UNIVERSIDAD POLITECNICA DE EL SALVADOR

TAREA DE ANALISIS DE SISTEMAS DE POTENCIA

REDUCCION DE SISTEMAS DE CARSON

CORRECCION DE CARSONEn condiciones de operacin balanceada, en una lnea de transmisin, no existe circulacin de corriente por el neutro; sin embargo, muchos estudios requieren incluir una correccin en los parmetros de la lnea para tener una buena representacin del efecto de retorno por tierra.Para el estudio tales como el anlisis de cortocircuito que involucren conexin a tierra, las operaciones de switcheo de interruptores, las descargas atmosfricas, y la propagacin de ondas electromagnticas en conductores general mente se usan un mtodo de correccin, conocido como correccion de Carson. NOMENCLATURAVariable descripcin [0] Matriz nula de dimensin 3x3.[a] Matriz constante generalizada para elemento del sistema de Distribucin, utilizada en la ecuacin que relaciona la tensin De entrada del elemento en funcin del tensin de salida y la Corriente de salida del mismo.[A] Matriz constante generalizada para elemento del sistema de distribucin, utilizada en la ecuacin que relaciona la tensin de salida del elemento en funcin del tensin de entrada y la corriente de salida del mismo.[at] Matriz constante generalizada para transformador, utilizada en La ecuacin que relaciona la tensin de entrada en funcin de la tensin de salida y la corriente de salida del mismo.[At] Matriz constante generalizada para transformador, utilizada en La ecuacin que relaciona la tensin de salida en funcin de la tensin de entrada y la corriente de salida del mismo.[b] Matriz constante generalizada para elemento del sistema de distribucin, utilizada en la ecuacin que relaciona la tensin de entrada del elemento en funcin de la tensin de salida y la corriente de salida del mismo.

[B] Matriz constante generalizada para elemento del sistema de distribucin, utilizada en la ecuacin que relaciona la tensin de salida del elemento en funcin de la tensin de entrada y la corriente de salida del mismo.[bt] Matriz constante generalizada para transformador, utilizada en La ecuacin que relaciona la tensin de entrada en funcin de la tensin de salida y la corriente de salida del mismo.[Bt] Matriz constante generalizada para transformador, utilizada en La ecuacin que relaciona la tensin de salida en funcin de la tensin deentrada y la corriente de salida del mismo.[c] Matriz constante generalizada para elemento del sistema de Distribucin, utilizada en la ecuacin que relaciona la corriente de entrada del elemento en funcin de la tensin de salida y la corriente de salida del mismo.[ct] Matriz constante generalizada para transformador, utilizada en la ecuacin que relaciona la corriente de entrada en funcin de la tensin de salida y la corriente de salida del mismo.[d] Matriz constante generalizada para elemento del sistema de Distribucin, utilizada en la ecuacin que relaciona la corriente de entrada del elemento en funcin de la tensin de salida y la corriente de salida del mismo.[dt] Matriz constante generalizada para transformador, utilizada en La ecuacin que relaciona la corriente de entrada en funcin de la tensin de salida y la corriente de salida del mismo.[Iabc] Vector de corrientes lnea, en el caso de un transformador se trata de las corrientes en la salida para las fases a, b y c.[IABC] Vector de corrientes lnea, en el caso de un transformador se trata de las corrientes en la entrada para las fases a, b y c.[Iabc]p Vector de corrientes lnea en el nodo p para las fases a, b y c. [U] Matriz identidad de dimensin 3x3.[VLNABC] Vector de tensiones lnea a neutro en la entrada del transformador para las fase a, b y c.[VLNabc] Vector de tensiones lnea a neutro en la salida del Transformador para las fases a, b y c.[VLNabc]p Vector de tensiones lnea a neutro en el nodo p para las fases a, b y c. [Zabc] Matriz de impedancia de fase de la lnea de distribucin.[Yabc] Matriz de admitancia de fase de la lnea de distribucin.Dij Distancia entre los conductores i y j. (Pies)GMRi Radio medio geomtrico del conductor i. (Pies)j O perador complejo.ri Resistencia del conductor. (/milla)zabc Matriz de impedancia de fase de la lnea de distribucin por unidad de longitud.(/milla)zii Impedancia propia de la lnea de distribucin. (/milla)zij Impedancia mutua de la lnea de distribucin. (/milla)zprimitive Matriz de impedancia primitiva para la lnea de distribucin. (/milla)f Frecuencia de operacin del sistema (Hz)r Constante de resistividad de la Tierra (-m)nt Relacin de transformacin de los devanados del Transformador monofsico que integra el banco trifsico.At Relacin de transformacin del banco trifsico.

Elementos del sistema y matrices de constantes generalizadas

Los diversos elementos del sistema de distribucin se pueden modelar por medio de bloques como el que se muestra en la Figura 2.1. neutro y las corrientes de lnea. Cada elemento del sistema de distribucin ser caracterizado por una serie de matrices conocidas como matrices de constantes Como se puede observar, para efectos de clculo se tomarn en general las tensiones delnea a neutro y las corrientes de lnea. Cada elemento del sistema de distribucin ser caracterizado por una serie de matrices conocidas como matrices de constantes generalizadas, las cuales determinan las relaciones de tensiones y corrientes de la entrada con la salida. Las matrices de constantes generalizadas se definen por medio de las siguientes ecuaciones:

Ecuaciones modificadas de Carson

Para el clculo de la impedancia propia y mutua de los conductores de las lneas de distribucin se utilizar una variacin de las ecuaciones de Carson [6], que en adelante sern nombradas como ecuaciones de Carson modificadas.

Estas ecuaciones se utilizarn para el anlisis de las lneas areas; en el presente trabajo solo se considerarn los casos de lneas de distribucin areas debido a que son las ms comunes en Costa Rica. En las ecuaciones anteriores se considera la frecuencia de operacin para elclculo de la impedancia, adems de la constante de resistividad de la Tierra (100 Ohms-metro aproximadamente).

Admitancia en derivacin para lneas de distribucin

El programa ha sido desarrollado para lneas de corta longitud (menos de 80 km 50 millas) para las cuales el efecto de la admitancia en derivacin es despreciable, por tanto se utilizar un modelo simplificado serie para las lneas areas.

Matriz de impedancia primitiva para lneas areas

Las ecuaciones (2.3.1-1) y (2.3.1-2) se utilizan para la formacin de la matriz deimpedancia primitiva de la lnea la cual es de dimensin mxm donde m es el nmero deconductores neutros que posea la lnea. Esta matriz se define en la ecuacin

En forma particionada la ecuacin (2.3.3-1) sera:

Dondezij: Impedancia por unidad de longitud entre los conductores de la fase i y la fase j.zin: Impedancia por unidad de longitud entre el conductor de fase i y el neutro n.znj: Impedancia por unidad de longitud entre el neutro n y el conductor de fase j.znm: Impedancia por unidad de longitud entre el neutro n y el neutro m.En el caso de un sistema tetrafilar como el que se muestra en la Figura 2.2 se tiene que laecuacin (2.3.3-1) sera de la forma:

Adems la ecuacin (2.3.3-2) sera de la forma:

Matriz de impedancias de fase para lneas areas

Para realizar los clculos e integrar el modelo de lnea al resto del sistema es necesarioestandarizar la matriz de impedancia primitiva, para ello se utiliza el mtodo de reduccin de Kron [5] definido por la siguiente ecuacin.

Aplicando el mtodo de reduccin de Kron establecido por la ecuacin (2.3.4-1) a la matriz de la ecuacin (2.3.3-4) se obtiene la matriz de impedancia de fase de dimensin 3x3 que se muestra en la siguiente ecuacin.

La matriz definida por la ecuacin (2.3.4-2) es conocida como matriz de impedancia de fase y es la usada como modelo de impedancia de la lnea en el resto de los clculos. En este caso se tendra el segmento de lnea equivalente mostrado en la Figura 2.3.En el caso de que uno o ms de los conductores de fase no existiera, como en el caso de los sistemas monofsicos, o los sistemas D abierta; en la matriz de impedancia primitiva definida en la ecuacin (2.3.3-3) las entradas relacionadas con dichas fases seran cero, y a dicha matrizse le aplicara la transformacin de Kron para obtener la matriz de impendancia de fase correspondiente. En el caso de sistema Delta, la matriz de impedancia de fase es igual a la matriz de impedancia primitiva, en este caso no se aplica la reduccin de Kron.

Adems se utilizarn las matrices constantes generalizadas que para este elemento seran:

Si se tomara en consideracin el efecto de la admitancia en derivacin las constantesGeneralizadas que definen el modelo de la lnea tomaran la siguiente forma:

2.4 Compensadores de tensin

En el caso del anlisis de cortocircuito se supondr que todos los compensadores de tensin se hallan en posicin neutra; y como la impedancia de los mismos es despreciable no se tomarn en cuenta durante el anlisis.

2.5 Transformadores

Dentro de los modelos considerados se tomarn los bancos D-Y aterrizada, Y-D, Y aterrizada Y aterrizada, D-D y Y abierta-D abierta. Debido a la caracterstica modular del programa se pueden incluir tantos modelos para transformadores como se desee.

2.5.1 Modelo general del transformadorEn general se puede modelar a un transformador como el elemento representado en la Figura 2.4.

En el caso de tratarse de un transformador D, se prescindir del uso del neutro; sinembargo para efecto de los clculos se utilizarn los valores de tensin de lnea a neutroequivalentes. Como se nota en la Figura 2.4 las letras maysculas denotan el lado de la fuente (entrada o nodo n) del transformador, mientras que las letras minsculas denotan el lado de la carga (salida o nodo m) del mismo.Se utilizarn las matrices de constantes generalizadas para caracterizar a los diversostipos de conexiones de transformadores, solamente que para este caso se indicar por medio del subndice t asociado a la matriz correspondiente. De esta forma, los transformadores en general tendran las ecuaciones:

2.5.2 Transformador D-Y aterrizada Primero se define la relacin de transformacin de los devanados por la siguienteecuacin:

Tambin es necesario definir la relacin de transformacin del banco trifsico la cual sedefine mediante la siguiente ecuacin:

Se define la relacin entre la tensin lnea a lnea del primario con respecto a lastensiones ideales del secundario (estas tensiones son aquellas que se dan en los devanados del secundario sin tomar en cuenta la impedancia del transformador, la cual se referir del lado secundario) la cual es dada por la siguiente ecuacin

Donde

Como fue definido con anterioridad para todos los clculos se utilizarn las tensioneslnea a neutro para todos los elementos; por tanto es necesario definir para el lado primario de esta conexin de transformador las tensiones lnea a neutro equivalentes en el lado delta, los cuales se pueden obtener mediante la siguiente transformacin

Donde

Adems se puede definir una relacin de transformacin entre tensiones lnea a lnea ylas tensiones lnea a neutro equivalentes para la conexin delta expresada en la ecuacin

Donde

La matriz de impedancia de fase del transformador viene dada por la ecuacin

Las matrices constantes de generalizadas definidas por las ecuaciones (2.5.1-1) y(2.5.1-2) sern definidas mediante las ecuaciones

2.5.3 Transformador Y-DPrimero se define la relacin de transformacin de los devanados por la siguiente ecuacin:

Se define la relacin entre la tensin lnea a neutro del primario con respecto a lastensiones ideales del secundario (estas tensiones son aquellas que se dan en los devanados del secundario sin tomar en cuenta la impedancia del transformador, la cual se referir del lado secundario) la cual es dada por la siguiente ecuacin

donde [AV] se defini anteriormente en la ecuacin (2.5.2-4).Las ecuaciones (2.5.2-5) y (2.5.2-6) de transformacin de las tensiones lnea a lnea, atensiones lnea a neutro equivalentes para una conexin delta, son validas tambin para este caso.Adems se puede definir una relacin de transformacin entre las corrientes de lnea en elprimario y las corrientes de fase circulantes por la conexin delta en el secundario expresada enla ecuacin

Donde

Tambin se puede definir una relacin de transformacin entre las corrientes de fase en elsecundario circulantes por la conexin delta y las corrientes de lnea en el secundario expresada en la ecuacin

Donde

La matriz de impedancia de fase del transformador viene dada por la ecuacin

La matrices constantes generalizadas definidas por las ecuaciones (2.5.1-1) y (2.5.1-2) sern definidas mediante las ecuaciones

2.6 Modelos de cargas

Los modelos de las cargas no se usarn debido a que se depreciar la contribucin decorriente de las mismas. En general solamente se tomarn en cuenta las impedancias en latrayectoria que va desde la barra fuente hacia la barra fallada, despreciando el resto del sistema.

2.7 Circuito equivalente de Thevenin

Hasta ahora se han desarrollado los modelos de los diferentes elementos del sistema, peropara el clculo de cortocircuito es necesario determinar la impedancia equivalente vista por la barra fallada a fin de desarrollar el algoritmo de clculo.El clculo de cortocircuito requiere el equivalente de Thevenin del sistema referido al ladosecundario del transformador que se conecta a la barra fallada. Este equivalente de Thevenin debe considerar la impedancia equivalente entre la fuente y el primario del transformador. La Figura 2.5 muestra un esquema del circuito equivalente de un sistema tpico.

El circuito equivalente de Thevenin necesita ser determinado en el secundario deltransformador; esto bsicamente consiste en referir los voltajes de la fuente y la impedancia del sistema al secundario del transformador.En la Figura 2.5 los voltajes lnea a neutro equivalentes en el primario del transformadorcomo funcin de los voltajes de la fuente y la impedancia equivalente entre la fuente y elprimario, son dados por la ecuacin

Donde

Por tanto

Se defini anteriormente la ecuacin que expresa las tensiones lnea a neutro de la salidaen funcin de las tensiones lnea a neutro en la entrada y la corriente de salida, la cual es

Sustituyendo la ecuacin (2.7-3) en (2.7-4) se tiene

Haciendo referencia a la ecuacin (2.7-5) las tensiones y la impedancia de Thevenin equivalentes seran definidos por las ecuaciones

Las ecuaciones anteriores definen el modelo equivalente de Thevenin que se muestra en la Figura 2.6 el cual ser usado en el algoritmo de clculo de las corrientes de cortocircuito.

2.8 Clculo de cortocircuito

El clculo de las corrientes de cortocircuito para fallas asimtricas en un sistema trifsiconormalmente balanceado ha sido tradicionalmente tratado por la aplicacin de componentessimtricas. Sin embargo, no se puede justificar la aplicacin de este mtodo a un sistema dedistribucin el cual es inherentemente desbalanceado. El acoplamiento desigual entre las fases lleva a un acoplamiento entre las redes de secuencia, y cuando esto ocurre el mtodo de las componentes simtricas no es satisfactorio.Para el clculo de fallas en un sistema de distribucin radial desbalanceado, es necesariocalcular el equivalente de Thevenin entre la fuente y la barra donde se produce la falla, que en este caso ser igual a la suma de las impedancias de fase de todos los elementos de sistema entre la fuente y la barra donde se produce la falla. Se realiza entonces un recorrido entre la fuente y el nodo de falla; cada vez que se encuentre un transformador se aplica la conversin de voltajes e impedancias del lado primario al secundario y se continua hasta llegar a la barra donde se produce la falla, as se obtiene el equivalente de Thevenin visto desde la barra en falla. Se obtiene entonces el sistema que se muestra en la Figura 2.7; en donde Ea, Eb y Ec representan las tensiones lnea a neutro equivalentes en la barra fallada; la matriz [ZTOT] representa la matriz de impedancia de Thevenin equivalente vista desde la barra fallada. La impedancia de falla se representa por medio de Zf.

Si se aplica la ley de tensiones de Kirchhoff al circuito de la Figura 2.7 se tiene

En forma compacta la ecuacin (2.8-1) sera

combinando los trminos en la ecuacin (2.8-2)

Donde

resolviendo la ecuacin (2.8-3) para las corrientes de falla

Donde

debido a que las matrices [Y] y [Eabc] son conocidas para el sistema, se define

sustituyendo la ecuacin (2.8-7) en la ecuacin (2.8-5) y reagrupando trminos se tiene

En forma expandida la ecuacin (2.8-8) es:

la ecuacin (2.8-9) se puede escribir en la forma de componentes:

Donde

Las ecuaciones (2.8-10) a (2.8-12) vienen a ser las ecuaciones que sirven para simulartodos los tipos de cortocircuitos en un sistema de distribucin. Se tienen bsicamente tresecuaciones y siete incgnitas (Ifa, Ifb, Ifc, Vax, Vbx, Vcx y Vxg) las otras tres variables en las ecuaciones (IPa, IPb, IPc) son funciones de la impedancia y las tensiones de Theveninequivalentes del sistema visto desde la barra en falla; y por tanto son conocidos. Para definir las otras cuatro ecuaciones adicionales a fin de obtener una solucin nica para el sistema se plantean para cada falla las condiciones en el diagrama que corresponden a la misma. PorEjemplo una falla trifsica se obtendra en el diagrama colocando un cortocircuito que una los nodos a, b y c de la Figura 2.7 con el nodo x. Esto es lo mismo que definir las condiciones para los voltajes de los nodos a, b y c con respecto a x. La cuarta ecuacin vendra de la aplicacin de la ley de corrientes de Kirchhoff en el nodo x, lo que hara la suma de corrientes en el nodo x igual a cero. A continuacin se enuncian las ecuaciones adicionales para todos los tipos de falla.

Falla trifsica

Falla trifsica a tierra

Falla lnea a lnea

Se asume en este caso una falla entre las fases i y j, con la fase k sin falla

Falla lnea a tierraSe asume en este caso una falla en la fase k, las fases i y j estn sin falla

La mejor forma de resolver las siete ecuaciones relacionadas con el estudio decortocircuito es plantear el sistema en forma matricial de la siguiente forma:

La ecuacin (2.8-24) en forma compacta sera:

Donde las entradas marcadas con un guin en la matriz [C] se reemplazaran una vez dadas las condiciones de falla. Por ejemplo si se simula una falla trifsica se tendran los siguientes entradas en la matriz [C]: C4,4 = 1, C5,5 = 1, C6,6 = 1, C7,1 = 1, C7,2 = 1 y C7,3 = 1, el resto de los guiones se reemplazara por ceros.Una vez definida la matriz [C], se procede a despejar el vector de soluciones:

As se obtiene el vector de soluciones con las corrientes de falla.

EjemploEn el siguiente sistema de potencia ocurre un cortocircuito trifsico slido en el punto P, el cual est ubicado exactamente en la mita de la lnea 2-3. Los interruptores A1 y A2 abren para despejar la falla.1. Calcular y dibujar diferentes curvas de oscilacin del generador 2, para diferentes tiempos de despeje de la falla, tomando al generador 1 como referencia.

2. Calcular aproximadamente el tiempo crtico de falla del generador 2.Los datos del sistema estn dados en valores por unidad sobre las mismas bases.

Solucin:En este problema se trata la estabilidad multi-mquina clsica, y se considera que uno de los generadores es considerado como referencia. En este caso se toma como referencia, el generador ubicado en la barra 1, debido a que es el que posee la ms alta constante de inercia.Paso 1. Con los datos dados en la red se procede a conocer el estado estable inicial del sistema. Para ello es comn que se efectu un flujo de potencia.Con el flujo de potencia se desea conocer: (a) El voltaje en todas las barras (magnitud y ngulo), (b) lacorriente que aporta cada generador, (c) el voltaje interno de cada mquina o voltaje detrs de la reactancia de la mquina (magnitud y ngulo), (d) la potencia elctrica en cada barra, (e) la potencia elctrica en cada generador, (f) la admitancia de cada carga.

En este caso particular, se ha tomado la barra 1, como barra oscilante, la barra 2 como una barra de generacin (PV sin lmites de reactivos) y la barra 3 como una barra de carga (PQ) Barra 1: 1 1.0 0 V = Barra 2: 2 1.0 V = 2 1.5 = Pg Barra 3: Sload 3 1.0 1.0 j = +

Luego de efectuar el flujo de potencia se tiene como resultado: Barra 1: Pg1= 0.5 Qg1= 1.083 Barra 2: 2= 5.904 Qg2= 0.635 Barra 3: V3= 0.944 0.087 V Con los resultados del flujo de podenca se procede a determinar la corriente que entrega cada generador: Para el generador 1 se tiene:

De modo anlogo para el generador 2, resulta:

Se determina el voltaje interno de cada generador, o el voltaje detrs de la reactancia del generador:

Efectuando el respectivo recorrido de mallas se tiene:

De tal modo que el ngulo interno de la maquina resulta ser:

Procediendo de modo semejante pata el generador 2 se tiene:

Las potencias entregadas por lo generadores 1 y 2 (Pg1 y Pg2) y las potencias de las cargas conectadas en las barras 1 y 3 son (Pload1 y Pload3) son:

De tal modo, si se desprecian las perdidas internas de cada generador se tiene que la potencia mecnica de entrada de cada uno de ellos es igual a su potencia elctrica generada por lo que se cumple:

Se procede al clculo de la admitancia de cada una de las cargas:

Se procede a aumentar el tamao del sistema de potencia agregando una barra para cada generador y que se ubica detrs de la impedancia de la maquina, y se reescribe el nmero de las barras de modo que los nodos de los generadores sean los primeros nmeros, el diagrama equivalente en admitancias durante la falla es el siguiente:

Para esta condicin de la red se tiene que la matriz admitancia de barra es:

Se procede a dividir la matriz de admitancias en cuatro submatrices:

La matriz admitancia de barra entonces es reducida en orden por la aplicacin de la reduccin de kron, llevndola a solo las barras de generacin:

Operando resulta:

En forma polar resulta que cada trmino es:

Aplicando la teora se conoce que la potencia de cada unidad puede ser expresada como:

Sustituyendo los respectivos valores resulta:

resolviendo

Debido a que se ha seleccionado una maquina a referencia, se puede emplear la ecuacin de la maquina equivalente contra una barra de potencia infinita:

Sustituyendo valores y resolviendo se tiene:

Una vez que la falla es retirada, la configuracin de la red cambia, y en consecuencia la res queda de la forma:

Resultando que la matriz admitancia de barra para esta situacin es:

Aplicando kron para reducir el orden de la matriz:

En forma polar resulta que cada trmino es:

Con estos nuevos valores las ecuaciones de potencia elctrica luego de la falla resultan ser: