADA Y DIFERENCIAL y..Y.. 5.1.- Comprobar los siguientes resultados:

a) V./( 1, 0, 0) = (0,-1,-1) , siendo fl x ¡,xz,x3) = X¡ .

X¡ +X2 +X3'

b) V./( 1, 0) = (2a+ 1,2b- 1) siendo j(x,y) = ax2 +2bxy-y2 +x-y+ 1

d) Vj(1,2) = (2, 0) siendo j(x,y) = xY

e)JJ(1 ) ~ ( ~ } siendo J(x) ~ (x' + 1,e')

f) J./( 1, 1) = ( 2 1

) , siendo flx ,y) = (x 2y,x2 + y 2)

2 1

g) Jj(O, 1 , 2) = , (

1 o o) 2 o o

siendo j(x,y,z) = (xly,ex: )

h) JJ(O, 1) ~ ( -~1 ~ ) siendo j(x,y) ~ (x'(2 +y), x ~y ,xy)

1) /,. (1 , 1) = 1 siendo j(x,y) = 1 +x+ y 2; v=(- 1, 1)

'"(.... 5.2 Estidar la existencia de derivadas parciales y continuidad de las funciones:

s i (x,y) * (0, O)

s i (x.y) = (0, O)

1

(x,y ) * (0, O)

s i (x,y) = (0, O)

~ 5.3 .- Sea JCx,y) = x2 + y 2

{

x3 +y3 s i (x,y) * (0, O)

estudiar la continuidad y existencia de

O s i (x,y) = (0, O)

derivadas parciales en el punto (O, O) .

5.4. - Seaflx,y) = In( x~ 1 )

a Calcular el dominio de la función f y dibujarlo.

b Calcular la curva de nivel cero y dibujarla.

e Calcular las derivadas parciales ~/ y ux

8f 8y

¿Es la función diferenciable en

el punto (1, 1)?.

d Calcular la derivada direccional de f en el punto (1 , 1) en la dirección del vector (0, 1 ).

5.5 .-La demanda mensual de freidoras eléctricas viene dada por la función fCx,y), donde x representa la cantidad invertida en publicidad, medida en unidades de 1.000 dólares, e y el precio unitario de venta de las freidoras , en dólares.

a) Dé interpretaciones económicas de las derivadas parciales ofl;;y) y ofl~y)

b) Bajo condiciones económicas normales, ¿cuáles son los signos de estas

derivadas?

5.6. - Dada la función JCx,y) = (y+x2) lny

a Analizar la diferenciabilidad de flx,y) en R2 y calcular la derivada direccional de JCx,y ) en el punto (O, e) según la dirección del vector v = (1 , 1).

b Obtener la ecuación del palno tangente a la gráfica de j en el punto (O, e, e) . Dar un valor aproximado de fC0' 1, e) .

5..7 Dada la función JCx,y) = eY<I- x2l . Se pide:

a Analizar la diferenciabilidad de flx,y) en R2 y calcular la derivada direccional de flx,y) en el punto (1, 1) según la dirección del vector v = (1 ,0). ¿Qué relación tiene este valor con las derivadas parciales de la función j en el punto (1 , 1)?

b ¿Cuál es la dirección de máximo crecimiento en el punto (1 , 1 )?

2

x-y { ' si (x,y) =1= (O, O)

si (x,y) = (0 , O)

y g(x,y) = -¡::::::.:;:::::- =2 =­Jy2 - xy

a Calcular lim f(x,y ). ¿Es la función ¡ continua en el punto (O, O) ? (xJIHO,O)

b Analizar la diferenciabilidad de g en su dominio. Calcular el vector gradiente de g en el punto (O, 1 ). ¿Qué podemos decir sobre el carácter creciente o decreciente de la función g en un entorno del punto (O, 1) si mantenemos fija la variable x?

e Calcular la curva de nivel -2 asociada a la función g . ¿Pertenece el punto (O, 1) a esta curva de nivel?

d Calcular la derivada direccional de la función g en el punto (O, 1) según la dirección del vector (1, 1).

5.9 Sea f(x,y ) = -¡::::::.~2x:::·=;::­Jx2 _ y2

a Calcular el dominio de la función ¡ ¿Es este dominio compacto?

b Calcular lim f(x,y). ¿Es la función j continua en el punto (0, 0)? ¿Y (xJI)~(O , O)

diferenciable?

e Analizar la diferenciabilidad de f(x,y) en su dominio. Calcular el vector gradiente de f(x,y) en el punto (5,4) . ¿Qué podemos deducir sobre el carácter creciente o decreciente de la función j en un entorno del punto (5,4) si mantenemos fija la variable x?

d Calcular la curva de nivel f a la que pertenece el punto (5, 4).

e ¿Cuál es la dirección de máximo crecimiento en el punto (5, 4)?

f ¿Cuál es el valor máximo de la derivada direccional en el punto (5,4)?

g Obtener la ecuación del plano tangente a la gráfica de j en el punto (5, 4).

3

MATEMATICAS APLICADAS A LA EMPRESA

TEMA VI: DERIVADAS Y DIFERENCIALES SUCESIVAS

6.1.- Hallar ~~ y ~ en las siguientes funciones aplicando la regla de la cadena

1. z=e +v siendo u = x2 - 3y; v = sen x + y 2 en el punto (0, 1)

2. z=3 u - v u siendo u = x2 + 2y; v = e:x - eY

6.2.- Hallar ~ y ~~ en la función z= l~x , siendo x = u2 + 2v; y= t2 +u, con

u= s + 2t2 ; v = 2t3 en el punto (1 , 1)

6. 3. -Comprobar los siguientes resultados :

1. z~ (x = 1) = 19°; siendo

z = YI + Y2 YI = 1 -x2, y - 1 . 2y¡ - 3y2' 2

- X '

2. ~~(u= 1, v = O) = -2 siendo

y ¡ z = Y2 '

u + v y¡ = U-V '

3 . ~ (x = 1 ,y = O) = -1

Y - X I - x+y '

siendo

Y'= _Y_. - x - y '

6.4.-Ca1cular la matriz Hessiana para cada una de las siguientes funciones

1 . JCx,y) = x2e2Y en a( -2, O)

2. JCx,y ) = e:x=sen'xz en a = (0, 0)

3. Dada la función z = Ln(x2 + y 2>, compruebese que 8~z + 8~z = O _ 8 X 8-y

6.5.- Sea f : R 2 --> R 2 con JCO, O) = (1 , 1) y g. : R 2-:- R con g(x,y) = x 2 +y

1. Sea h = g o f Si la matdz Jacobiana de f en (0, O) es (

~; (0, O) =4 y ~ (0, O) = 5 ¿Es afirmativo el enunciado?

) entonces

2 3

2. Si fCx,y) = (x + y,x- y) y g : R2 -+ R. o Supongamos que ~! (1, 1) = 1 y

~ (1,1) = 2 y se h = (go/)0 LamatrizJacobianade henelpunto(l,O)es(-3,-1)¿

Es afirmativo?

6.6.- Se consideran las funciones f: R2 -+ R y g : R2 -+ R definidas por JCx,y) = (y+ cosx,x + eY)

g(t, u) = t+ u

Comprobar que fy g son diferenciables en R2 o Calcular la diferencial de la función compuesta F = (g o/) en (O, O) o Calcular la derivada de F en el punto (0,0) según el vector v=(2, 1)

6.7.- Dada la funciónJCx,y) = 2 Jx2 + y2

1. Obtener la ecuación del plano tangente a la gráfica dejen el punto (3 ,4,2/5).

20 Calcular la derivada parcial segunda 0:~ en el punto (3 ,4)

30 Calcular la derivada parcial segunda s:oy en el punto (3 ,4)0 ¿Podemos saber el uyux

valor de o~Yx (3 , 4) sin calcularlo directamente? o Razonar la respuesta

4. Calcular los polinomio de Taylor de grado 1 y grado 2 en el punto (3 , 4)

5 0 Dar un valor aproximado defC3 '02, 3 '99)

FUNCIONES HOMOGÉNEAS

6 .8.-0Dada la funciónfCx,y,z), homogénea de grado+, tal que fx(l,2,3) = -1; /;(1,2,3) = 2, /:(1,2, 3) = 1, hallarfC1 ,2, 3) o

3x2 +xy- y 2

6.9.- 0- Dada la función fCx ,y) =e x2

+ Y2

2

Ejercicios de Optimización

l. Demostrar que el conjunto {(x , y) E IR2 / ax +by+ ez::; d, a, b, e, dE IR} es

un conjunto convexo.

2. Estudiar si el conjunto de soluciones de un sistema de ecuaciónes lineales

con coeficientes reales es un conjunto convexo.

3. Estudiar si la función j(x, y) = ax +by+ cz + d con a, b, e, d E IR es una

función convexa. ¿Es estríctamente convexa?

4. Demostrar que la función f ( x , y) = 4x2 e Y - 2x4 - e4Y tiene dos máximos

relativos y ningún mínimo.

5. Estudiar los puntos críticos de las siguientes funciones y clasificarlos

f(x ,y)

j(x , y)

x3- 3xy + y3

x2 + (y2 -1) (z -1)

6. Hallar los máximos y mínimos relativos de la funciones:

j(x , y) (2x + y2 )ex

j(x,y) (x- y)ex+y

J(x , y) y2 ln (x-y)

f (x , y) x2 - 4xy2 + 4y4

J(x , y) (2x-;- 1)2 + 10(y + 3) 2- xy

f(x , y,z) 2x3 + y2- z2 + 3xy- 5z

7. Demostrar que la funcíon J(x , y) = (x+ 1) 2 +y2 tiene míniú:J.O , condicionado

a la relación y2 = x 3 en el punto (0, O) y sin embargo no existe A que verifique

las condiciones del Teorema de Lagrange. ¿Existe contradicción?.

1

8. Hallar las soluciones a los siguientes problemas de optimización restringida

utilizando el método de los multiplicadores de Lagrange.

(a) max (x +y) sujeta a x2 +y= l.

(b) min (x2 + y2 ) sujeta a x + 2y = 4.

(e) opt (xy) sujeto a x 2 + y2 = 2.

(d) max (xy 2 + x 2y) sujeto a x +y= l.

(e) opt (2x +y) sujeto a xy = 32.

(f) opt (xy) sujeto a x2 + y2 = 2.

(g) opt (x2 + y2 + z2) sujeto a x +y+ z = l.

{

x+y+ z =1 (h) opt (x2 - 2z2 - xy) sujeto a

X- Z = - 4

9. Determinar la relación entre los parámetros a y b para que el punto (1, O)

sea un punto crítico del problema

max (x2 + axy + by2) sujeto a (x-y)= 1

10. Resolver el siguiente programa matemático utilizando el método de resolu­

ción gráfica

,• max (x- 4y) s.a.

y-x::S:1

2x- 8y :::; O

o::;x::;3

o::;y

11. Resolver el siguiente programa matemático utilizando el método de resolu­

ción gráfica

max y min (2x - 4y) s.a.

2

y-x::S:1

X- 4y ::S: Ü

o::;x

o ::; y

~~-:---· .... f '

/ ·'f' \ ! ..) ./ '------·/

MATEMAT~CAS PARA lA EMPRESA ~~

EJERCICIOS PARTE 1 CALCULO EN VARIAS VARIABLES

Tema 1° Cálculo en varias variab les

1°.- Determ inar si son abiertos o cerrados los siguientes conjuntos, puntos interioress

exteriores, frontera, acumulación

A) a) .- A={(x,y) E R2/x 2 + y 2 < 1} b) . - B = {(x,y) E R2/ 1 < x2 + y 2 :::; 2}

e).- C = {(x,y) E R2/x > O,y >O} U { (-1,-1) }

el) D = {(x,y) E R2/(x- 1) 2 +(y- 3) 2 :S 4}

e).- Dado el conjunto A = { t, t} U {O} estudiar los puntos O, t. f, 3

B).-Representar graficamente las curvas de nivel de lo siguientes campos escalares

a).-j(x,y) = xy

b) j(x,y) = e2x-y

b).-j(x,y) = x 2 + y 2

e) . - j(x,y) =y- x2

2°.- Calcu lar los limítes si existen de las siguientes funciones

A) . xy

a) hill (XJ') ... (0,0) 2 2 X +y

b) . x3 + y3

hm cx,y) ... (O,O) 2 2 X +y

) . xy+z C hm (x,y,z) ... (O,O,O) X+ y+ z según el vector v=(í ,2, 1)

d) Sea f(x ,y)= ( x ¡Y ,x2 + y 2 sen }y ) Calcular limcxJ'Ho.o)/'(x,y)

B)- Hallar la continu idad de las funciones

si (x ,y) * (0,0)

si (x,y) * (0, O)

b).- j(x,y) = [x +y+ z, sen(x +y), tang(x- y] en (0,0)

{

xy2

e).- J(x,y) ~ e/~;+ y 8 si (x,y) * (0, O)

si (x ,y) * (0, O)

1

Tema 2°.y 3°- Derivada y diferencial en campos escalares y vectoriales, ,

Derivadas y diferenciales sucesivas

1.- Calcular, apl icando la defnición, las derivadas parciales de primer orden

de las funciones:

x+y a).- j(x,y) = x _Y en el punto (2,3)

2 2

{

xy

b).:fCx,y) = x O+ y (x,y) =1= (O , O)

(x,y) = (0, O)

2.- Uti lizando las reg las prácticas de la derivación parcia l, estud iar las derivadas

parciales y los gradientes de las funciones :

a). j(x,y,z) = xy + xz + yz

c).j(x,y) = exy + A _ _ x+y+z

e). j(x,y,z) - xyz

g).j(f,k) = (Aka + Jf3)

b)JCx,y ,z) = x + sen(xy) + Ln(xz)

d)JCx,y) = m-csen(l + l)

( x+ y) f) JCx,y) = Ln x-y

(2,2)

h)- j(x,y,z) = LnJx2 + ay2 + bz2

18 ada la función . j(x,y,z) = x 2 - 2xy + z 3 Hallar las derivadas de f en la dirección

del vector v = (-1 ,3, 1) en el punto (1 ,-1 ,2) . . Obtener el grad iente def

en el punto (1,1,).

~- Se considera la superficie z = x 2 + 2y2 . Hallar el plano tangente , / A--< + \~ 'i + C ~ J_ r) ~ O

a la misma que sea paralelo al plano x + 2y- z = 1 O ;f , 2_ , --¿

@ sea f: D e R2 ..... R. E sea a= (1 ,2) e D, tal que el gradj(a) = (3,4)

¿Se puede asegurar que f es diferenciable en a ? ¿ Se puede asegurar

que fes continua en a?. En el caso de ser diferenciable, ca lcu lar la

diferncia l en a . /~\

(~J Sean las funciones j(x,y) = xy + l , h(x,y,z) = ex+ y senz. Calcu lar:

. ~)son diferenciables en a = (4, 1) y

2

g(x,y) = jX + JY'

la función h en b = (0, 1, O)

d). Sea z == (u+ .xy2) 2 siendo x == u+ v, y == uv. Calcular

gad z(uo, vo ). con (uo, vo) == (1, 1), utilizando la regla de la cadena

6.- a) Obtener el grado de homogeneidad y comprobara si cumple el

teorema de Euler, las funciones:

a) flx,y) == x2 + y 2 - Sxy

__L

b), g(x,y,z) == xye x2 para x *O

e). h(x,) == (x 3 +x2y)+

7.- Utilizar la formula de Taylor para desarrollar las funciones a) y b) en potencias

de (x-1) e (y-2)

b) g(x,y) == x 2 + xy + y 2

2 - --3

4