REDUCCION DE ORDEN

a2 ( x ) y ,,+a1 (x ) y ,+a0 ( x ) y=0 Ecuación General de una Ecuación Diferencial Ordinaria de Segundo Orden.

Se supone que Y 1(x )=0es solución de la ecuación de Segundo Orden.

Se encuentra una segunda solución que la podemos llamar Y 2(x ) en términos de Y 1(x ) ya que estas van hacer el conjunto de soluciones, si ambas son linealmente independientes.

Para que Y 2(x ) quede en términos de Y 1(x ) vamos a multiplicarla por una función de (x )

Entonces: Y 2 ( x )=U ( x )∗Y 1(x) donde el método nos va a ayudar a encontrar esa

U (x ).

Reescribimos la ecuación general dividiéndola por a2( x):

Entonces: a2 ( x ) y ,,+a1 (x ) y ,+a0 ( x ) y=0 entre a2 ( x )

= y , ,+ p ( x ) y ,+q ( x ) y=0 donde a2 ( x )diferentede 0

Ahora tenemos Y 2 ( x )=U ( x )∗Y 1(x) y procedemos a derivarla y reemplazarla en la ecuación general.

Entonces: y2,=u y1

, + y1u,

y2,=u y1

, ,+u , y1,+ y1u

, ,+ y1, u,

Reemplazando en la ecuación general ( y , ,+ p ( x ) y ,+q ( x ) y=0 ) nos queda:

(u y1, ,+u , y1,+ y1u, ,+ y1, u,)+ p (x ) (u y1, + y1u ,)+q ( x ) (u y1 )=0

Ahora agrupamos términos semejantes:

(u y1, ,+ p ( x )u y1, +q (x )u y1)+ y1u ,,+2 y1, u,+ p ( x ) y1u

,=0

Factorizamos:

u ( y1, ,+ p ( x ) y1,+q ( x ) y1 )+ y1u, ,+2 y1, u,+p (x ) y1u

, = 0

Como podemos ver la parte factorizada ( y1, ,+ p ( x ) y1

, +q (x ) y1) es exactamente la misma ecuación

general con la que comenzamos a realizar el procedimiento sino que en vez de y es y1 la cual habíamos dicho que era solución y por lo tanto toda esa factorización sería igual a 0.

Entonces nos quedaría:

u (0 )+ y1u, ,+2 y1

, u,+ p (x ) y1u, = 0

y1u,,+2 y1

, u,+ p ( x ) y1u,=0 Podemos de esta sacar factor común u,

Nos queda: u, , y1+u, (2 y1+ p ( x ) y1 )=0 que ahora si en esta podemos aplicarle la reducción de

orden reemplazando z=u ,

Entonces:

z , y1+z (2 y1+ p ( x ) y1 )=0

Y ya podemos ver que es una E.D.O de primer orden mucho más fácil de resolver, ya sea por los diferentes métodos como factor integrante, separación de variables, etc.

Utilizamos separación de variables:

dzdxy1+(2 y1,+ p ( x ) y1 ) z=0 Multiplicamos por

dxy1

para dejar más sencillo:

dz+(2 y1,

y1+ p ( x ))z dx=0 También podemos dividir por z

dzz

+( 2 y1,

y1+ p ( x ))dx=0

Ahora si vemos con claridad los diferenciales y podemos separarlos:

dzz

=−( 2 y1,

y1+ p ( x ))dx Y para resolver esta ecuación integramos a ambos lados, por lo cual nos

quedaría:

∫ dzz =−∫( 2 y1,

y1+ p ( x ))dx

Resolvemos: ln [ z ]=−2 ln [ y1 ]−∫ p ( x )dx+c Ahora lo que necesitamos es despejar z aplicamos

Euler

u,=z= k e−∫ p ( x )dx

y12 Ahora sabemos que z es igual a u, y lo que necesitamos es saber

quién es u por lo tanto tenemos que integrar a u,.

y2= y1∗¿

Y como sabemos que la solución de una E.D.O homogénea es igual a:

yh=c1 y1+c2 y2 Entonces sería igual a:

= c1 y1+c2 ¿ Y así sería la fórmula de reducción de Orden.