8/17/2019 reactivos_propuestos_2014

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Maestŕıa en MatemáticasFacultad de Matemáticas

Reactivos Propuestos para Examen de Admisión (BTS)Ingreso en Agosto de 2014

1. Una función f  se dice   de orden exponencial  c si existen números M > 0 y T > 0 tales que|f (t)| ≤  M ect para  t > T . Probar que  f (t) = tn, con  n ∈  N, es de orden exponencial  c  paratoda t > T .

2. Sea  f (x, y) = mı́n(|x|, y) para (x, y) ∈ R2. Demostrar que es Lipschitziana respecto a y.

3. Demostrar que  f (x, y) = y1/3 no es Lipschitziana respecto a  y  ∈ R.

4. Supongamos que  y − x > 1. Demostrar que existe un entero k  tal que  x < k < y.

5. Demostrar que la función  F (x, y) =  y2/2 +  x4/4 +  x6/6 decrece a lo largo de las solucionesẋ =  y,   ẏ =  −by − x3 − x5, donde  b >  0.

6. Sean   f   :   R3 →   R, g   :   R2 →   R   y   h   :   R   →   R   funciones de clase   C ∞ tales que   f (0, 0, 0) =g(0, 0) = h(0), Df (0, 0, 0) = (1, 2, 3), Dg(0, 0) = (4, 5) y  h (0) = 6. Si

F (x,y ,z) = f 

g(x, y), h(z), f 

x, h(x), g(x, x)

,

calcular  DF (0, 0, 0)

7. Sea I un intervalo y f   : I  → R una función. Si f  es monótona y sobreyectiva, probar que  f   escontinua.

8. Supongamos que   z(x, y) tiene derivadas parciales   p   =   ∂z/∂x,   q   =   ∂z/∂y   que satisfacen2 + p + q  = 0. Definamos u  =  x + y + z(x, y), v  =  x − y, w  =  z. Si w  se considera como funciónde  u  y  v , hallar las expresiones para  ∂w/∂u y  ∂w/∂v  en términos de  p  y q.

9. Considere la matriz A  =  I  − xyT , donde  x, y  son vectores de  n × 1. Probar que A  es singular

si y sólo si  x

T 

y = 1.

10. Si A =

  1 23 4

, expresa A−1 como un polinomio en  A.

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Reactivos Propuestos para Examen de Admisión (JR)Ingreso en Agosto de 2014

1. Demostrar que si f  tiene derivada continua en [0, 1], entonces existe L > 0 tal que   |f (x)−f (y)|

|x−y|   ≤

L  para todo  x, y ∈  [0, 1],  x = y.

2. ¿Es la función  f (x) =   11+x2  uniformemente continua en  R?

3. Sea   f (x) una función continua en   R. Demostrar que si es creciente y acotada, entonces lasucesión  {f (n2 + (−1)nn)}∞n=1  tiene ĺımite.

4. Hallar una solucíon de la ecuación

x −

   x0

f (t)dt =  f (x).

5. Demostrar que si  f   : R→ R es par, entonces la derivada  f  es impar.

6. Evaluar la integral de lı́nea γ 

 x2dx + ydy, donde γ  es la semicircunferencia superior de radio

1 que une los puntos (1, 0) y (−1, 0).

7. Usando multiplicadores de Lagrange, encontrar el valor extremo de   z   =   x2 + y   sujeto a lacondición  x + y = 1.

8. Justifica que si V , W   son subespacios vectoriales de X , entonces  V   + W  también es un subes-pacio.

9. Sean  A, M   matrices  n × n. Calcule el determinante de la siguiente matriz:

  B I 

−AB   0

.

10. Sea   A   una matriz compleja 4  ×  4 tal que   A3 =   A2. ¿Cuáles son los posibles polinomiosminimales de A? Si A no es diagonalizable y A2 = 0, enlista todas las posibles formas canónicasde Jordan para  A.

11. De un ejemplo de una matriz 5 × 5 tal que  A5 = 0 pero  A3 = 0.

12. ¿Existe una matriz cuadrada real  A, de dimensión 3 × 3, tal que la transformación   y  =  Axde  R3 en  R3 sea inyectiva pero no sobreyectiva?

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Reactivos Propuestos para Examen de Admisión (RLM)Ingreso en Agosto de 2014

Problema 1   Sea  f   : Rn → R tal que sus derivadas parciales son continuas y satisfacen∂f (x)∂x j

≤ K para toda  i = 1, . . . , n y toda  x = (x1, . . . , xn). Probar que

|f (x) − f (y)| ≤ √ nK x − y.

Problema 2   Sea  f   : R

2

→  R  una función. Supóngase que tiene derivadas direccionales en todaslas direcciones en el origen. ¿Es  f  diferenciable en el origen?

Problema 3   Sea S  = {(x , y , z) ∈ R3|x2 + y2+ z2 = 1} la esfera unitaria en  R3. Evaluar la integralde superficie  

S 

(x2 + y + z)dA.

Problema 4   Sea  A = (aij)ni,j=1  una matriz real  n × n con componentes no negativas tal que

n j=1

aij  = 1 (i = 1, . . . , n).

Probar que ningún valor propio de  A tiene valor absoluto mayor que 1.

Problema 5  Probar que la matriz

0 5 1 05 0 5 01 5 0 50 0 5 0

tiene dos valores propios positivos y dos negativos (contando multiplicidades).

Problema 6   Sea f   : R→

R una función monótona creciente. Supóngase que 0  < f (0) y f (100)  <100. Probar que  f (x) = x  para algún  x.

Problema 7  Sea (X, d) un espacio métrico. Mostrar que si {xn} y {yn} son sucesiones de Cauchyen  X , entonces {d(xn, yn)}  converge en  R.

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