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CÁLCULO DE PRIMITIVAS

David Ariza-Ruiz

Departamento de Análisis Matemático

Seminario I

7 de noviembre de 2012

(Universidad de Sevilla) David Ariza Ruiz 7 de noviembre de 2012 1 / 42

Definición y propiedades

Primitiva. Integral indefinida I

Definición 1.Sea f : S⊆ R→ R, con S abierto. Una primitiva de f es una funciónF : S⊆ R→ R tal que

F′(x) = f (x) para todo x ∈ S.

Propisición 2.Si S es un intervalo abierto y F es una primitiva de f , entonces todas lasprimitivas de f son de la forma F(x)+C, con C ∈ R.



Primitiva. Integral indefinida II

Definición 3.Se llama integral indefinida de f al conjunto de todas sus primitivas, y sedenota por ∫

f (x)dx.

Observación 4.Usando la proposición anterior, tenemos que∫

f (x)dx = F(x)+C con C ∈ R y siendo F′(x) = f (x).



Primitiva. Integral indefinida III

Observación 5.De la definición de integral indefinida se deduce(∫

f (x)dx)′

= f (x),

es decir, la derivada de una primitiva cualquiera de la función integrando f esigual a la propia función f .

Ejemplo 6.

Demostrar que la función F(x) = 5− cotx es la primitiva de la funciónf (x) = 1

sen2 x en el intervalo (0,π).



Propiedades

Integral del producto de un número por una función.∫α f (x)dx = α

∫f (x)dx para todo α ∈ R.

Integral de la suma o diferencia.∫ (f (x)±g(x)

)dx =

∫f (x)dx±

∫g(x)dx.


Integrales inmediatas


∫xn dx =

xn+1

n+1+C con n 6=−1.

∫ 1x

dx = log |x|+C.

∫ex dx = ex +C.

∫sen(x)dx =−cos(x)+C.

∫cos(x)dx = sen(x)+C.

∫ 1√a2− x2

dx = arcsen( x

a

)+C.

∫ 1a2 + x2 dx =

1a

arctan( x

a

)+C.



Integrales inmediatas (Ejemplos)

1

∫ (5x4−3x3 +

√2x−π

)dx = x5− 3

4x4 +

1√2

x2−πx+C, con C ∈ R.

2

∫ ( 3x2 −4senx

)dx =−3

x+4cosx+C, con C ∈ R.

3

∫ √xdx =

23

√x3 +C, con C ∈ R.

4

∫ 52x2 +7

dx =5√

22√

7arctan

(√2x√7

)+C, con C ∈ R.

5 Hallar F(x) sabiendo que F′(x) = 6x+3 y F(−2) = 4.

Solución: F(x) = 3x2 +3x−2.

6 Hallar F(x) sabiendo que F′(x) = 9x2 +4x−10 y F(−1) = 10.

Solución: F(x) = 3x3 +2x2−10x+1.


Métodos de integración

Métodos de integración

1 Cambio de variable.

2 Integración por partes.

3 Integración de funciones racionales.

1 Tipo p(x)q(x) , siendo p(x) y q(x) polinomios.

2 Tipo R(senx,cosx).

3 Tipo R[

x,(

ax+bcx+d

)mn,(

ax+bcx+d

) pq]

, con m,n,p,q ∈ Z, n,q 6= 0.

4 Tipo R(

x,√±a2±b2x2

).


Métodos de integración Cambio de variable

Cambio de variable

Este proceso se hace en tres pasos:

Paso 1. Hacemos un cambio de variable. Para ello, sustituimos lavariable x por t, teniendo en cuenta dx y dt.

Paso 2. Integración de la nueva función en t. Si la integral de la nuevafunción en t es más sencilla que la dada, se procede a sucálculo. en caso contrario hay que elegir otro cambio devariable u otro método de integración.

Paso 3. Deshacemos el cambio de variable, sustituyendo la variable tpor x en la primitiva hallada en el paso 2.


Métodos de integración Cambio de variable

Cambio de variable (Ejemplos)

1

∫(2x+1)5 dx

2

∫x√

1+ x2 dx

3

∫tan(x)dx

4

∫ log3(x)x

dx

5

∫ 1x log4(x)

dx

6

∫ √7+2tan(x)cos2(x)

dx

7

∫ cos(6x)sen(6x)+4

dx

8

∫ cos√

x√x

dx

9

∫ cosx1+ sen2 x

dx


Métodos de integración Integración por partes

Integración por partes

∫u(x) · v′(x)dx = u(x) · v(x)−

∫v(x) ·u′(x)dx.

Formalmente, ∫u dv = uv−

∫v du.

un día vi una vaca sin rabo vestida de uniforme.

La elección de u se hace usando la regla ALPES.

A tipo Arcotan, Arcsen, Arccos,. . .

L funciones Logarítmicas.

P tipo Polinomios.

E tipo Exponencial.

S tipo Seno, coseno, tangente (trigonométricas).



Integración por partes (Ejemplos) I

1

∫xex dx

2

∫x cos(x)dx

3

∫x2 log(x)dx

4

∫log(x)dx

5

∫arctan(x)dx

6

∫x2 sen(x)dx

7

∫ex cos(x)dx

8

∫e−x cos(x)dx

9

∫x arctan(x)dx



Integración por partes (Ejemplos) II

A veces no está claro que una integral se resuelva integrando por partes.

∫ √a2− x2 dx=

{u =

√a2− x2 → du = −x√

a2−x2dx

dv = dx→ v = x

}= x√

a2− x2−∫ −x2√

a2− x2dx

= x√

a2− x2−∫ [ −a2√

a2− x2+

a2− x2√

a2− x2

]dx

= x√

a2− x2 +a2∫ 1√

a2− x2dx−

∫ √x2 +a2 dx

= x√

a2− x2 +a2 arcsen( x

a

)−∫ √

x2 +a2 dx

Luego,∫ √a2− x2 dx =

x2

√a2− x2 +

a2

2arcsen

( xa

)+C, con C ∈ R.


Métodos de integración Funciones racionales I

Tipo p(x)q(x) , con p(x),q(x) polinomios I

Ejemplo 7.∫ 1ex−1

dx ={

t = ex−1⇐⇒ ex = t+1

dt = exdx⇐⇒ dx = 1t+1 dt

}=∫ 1

t(t+1)dt =?

MÉTODO: Descomponer p(x)q(x) en fracciones simples.



Tipo p(x)q(x) , con p(x),q(x) polinomios II

Si el grado de p(x) es mayor que el de q(x), efectuamos la división de polinomios.

x2 + x2 x5 - x3 + 4 x + 1

2 x5 + 2 x4-

-2 x4 - x3 + 4 x + 1

2 x3 - 2 x2 + x - 1

-2 x4 - 2 x3-

x3 + 4 x + 1

x3 + x2-

-x2 + 4 x + 1

-x2 - x-

5 x + 1

dHxL

cHxL

DHxL

rHxLEn este caso, si c(x) es el cociente, y r(x) el resto, entonces∫ p(x)

q(x)dx =

∫c(x)dx+

∫ r(x)q(x)

dx.



Tipo p(x)q(x) , con p(x),q(x) polinomios III

Sea pues el grado de p(x) estrictamente menor que el de q(x). En este caso,podemos descomponer p(x)

q(x) en fracciones simples.

Llamamos fracciones simples a aquellas que son de la forma

A(x−α)n ó

Mx+N(ax2 +bx+ c)m ,

donde A,α,M,N,a,b,c ∈ R y n,m ∈ N con n,m≥ 1 y b2−4ac < 0.

¿Cómo descomponer p(x)q(x) en fracciones simples? Hay que fijarse en las raíces

de q(x).



Tipo p(x)q(x) , con p(x),q(x) polinomios IV

Distinguimos 4 casos:

Caso 1. q(x) sólo tiene raíces reales simples.

Caso 2. q(x) tiene raíces reales múltiples (repetidas).

Caso 3. q(x) tiene raíces complejas (no reales) simples.

Caso 4. q(x) tiene raíces complejas (no reales) múltiples (repetidas).[ESTE CASO NO LO ESTUDIAREMOS]



Caso 1. q(x) sólo tiene raíces reales simples

Si q(x) = (x−α1)(x−α2) · · ·(x−αn), tenemos que

p(x)q(x)

=A1

x−α1+

A2

x−α2+ · · ·+ An

x−αn,

donde A1,A2, . . . ,An son constantes a determinar. En tal caso, obtenemos que∫ p(x)q(x)

=∫ [ A1

x−α1+

A2

x−α2+ · · ·+ An

x−αn

]dx

= A1

∫ 1x−α1

dx+A2

∫ 1x−α2

dx+ · · ·+An

∫ 1x−αn

dx

= A1 log |x−α1|+A2 log |x−α2|+ · · ·+An log |x−αn|+C,

con C ∈ R.



Caso 1. q(x) sólo tiene raíces reales simples (Ejemplo)

Ejemplo 8.

Calcular I =∫ 3x3−15x2−4x+4

x4− x3−4x2 +4xdx.

Como3x3−15x2−4x+4x4− x3−4x2 +4x

=3

x+2+

1x+

4x−1

− 5x−2

,

deducimos que

I = 3log |x+2|+ log |x|+4log |x−1|−5log |x−2|+C, con C ∈ R.



Caso 2. q(x) tiene raíces reales múltiples I

Si, por ejemplo, α1 es una raíz de q(x) con multiplicidad k. Es decir,q(x) = (x−α1)

k(x−α2) · · ·(x−αn), tenemos que

p(x)q(x)

=A1,1

x−α1+

A1,2

(x−α1)2 + · · ·+A1,k

(x−α1)k︸︷︷︸corresponden al factor (x−α1)k

+A2

x−α2+ · · ·+ An

x−αn,

donde A1,1,A1,2, . . . ,A1,k,A2, . . . ,An son constantes a determinar.



Caso 2. q(x) tiene raíces reales múltiples II

En tal caso, obtenemos que∫ p(x)q(x)

= A1,1

∫ 1x−α1

dx+A1,2

∫ 1(x−α1)2 dx+ · · ·+A1,k

∫ 1(x−α1)k dx+

+A2

∫ 1x−α2

dx+ · · ·+An

∫ 1x−αn

dx

= A1,1 log |x−α1|−A1,2

x−α1−·· ·−

A1,k

(k−1)(x−α1)k−1+

+A2 log |x−α2|+ · · ·+An log |x−αn|+C, con C ∈ R.



Caso 2. q(x) tiene raíces reales múltiples (Ejemplo)

Ejemplo 9.

Calcular I =∫ 8x2−20x+13

x3−4x2 +5x−2dx.

Como8x2−20x+13

x3−4x2 +5x−2=

3x−1

− 1(x−1)2 +

5x−2

,

deducimos que

I = 3log |x−1|+ 1x−1

+5log |x−2|+C, con C ∈ R.



Caso 3. q(x) tiene raíces complejas (no reales) simples. I

Al hacer la factorización de q(x) nos sale un factor irreducible del tipo

ax2 +bx+ c, con b2−4ac < 0.

En este caso en la descomposición de p(x)q(x) en fracciones simples, le

corresponde el sumandoMx+N

ax2 +bx+ cdonde M,N son constantes a determinar.

Así pues, tendremos que hallar (entre otras) la integral∫ Mx+Nax2 +bx+ c

dx,

la cual se reduce a una tipo logarítmica y otra tipo arcotangente.



Caso 3. q(x) tiene raíces complejas (no reales) simples. II

Ejemplo 10.

Calcular I =∫ x

x2 +2x+17dx.

I =12

∫ 2x+2−2x2 +2x+17

dx Buscamos la derivada del denominador

I =12

∫ 2x+2x2 +2x+17

dx−∫ 1

x2 +2x+17dx Separamos integrales (Logaritmo+Arcotangente)

I =12

log∣∣x2 +2x+17

∣∣−∫ 1(x+1)2 +42 dx La 1o integral inmediata y la 2o completamos cuadrados

I =12

log∣∣x2 +2x+17

∣∣− 14

arctan(

x+14

)+C Es una integral tipo arcotangente

con C ∈ R.



Ejemplos

1

∫ x2

x2 +1dx

2

∫ x2−5x+4x+1

dx

3

∫ x3−3x2 +1x2−1

dx

4

∫ 4x2−4

dx

5

∫ 1x(x+1)(x2−4)

dx

6

∫ 3x−5x3− x2− x+1

dx

7

∫ xx2−3x−4

dx

8

∫ 1x3 + x2 + x+1

dx

9

∫ 1x3 + x

dx

10

∫ 5x3 +2x2 +3x+1x4− x2 +2x+2

dx

11

∫ 5x3−9x2 +14x−104x4−4x3 +10x2 dx


Métodos de integración Funciones racionales tipo II

Tipo R(senx,cosx)

Sea R una función racional en sus argumentos.

Si R es impar en seno, hacemos el cambio t = cosx.

Si R es impar en coseno, hacemos el cambio t = senx.

Si R es par en seno y coseno, hacemos el cambio t = tanx.

Si no se da ninguno de los casos anteriores, hacemos t = tan( x2).



Tipo R(senx,cosx), con impar en seno

Que R(senx,cosx) sea impar en seno significa que

R(−senx,cosx) =−R(senx,cosx).

En este caso hacemos el cambio

t = cosx⇐⇒ x = arccos(t)

observando que

dx =−1√1− t2

dt.

Ejemplo 11.

Calcular I =∫

sen3 x cos4 xdx.



Tipo R(senx,cosx), con impar en seno (Ejemplos)

Ejemplo 12.Calcular las siguientes integrales

1

∫ 1senx

dx.

2

∫ senx(cos2 x+5cosx)(sen2 x−1)(cosx+1)

dx.

3

∫ 2+ sen2 xsenx(2− cosx)

dx.

4

∫ tanxcosx+5

dx.

5

∫ senxcos2 x+2sen2 x

dx.

6

∫cos4 x sen7 xdx.



Tipo R(senx,cosx), con impar en coseno

Que R(senx,cosx) sea impar en coseno significa que

R(senx,−cosx) =−R(senx,cosx).


t = senx⇐⇒ x = arcsen(t)

observando que

dx =1√

1− t2dt.

Ejemplo 13.

Calcular I =∫

sen4 x cos7 xdx.



Tipo R(senx,cosx), con impar en coseno (Ejemplos)


1

∫ 1cosx

dx.

2

∫ cosx1−2sen2 x

dx.

3

∫ 4− cos2 xcosx(1+ senx)

dx.

4

∫ cos3

(2− senx)(senx−1)2 dx.

5

∫ sen2 x cosx2sen2 x+ cos2 x−5

dx.

6

∫cos3 x sen10 xdx.



Tipo R(senx,cosx), con par en seno y coseno

Que R(senx,cosx) sea par en seno y coseno significa que

R(−senx,−cosx) = R(senx,cosx).


t = tanx

observando que

dt =1

cos2 xdx = (1+ tan2 x)dx.

Ejemplo 15.

Calcular I =∫ 1

9− sen2 xdx.



Tipo R(senx,cosx), con par en seno y coseno (Ejemplos)


1

∫ 1+ tanxsenx cosx

dx.

2

∫ senx cosxsen4 x+ cos4 x

dx.

3

∫ 1sen4 x+ cos4 x

dx.

4

∫ 14sen2 x+ cos2 x

dx.

5

∫ cos2 x4sen2 x+ cos2 x

dx.

6

∫ 1(senx+ cosx)2 dx.



Tipo R(senx,cosx) y el C.V. t = tan( x

2

)Siempre se puede hacer el cambio

t = tan( x

2

),

que nos dará una integral racional en t. En este caso:

dx =2

1+ t2 dt senx =2t

1+ t2 cosx =1− t2

1+ t2 tanx =2t

1− t2 .

Las tres últimas fórmulas se recuerdan fácilmente con el triángulo de la figura,

considerando que el seno de un ángulo de un triángulo rectángulo es igual al cateto

puesto partido por la hipotenusa, el coseno es igual al cateto adyacente/contiguo por

la hipotenusa, y la tangente es igual al cateto opuesto partido por el cateto adyacente.

1 +t2

1 - t2

2 t

x



Tipo R(senx,cosx) y el C.V. t = tan( x

2

)[Ejemplos]

Ejemplo 17.

1

∫ 12+ cosx+ senx

dx.

2

∫ 1senx

dx.

3

∫ 1cosx

dx.

4

∫ 23+ cosx

dx.

5

∫ senx1+ senx

dx.

6

∫ cosx1+ cosx

dx.

7

∫ 11− senx

dx.

8

∫ 11− cosx

dx.

9

∫ 14senx+3cosx

dx.

10

∫ 11+ senx+ cosx

dx.


Métodos de integración Funciones racionales tipo III

Tipo R[

x,(

ax+bcx+d

)mn,(

ax+bcx+d

) pq]

, con m,n,p,q ∈ Z, n,q 6= 0.

Hacemos el cambio de variable

tα =ax+bcx+d

donde α = m.c.m.(n,q).

Ejemplo 18.

Calcular I =∫ 1−

√x+3x+2

1+√

x+3x+2

dx.


Métodos de integración Funciones racionales tipo III

Tipo R[

x,(

ax+bcx+d

)mn,(

ax+bcx+d

) pq]

, con m,n,p,q ∈ Z, n,q 6= 0. [Ejemplos]


1

∫ 1x2

√1− x1+ x

dx.

2

∫ √x+2 6√

x5

6√

x5(1+ 3√

x) dx.

3

∫ 1+√

1+ x1−√

1+ xdx.

4

∫ √x+1− 3√

x+1√x+1+ 3

√x+1

dx.

5

∫ 15√(x+3)6(x−2)4

dx.

6

∫3

√1+ x1− x

1(1− x)2 dx.


Métodos de integración Funciones racionales tipo IV

Tipo R(

x,√

a2−b2x2)

Para resolver∫

R(

x,√

a2−b2x2)

dx hacemos el cambio de variable

bx = a cos t,

o el otro cambio de variablebx = a sen t.

Ejemplo 20.

Calcular I =∫ 1

x2√

25−9x2dx.



Tipo R(

x,√

a2−b2x2)

[Ejemplos]


1

∫ 1√25−9x2

dx.

2

∫ x2√

9−4x2dx.

3

∫ 1√(1− x2)3

dx.

4

∫ √9− (x−2)2 dx.

5

∫ √4−9x2

x3 dx.



Tipo R(

x,√

a2 +b2x2)

Para resolver∫

R(

x,√

a2 +b2x2)

dx hacemos el cambio de variable

bx = a tan t.

Recordar que

sen2α + cos2

α = 1 y 1+ tan2 x =1

cos2 x.

Ejemplo 22.

Calcular I =∫ 1

x2√

25+9x2dx.



Tipo R(

x,√

a2 +b2x2)

[Ejemplos]


1

∫ 1√25+9x2

dx.

2

∫ x2√

9+4x2dx.

3

∫ 1√(1+ x2)3

dx.

4

∫ √9+(x−2)2 dx.

5

∫ √4+9x2

x3 dx.



Tipo R(

x,√−a2 +b2x2

)Para resolver

∫R(

x,√−a2 +b2x2

)dx hacemos el cambio de variable

bx = a sec t.

Entonces,dx =

ab

sec t tan t dt.

Recordar que

secα =1

cosαy 1+ tan2

α = sec2α.

Ejemplo 24.

Calcular I =∫ 1

x2√−25+9x2

dx.



Tipo R(

x,√−a2 +b2x2

)[Ejemplos]


1

∫ 1√−25+9x2

dx.

2

∫ x2√−9+4x2

dx.

3

∫ 1√(−1+ x2)3

dx.

4

∫ √−9+(x−2)2 dx.

5

∫ √−4+9x2

x3 dx.


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