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Análisis Matemático I - Ciencias
Repaso de temas de primer parcial
2011
Límites.
Calcular los siguientes límites:
limx!+1
2x10 � 110x11 + 7
limx!0
2x+ tg x
x+ x2
limx!0
sen (ax)
sen (bx), con a 6= 0 y b 6= 0 lim
x!0
x2 (1 + sen2 x)
(x+ sen x)2
limx!+1
x sen
�
1
x
�
limx!+1
�
x+ 7
x
�3x
limx!�1
px2 + 1
xlim
x!+1x tg
�
1
x
�
limx!+1
px2 + x
xlimx!0
px ln x
limx!0
ln (1 + 2x)
xlim
x!+1
x� cosxx
limx!+1
�
x+ 5
x
�x
limx!�1
3x+p9x2 � x
limx!1
sen (x2 � 1)x� 1 lim
x!+1
�
x+ 3
x+ 4
�x=2
limx!�1
x2 � x� 2x+ 1
limx!0
ln (e+ x3)� 1x
limx!+1
x+ sen3 x
5x+ 6
1
2012
Clase 1.
1
Análisis Matemático I - Ciencias
Repaso de temas de primer parcial
2011
Funciones continuas.
1. Estudiar la continuidad de las siguientes funciones:
(a) f (x) = x sen (x2)
(b) f (x) =
(
x2 si x < 1px si x � 1
(c) g (x) =
8
>
>
>
<
>
>
>
:
x+ x2
x2 � 1 si x2 6= 1
0 si x = 1
0 si x = �1
(d) g (u) =u3 � uu+ 1
(e) f (x) =
(
sen x si x < �=4
cosx si x � �=4
2. Considerar la funciónf (x) =
x
jxj .
Hallar su dominio y encontrar una expresión equivalente para esta función utilizando lade�nición del valor absoluto. Estudiar la continuidad de f (x) en todo su dominio.
3. Dada la función
g (x) =
(
1 si x � 0�1 si x < 0
.
Hallar su dominio y estudiar la continuidad de g (x). Establecer la relación que existe entreesta función y la función del ejercicio 2.
4. Hallar los valores de a para que las siguientes funciones resulten continuas.
(a) f (u) =
(
au2 + 5 si x > 1
2u� 1 si x � 1
(b) g (x) =
(
jxj si x > �1x3 + 3a si x � �1
(c) f (x) =
(
ax2 + 1 si x > 0
xex + 1 si x � 0
12
5. Considerar la función f (x) cuya grá�ca es la siguiente.
43210-1-2-3-4
4
3
2
1
0
-1
x
y
x
y
Decir si las siguientes a�rmaciones son verdaderas o falsas justi�cando las respuestas.
(a) f (x) es continua en todo su dominio.
(b) limx!1+
f (x) = limx!1�
f (x).
(c) f (x) es discontinua en x = 0.
(d) f (x) es una función lineal.
(e) limx!2+
f (x) = 4.
(f) limx!�1+
f (x) = limx!�1�
f (x).
(g) f (x) es continua para x = �2.(h) lim
x!�1+f (x) = 1.
(i) En el intervalo (0; 2) la función f (x) tiene inversa.
(j) f (x) es discontinua en x = 2.
6. Demostrar que existe algún número x tal que
(a) sen x = x� 1(b) ln x = �x2 + 4
7. Suponer que f y g son funciones continuas en [a; b], sabiendo que f (a) < g (a) y que f (b) >g (b) demostrar que f (x) = g (x) para algún x 2 [a; b].
8. ¿Puede a�rmarse que el polinomio p (x) = 4x3 � 6x2 + 3x � 2 tiene una raíz entre 1 y 2?¿Por qué?
23
Análisis Matemático I - Ciencias
Repaso de temas de primer parcial
2011
Derivabilidad.
1. Hallar la derivada de las siguientes funciones.
(a) f (x) = sen�cosx
x
�
(b) f (x) = (x+ cos5 x)6
(c) g (y) = esen y cos (y4)
(d) g (u) = ln (cospu)
(e) f (y) = sen (sen (sen (sen y)))
(f) h (x) = 3
p
ln (x5 + 3x)
(g) g (u) = 3pcosu
2. Sea g una función derivable, hallar f 0 en términos de g y de g0.
(a) f (x) = g (x+ g (x))
(b) f (x) = g (x:g (a))
(c) f (x) = g (x) (x� a)
3. Hallar f 0 (0) si
f (x) =
8
<
:
g (x) sen
�
1
x
�
si x 6= 0
0 si x = 0
donde g (0) = g0 (0) = 0.
4. Sea d (x) = f (x)� f 0 (a) (x� a)� f (a) donde f es derivable en x = a. Hallar d0 (a).
5. Para cada una de las siguientes funciones hallar el máximo y el mínimo en el intervaloindicado.
(a) f (x) = 3x4 � 8x3 + 6x2, x 2�
�1
2; 12
�
(b) f (x) =x
x2 + 1, x 2 [0; 5]
(c) f (x) =
�
x2 si x < 12x� 1 si x � 1 , x 2 [�1; 3]
1
Clase 2.
4
6. Hallar una función f y un valor a tal que limh!0
(2 + h)6 � 64h
= f 0 (a).
7. Estudiar la derivabilidad de las siguientes funciones.
(a) f (x) =
�
3x3 � 2x si x < 12px� 1 si x � 1
(b) g (x) =
(
sen x si x < �=4
cosx si x � �=4
8. Encontrar los valores de a y b para que f (x) sea derivable en x = 1, siendo
f (x) =
�
x2 si x < 1ax+ b si x � 1 .
9. Sea a > 0, demostrar que2 + a
1 + aes el valor máximo de
f (x) =1
1 + jxj +1
1 + jx� aj .
10. La siguiente es la grá�ca de la derivada de una función f . Hallar todos los valores de lavariable independiente donde f alcanza sus valores máximos y mínimos locales. Justi�car larespuesta.
6543210-1-2-3-4
3
2
1
0
-1
-2
-3
x
y
x
y
11. Suponer que f 0 (x) > g0 (x) para todo x, y que f (a) = g (a). Demostrar que f (x) > g (x)para todo x > a y f (x) < g (x) para todo x < a.
12. Aplicar el Teorema del Valor Medio a las siguientes funciones en los intervalos dados y hallarun valor de c que veri�que el resultado,
(a) f (x) = x2 � 2x, x 2 [0; 2](b) f (x) = ex � x, x 2 [0; 2]
25
13. Explicar por qué no es válido el Teorema del Valor Medio en los siguientes casos,
(a) f (x) =1
x,x 2 [�1; 2]
(b) f (x) = x1=3, x 2 [�1; 1]
14. El límite de velocidad en una cierta autopista es de 130 km/h. En un punto A de la misma,un policía determina con un radar la velocidad de un cierto vehículo y media hora después,un segundo policía en un lugar B a 80 km de A repite el control. Ambos veri�can que elconductor no excedió el límite de velocidad ni en A ni en B, pero el segundo o�cial (quehabía aprobado un curso de Análisis Matemático en la universidad) lo detuvo y labró unacta de infracción por haber superado la velocidad máxima. ¿Puede explicar la conducta deeste policía?
36
Análisis Matemático I - Ciencias
Repaso de temas de primer parcial
2011
Estudio de funciones.
1. Gra�car las siguientes funciones explicitando en cada caso (si es posible):
� Dominio. Intersecciones con los ejes coordenados.� Puntos de discontinuidad de la función.� Puntos críticos. Regiones de crecimiento y de decrecimiento.� Máximos y mínimos, locales y absolutos.� Comportamiento de la función cuando x! +1 y cuando x! �1.� Valores de x en los cuales la función tiende a +1 o a �1.� Puntos de in�exión. Regiones de convexidad.
(a) f (x) =x2 + 1px
(b) f (x) = x+ sen x, con x 2 [��; �]
(c) g(x) =2x2 � 8x+ 6x2 � 1 (d) f (x) = jxjx
(e) g (x) =x3 + 1
x+ 1(f) h (x) =
(
ln jxj si x � 2ln 2p2
px si x > 2
(g) f (x) = ln (x2 + 3x) (h) f (x) = 3lnjxj
(i) g(x) = e�x + x (j) g(x) = x3=2 + ln x
(k) f (x) = arcsen (px) (l) f (x) = arctg
�
1
x
�
2. ¿Cuál de las siguientes grá�cas corresponde a la derivada de la función f (x) = jxj? ¿Porqué?
1
Clase 3.
7
3. La siguiente es la grá�ca de la derivada de una función f .
6543210-1-2-3-4
3
2
1
0
-1
-2
-3
x
y
x
y
Determinar si las siguientes a�rmaciones son verdaderas o falsas justi�cando las respuestas.
(a) La función f es creciente en (�2; 0)(b) La función f es decreciente en (2; 4)
(c) En x = 0 la función f alcanza un valor máximo local
(d) En x = 3 la función f alcanza un valor mínimo local
(e) La función f es cóncava hacia abajo en (�4;�2)(f) f 00 existe para todos los valores x del dominio de f
(g) f 00 no existe para el valor x = �2(h) En x = �2 la función f tiene un punto de in�exión(i) La función f es cóncava hacia arriba en (0; 2)
Por último, completar el estudio realizado en la práctica anterior y sabiendo que f (0) = 0esbozar la grá�ca de la función f .
4. Establecer cuál de las siguientes grá�cas corresponde a las funciones f (x) =x2 + 1
x+ 1y g (x) =
x2 � 1x+ 1
.
3210-1-2-3
50
25
0
-25
-50
x
y
x
y
28
Análisis Matemático I - Ciencias
Repaso de temas de primer parcial
2011
Problemas.
1. Para cada una de las siguientes funciones hallar la ecuación de la recta tangente a la grá�capara el valor indicado.
(a) f (x) = x3 +px para x = 1
(b) f (x) =x
x+ 1para x = 0
(c) f (x) = ln (5x� x4 + 1) para x = 0
(d) f (x) = cos (x2) para x =p
�=2
2. Gra�car f (x) = 3x2 y g (x) = 2x3+1. Mostrar que el punto (1; 3) es común a ambas grá�casy que las rectas tangentes a cada grá�ca por ese punto coinciden.
3. Determinar el valor de la constante c para que la recta de ecuación y = x sea tangente a lagrá�ca de la función f (x) = x2 + c. Gra�car.
4. La siguiente es la grá�ca de la posición de un móvil en función del tiempo. A partir de elladar un grá�co aproximado de la velocidad de p(t).
876543210
4
2
0
-2
-4
t
p(t)
t
p(t)
5. Si una �echa es disparada hacia arriba en la luna con una velocidad de 58 m=s, su altura (enmetros) después de t segundos está dada por H (t) = 58t� 0:83t2.
(a) Hallar la velocidad de la �echa después de 1 segundo.
(b) Hallar la velocidad de la �echa para t = a.
(c) ¿En qué instante la �echa toca la luna?
(d) ¿Con qué velocidad llega a la super�cie de la luna?
1
Clase 4.
9
6. El costo de producir x unidades de cierto producto es C (x) = 5000 + 10x+ 0:05x2.
(a) Hallar la razón de cambio promedio de C con respecto a x cuando el nivel de produccióncambia:
� de x = 100 a x = 105
� de x = 100 a x = 101
(b) Hallar la razón de cambio instantánea de C con respecto a x para x = 100. El valorhallado es llamado costo marginal.
7. Encontrar los puntos de la curva y = 1=x2 más próximos al origen de coordenadas.
8. Mostrar que para construir una lata cilíndrica (con tapa) de volumen �jo con la menorcantidad de material posible, la altura de la lata debe ser igual a su diámetro.
9. De entre todos los triángulos cuya diagonal mide 2, hallar las dimensiones del de perímetromáximo.
10. Hallar las dimensiones de un rectángulo de 64 cm2 de super�cie, para el que la distanciadesde el punto medio de un lado hasta un vértice del lado opuesto sea mínima.
11. Si a y b son los lados de un triángulo rectángulo cuya hipotenusa es 1, hallar el valor máximode 2a+ b.
12. Encontrar la longitud de los catetos de un triángulo rectángulo de área máxima, sabiendoque su hipotenusa mide h.
13. Hallar dos números cuya suma sea 120 y el producto de uno de ellos por el cuadrado del otrosea máximo.
14. Hallar, si existe, la ecuación de la recta (o las rectas) tangente (o tangentes) a la grá�ca dela función f (x) = x3 que pasa (o pasan) por el punto de coordenadas (1; 0).
210
ANALISIS MATEMATICO I (2012)
Repaso de Taylor y funciones implıcitas.
1. Calcular el polinomio de Taylor de grado 3 alrededor de x = 0 de las siguientes funciones:
f1(x) = ln(1 + x), f2(x) = sen(x), f3(x) = cos(ax), a ∈ R, f4(x) = e−x3
Ademas, dar una expresion para el error en cada caso.
2. Utilizando polinomios de Taylor, calcular con un error menor que 10−4 los siguientesvalores: sen(1), cos(0,5), ln(4/5) y
√e.
3. Justificando cada paso, hallar los lımites:
a) lımx→0
x − sen(x)
x3
b) lımx→0
ln(1 + x) − x
x2
c) lımx→0
e−x2
− cos(√
2x)
x4
d) lımx→0
x(ex + 1) − 2(ex − 1)
x3
e) lımx→0
x − tg(x)
x − sen(x)
f ) lımx→∞
x3(e1/x − 1 −1
x−
1
2x)
g) lımx→0
ln(1 + x)
e2x − 1
h) lımx→0
sen(x)
arctg(x)
i) lımx→0
1
x−
1
ex − 1
4. Hallar la ecuacion de la recta tangente y la recta normal en el punto pedido:
a) 2xy + πsen(y) = 2π, P = (1, π/2).
b) (x2 + y2)3 = 8x2y2, P = (1,−1).
5. Hallar el valor de y′′ en el punto pedido:
a) sen(y) = xy, P = (2/π, π/2)
b) ey2
= (x + 2)(x + 1/2), P = (0, 0)
6. Hallar una expresion para y′′, sabiendo que y = 1 + xey.
1
Clase 5.
11
Análisis Matemático I - Ciencias
Repaso de temas de primer parcial
2011
Repaso general.
1. Calcular los siguientes límites:
a) l��mx!+1
px+ 1
x ln x
b) l��mx!+1
cosx
2x
c) l��mx!1
px� 1x2 � 1
d) l��mx!+1
4x � 2xx
e) l��mx!+1
ln x arctan x
3x4
f ) l��mx!0+
x ln x sen
�
1
x
�
g) l��mx!0
1� cosx1�
p1� x2
2. Determinar el dominio de cada una de las siguientes funciones. Estudiar la continuidady, en el caso que sean discontinuas, clasi�car las discontinuidades.
a) f (x) =x� 1
x2 + x� 6
b) f (x) =x� 3
(x� 1) (x2 � 4x+ 3)
c) f (x) =2x+ 1
x2 � 3x+ 4
d) f (x) =6x2 + x� 22x2 + 3x� 2
3. Si l��mx!0
f (x)
x= 1, ¿cuánto vale l��m
x!0
f (x2)
x?
4. Dar un ejemplo de una función f (x) tal que l��mx!0
f (x) no exista y que f (0) esté de�nida.
5. Sean f y g dos funciones continuas en R que cumplen las siguientes condiciones:
112
f (1) = 4=3
l��mx!1
6f (x) + g (x) = 3
¿Cuál es el valor g (1)? Justi�car la respuesta.
6. Explicar por qué la función es discontinua en el punto indicado,
a) f (x) =x2 � 4x� 2 en x = 2
b) f (x) =
�
x2 si x < 23x� 1 si x � 2 en x = 2
7. Determinar si f (x) =
�
3x+ 1 si x � 0x+ jxj si x < 0
es continua.
8. Averiguar si f (x) =
8
<
:
x2 � 2x+ 1x� 1 si x 6= 12 si x = 1
es continua en x = 1.
a) Si no resultó continua en x = 1, ¿puede rede�nirse f (1) para que resulte continua?
b) En caso de que pueda rede�nirse f (1) para que resulte continua, rede�nir lafunción y estudiar su derivabilidad en todo el dominio.
9. Suponiendo que y = h (x) es una función tal que h0 (x) = sen2 (sen (x+ 1)) y queh (0) = 3:
a) Calculard (h�1)
dypara y = 3.
b) Hallar la recta tangente a la grá�ca de h�1 en y = 3.
10. Sea f (x) = x3, ¿cuál de las siguientes ecuaciones determina la ecuación de la rectatangente a la grá�ca de f (x) en x = 1?
a) y = 3x2
b) y � 1 = 3x2 (x� 1)c) y � 1 = 3 (x� 1)d) y = 3x� 1
11. Determine y0 en los siguientes casos:
a) y =cos (x+ 1)
cosx
b) y = sen
�
x2 + 2
x+ 2
�
213
c) y = (5x� 8)p7x+ 2
d) y = tan�
(2x+ 3)3�
12. Sea f (x) = ax3 + bx2 + cx+ d.
a) Encontrar los coe�cientes a; b; c y d teniendo en cuenta que,
1) f cambia la convexidad en x = �1=4;2) la recta y = �x es tangente a la grá�ca en x = 0;3) la recta y = 5x+ 1 es paralela a la recta tangente a la grá�ca en x = �1.
b) Gra�car la función encontrada.
13. Decir si la a�rmación es V (veradera), explicando por qué, o F (falsa), dando un ejemplomuestre su falsedad:
a) Si l��mx!c
f (x) = L, entonces f (x) es continua en x = c.
b) Si f (x) = g (x) para todo x 6= c y f (c) 6= g (c), entonces algunas de las dosfunciones no es continua en x = c.
c) Una función racional puede ser discontinua para in�nitos valores de la variable.
d) Toda función racional tiene, al menos, una asíntota vertical.
e) Las funciones polinómicas no tienen asíntotas verticales.
f ) Si p (x) es un polinomio, entoncesp (x)
x� 2 tiene una asíntota vertical en x = 2.
14. Determinar cuáles de las siguientes grá�cas se corresponden con las siguientes fun-ciones:
(a)
3210-1-2-3
4
2
0
x
y
x
y (d) h (u) = 3� eu
(b)
3210-1-2-3
2
0
-2
-4
x
y
x
y (e) g (y) = �3�y
(c)210-1-2
2
0
-2
-4
-6
-8
-10
x
y
x
y (f) f (x) = 2jxj
314
15. Determinar si la siguiente función es derivable en x = 3
f (x) =
(
x2 + 2 si x � 36x� 7 si x > 3
.
16. La siguiente es la grá�ca de cierta función g (x).
Decir si las siguientes a�rmaciones son verdaderas o falsas justi�cando las respuestasdadas en cada caso.
a) g (x) es lineal
b) g (0) = 1
c) g (0) = �1d) g (0) no está de�nida
e) g (x) es discontinua en x = 0
f ) g (x) es la derivada de la función jxj
17. Decidir si una de las siguientes grá�cas puede representar la grá�ca de la derivada dela otra y explicar todos los motivos que sustentan su decisión.
3210-1-2
3
2
1
0
-1
x
y
x
y
18. Determinar la razón de cambio promedio de f (x) entre los valores indicados:
a) f (x) = e5x entre x = �2=3 y x = 1
b) f(x) = x3 + 2x entre x = 2 y x = 5
415
c) f(x) =
�
x2 + 3 si x � 03ex si x > 0
entre x = �1 y x = 3
19. Construir la ecuación de la recta tangente a la grá�ca de f (x) = ln (x2 + 1) que esparalela a la recta y = x+ 5.
20. La siguiente es la grá�ca de la derivada una función f .
6543210
1
0
-1
-2
x
y
x
y
Indicar cuál de las siguientes a�rmaciones son veraderas o falsas, justi�cando la res-puesta.
a) f tiene un extremo local en x = 3
b) f tiene un punto crítico en x = 3
c) f tiene un punto de in�exión en x = 3
21. La siguiente es la grá�ca de la derivada una función f que es continua en el intervalo[0; 2]. Sabiendo que f (0) = 0 proponer una grá�ca para f . Justi�car.
22. Usar el Teorema del Valor Intermedio para veri�car que f (x) = x3 � 4x + 2 tiene uncero en el intervalo [�1; 0].
23. ¿Es verdad que en el intervalo [�1; 1] hay un solo punto donde la recta tangente ay = x2 es paralela a la recta secante trazada entre los valores x = �1 y x = 1?Interpretar grá�camente la respuesta.
24. ¿La función f (x) = x3 � 4x2 + x+ 3 atraviesa el eje x en el intervalo [1; 2]?
516
25. La función f (x) = �x2 + bx + c toma un valor máximo de 12 en x = �2. Hallar lasconstantes b y c.
26. Encontrar los valores máximo y mínimo de g (x) =
(
x si 0 � x � 13� x si 1 < x � 3
en [0; 3].
¿Contradice ésto el Teorema del Máximo y el Mínimo?
27. Considerando las siguientes funciones:
f (x) =x2 � 1x� 1 ; g (x) =
1
x� 1 ; h (x) =x� 1jx� 1j ; k (x) = jx� 1j ,
completar la tabla con V (verdadero) o F (falso), justi�cando en cada caso la respuestadada.
f (x) g (x) h (x) k (x)La función está de�nida en x = 1La función es continua en x = 1Existe el l��m
x!1de la función
Existen los l��mx!1+
y l��mx!1�
de la función
La función tiene una discontinuidad evitable en x = 1
28. Encontrar las asíntotas horizontales y verticales de las funciones dadas,
a) f (x) =3
x+ 1
b) g (x) =2x
x� 3
c) g (t) =2tpt2 + 5
29. Encontrar los extremos de la función dada en el intervalo indicado,
a) f (x) = sin x , x 2 [��=4; �=2]
b) g (x) =1
3x3 +
1
2x2 � 2 , x 2 [�3; 2]
30. Determinar los puntos de in�exión y las concavidades de f (x) = 3x4 � 10x3 � 12x2 +12x� 7.
31. Encontrar el rectángulo de área máxima con dos vértices en el eje x y los otros dossobre la parábola y = 18� 2x2, en el semiplano superior.
32. Demostrar que entre todos los rectángulos de igual perímetro, el de mayor área es elcuadrado.
33. Gra�car las siguientes funciones,
617
a) f(x) = 4 sin x� 3 cosx para x 2 [0; 2�]
b) f(t) = cos t� sin t2para x 2 [0; 2�]
c) f(t) =psin t para x 2 [0; �]
d) f(x) = 2x+ cos2 x para x 2 [0; �]
e) f(x) =1
x+ ln x
f ) g(u) =u2 � 4u3
g) f (x) =2x3 � 8x2
h) h(x) = x2=3(1� x)
i) k(�) = �p� � 2
j ) f(x) = 3x2 � 1
x2
k) h(t) = (t2 � 4t)1=3
l) g(u) = u4 + 4u
34. La grá�ca describe la velocidad de un móvil en función del tiempo, gra�car la funciónposición de dicho móvil, sabiendo que p (0) = 0.
6543210-1-2
10
8
6
4
2
0
-2
t
p(t)
t
p(t)
718