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Apuntes Apuntes Introducción Integración Inmediata Ajustar una Integral Propiedades : * * Genius, el secreto de los mejores. Genius, el secreto de los mejores. Genius, el secreto de los mejores. Genius, el secreto de los mejores. Ximo Beneyto Ximo Beneyto Ximo Beneyto Ximo Beneyto

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untes

ûIntroducciónûIntegración InmediataûAjustar una IntegralûPropiedades :*

*

Genius, el secreto de los mejores.Genius, el secreto de los mejores.Genius, el secreto de los mejores.Genius, el secreto de los mejores.Ximo BeneytoXimo BeneytoXimo BeneytoXimo Beneyto

Apuntes

X.B.

Gènius

¡ ADVERTENCIA !¡ ADVERTENCIA !¡ ADVERTENCIA !¡ ADVERTENCIA !

En casi todos los CUADERNOS GÈNIUS hay problemas INSERTADOS que no sepueden resolver con el nivel del tema, o bien contienen alguna “trampa”.Opciones :

a) ¡ Caer en la “trampa” !b) Indicar N.C.N.T. ( o sea, no corresponde al nivel del tema )c) Indicar N.S.L.S. ( o sea, no sé la solución)

Gènius, el secreto de los mejores.

Ximo Beneyto.

Apuntes

X.B.

Gènius

Cursos Genius. Integración I_1 Página 3

A lo largo de cualquier estudio superior, raro es el estudiante que no necesite,

alguna vez, de un buen manejo del Cálculo de Primitivas. El " ARTE DE INTEGRAR ",

si se maneja con soltura, suele ser muy reconfortante. El hecho de considerarse capaz de

resolver una primitiva un poco complicada sin ayuda de nadie, da alas a nuestras propias

posibilidades. Así, poco a poco, vamos a ir familiarizándonos con esta bonita técnica co-

mo es la del Cálculo de la función Primitiva de una Función dada.

<¿ Qué es la Función Primitiva de una función dada ?

En los tres cuadernos anteriores (Gènius derivación), aprendimos a obtener la

función derivada de una función cualquiera, casi sin saber el concepto de lo que hacía-

mos, así, si f(x) = x3 ( es una función) YYYY f ’(x) = 3x2 es su derivada ( Función derivada

quedaría mejor expresado ) ó, si f(x) = sen x YYYY f ’(x) = cos x. Pues bien, hallar la Pri-

mitiva de una función es justamente lo contrario, poner marcha atrás en la derivada, es

decir, buscar una nueva función cuya derivada sea justamente la función que tenemos.

Así, de la función 3x2 una primitiva es x3 pues (x3)' = 3x2

De la función cos x una primitiva es sen x pues (sen x)' = cos x

De la función una primitiva es ln x pues (ln x)' =

Sea f(x) una función. Si F(x) es una primitiva de f(x), entonces : F '(x) = f(x)

Ejemplo:

< ¿ Cómo lo representamos ? : N O T A C I Ó N

Desde la época de Leibniz, se pone así :

El símbolo '' '' es una 'ese' alargada, estilizada y bonita, se lee Integral Indefinida o Primi-

tiva de f(x) diferencial de x. Ponemos dx, para indicar que la variable de integración es

'x', dt si la variable es 't', dy si es 'y', etc.

! F(x) Y primitiva o integral de f(x)

! f(x) Y integrando de

Apuntes

X.B.

Gènius

Cursos Genius. Integración I_1 Página 4

POTENCIAS

En ocasiones, también podemos emplear otra notación según la variable sobre la que

queramos operar, así pues, es frecuente la notación:

Ejercicio. Un sencillo ejercicio de práctica.

Completa el cuadro siguiente :

FUNCIÓN DERIVADA PRIMITIVA

f(x) = sen x f '(x) = cos x YUna primitiva de cos x F(x) =

f(t) = t3 f '(t) = 3t2 YUna primitiva de 3t2 F(t) =

f(x) = ln x f '(x) = YUna primitiva de ln x F(x) =

f(x) = x4 f '(x) = 4x3 YUna primitiva de 4x3 F(x) =

NOTA : Utilizaremos con mayor frecuencia el nombre Integral de una función.

LAS TÉCNICAS DE INTEGRACIÓN

1. INTEGRALES INMEDIATAS

Bien, vamos a empezar ahora las técnicas para obtener la función primitiva de una

función dada. La primera de ellas es el cálculo de la primitiva de una función dada de for-

ma INMEDIATA , para ello aplicaremos LAS FÓRMULAS DE INTEGRACIÓN TAL

COMO SE INDICAN. Comencemos:

Apuntes

X.B.

Gènius

Cursos Genius. Integración I_1 Página 5

Ahora debes resolver tú solo, empleando las fórmulas anteriores, las siguientes primitivas.

1. x dx =

2. x2 dx =

3. x3 dx =

4. x4 dx =

5. x5 dx =

6. x6 dx =

7. 2 dx =

8. 3 dx =

9. a dx =

10.

11. mx1/5 dx =

12. x2/3 dx =

13. x4/5 dx =

14.

15. x-3 dx =

16. x-4 dx =

17. x-5 dx =

18.

19.

20.

[ Observa ... a … -1 ]

21.

[ Observa ... t … -1 ]

22.

23.

24.

[ Opera con dt igual que con dx ]

25.

26.

Apuntes

X.B.

Gènius

Cursos Genius. Integración I_1 Página 6

27. x7/4 dx =

28. x3/5 dx =

29. x5/3 dx =

30. x9/5 dx =

31. x-7 dx =

32. x-11 dx =

33.

[ Para p = 1 no podríamos aplicar la fórmu-

la ]

34.

35.

36.

37.

38.

39.

Observa que las primitivas 35, 36, 37, 38 y 39 debemos prepararlas previamente para

poder aplicar la técnica de integración. [ Es una primera norma a seguir, PREPARAR la fun-

ción a integrar para poder aplicar la fórmula o técnica adecuada ]

Ahora vamos a ensayar la misma fórmula para una función cualquiera, que representare-

mos por u(x) o, simplemente u:

Para poder aplicar la fórmula , debemos tener :

Y Una función, que llamaremos "u", elevada a una potencia cualquiera n … -1 : un

Y La derivada de la función "u" : u' ( ¡ Ojo ! no la derivada de un )

Apuntes

X.B.

Gènius

Cursos Genius. Integración I_1 Página 7

Ejemplos :

Resolver:

40. (x2+1)2 (2x) dx =

41. (x3+x)4 (3x2+1) dx =

[ Observa que la derivada de x3 + x es 3x2 + 1 ]

42. sen3 x cos x dx =

43. (x3+1)-4 (3x2) dx =

44. (x3+x)5 (3x2+1) dx =

45. (x2+1)3 (2x) dx =

46. sen4 x cos x dx =

[ sen4 x = ( sen x )4 ]

47. (x3+2)-3 3x2 dx =

48. (x2+1)3 (2x) dx =

Apuntes

X.B.

Gènius

Cursos Genius. Integración I_1 Página 8

Recuerda :

49.

50.

51.

52. sen x cos x dx =

[ Aquí, u = sen x ]

53. cos3 x (-sen x) dx =

54. cos-4 x (-sen x) dx =

55.

56.

57.

58.

59. sen-32x cos (2x)A2 dx =

60.

Apuntes

X.B.

Gènius

Cursos Genius. Integración I_1 Página 9

61. (x+1)4 dx =

[ Observa que la derivada de x+1 es 1 ]

62. (x+1)3 dx =

63. (4-x)3 (-1) dx =

64. (1-x)3 (-1) dx =

65. (3-x)2 (-1) dx =

66.

67. (x3+ 2x)1/2 (3x2+2) dx =

68.

69.

70.

71. (x+2)3 dx =

72. (x-3)1/2dx =

73. (1-x)1/2 (-1)dx =

74. (3-x)-2 (-1) dx =

TURNO LIBRE : Construye tres integrales diferentes que se resuelvan con la fórmula :

AJUSTANDO UNA INTEGRAL

Veamos ahora qué ocurre cuando nos falta alguna constante para tener la expre-

sión completa de la fórmula a aplicar. Anotemos la propiedad que dimos al principio de la uni-

Apuntes

X.B.

Gènius

Cursos Genius. Integración I_1 Página 10

dad, la integral de una constante por una función es igual a la constante por la integral de la fun-

ción." Usease "

< Supongamos que queremos hallar

Y "u" es la función x3 + 1 YYYY u' = 3x2

Y para poder aplicar la fórmula necesitamos que x2 aparezca mul-

tiplicado por 3, para tener 3x2 ( que es la derivada de x3+1 )

Y como falta un 3 dentro de la integral, pues multiplicamos por 3 dentro de la integral y

dividimos por 3 fuera de la misma para no modificar ésta. ( Proceso de ajuste solamente

válido utilizando CONSTANTES, pero nunca con funciones)

[ Aplicando ahora la fórmula de integración ]

AJUSTAR UNA INTEGRAL

Entonces, en todas aquellas integrales en las que nos falte el producto por una constante

para poder aplicar la fórmula adecuada, podemos obtenerlo multiplicando dentro de la

integral por esta constante y dividiendo fuera de la integral por la misma constante.

Proceso que llamaremos AJUSTE DE LA INTEGRAL .

Así:

Bien, vamos a intentarlo .

75. (x2+1)2 x dx =

76. (x3+1)3 x2 dx =

Apuntes

X.B.

Gènius

Cursos Genius. Integración I_1 Página 11

77. (x4+1)2 x3 dx =

78. (x2+1)2 3x dx =

[ El 3 fuera de la integral. Ajusta multiplicando y dividiendo por 2 ]

79. (x3+1)3 4x2 dx =

[ El 4 fuera de la integral. Ajusta multiplicando y dividiendo por 3 ]

80. (x4+2)4 5x3 dx =

81. (x3+3)5 x2 dx =

82. (x2+2x)4 (x+1) dx =

[ la derivada de x2 + 2x es 2x + 2 = 2 (x+1) ]

83. (x3+3x)1/3 (x2+1) dx =

84. (cos5 x) 3 sen x dx =

[ ¡ Ojo con el signo ! ]

85. (cos x )5 sen x dx =

86. (x3+1)1/3 (5x2) dx =

87. (x2+3)1/4 (7x) dx =

88.

89. (3x+7)5 dx =

90. (2x+3)-5 dx =

Apuntes

X.B.

Gènius

Cursos Genius. Integración I_1 Página 12

91. (3x+4)-2 dx =

92. (5x+3)-4 dx =

93. (4x-1)-3 dx =

94. (1+2x3)-2 x2 dx =

95.

[ Afianzamos la idea de preparar la integral ]

96.

97.

98.

Ahora vamos a estudiar con estas fórmulas, las propiedades básicas que hemos enunciado

al principio del tema, empecemos con la integral de una suma de funciones :

"u" y "v" representan funciones que dependen de x.

Ejemplos :

Apuntes

X.B.

Gènius

Cursos Genius. Integración I_1 Página 13

[ Observa el trabajo anterior, comprende por qué se hace ]

¡ Cómo prosperamos ! ¿ Eh ?. Vamos con las SUMAS:

99. (x2 + x3) dx =

100. (x4 + 2x) dx =

101. (x5 + x6) dx =

102. (x4 + x2) dx =

103. (x3 + x5) dx =

104. (x2 + x) dx =

105. (%x + x) dx =

106. (x1/3 + x1/2) dx =

107. (x3 + x15) dx =

108. (3x2 + x3) dx =

109. (5x4 + 4x3) dx =

110. (2x2 + 2x3) dx =

111.

112.

113.

Apuntes

X.B.

Gènius

Cursos Genius. Integración I_1 Página 14

114.

115.

116.

Observa como hemos de operar este producto antes de integrar.

117.

Manteniendo la idea base de preparar la integral para poder aplicar la fórmula apropiada cuando

ésta no se pueda aplicar directamente

118.

119.

120.

121.

122.

Apuntes

X.B.

Gènius

Cursos Genius. Integración I_1 Página 15

Vamos a ir finalizando la " I_1", apretando un poco las tuercas. En las integrales que siguen te

voy a dar alguna indicación. Hay que resolverlas:

123.

[ Separa en SUMA, prepara e integra ]

124.

[ Separa en SUMA, prepara e integra ]

125.

[ Desarrolla el cuadrado, separa en SUMA, prepara e integra ]

126.

[ Sin desarrollar !]

127.

128.

[ Ajusta e integra ]

129.

[ Ajusta e integra ]

130.

[ Ajusta e integra ]

131.

[ Opera, separa en SUMA e integra ]

132.

[ Prepara, ajusta e integra ]

Apuntes

X.B.

Genius

Cursos Genius. Integración I_1 Página 16

133.

[ Prepara, ajusta e integra ]

134.

[ Prepara, ajusta e integra ]

135.

[ Prepara, ajusta e integra ]

136.

[ Prepara, ajusta e integra ]

Y aquí terminamos por hoy nuestro primer contacto con el MUNDO PRIMITIVO,

bueno suena un poco a película el título, así es que lo dejaremos en cálculo de primitivas o inte-

grales, ya sabes ...

137. Haz un breve comentario de las ideas que siguen:

* ¿ Qué es una PRIMITIVA de una función ?

* ¿ Cómo se aplica la fórmula ?

* Propiedades básicas

* ¿ En qué consiste AJUSTAR una integral ?

* ¿ Por qué hay que PREPARAR antes de integrar ?.

Una aclaración :

A lo largo de la unidad, hemos expresado la fórmula , siempre ma-

tizando que n … -1. Esto es así, pues si aplicáramos la fórmula anterior con n = -1 obtendríamos :

que , obviamente es FALSO.

En la unidad siguiente aclararemos como se resuelve

C’est fini.